Metoda Elementów Skończonych Studium magisterskie
Formalne sformułowanie MES
zależności macierzowe
WYKA
AD 6
Wersja elektroniczna, http://www.okno.pg.gda.pl.
Literatura
GOMULIC
SKI A., WITKOWSKI M.: Mechanika Budowli. Kurs dla zaawansowanych. Oficyna Wydawnicza Politechniki
Warszawskiej, Warszawa 1993. Rozdz. 4.3  4.5, str. 99  108.
KLEIBER M.: Wprowadzenie do metody elementów skończonych. PAN IPPT, PWN Warszawa  Poznań 1989.
Rozdz. 5, str. 59  91.
CHRÓŚCIELEWSKI J., MAKOWSKI J., PIETRASZKIEWICZ W.: Statyka i Dynamika Powłok wielogałęziowych.
Nieliniowa teoria i metoda elementów skończonych. Wydawnictwo IPPT PAN, Warszawa2004,
Rozdz. 5.2, str. 364  389.
WILiŚ Politechnika Gdańska
J.Chróścielewski, M.Miśkiewicz, W.Witkowski: Katedra Mechaniki Budowli i Mostów
MES macierzowe zależności elementowe, 3D
Podsumowanie

Aproksymację w MES u(x) a" uh(xh)"Uh, xh"Bh rozwiązania u(x)"U , x"B, wykonuje się
oddzielnie w obszarze domkniętym B(e) *""B(e) każdego typowego elementu (e).
W MES podstawą jest interpolacja przeprowadzana poprzez zbiór wartości funkcji uaa" u(xa)
w N(e) węzłach pojedynczego elementu {xa"B(e)*""B(e), a =1,2,..., N(e)},
gdzie: xa jest tablicą nazywaną wektorem współrzędnych węzła a "{1,2,..., N(e)}.
Interpolacja standardowa pół wektorowych, takich jak wektor:
geometrii (dziedzina) x " B �" E3,
przemieszczeń (niewiadome) u(x) = ui (x)ei , i =1,2,3, u" E3,
wirtualnych przemieszczeń (wariacji) �u(x) = �ui (x)ei, i =1,2,3, �u" E3
opiera się najczęściej na jednoczesnym i jednakowym interpolowaniu ich wszystkich składowych w R3.
WILiŚ Politechnika Gdańska
J. Chróścielewski, M.Miśkiewicz, W. Witkowski: KMBiM W06A/4
MES macierzowe zależności elementowe, 3D
Interpolacja geometrii (dziedzina) x = xiei , i =1,2,3, x " B �" E3 �!Ż# " R3 ma postać:
x
N(e)

x = Na (�)xa = N(e)(�)x(e) , � "Ą(e)*""Ą(e), e =1,2,...,M ,
"
a=1
gdzie
x1
ż# �#
x
Ą# ń#
Na(�) 0 0 xa
ż# �#
�# �#
x2
ó# Ą#
y
Ą#N1(�) N2(�) ...NN (�)ń# ,
N(e)(�) = x(e)=�# �#, Na(�)= 0 Na (�) 0 , xa=�#ya �#.
�# Ź# �# Ź#
(e) ó# Ą#
Ł# Ś#
...
z
�# �# �#z �#
ó#
0 0 Na(�)Ą#
�# a �#
Ł# Ś#
�# �#
(e)
�#xN �#
x(e) i xa (kolumny współczynników) nazywane są
 wektorami geometrii elementu (e) i węzła a "{1,2,..., N(e)}.
N(e) i Na (tablice funkcyjne) nazywane są
 macierzami kształtu elementu (e) i węzła a "{1,2,..., N(e)}.
g
Na (�), g = x, y, z wielomiany interpolacyjne w MES (wyrazy macierzy kształtu) nazywane są
 funkcjami kształtu dla geometrii.
WILiŚ Politechnika Gdańska
J. Chróścielewski, M.Miśkiewicz, W. Witkowski: KMBiM W06A/8
MES macierzowe zależności elementowe, 3D
Relacja między parametryzacjami: wzorcową w Rn i fizyczną w Em:
element wzorcowy Ą(e)*""Ą(e) " � x(s) �! x(�)" B(e)*" "B(e) element fizyczny.
( )
Element strukturalny
(powłokowy m = 3, n = 2, DOF = 6)
Element kontynualny (3D, m = n = 3)
Uwaga. W elementach strukturalnych (m > n) relacja
� = � nie jest trywialna i wymaga
x(s)
()
dodatkowych równań, jednak najczęściej nie
jest ona wymagana i potrzebna bezpośrednio.
WILiŚ Politechnika Gdańska
J. Chróścielewski, M.Miśkiewicz, W. Witkowski: KMBiM W06A/12
MES macierzowe zależności elementowe, 3D
Interpolacja pola przemieszczeń u(x) = ui(x)ei, i =1,2,3, u" E3 �!Ż#
u(x)" R3
N(e)

u(x) = Na(x)ua = N(e)(x)u(e) , u(x)"Uh , x(�)" B(e)*" "B(e), � "Ą(e)*""Ą(e), e =1,2,...,M ,
"
a=1
gdzie
u1
ż# �#
u
Ą# ń#
Na(x) 0 0 ua
ż# �#
�# �#
u2
ó# Ą#, ua=�#va �#.
v
Ą#N1(x) N2(x) ...NN (x)ń#,
N(e)(x) = u(e)=�# �#, Na(x)= 0 Na(x) 0
�# Ź# �# Ź#
(e) ó# Ą#
Ł# Ś#

w
�# �# �#w �#
ó#
00 Na (x)Ą#
�# a �#
Ł# Ś#
�# �#
(e)
�#uN �#
Kolumny współczynników u(e) i ua nazywane są wektorami przemieszczeń elementu (e) i węzła a .
u(e) stanowi wektor parametrów węzłowych elementu (stopni swobody elementu, ua węzła),
czyli wartości uaa" u(xa), jakie przybiera interpolowana funkcja w węzłach xa elementu (e).
ss
Wielomiany interpolacyjne Na x(�) a" Na (�), s = u,v,w są funkcjami kształtu dla przemieszczeń.
()
Uwaga Jeśli w wektorach u(e) i ua występują składowe poza translacyjne (np. pochodne, obroty, lub inne)
u(e), ua nazywamy wektorami uogólnionych przemieszczeń elementu, węzła.
WILiŚ Politechnika Gdańska
J. Chróścielewski, M.Miśkiewicz, W. Witkowski: KMBiM W06A/16
MES macierzowe zależności elementowe, 3D
Przypomnienie
Uwaga w zależności od zastosowanego sposobu interpolacji: U
x

x = N(e)(�)x(e)  wektora geometrii (dziedzina) � "Ą(e)*""Ą(e),

u = Nu (�)u(e)  pola przesunięć (niewiadomych), � "Ą(e)*""Ą(e)
(e)
a) jednakowy niewiadomych u i geometrii x  elementy izoparametryczne,
b) bogatszy niewiadomych u od geometrii x  elementy subparametryczne,
c) dokładniejszy geometri x od niewiadomych u  elementy superparametryczne.
WILiŚ Politechnika Gdańska
J. Chróścielewski, M.Miśkiewicz, W. Witkowski: KMBiM W06A/20
MES macierzowe zależności elementowe, 3D
Interpolacja pola przemieszczeń wirtualnych �u(x) = �ui (x)ei, i =1,2,3, �u" E3 �!Ż#
�u(x)"R3
Uwaga 1. Formalnie wirtualne przemieszczenia typu translacyjnego �u a" w są elementem przestrzeni stycznej
do C(B, E3) w punkcie u. Jednak przestrzenie TuC(B, E3) = C(BTuE3) i przestrzeń styczna TuE3 do
,
przestrzeni wektorowej E3 w dowolnym punkcie są kanonicznie izomorficzne z samą przestrzenią E3,
można stwierdzić, że �u a" w "C(B, E3) i zapisać �u a" w " E3. Podsumowując:
�u a" w "TuC(B, E3) ale TuC(B, E3) = C(B,TuE3) <" TuE3 <" E3 �! �u a" w " E3.
Uwaga 2. Powyższa uwaga (wniosek) nie obowiązuje w ogólnym przypadku
skończonych przemieszczeń typu rotacyjnego.
WILiŚ Politechnika Gdańska
J. Chróścielewski, M.Miśkiewicz, W. Witkowski: KMBiM W06A/22
MES macierzowe zależności elementowe, 3D
Interpolacja pola przemieszczeń wirtualnych �u(x) = �ui (x)ei, i =1,2,3, �u" E3 �!Ż#
�u(x)"R3
Uwaga 1. (podsumowanie)
�u a" w "TuC(B, E3) ale TuC(B, E3) = C(B,TuE3) <" TuE3 <" E3 �! �u a" w " E3,

wynika, że funkcja interpolacyjna wirtualny przemieszczeń �u a" w będzie konstruowana

w taki sam sposób jak funkcja przemieszczeń u stąd:
N(e)

�u(x) = Na(x)�ua = N(e)(x)�u(e) , �u(x)"TuUh , x(�)" B(e)*" "B(e), � "Ą(e)*""Ą(e), e =1,2,...,M ,

"
a=1
gdzie
�u1
ż# �#
u
Ą# ń#
Na(x) 0 0 �ua
ż# �#
�#
�u2 �#
�#, Na(x)= ó# Ą#, �ua=�#�va �#,
v
Ą#N1(x) N2(x) ...NN (x)ń#,
N(e)(x) = �u(e)=�# 0 Na(x) 0
�# Ź# �# Ź#
(e) ó# Ą#
Ł#Ś#

w
�# �# �#�w �#
ó#
00 Na (x)Ą#
�# a �#
Ł# Ś#
�#
(e)
�#�uN �#
�#
tutaj macierze N(e) i Na oraz funkcje kształtu Na (x), a =1,2,..., N , są takie same jak dla przemieszczeń.
�u(e) i �ua nazywane są wektorami wirtualnych przemieszczeń elementu (e) i węzła a .
WILiŚ Politechnika Gdańska
J. Chróścielewski, M.Miśkiewicz, W. Witkowski: KMBiM W06A/25
MES macierzowe zależności elementowe, 3D
Aproksymacja odkształceń i wirtualnych odkształceń
Aproksymacja odkształceń (liniowych) w ramach elementu B(e) wykonuje się z definicji � = Du

wykorzystując aproksymację pola przemieszczeń u = N(e)(x)u(e), przyjmuje ona postać:

�(x) = Du(x) = DN(e)(x)u(e) = B(e)(x)u(e) , x(�)" B(e)*""B(e), � "Ą(e)*""Ą(e), e =1,2,...,M ,

analogicznie aproksymuje się wirtualne odkształcenia z definicji �� = D�u, wykorzystując�u = N(e)(x)�u(e):
��(x) = B(e)(x)�u(e) , x(�)" B(e)*""B(e), e =1,2,...,M ,
gdzie B(e)= DN(e) = [B1...Ba ...BN ] = [DN1...DNa ...DNN ] nosi nazwę macierzy odkształceń.
( e ) ( e )
Macierz odkształceń dla węzła a =1,2,..., N(e) ma postać:
u
"(.) "x 0 0 Ą# ń#
"Na "x 00
Ą#ń#
ó# Ą#
ó#Ą#
v
0 "(.) "y 0
0 "Na "y 0
u
ó# Ą#
ó#Ą#
Ą#ń#
Na(x) 0 0
w
ó#
ó# 00 "(.) "zĄ#
00 "Na "zĄ#
ó#Ą#
v
Ba= DNa= 0 Na(x) 0 =
ó# Ą#.
ó#
vw
0 "(.) "z "(.) "yĄ# ó#Ą#
0 "Na "z "Na "yĄ#
w
ó#Ą#
ó#Ś#
00 Na (x)Ą# ó#
uw
Ł#
ó#"Na "z 0 "Na "xĄ#
ó#Ą#
"(.) "z 0 "(.) "x
ó# Ą#
ó#Ą#
uv
"y "Na "x 0
ó# Ą#
Ł#"(.) "y "(.) "x 0 Ś#
Ł#"Na Ś#
WILiŚ Politechnika Gdańska
J. Chróścielewski, M.Miśkiewicz, W. Witkowski: KMBiM W06A/29
MES macierzowe zależności elementowe, 3D
Doboru funkcji kształtu
Funkcje kształtu Na muszą spełniać następujące, obowiązujące dla interpolacji, dwa warunki:
1 dla a = b,
ż#
N(e)
w węzłach: Na(xb) = a,b = 1,2,..., N(e), w elemencie: Na (x) =1, xa,x "B(e)*""B(e) .
�#
"
a=1
�#0 dla a `" b,
Funkcje kształtu oraz ich dobór odgrywa kluczowa rolę w MES i decyduje o zbieżności samej metody.
Ciągłość funkcji:
klasa C0  tylko ciągłość samej funkcji bez ciągłości jej pochodnych;
klasa Cn  oznacza ciągłość funkcji do n - tej pochodnej włącznie.
Ponadto w MES przy wymogu ciągłości funkcji Cn (nawet osłabionym)
wymagać będziemy aby:
kolejna pochodna funkcji n +1 była ograniczona.
WILiŚ Politechnika Gdańska
J. Chróścielewski, M.Miśkiewicz, W. Witkowski: KMBiM W06A/31
MES macierzowe zależności elementowe, 3D
Kryteria doboru funkcji kształtu:
a) kryterium ciągłości przemieszczeń: funkcje kształtu powinny zapewniać
ciągłość przemieszczeń wewnątrz elementu oraz ich zgodność na granicach elementów;
b) kryterium ruchu sztywnego: przy ruchu sztywnym elementu,
wewnątrz elementu skończonego (ciała) nie mogą powstać odkształcenia i naprężenia;
c) kryterium stałych odkształcenia: funkcje kształtu muszą zapewniać (zawierać składniki)
realizację stanu stałego odkształcenia (naprężenia) wewnątrz elementu skończonego.
Kryterium a) nazywane jest warunkiem zgodności, zaś
b) i c) warunkami zupełności modelu MES. .
Elementy spełniające wymienione wyżej kryteria nazywamy elementami dostosowanymi.
Jeśli któreś z tych kryteriów jest niespełnione, używamy nazwy elementy niedostosowane.
Funkcje kształtu, powinny także spełniać warunek tzw. geometrycznej izotropii i niezmienniczości
(choć nie zawsze kiedy ma to miejsce z założenia) względem różnych układów współrzędnych.
Stosuje się składniki (jednomiany) parami symetryczne (np. składniki: x2y, x3y2 "! xy2, x2y3).
WILiŚ Politechnika Gdańska
J. Chróścielewski, M.Miśkiewicz, W. Witkowski: KMBiM W06A/37
MES macierzowe zależności elementowe, 3D
Uwaga. Podnoszenie dokładności i badanie zbieżności rozwiązań
W badaniu zbieżności typu h:
przez zagęszczenie siatki
podziału, wskazane jest
ustalenie reguł zagęszczania,
przy ustalonym rzędzie elementu.
Badanie zbieżności typu p:
przez podnoszenie rzędu
funkcji kształtu (elementu),
przy ustalonej liczbie elementów.
Poprawianie rozwiązań typu r:
tylko tam lokalnego zagęszczenia
siatki, gdzie zachodzi taka potrzeba,
wymaga stosowania specjalnych
elementów przejściowych lub
innych technik ,,sklejania funkcji.
WILiŚ Politechnika Gdańska
J. Chróścielewski, M.Miśkiewicz, W. Witkowski: KMBiM W06A/41
MES macierzowe zależności elementowe, 3D
Uwaga. Zbieżność rozwiązań elementów nie  i dostosowanych
Klasyczne przemieszczeniowe elementy dostosowane (zgodne i zupełne) mają własność
monotonicznej zbieżności od dołu do rozwiązania ścisłego ze wzrostem liczby elementów.
W wielu przypadkach (np. skomplikowanych elementów płytowych i powłokowych klasy C1),
przy formułowaniu elementów wygodnie jest zrezygnować z pełnej zgodności.
Takie elementy niedostosowane ze wzrostem liczby elementów wykazują
zbieżność rozwiązań bez wyraz
nego charakteru monotonicznego, zarówno od góry jak i od dołu.
Także może być zbieżność do wyniku błędnego, np. gdy kryterium stałych odkształceń nie jest spełnione.
Przydatność elementów testuje się na przykładach dla których znane są wyniki dokładne (tzw. pach testy).
WILiŚ Politechnika Gdańska
J. Chróścielewski, M.Miśkiewicz, W. Witkowski: KMBiM W06A/45
MES macierzowe zależności elementowe, 3D
Doboru funkcji kształtu w MES:
w porównaniu z metodą Rayleigha-Ritza (R-R), dobór funkcji aproksymacyjnych tj. zlokalizowanych wielomianów
interpolacyjnych Na jest stosunkowo prosty i dotycz  małego ograniczonego obszaru dziedziny (elementu);
nie zależy, jak w metodzie R-R, od kształtu całej dziedziny problemu B (czyli zawsze od konkretnego zadania);
zależy od kształtu elementu przyjętego przez nas(!) (najczęściej bardzo prostego), niezależnie od dziedziny
konkretnego zadania, a zatem obowiązującego w całej klasie zadań.
WILiŚ Politechnika Gdańska
J. Chróścielewski, M.Miśkiewicz, W. Witkowski: KMBiM W06A/48
MES macierzowe zależności globalne, 3D
Zapis aproksymacji MES dla całej dziedziny
Interpolację MES przeprowadza się w ramach pojedynczego elementu B(e) i dotyczy ograniczonego obszaru B.
Formułę dla całej dziedziny B otrzymujemy się, niezależny od elementów, zestawiając wszystkie parametry
węzłowe uaa" u(xa) z obszaru całej dziedziny xa"Bh tworząc (wymiaru h )
u1
ż# �#
ua
ż# �#
�#u �#
wektor uogólnionych przemieszczeń węzłowych układu: q =�# 2 �#, ua=�#va �#, a =1,2,..., N .
�# Ź# �# Ź#

�# �# �#w �#
�# a �#
�#uN �#
�# �#
WILiŚ Politechnika Gdańska
J. Chróścielewski, M.Miśkiewicz, W. Witkowski: KMBiM W06B/2
MES macierzowe zależności globalne, 3D
Zapis aproksymacji MES dla całej dziedziny
Interpolację MES przeprowadza się w ramach pojedynczego elementu B(e) i dotyczy ograniczonego obszaru B.
Formułę dla całej dziedziny B otrzymujemy się, niezależny od elementów, zestawiając wszystkie parametry
węzłowe uaa" u(xa) z obszaru całej dziedziny xa"Bh tworząc (wymiaru h )
u1
ż# �#
ua
ż# �#
�#u �#
wektor uogólnionych przemieszczeń węzłowych układu: q =�# 2 �#, ua=�#va �#, a =1,2,..., N .
�# Ź# �# Ź#

�# �# �#w �#
�# a �#
�#uN �#
�# �#
Jednocześnie definiuje się dla każdego elementu (e) relację pomiędzy q u(e) nazywaną
ekstrakcją u(e)= A(e)q.
Uwaga. Dla formułowanych w układzie lokalnym elementów strukturalnych, wymagana jest dodatkowa
globalne
transformacja: ulokalne = T(e)u(e), T(e) : u(e) ulokalne,
(e) (e)
wektora uogólnionych przemieszczeń elementowych z układu globalnego do lokalnego.
WILiŚ Politechnika Gdańska
J. Chróścielewski, M.Miśkiewicz, W. Witkowski: KMBiM W06B/4
MES macierzowe zależności globalne, 3D
Ekstrakcję określa formalnie zerojedynkowa macierz Boole a, tzw.
macierz incydencji A(e) : q u(e) .
WILiŚ Politechnika Gdańska
J. Chróścielewski, M.Miśkiewicz, W. Witkowski: KMBiM W06B/6
MES macierzowe zależności globalne, 3D
Ekstrakcję określa formalnie zerojedynkowa macierz Boole a, tzw.
macierz incydencji A(e) : q u(e) .
Np. element 3 węzłowy ( N(e)= 3), którego kolejne węzły {1,2,3} z numeracji lokalnej u(e)
mają przyporządkowane numery {c,a,b} z numeracji globalnej q, ma ona postać
u1
ż# �#
�# �#

�# �#
�#ua �#
�# �#
u1 uc 0 ...0 ...0 ...1 ...0 100 000
ż# �# ż# �# Ą#ń# Ą# ń# Ą# ń#
�# �#
�#u �# �#u �#ó#0
ó#010Ą# ó#000Ą#
ekstrakcja: u(e)=a"= ...1 ...0 ...0 ...0Ą# �#ub �# = A(e)q, gdzie 1= , 0 = .
�# Ź# �# Ź#ó#Ą# �# Ź#
2 a
ó# Ą# ó# Ą#
�#u �# �#u �#ó#0 ...0 ...1 ...0 ...0Ą#
�# �#
ó#001Ą# ó#000Ą#
�# 3 �# �# b �# Ł#Ś# Ł# Ś# Ł# Ś#
�# �#
numeracja numeracja
uc
1... a ...b ... c ... N �# �#
lokalna globalna


�# �#
macierz incydencji A(e)

�# �#
�#uN �#
�# �#
Aproksymacja przemieszczeń i wirtualnych przemieszczeń na całym obszarze x "Bh ,
otrzymuje się określając przynależność x do obszaru konkretnego elementu skończonego (e):

x"(B(e)*""B(e)) )" (Bh*""Bh) �! (e) �! uh(x) a" u(x) = N(e)(x) A(e)q, �uh(x) a" �u(x) = N(e)(x) A(e)�q.
WILiŚ Politechnika Gdańska
J. Chróścielewski, M.Miśkiewicz, W. Witkowski: KMBiM W06B/9
MES macierzowe zależności globalne, 3D
Aproksymacja MES zasady wirtualnych przemieszczeń
Uwaga. Całkowanie po całym obszarze B, przy przyjętych założeniach dot. rozdziału dziedziny na elementy,
formalnie można zastąpić sumą całek po podobszarach B(e) pod warunkiem, że
funkcje podcałkowe spełniają odpowiednie warunki ciągłości na granicach tych podobszarów "B(e) :
�#
G[u;�u] = (D�u)TE(Du)dV - �uTfdV + �uTt*dAś#
ś#ź#
+"+" +"
BB "Bf
�# #
M
Ż#Ż# B(e) daje Ż#Ż#
rozdział dziedziny (domkniętej B ) na elementy skończone B =
*"
e=1
�uTt*dAś#
MM M
ś#ź#
+"*" (D�u)TE(Du)dV - �#+"*" �uTfdV + +"*"
B(e) B(e) ("B(e) )""Bf )
e=1 �# e=1 e=1 #
M
= �uTt*dAś#
ś#ź#
"�# (D�u)TE(Du)dV - ( �uTfdV +
+"+" +"
B(e) B(e) "B(e) )""Bf
�# #
e=1
M
=
"G [u;�u].
(e)
e=1
WILiŚ Politechnika Gdańska
J. Chróścielewski, M.Miśkiewicz, W. Witkowski: KMBiM W06B/14
MES macierzowe zależności globalne, 3D
Aproksymacja MES zasady wirtualnych przemieszczeń

Podstawienie do funkcjonału G[u;�u] aproksymowanej postaci rozwiązania u(x) i �u(x)
traktowanego jak suma całek po B(e) daje:
M
ś#ź#

G[uh;�uh] a" G[q;�q] = �uTt*dAś#ś#,
"�# (D�u)TE(Du)dV - �# �uTftdV +
ś#
+"+" +"
B(e) B(e) "B(e) )""Bf
�# #ź#
�# #
e=1

interpolacja u = N(e)(x)u(e) , �u = N(e)(x)�u(e) ,
M
= (N(e)�u(e))Tt*dAś#ś#,
ś#ź#
"�# (DN(e)�u(e))TE(DN(e)u(e))dV - �# (N(e)�u(e))T fdV +
ś#
+"+" +"
B(e) B(e) "B(e) )""Bf
�# #ź#
�# #
e=1
macierz odkształceń B(e)= DN(e) ,
M M
�#
T T
= NT t*dA = ,
{}
�#ó# B(e) Ź#
"�u ż#Ą# BT EB(e)dV ń#u - NT fdV + "�u K(e)u(e) - r(e)
(e) (e) (e) (e)
{
+"+" +" }
B(e) (e) "B(e) )""Bf (e)
Ł#Ą#
Ś#
�#�#
e=1 e=1
ekstrakcją u(e)= A(e)q, �u(e)= A(e)�q,
MM M M


=�qT Ą# e=1AT K(e)A(e) ń#q - AT r(e) =�qT Ą# e=1K(e) ń#q - r(e) =�qT Kq - r = 0,
{}
"{" } " {" }
( (e) (e) ) ( )
e=1 e=1
Ł#Ś# Ł# Ś#
rozwiązanie "�q`"0 �! Kq = r �! q = K-1r .
WILiŚ Politechnika Gdańska
J. Chróścielewski, M.Miśkiewicz, W. Witkowski: KMBiM W06B/19
MES macierzowe zależności globalne, 3D
Aproksymacja MES zasady wirtualnych przemieszczeń
W wyniku przekształceń otrzymuje się,
na poziomie elementu:
T
K(e)= (DN(e))TE(DN(e))dV = B(e)EB(e)dV  (lokalna) macierz sztywności elementu,
+"+"
B(e) B(e)
r(e) = NT fdV + NT t*dA  (lokalny) wektor obciążeń elementowych;
+"+"
B(e) (e) "B(e) )""Bf (e)
na poziomie konstrukcji (układu):
agregacja
M
M

K = K(e) a" K(e) , K(e) = AT K(e)A(e),  (globalna) macierz sztywności,
" (e)
A
e=1
e=1
agregacja
M
M

r = r(e) a" r(e) = AT r(e)  (globalny) wektor obciążeń elementowych.
r(e) ,
"
(e)
A
e=1
e=1
Sumowania macierzy o różnych wymiarach K , r i K(e) , r(e), bez formalnego udziału macierzy A(e), nazywamy
M M
agregacją K = K(e), r = r(e) .
A A
e=1 e=1
WILiŚ Politechnika Gdańska
J. Chróścielewski, M.Miśkiewicz, W. Witkowski: KMBiM W06B/22
MES macierzowe zależności globalne, 3D
Aproksymacja MES zasady wirtualnych przemieszczeń
Sumowania macierzy o różnych wymiarach K , r i K(e) , r(e), bez formalnego udziału macierzy A(e), nazywamy
M M
agregacją K = K(e), r = r(e) .
A A
e=1 e=1
Tablica incydencji:
2 1 4 5 1
Ą# ń#Ą# ń#
ó#
3 2 5 6Ą#ó#2Ą#
ó# Ą#ó# Ą#
IC =�!
ó#5 4 7 8 Ą#ó#3Ą#
ó#6 5 8 9 Ą#ó#4Ą#
ó# Ą#ó# Ą#
Ł# Ś#Ł# Ś#


nr. elementów
nr. węzłów globalnych
Operacja agregacji powiązana jest często z jednoczesnym usunięciem równań, na które nałożone są
jednorodne warunkom brzegowym (q* = 0, na ("Bd )h ).
WILiŚ Politechnika Gdańska
J. Chróścielewski, M.Miśkiewicz, W. Witkowski: KMBiM W06B/24
MES macierzowe zależności globalne, 3D
Aproksymacja MES zasady wirtualnych przemieszczeń
Warunek stacjonarności G[q;�q] = 0 (przy dowolnym "�q`"0 ) prowadzi do układu h równań algebraicznych na

parametry węzłowe q i w konsekwencji poszukiwane pole u(x):

G[q;�q] = �qT Kq - r = 0 �! "�q`"0 �! Kq = r �! q = K-1r �! u(x) = N(e)(x) A(e) q.
{}
Uwaga. Odwrócenie (formalne) globalnej macierzy sztywności K-1 (rozwiązanie układu równań algebraicznych)
wymaga uwzględnienia warunków brzegowych, inaczej układ jest osobliwy.
Uwaga. Pokazane formalne przekształcenie jest równoważne funkcjonałowi wyjściowemu G[u;�u]
pod warunkiem, że funkcja uh(x) wraz z (n - 1)  szymi pochodnymi w ogólnym przypadku jest ciągła
w całym obszarze x " Bh (gdzie n jest rzędem różniczkowalności wymaganym przez sformułowanie

wariacyjne) i różniczkowalna do rzędu n wewnątrz wszystkich podobszarów (w elementach tj. u(x)
x " B(e), e =1,2,...,M ).
Nie zachodzi potrzeba zakładania różniczkowalności uh(x) rzędu n na brzegach między elementami
x""B(ef )= B(e))" B(f ), przy przejściu z elementu (e) na sąsiadujący element (f ) w ramach wspólnego
brzegu, wystarczy, że pochodna rzędu n funkcji podcałkowej na styku jest skończona.
WILiŚ Politechnika Gdańska
J. Chróścielewski, M.Miśkiewicz, W. Witkowski: KMBiM W06B/28
MES macierzowe zależności globalne, 3D
Podsumowanie: porównanie MES i metody Rayleigha Ritza (RR)
a) Analogiem wektora uogólnionych przemieszczeń węzłowych układu q z MES
jest wektora współrzędnych uogólnionych a z metody RR.
b) Odpowiednikiem macierzy h(x) z metody RR w obszarze (dziedzinie) x "B(e)*""B(e) elementu (e)
jest iloczyn N(e)(x) A(e) w MES.
c) W przypadku interpolacji stosowanej w MES nie występuje trudności z doborem funkcji
aproksymacyjnych (funkcji kształtu) Na(x) w dziedzinie element x "B(e)*""B(e).
d) W metodzie RR, trudność c) poza każdorazową potrzebą uwzględniania całego kształtu dziedziny B,
miała jeszcze z
ródło w zróżnicowaniu kinematycznych warunków brzegowych na "Bd
dla pól niewiadomych u (niejednorodnych u = u*) i wirtualnych �u (jednorodnych �u = 0).
e) W MES warunki brzegowe uwzględnia się bezpośrednio w wektorach dyskretnych q i �q
podstawiając odpowiednie wartości w węzłach a położonych na brzegu xa "("Bd )h.
f) Zastosowanie funkcji zlokalizowanych w MES wykazuje szereg innych zalet i możliwości
(w szczególności niezależnej lokalnej analizy na poziomie elementu).
WILiŚ Politechnika Gdańska
J. Chróścielewski, M.Miśkiewicz, W. Witkowski: KMBiM W06B/34
Metoda Elementów Skończonych Studium magisterskie
Dziękuję za uwagę
cdn.
WILiŚ Politechnika Gdańska
J.Chróścielewski, M.Miśkiewicz, W.Witkowski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów