MECHANIKA BUDOWLI
I KONSTRUKCJI
wykład nr7 i 8
" Pojęcie momentu zginającego, siły
poprzecznej, siły podłużnej.
" Analityczne wyznaczanie sił wewnętrznych
w belce prostej i sporządzanie ich
wykresów.
M e c h a n i k a B u d o w l i i K o n s t r u k c j i Wykład nr7 i 8
SIA
Y WEWN
TRZNE W UKA
ADACH PR
TOWYCH PA
ASKICH
Przez pręt, w dowolnym jego miejscu na jego długości, można poprowadzić przekrój "-".
Jeżeli pręt przetniemy przekrojem "-" na dwie części, to w celu zapewnienia równowagi obu
części wzajemne ich oddziaływanie trzeba zastąpić odpowiednimi siłami zaczepionymi w tym
przekroju, zwanymi siłami wewnętrznymi.
M e c h a n i k a B u d o w l i i K o n s t r u k c j i Wykład nr7 i 8
SIA
Y WEWN
TRZNE W UKA
ADACH PR
TOWYCH PA
ASKICH
W dowolnym przekroju pręta, którego oś leży w płaszczyz
nie oraz obciążenia działają w tej
płaszczyz
nie, występują trzy rodzaje sił wewnętrznych:
" siła podłużna ,
"
" siła poprzeczna ( ),
" "
" moment zginający .
"
Każda z wydzielonych części znajduje się w równowadze pod działaniem sił zewnętrznych
działających na daną część i sił wewnętrznych w przekroju "-".
M e c h a n i k a B u d o w l i i K o n s t r u k c j i Wykład nr7 i 8
SIA
Y WEWN
TRZNE W UKA
ADACH PR
TOWYCH PA
ASKICH
Siła podłużna w myślowym przekroju "-" równa się sumie algebraicznej rzutów wszystkich sił
działających po jednej stronie przekroju na kierunek stycznej do osi pręta w tym przekroju.
" = 0 + =0 (lewa strona przekroju)
"
Siła poprzeczna w myślowym przekroju "-" równa się sumie algebraicznej rzutów wszystkich sił
działających po jednej stronie przekroju na kierunek prostopadły do osi pręta w tym przekroju.
" = 0 - - =0 (lewa strona przekroju)
"
Moment zginający w myślowym przekroju "-" równa się sumie algebraicznej momentów
statycznych wszystkich sił położonych po jednej stronie przekroju względem środka ciężkości tego
przekroju.
" = 0 - - - = 0 (lewa strona przekroju)
"
M e c h a n i k a B u d o w l i i K o n s t r u k c j i Wykład nr7 i 8
SIA
Y WEWN
TRZNE W UKA
ADACH PR
TOWYCH PA
ASKICH
Zasada znakowania sił wewnętrznych
M e c h a n i k a B u d o w l i i K o n s t r u k c j i Wykład nr7 i 8
ZALEŻNOŚCI RÓŻNICZKOWE MI
DZY SIA
MI WEWNETRZNYMI
I OBCI
ŻENIEM
Belka obciążona jest obciążeniem rozłożonym
liniowo q [kN/m].
Z belki tej można wyciąć elementarny odcinek
o długości "x leżący między przekrojami a i b.
W przekroju a wystąpią: moment zginający M, siła
poprzeczna V i siła podłużna N.
W przekroju b wystąpią natomiast: moment
zginający M+ " M, siła poprzeczna V+ " i siła
podłużna N+"N.
Wypadkowa obciążeniem znajduje się w połowie
odcinka "x i ma wartość q"x.
M e c h a n i k a B u d o w l i i K o n s t r u k c j i Wykład nr7 i 8
ZALEŻNOŚCI RÓŻNICZKOWE MI
DZY SIA
MI WEWNETRZNYMI
I OBCI
ŻENIEM
Wszystkie siły: zewnętrzne (obciążenia)
i wewnętrzne, działające na wyciętej części belki
muszą spełniać warunki równowagi.
" Z warunków rzutów na oś pionową wynika:
V - (V+"V) - q"x = 0
"V = - q"x,
gdy "x dąży do zera ("x0), to otrzymuje się
zależność:
= - q .
Jest to zależność różniczkowa między siłą
poprzeczną a obciążeniem. Zależność ta oznacza,
że pierwsza pochodna siły poprzecznej równa się
obciążeniu jednostkowemu w tym przekroju
wziętym z odwrotnym znakiem.
M e c h a n i k a B u d o w l i i K o n s t r u k c j i Wykład nr7 i 8
ZALEŻNOŚCI RÓŻNICZKOWE MI
DZY SIA
MI WEWNETRZNYMI
I OBCI
ŻENIEM
" Warunek równowagi momentów względem
przekroju b:
"
M - (M+"M) +V "x - q"x " = 0
"M = V"x - q ("x) ,
( q ("x) - mała wartość, dlatego jest pomijana)
gdy "x dąży do zera ("x0), to otrzymuje się
zależność:
= V .
Jest to zależność różniczkowa między momentem
zginającym a siłą poprzeczną. Zależność ta
oznacza, że siła poprzeczna jest pochodną
momentu zginającego.
M e c h a n i k a B u d o w l i i K o n s t r u k c j i Wykład nr7 i 8
GRAFICZNE PRZEDSTAWIENIE SIA
WEWN
TRZNYCH
Siły wewnętrzne przedstawia się w sposób
graficzny  za pomocą wykresów.
Zgodnie z przyjętą konwencją, wartości
dodatnie momentów zginających umieszcza
się u spodu pręta, a ujemne po stronie
przeciwnej.
Wykresy sił poprzecznych (również sił
podłużnych) o wartościach dodatnich
zaznacza się u góry pręta, natomiast
wartości ujemne u spodu pręta.
M e c h a n i k a B u d o w l i i K o n s t r u k c j i Wykład nr7 i 8
GRAFICZNA INTERPRETACJA ZALEŻNOŚCI RÓŻNICZKOWYCH
" Obciążenie siłą skupioną P
Jeżeli wykres sił poprzecznych jest prostą poziomą,
to wykres momentów zginających jest opisany
równaniem prostej nachylonej.
W przypadku obciążenia siłą skupioną P w miejscu
jej przyłożenia wystąpi nieciągłość w wykresie sił
poprzecznych.
M e c h a n i k a B u d o w l i i K o n s t r u k c j i Wykład nr7 i 8
GRAFICZNA INTERPRETACJA ZALEŻNOŚCI RÓŻNICZKOWYCH
" Obciążenie rozłożone liniowo q
Jeżeli wykres sił poprzecznych jest prostą
o współczynniku kierunkowym, to wykres
momentów zginających jest opisany parabolą.
W celu znalezienia ekstremum dowolnej funkcji,
przyrównuje się pochodną do zera, a więc ekstrema
momentu zginającego znajdują się w miejscach
zerowania siły poprzecznej.
M e c h a n i k a B u d o w l i i K o n s t r u k c j i Wykład nr7 i 8
GRAFICZNA INTERPRETACJA ZALEŻNOŚCI RÓŻNICZKOWYCH
" Obciążenie momentem skupionym M
W przypadku działania momentu skupionego M,
w miejscu jego przyłożenia wystąpi nieciągłość na
wykresie momentów zginających.
M e c h a n i k a B u d o w l i i K o n s t r u k c j i Wykład nr7 i 8
WYZNACZANIE SIA
WEWN
TRZNYCH I SPORZ
DZANIE ICH WYKRESÓW
Zadanie
Wyznaczyć wartości sił wewnętrznych i sporządzić ich wykresy w belce jak na rysunku.
M e c h a n i k a B u d o w l i i K o n s t r u k c j i Wykład nr7 i 8
WYZNACZANIE SIA
WEWN
TRZNYCH I SPORZ
DZANIE ICH WYKRESÓW
Zadanie cd
" Wyznaczamy wartości reakcji podporowych
"
1. = 0 = 0 [kN]
"
2. = 0 + - P = 0 ó ą
"
3. =0 " - P" = 0
" l = P" /:l
= [kN]
4. powracamy do równania nr2
"
= 0 = - + P
= - + P
= [kN]
"
5. sprawdzenie =0 - " + P" = 0 = [kN]
M e c h a n i k a B u d o w l i i K o n s t r u k c j i Wykład nr7 i 8
WYZNACZANIE SIA
WEWN
TRZNYCH I SPORZ
DZANIE ICH WYKRESÓW
Zadanie cd
" Wyznaczamy wartości sił wewnętrznych (sił podłużnych, sił poprzecznych i momentów
zginających) w poszczególnych przedziałach belki.
Przedział AC, x"(0, )
siły podłużne
+ = 0 = - = 0 [kN]
siły poprzeczne
- + = 0
= = [kN]
momenty zginające
- + " x = 0
= " x
dla x=0 A = " 0 = 0 [kN"m]
dla x= C = " = " = " [kN"m]
M e c h a n i k a B u d o w l i i K o n s t r u k c j i Wykład nr7 i 8
WYZNACZANIE SIA
WEWN
TRZNYCH I SPORZ
DZANIE ICH WYKRESÓW
Zadanie cd
" Wyznaczamy wartości sił wewnętrznych (sił podłużnych, sił poprzecznych i momentów
zginających) w poszczególnych przedziałach belki.
Przedział CB, x"( ,l)
siły podłużne
+ = 0 = - = 0 [kN]
siły poprzeczne
- + - P = 0
= - P = - P = [kN]
momenty zginające
- + " x - P"(x - ) = 0
= " x - P"(x - )
dla x= = " - P" ( - ) = " = " [kN"m]
dla x=l B = " l - P" (l - ) = "l - P" = 0 [kN"m]
M e c h a n i k a B u d o w l i i K o n s t r u k c j i Wykład nr7 i 8
WYZNACZANIE SIA
WEWN
TRZNYCH I SPORZ
DZANIE ICH WYKRESÓW
Zadanie cd
" sporządzamy wykresy sił wewnętrznych
M e c h a n i k a B u d o w l i i K o n s t r u k c j i Wykład nr7 i 8
WYZNACZANIE SIA
WEWN
TRZNYCH I SPORZ
DZANIE ICH WYKRESÓW
Zadanie
Wyznaczyć wartości sił wewnętrznych i sporządzić ich wykresy w belce jak na rysunku.
M e c h a n i k a B u d o w l i i K o n s t r u k c j i Wykład nr7 i 8
WYZNACZANIE SIA
WEWN
TRZNYCH I SPORZ
DZANIE ICH WYKRESÓW
Zadanie cd
" Wyznaczamy wartości reakcji podporowych
"
1. = 0 = 0 [kN]
"
2. = 0 + - q" l = 0 ó ą
"
3. =0 " - q" " = 0
" l = q " /:l
= " [kN]
4. powracamy do równania nr2
"
= 0 = - + q"l
"
= - + q"l
= " [kN]
"
5. sprawdzenie =0 - " + q" " = 0 = " [kN]
M e c h a n i k a B u d o w l i i K o n s t r u k c j i Wykład nr7 i 8
WYZNACZANIE SIA
WEWN
TRZNYCH I SPORZ
DZANIE ICH WYKRESÓW
Zadanie cd
" Wyznaczamy wartości sił wewnętrznych (sił podłużnych, sił poprzecznych i momentów
zginających) w poszczególnych przedziałach belki.
Przedział AB, x"(0,l)
siły podłużne
+ = 0 = - = 0 [kN]
siły poprzeczne
- + - q" x = 0
= - q" x
dla x=0 A = - 0 = = " [kN]
"
dla x=l B = - q"l = " - q"l= - [kN]
momenty zginające
- + " x - q" x " = 0
= " x - q"
dla x=0 A = " 0 - q" = 0 [kN"m]
"
dla x=l B = " l - q" = " " l - q" = " - = 0 [kN"m]
M e c h a n i k a B u d o w l i i K o n s t r u k c j i Wykład nr7 i 8
WYZNACZANIE SIA
WEWN
TRZNYCH I SPORZ
DZANIE ICH WYKRESÓW
Zadanie cd
" sporządzamy wykresy sił wewnętrznych
ekstremum w przedziale AB
= 0
= - q"x
- q"x = 0
q"x =
q"x = " /:q
x = [m]
= " x - "
dla x = [m]
= " - " =
( )
= " "  q " = " - q" =
" "
= " - = " " - = " [kN"m]
M e c h a n i k a B u d o w l i i K o n s t r u k c j i Wykład nr7 i 8
WYZNACZANIE SIA
WEWN
TRZNYCH I SPORZ
DZANIE ICH WYKRESÓW
Zadanie
Wyznaczyć wartości sił wewnętrznych i sporządzić ich wykresy w belce jak na rysunku.
M e c h a n i k a B u d o w l i i K o n s t r u k c j i Wykład nr7 i 8
WYZNACZANIE SIA
WEWN
TRZNYCH I SPORZ
DZANIE ICH WYKRESÓW
Zadanie cd
" Wyznaczamy wartości reakcji podporowych
"
1. = 0 = 0 [kN]
"
2. = 0 + - q" 4  P = 0 ó ą
"
3. =0 " 5 - q" 4 " 3 - P"1 + M = 0
" 5 = q" 4 " 3 + P"1  M
" 5 = 5" 4 " 3 + 12"1  10
" 5 = 62
= 12,4 [kN]
4. powracamy do równania nr2
"
= 0 = - + q" 4 + P
= - 12,4 + 5" 4 + 12
= 19,6 [kN]
"
5. sprawdzenie =0 - " 5 + q" 4 " 2 + P" 4 + M = 0 = 19,6 [kN]
M e c h a n i k a B u d o w l i i K o n s t r u k c j i Wykład nr7 i 8
WYZNACZANIE SIA
WEWN
TRZNYCH I SPORZ
DZANIE ICH WYKRESÓW
Zadanie cd
" Wyznaczamy wartości sił wewnętrznych (sił podłużnych, sił poprzecznych i momentów
zginających) w poszczególnych przedziałach belki.
Przedział AC, x"(0,4)
siły podłużne
+ = 0 = - = 0 [kN]
siły poprzeczne
- + - q"x = 0
= - q"x
dla x=0 A = - q"x = 12,4 - 5"0 = 0 [kN]
dla x=4 C = - q"x = 12,4 - 5"4 = -7,6 [kN]
momenty zginające
- + " x - q"x = 0
= " x - "
dla x=0 A = " x - " = 12,4" 0 - 5" = 0 [kN"m]
dla x=4 C = " x - " = 12,4" 4 - 5" = 9,6 [kN"m]
M e c h a n i k a B u d o w l i i K o n s t r u k c j i Wykład nr7 i 8
WYZNACZANIE SIA
WEWN
TRZNYCH I SPORZ
DZANIE ICH WYKRESÓW
Zadanie cd
Przedział CB, x"(4,5)
siły podłużne
+ = 0 = - = 0 [kN]
siły poprzeczne
- + - q" 4 - P = 0
= - q" 4 - P
dla x=4 C = - q" 4 - P = 12,4 - 5"4 - 12 = -19,6 [kN]
dla x=5 B = - q" 4 - P = 12,4 - 5"4 - 12 = -19,6 [kN]
momenty zginające
- + " x - q" 4 "(x-2) - P"(x-4) = 0
= " x - q" 4 "(x-2) - P"(x-4)
dla x=4 C = " x - "4"(x-2)-P"(x-4) = 12,4"4 - 5"4"(4-2) -12"(4-4) = 9,6 [kN"m]
dla x=5 B = " x - "4"(x-2)-P"(x-4) = 12,4"5 - 5"4"(5-2) -12"(5-4) = -10 [kN"m]
M e c h a n i k a B u d o w l i i K o n s t r u k c j i Wykład nr7 i 8
WYZNACZANIE SIA
WEWN
TRZNYCH I SPORZ
DZANIE ICH WYKRESÓW
Zadanie cd
Przedział BD, x"(5,7)
siły podłużne
+ = 0 = - = 0 [kN]
siły poprzeczne
- + - q" 4 - P + = 0
= - q" 4 - P +
dla x=5 B = - q" 4 - P = 12,4 - 5"4 - 12 + 19,6 = 0 [kN]
dla x=7 D = - q" 4 - P = 12,4 - 5"4 - 12 + 19,6 = 0 [kN]
momenty zginające
- + " x - q" 4 "(x-2) - P"(x-4) + "(x-5) = 0
= " x - q" 4 "(x-2) - P"(x-4) + "(x-5)
dla x=5 B = " x - "4"(x-2)-P"(x-4) + "(x-5) = 12,4"5 - 5"4"(5-2) -12"(5-4) +
+ 19,6"(5-5)= -10 [kN"m]
dla x=7 D = " x - "4"(x-2)-P"(x-4) + "(x-5) = 12,4"7 - 5"4"(7-2) -12"(7-4) +
+ 19,6"(7-5)= -10 [kN"m]
M e c h a n i k a B u d o w l i i K o n s t r u k c j i Wykład nr7 i 8
WYZNACZANIE SIA
WEWN
TRZNYCH I SPORZ
DZANIE ICH WYKRESÓW
Zadanie cd
" sporządzamy wykresy sił wewnętrznych
ekstremum w przedziale AB
= 0
= - q"x
- q"x = 0
q"x =
5"x = 12,4 /:5
x = 2,48m
= " x - "
dla x = 2,48m
= " 2,48 - " , =
,
= 12,4"2,48  5 " =
= 15,4 [kN"m]