MECHANIKA BUDOWLI
I KONSTRUKCJI
wykład nr11
" Wyznaczanie przemieszczeń w belce
statycznie wyznaczalnej. Metoda Clebscha.
M e c h a n i k a B u d o w l i i K o n s t r u k c j i Wykład nr11
ODKSZTAA
CENIA BELEK ZGINANYCH
Jeżeli belka jest poddawana zginaniu, to jej oś zakrzywia się w płaszczyz
nie
obciążenia, środki ciężkości poszczególnych przekrojów poprzecznych
(wyznaczające oś belki) przemieszczają się w pionie (równolegle do osi pionowej),
oraz przekroje poprzeczne obracają się dookoła osi obojętnej.
Przemieszczenia środka ciężkości przekroju poprzecznego belki w pionie nazywa się
ugięciem i oznacza literą v.
Obroty poszczególnych przekrojów poprzecznych w stosunku do swoich pierwotnych
położeń określa się jako kąt obrotu oznacza literą .
M e c h a n i k a B u d o w l i i K o n s t r u k c j i Wykład nr11
RÓWNANIE RÓŻNICZKOWE OSI ODKSZTACONEJ
Między ugięciem v belki oraz jej momentem zginającym i sztywnością, tj. iloczynem
EI, zachodzi zależność różniczkowa:
``
= EI = ą ,
całkując raz powyższe równanie, otrzymuje się zależność określającą kąt obrotu:
`
= EI = + ,
a całkując dwa razy  zależność określającą ugięcie:
= + + [ dx],
gdzie: C,D  stałe całkowania zależne od warunków brzegowych.
Stałe całkowania mają następujące jednostki: C " , D " .
M e c h a n i k a B u d o w l i i K o n s t r u k c j i Wykład nr11
WARUNKI BRZEGOWE
Warunki brzegowe zależą od rodzaju podpór oraz ogólnego warunku ciągłości osi
odkształconej.
" Belka swobodnie podparta:
ugięcie na każdej podporze równa się zeru
= 0, = 0.
" Belka utwierdzona:
ugięcie w utwierdzeniu równa się zeru
= 0,
kąt obrotu w utwierdzeniu równa się zeru
= 0.
" Kąt obrotu przekroju poprzecznego równa się zeru ( = 0) w połowie długości
belki przy jej symetrycznym obciążeniu.
M e c h a n i k a B u d o w l i i K o n s t r u k c j i Wykład nr11
METODA CLEBSCHA
" Ugięcie obliczone z równania dla lewego przedziału obciążenia równa się ugięciu
obliczonemu dla przedziału prawego na każdej granicy przedziału.
" Kąt obrotu obliczony z równania dla lewego przedziału obciążenia równa się
kątowi obrotu przekroju obliczonemu z równania dla przedziału prawego na każdej
granicy przedziału.
Równanie ma różną postać na poszczególnych przedziałach belki o różniących się
obciążeniach. Jeżeli jest więc n takich przedziałów, to otrzymuje się n równań
różniczkowych oraz 2n stałych całkowania. Wyznaczenie tych stałych jest bardzo
pracochłonne. Obliczenia znacznie ułatwia się (ogranicza się do 2 liczba stałych
całkowania), przyjmując specjalny sposób zapisu wyrażenia określającego moment
zginający , nazywany metodą Clebscha.
M e c h a n i k a B u d o w l i i K o n s t r u k c j i Wykład nr11
METODA CLEBSCHA
Warunki, jakie powinny być spełnione dla metody Clebscha w przypadku belek
o stałej sztywności EI:
1. Początek układu współrzędnych przyjmuje się na jednym z końców belki.
M e c h a n i k a B u d o w l i i K o n s t r u k c j i Wykład nr11
METODA CLEBSCHA
2. Równanie momentu zginającego na wszystkich odcinkach belki zapisuje się
uwzględniając siły działające po jednej stronie przekroju. Zatem wszystkie wyrazy
z równania poprzedniego przedziału muszą być wprowadzone bez zmian do
równania momentu zginającego następnego przedziału.
W przypadku obciążenia ciągłego belkę, kończącego się w określonym punkcie belki,
niezbędne jest  przedłużenie tego odcinka do końca belki i jednoczesne dodanie na
tym odcinku obciążenia równoważącego (o zwrocie przeciwnym).
M e c h a n i k a B u d o w l i i K o n s t r u k c j i Wykład nr11
METODA CLEBSCHA
3. Wszystkie nowe wyrażenia wchodzące do równania rozpatrywanego
przedziału muszą zawierać mnożnik ( - ),
gdzie:
 odcięta danego przekroju,
 odcięta punktu początkowego danego odcinka.
4.Całkowanie wyrażeń zawierający dwumiany ( - ) należy wykonać względem
nowej zmiennej ( - ), czyli bez otwierania nawiasów, zgodnie z regułą:
( - ) = ( - ) ( - ) = ( ) + C.
M e c h a n i k a B u d o w l i i K o n s t r u k c j i Wykład nr11
METODA CLEBSCHA
Zasada całkowania:
( - )
( - ) = ( - ) ( - ) = + C.
+ 1
- = + C
- = + C = + C = + C
"
- = + C = + C = + C
"
M e c h a n i k a B u d o w l i i K o n s t r u k c j i Wykład nr11
METODA CLEBSCHA
5. Stałe całkowania, jako wspólne dla wszystkich odcinków, pisze się na początku
prawej strony równań.
6. Równanie zapisuje się od razu w odniesieniu do całej belki w takiej postaci, aby
pionowymi kreskami z odpowiednimi indeksami były zaznaczone granice przedziału
zmienności .
7. Jeżeli w równaniu występuje moment skupiony M, to przy tym momencie
zapisuje się mnożnik ( - ) , gdzie - odcięta punktu przyłożenia momentu
skupionego M.
M e c h a n i k a B u d o w l i i K o n s t r u k c j i Wykład nr11
METODA CLEBSCHA
Zadanie
Dana jest belka swobodnie podparta, obciążona równomiernie na całej długości. Wyznaczyć
ugięcie oraz kąt obrotu w połowie rozpiętości belki.
M e c h a n i k a B u d o w l i i K o n s t r u k c j i Wykład nr11
METODA CLEBSCHA
Zadanie cd
" Wyznaczamy wartości reakcji podporowych
"
1. = 0 = 0 [kN]
"
2. = 0 + - q" l = 0 ó ą
"
3. =0 " - q" " = 0
" l = q " /:l
= " [kN]
4. powracamy do równania nr2
"
= 0 = - + q"l
"
= - + q"l
= " [kN
M e c h a n i k a B u d o w l i i K o n s t r u k c j i Wykład nr11
METODA CLEBSCHA
Zadanie cd
Moment zginający w dowolnym przekroju - o odciętej x wyraża się zależnością:
= " x - q" = " - q" = (l"x - ).
1.Między ugięciem belki oraz jej momentem zginającym zachodzi zależność
różniczkowa:
``
|
= = (l"x - )
M e c h a n i k a B u d o w l i i K o n s t r u k c j i Wykład nr11
METODA CLEBSCHA
Zadanie cd
2.Pierwsza całka równania  kąt obrotu:
`
= = C + " - |
.
3.Druga całka równania  linia ugięcia:
|
= + " + " -
2 6 12
Stałe całkowania C i D określa się z warunków brzegowych:
" dla x=0 =0, stąd D=0,
" dla x=l =0, stąd " + " - =0
"
" + - =0, stąd = - .
M e c h a n i k a B u d o w l i i K o n s t r u k c j i Wykład nr11
METODA CLEBSCHA
Zadanie cd
Po podstawieniu stałych całkowania C i D równania odkształceń przyjmują postać:
" równanie kąta obrotu
`
= C + " - |
=
" " " " " "
= - + 1 - + ,
- " = -
" równanie linii ugięcia
|
= C" + " - =
" " " " "
= - " +
- " = - " 1 - + .
M e c h a n i k a B u d o w l i i K o n s t r u k c j i Wykład nr11
METODA CLEBSCHA
Zadanie cd
Wyznaczanie wartości kąta obrotu i ugięcia w połowie rozpiętości belki, czyli dla =
" kąta obrotu dla = :
" "
" " " "
`
= - " 1 - + = - " 1 - + =
" "
" "
- " 1 - + = - " 1 - + = 0 rad = 0�,
M e c h a n i k a B u d o w l i i K o n s t r u k c j i Wykład nr11
METODA CLEBSCHA
Zadanie cd
Dla belki stalowej o długości l=4,0 m, obciążeniu q=3,0 kN/m o przekroju dwuteowym I180
o wartości momentu bezwładności =1450 oraz wartości współczynnika sprężystości
podłużnej E=210 000 MPa  wartość ugięcia wynosi:
" " " "
" "
= - = - = - =
"
" , " " " " , " " "
3840 "
= - = -0,0033 = -0,33
1169280
M e c h a n i k a B u d o w l i i K o n s t r u k c j i Wykład nr11
METODA CLEBSCHA
Zadanie
Dana jest belka utwierdzona obciążona momentem skupionym M przyłożonym na jej końcu.
Wyznaczyć odkształcenia: kąt obrotu i ugięcie w punkcie przyłożenia obciążenia.
M e c h a n i k a B u d o w l i i K o n s t r u k c j i Wykład nr11
METODA CLEBSCHA
Zadanie cd
" Wyznaczamy wartości reakcji podporowych
"
1. = 0 = 0 [kN]
"
2. = 0 = 0 [kN]
"
3. =0 + = 0
= -M [kN " ]
M e c h a n i k a B u d o w l i i K o n s t r u k c j i Wykład nr11
METODA CLEBSCHA
Zadanie cd
1.Między ugięciem belki oraz jej momentem zginającym zachodzi zależność
różniczkowa:
``
|
= = - " .
M e c h a n i k a B u d o w l i i K o n s t r u k c j i Wykład nr11
METODA CLEBSCHA
Zadanie cd
2.Pierwsza całka równania  kąt obrotu:
`
|
= = C - " .
3.Druga całka równania  ugięcie:
|
= + " - " .
Stałe całkowania C i D określa się z warunków brzegowych:
" dla x=0 =0, stąd D=0,
" dla x=0 ` =0, stąd C=0.
M e c h a n i k a B u d o w l i i K o n s t r u k c j i Wykład nr11
METODA CLEBSCHA
Zadanie cd
Po podstawieniu stałych całkowania C i D równania odkształceń przyjmują postać:
" równanie kąta obrotu
`
|
= - " ,
" równanie linii ugięcia
|
= - " .