Metoda Elementów Skończonych Studium magisterskie
PODSTAWOWE POJ
CIA
MES
WYKA
AD 1
Wersja elektroniczna, http://www.okno.pg.gda.pl.
Literatura
KLEIBER M.: Wprowadzenie do metody elementów skończonych. PAN IPPT, PWN Warszawa  Poznań 1989,
Rozdz. 1, str. 7  11.
CHRÓŚCIELEWSKI J., MAKOWSKI J., PIETRASZKIEWICZ W.: Statyka i Dynamika Powłok wielogałęziowych.
Nieliniowa teoria i metoda elementów skończonych.
Wydawnictwo IPPT PAN, Warszawa 2004. Rozdz. 4.1.1, str. 270  273.
WILiŚ Politechnika Gdańska
J.Chróścielewski, M.Miśkiewicz, W.Witkowski: Katedra Mechaniki Budowli i Mostów
MES podstawowe pojęcia, uwagi wstępne
MOC, miejsce i rola metod numerycznych
Trzy zasadnicze grupy problemów MOC :
teoria równań konstytutywnych,
weryfikacja eksperymentalna (próby jedno i wieloosiowe),
formułowanie i rozwiązywanie problem brzegowo  początkowy mechaniki.
prawa szczegółowe (materiały, tyle ile materiałów)
prawa uniwersalne mechaniki (3 zasady)
wg Kleiber M. [1989] teoria konstrukcji
WILiŚ Politechnika Gdańska
J. Chróścielewski, M.Miśkiewicz, W. Witkowski: KMBiM W01A/3
MES podstawowe pojęcia, uwagi wstępne
dwa sposoby formułowanie problemów brzegowo  początkowy MOC
w MOC parametry teorii (w tym nieznane wielkości), mające charakter pól (funkcje polowe):
skalarnych, wektorowych lub tensorowych, które
Å‚Ä…czÄ… odpowiednie zwiÄ…zki rozmaitego typu:
uniwersalne prawa mechaniki (3), szczególne prawa konstytutywne, oraz
postulowane dot. np. ciągłości pól, czy o charakterze hipotez.
sformułowanie (matematycznie równoważne):
(S)  silne, klasyczne (różniczkowe, lokalne)
 polega na badaniu pól w otoczeniu nieskończenie małego obszaru dziedziny,
 efektem jest układu równań różniczkowych względem zmiennych po przestrzenni i czasie,
 rozwiązanie dotyczy układu równań różniczkowych
przy narzuconych warunkach brzegowych i poczÄ…tkowych;
(W)  słabe, wariacyjne (całkowe, ekstremalne, globalne)
 zakłada ważność w całym obszarze dziedziny (i na brzegu) ekstremalnej zasady wariacyjnej,
 efektem jest funkcjonał (funkcją nieznanych funkcji) względem zmiennych po przestrzenni i czasie,
 rozwiązanie polega na wyznaczeniu ekstremum funkcjonału (najczęściej minimalizacji).
WILiŚ Politechnika Gdańska
J. Chróścielewski, M.Miśkiewicz, W. Witkowski: KMBiM W01A/6
MES podstawowe pojęcia, uwagi wstępne
trzy podstawowe metody numeryczne w MOC
Metoda: Elementów Skończonych Różnic Skończonych Elementów Brzegowych
MES MRS MEB
podstawa: zasada wariacyjna lub równania różniczkowe brzegowe równania całkowe
przemieszczeń wirtualnych
dyskretzacja: podział obszaru na elementy rozkład regularnej siatki podział brzegu obszaru na
węzłów na całym obszarze elementy i przyjęcie węzłów
brzegowych
aproksymacja: funkcji kształtu dla elementu operatory różnicowe funkcje kształtu elementu
w węzłach siatki brzegowego
struktura
macierzy
(sztywności)
układu
K = KT K `" KT
K `" KT
wg Rusiński, Czmochowski, Smolnicki [2000]
WILiŚ Politechnika Gdańska
J. Chróścielewski, M.Miśkiewicz, W. Witkowski: KMBiM W01A/10
MES podstawowe pojęcia, uwagi wstępne
interakcja metod komputerowych mechaniki ETAPY
konstrukcja rzeczywista
wizja  projekt
MOC (filtr)
MES (filtr)
dane (filtr)
obliczenia
(filtr)
wyniki
wg Stein E., Wriggers P. [1989] wg NASTRAN
WILiŚ Politechnika Gdańska
J. Chróścielewski, M.Miśkiewicz, W. Witkowski: KMBiM W01A/12
MES podstawowe pojęcia, uwagi wstępne
problem brzegowo  poczÄ…tkowy, model obliczeniowy, modyfikacje
Problem brzegowo  początkowy mechaniki  jego rozwiązanie jest zasadniczym etapem każdego
racjonalnego projektowania konstrukcji wymaga utworzenia
tzw. modelu obliczeniowego.
MES umożliwia efektywne tworzenie i modyfikacje modeli obliczeniowych.
o wyborze modelu
obliczeniowego decyduje:
 czas,
 pieniÄ…dze,
 doświadczenie,
 oprogramowanie,
 dokładność.
wg Kleiber M. [1989]
WILiŚ Politechnika Gdańska
J. Chróścielewski, M.Miśkiewicz, W. Witkowski: KMBiM W01A/14
MES podstawowe pojęcia, uwagi wstępne
problem brzegowo  początkowy, model obliczeniowy, budowa  wybór
Problem brzegowo  początkowy mechaniki  jego rozwiązanie jest zasadniczym etapem każdego
racjonalnego projektowania konstrukcji wymaga utworzenia
tzw. modelu obliczeniowego.
MES umożliwia efektywne tworzenie i modyfikacje modeli obliczeniowych.
stwierdzenie
budujÄ…c  wybierajÄ…c model stawiamy
trzy cele (z zasady sprzeczne):
 dużą uniwersalność,
 dokładność,
 niskie nakłady,
rozwiÄ…zaniem jest tzw. model elastyczny,
(użytkownik ma możliwość ustalenia
zakresu relacji między tymi celami),
warunek ten spełniają systemy MES.
wg Olędzka D., Witkowski M., Żmijewski K.H. [1992]
WILiŚ Politechnika Gdańska
J. Chróścielewski, M.Miśkiewicz, W. Witkowski: KMBiM W01A/15
MES podstawowe pojęcia, uwagi wstępne
teoria konstrukcji
Teoria konstrukcji  opis zachowania się realnych konstrukcji inżynierskich przy pomocy
różnych modeli najczęściej matematycznych (MOC).
Model konstrukcji  w opisie modelu wyróżnia się dwa typ wielkości
zmienne projektowe  zależne od projektanta oraz
pozostałe wielkości nazywane parametrami modelu.
Zmienne stanu  opisujÄ… zachowanie siÄ™ konstrukcji (jej modelu), podstawowe to:
przemieszczenia (deformacja) i
naprężenia (siły wewnętrzne),
ale także w zależności od celu mogą nimi być np.:
reakcje,
obciążenia krytyczne,
częstości i postaci drgań własnych,
amplitud drgań wymuszonych siłami dynamicznymi (i inne).
WILiŚ Politechnika Gdańska
J. Chróścielewski, M.Miśkiewicz, W. Witkowski: KMBiM W01A/18
MES podstawowe pojęcia, uwagi wstępne
teoria konstrukcji
Problemy teorii konstrukcji  zależą od wzajemnych relacje pomiędzy (oddziaływania zewnętrzne dane):
zmiennymi projektowymi Ô! parametrami modelu Ô! zmiennymi stanu.
Analiza konstrukcji  dotyczy określenia zmiennych stanu od danych oddziaływań zewnętrznych
przy całkowicie określonym modelu konstrukcji
(ustalone zmienne projektowe i parametry modelu).
Problemy odwrotne  teorii konstrukcji, odmiennie od analizy, dotyczą określenia modelu konstrukcji:
optymalizacja  dobór optymalnych wartości zmiennych projektowych przy spełnieniu
ograniczeń nałożonych na zmienne stanu, należy sformułować funkcję celu,
której poszukuje się minimum ze względu na zmienne projektowe;
identyfikacja  dobór modelu (parametrów) przy eksperymentalnie określonych zmiennych stanu
dla określonych oddziaływaniach zewnętrznych;
wrażliwość  ustalenie zależności zmian zmiennych stanu w funkcji zmian (wariacji)
zmiennych projektowych.
WILiŚ Politechnika Gdańska
J. Chróścielewski, M.Miśkiewicz, W. Witkowski: KMBiM W01A/21
MES podstawowe pojęcia, uwagi wstępne
analiza konstrukcji
Analiza konstrukcji  cel zmienne stanu, ewolucji (w czasie, od oddziaływań) odkształcalnej konstrukcji:
statyka  obciążenia narastają powoli, siły bezwładności pomijalnie małe,
cel  przemieszczenia i naprężenia (siły wewnętrzne), reakcje,
 stateczność liniowa obciążenia krytyczne, postaci wyboczenia,
 (stateczność) nieliniowa ścieżki równowagi, punkty bifurkacji i punkty graniczne,
kontakt, propagacja stref degradacji materiału, plastycznych,
rys, lokalizacji, itp.;
dynamika  siły bezwładności istotne, deformacja konstrukcji zależy od historii obciążenia w czasie,
cel  liniowa częstości i postaci drgań własnych,
amplitud drgań zmiennych stanu od wymuszeń harmonicznych,
całkowanie równań bezpośrednie, schematy jawne i niejawne,
metody redukcji przestrzeni, metoda superpozycji modalnej;
 nieliniowa zderzenia, ewolucja zmiennych stanu,
bezpośrednie całkowanie równań, stabilność algorytmów itp.
Analiza konstrukcji  podejście: deterministyczne,
losowe (stochastyczne).
WILiŚ Politechnika Gdańska
J. Chróścielewski, M.Miśkiewicz, W. Witkowski: KMBiM W01A/25
MES podstawowe pojęcia, uwagi wstępne
typy analizy konstrukcji
liniowa nieliniowa
fizycznie geometrycznie
mieszana np.:
obowiÄ…zuje zasada superpozycji,
nie obowiÄ…zuje zasada superpozycji,
wszystkie relacje liniowe:
podstawowe z
ródła nieliniowych relacji:
równania konstytutywne (materiałowe, fizyczne),
L(Ä…a+²b)=Ä…L(a)+²L(b),
zmiany w geometrii (zależność odkształcenia  przemieszczenia),
warunków brzegowych (zagadnienia kontaktu),
obciążenia (zależność od deformacji, niekonserwatywność), i inne;
odwracalność deformacji.
nieodwracalność deformacji w problemach niesprężystych (np. plastyczność).
WILiŚ Politechnika Gdańska
J. Chróścielewski, M.Miśkiewicz, W. Witkowski: KMBiM W01A/30
MES podstawowe pojęcia, uwagi wstępne
MES  podejście koncepcyjne
Formułowanie i interpretację MES można postrzegać z punktu widzenia  fizycznego lub matematycznego.
Fizyczny  początkami formułowania MES  uogólnienia metod analizy konstrukcji prętowych.
Traktowanie konstrukcji jako układu zbudowanego z oddzielnych części,
elementów skończonych, których model mechaniczny jest niezależny od reszty układu.
Następnie części te łączone są w całość w skończonej liczbie węzłów.
Matematyczny  zastosowanie metody Bubnowa Galerkina do aproksymacji problemu ciągłego, wymaga:
A) słabego sformułowania (wariacyjnego) zagadnienia początkowo brzegowego;
B) wyboru przestrzeni funkcji aproksymacyjnych, podstawowych i testowych.
Baza aproksymacyjna  wielomiany funkcji zlokalizowane, określone tylko wewnątrz
nie pokrywających się podobszarów dziedziny, elementów skończonych (znikają poza nimi).
Zbiór elementów powstaje przez podział dziedziny z doborem węzłów.
Węzły rozłożone są w części lub całkowicie na brzegach i wierzchołkach elementów.
Zbiory elementów i węzłów tworzą siatkę dyskretyzacyjną.
Spostrzeżenie, podstawowa idea MES opiera się na koncepcji interpolacji z zastosowaniem
metody typu residuów ważonych.
WILiŚ Politechnika Gdańska
J. Chróścielewski, M.Miśkiewicz, W. Witkowski: KMBiM W01A/34
MES podstawowe pojęcia, uwagi wstępne
MES  historia, aktualność
poczÄ…tki:
HRENNIKOFF [1940], MCHENRY [1943]  kontinuum  opis kratownicowy (jednowymiarowy),
COURANT [1943]  kontinuum podział na skończone kawałki (trójkąty),
LEVY [1953]  metoda przemieszczeń (sztywności) uogólnienie,
TURNER, CLOUGH, MARTIN, TOPP [1956]  połączenie koncepcji dyskretnych kawałków i sztywności,
CLOUGH [1960]  metoda elementów skończonych (w PSN),
ZIENKIEWICZ, CHEUNG [1965]  problemy pola, temperatura i przepływy.
aktualne:
integrowanie systemów MES z systemami do modelowania geometrycznego CAD w całość;
łączenie podstawowych metod MES, MRS, MEB w obszarach ich największej efektywności;
poszukiwania teoretyczne (dalsze i ciÄ…gle)
ekonomicznych, efektywnych i skutecznych oraz pewnych elementów skończonych.
WILiŚ Politechnika Gdańska
J. Chróścielewski, M.Miśkiewicz, W. Witkowski: KMBiM W01A/37
MES podstawowe pojęcia, uwagi wstępne
podstawowa klasyfikacja elementów skończonych
kontynualne strukturalne
prętowe powierzchniowe
prętowy
płytowy
kratowy (cięgnowy)
PSN, PSO, osiowo-obrotowe
płaski
powłokowy
belkowy (ramowy) powłokowy krzywiznowy
bryłowy
zgodność liczby (np. 3D, bryłowy): brak zgodność liczby (np. przestrzenna belka Bernoulliego Eulera):
współrzędnych dziedziny (x, y, z), jedna współrzędna opisująca dziedzinę (s),
parametrów teorii (u,v,w),
cztery parametry teorii (u,v, w,Ćz ) ,
węzłowych stopni swobody (ua,va,wa ).
sześć węzłowych stopni swobody (ua,va,wa,Ćxa,Ćya,Ćza).
WILiŚ Politechnika Gdańska
J. Chróścielewski, M.Miśkiewicz, W. Witkowski: KMBiM W01A/40
MES podstawowe pojęcia, uwagi wstępne
MES  składnik projektowania inżynierskiego
o wyborze modelu
obliczeniowego decyduje:
 czas,
 pieniÄ…dze,
 doświadczenie,
 oprogramowanie,
 dokładność.
MES
WILiŚ Politechnika Gdańska
J. Chróścielewski, M.Miśkiewicz, W. Witkowski: KMBiM W01A/41
MES podstawowe pojęcia, uwagi wstępne
MES  składnik projektowania inżynierskiego, etapy i modyfikacje
wg Kleiber M. [1989]
WILiŚ Politechnika Gdańska
J. Chróścielewski, M.Miśkiewicz, W. Witkowski: KMBiM W01A/42
MES podstawowe pojęcia, uwagi wstępne
MES  składnik projektowania inżynierskiego, udział i rola
kombinacja odpowiednich elementów skończonych pozwala stosunkowo
wiernie odwzorować w modelu obliczeniowym
złożoność formy i właściwości konstrukcji inżynierskich oraz zachodzących zjawisk;
moc obliczeniowa PC + wizualizacji (grafika, CDA) pozwalajÄ… na
udział MES we wszystkich fazach projektowania: pre i post oraz inter procesowej;
powtarzalność cyklu
analiza  konstruowanie, pozwala uzyskać quasi optymalne rozwiązanie problemu.
WILiŚ Politechnika Gdańska
J. Chróścielewski, M.Miśkiewicz, W. Witkowski: KMBiM W01A/45
MES podstawowe pojęcia, uwagi wstępne
problem modelowy w MES
Problem modelowy  zamknięty układ równań o skali złożoności pozwalającej  obrobić go matematycznie.
Od strony teorii aproksymacji zadaniem modelowym w MES jest liniowa teoria sprężystości (LTS).
Wstępny opis MES  na przykładzie rozwiązania jednowymiarowego problemu brzegowego
jakim jest jednowymiarowe liniowo sprężyste kontinuum pręta prostego,
charakteryzowane liczbÄ… jeden:
jedna współrzędna opisu dziedziny (s a" x),
jeden parametr teorii (u),
jeden węzłowy stopień swobody (ua).
WILiŚ Politechnika Gdańska
J. Chróścielewski, M.Miśkiewicz, W. Witkowski: KMBiM W01A/48
MES podstawowe pojęcia, uwagi wstępne
typy sformułowania problemu
4  zagadnienia:
(S)  silne, klasyczne (różniczkowe) sformułowanie problemu brzegowego,
2 2
N + f = 0, µ = u , N = EAµ, + warunki brzegowe, np. u|x = 0 = u* , N|x = L = t* ,
(W)  słabe, wariacyjne (całkowe) sformułowanie problemu brzegowego,
´µNds = ´uf ds + (´uN)|x = L Ò! ´µEAµds = w f ds + wt* , wx) a" ´u(x),
(
+" +" +" +"
L L L L
(G)  aproksymacja metodą Galerkina  metoda residuów ważonych,
2 2
u(x) = N(x)q, wx) = N(x)´q, µ(x) = N(x)q = B(x)q, ´µ(x) = N(x)´q = B(x)´q,
(
(M)  macierzowe sformułowanie równań.
Kq = p.
Równoważność i odpowiedniość:
(S) ) H" (G) ) .
Ô! (W Ô! (M

ciągły dyskretny
WILiŚ Politechnika Gdańska
J. Chróścielewski, M.Miśkiewicz, W. Witkowski: KMBiM W01A/53
Metoda Elementów Skończonych Studium magisterskie
Dziękuję za uwagę
cdn.
WILiŚ Politechnika Gdańska
J.Chróścielewski, M.Miśkiewicz, W.Witkowski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów