Materiały do wykładu nr 4


Dynamika Budowli
Drgania wymuszone
układów o jednym stopniu swobody
(wymuszenie dowolną funkcją czasu)
materiały do wykładu nr 4
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska Magdalena Rucka
Budowni ctwo, semestr 5, rok akademi cki 2013/14 Krzysztof Wilde
Dynamika Budowli
Drgania wymuszone układów o jednym stopniu swobody
Drgania wywołane obciążeniem impulsowym
a) impuls jednostkowy
&&
p = mu
t2
& & &
J = pdt = m(u2 - u1) = mDu

t1
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska Magdalena Rucka
2
Budowni ctwo, semestr 5, rok akademi cki 2013/14 Krzysztof Wilde
Dynamika Budowli
Drgania wymuszone układów o jednym stopniu swobody
Drgania wywołane obciążeniem impulsowym
a) impuls jednostkowy
&
u(0)
u(t) = u(0)coswn(t -t ) + sinwn(t -t )
wn
&&
u(0) = 0 u(0) = Du =1/ m
1
h(t -t ) u(t) = sin wn(t -t ) , t łt
[]
mwn
1
n
h(t -t ) u(t) = e-xw (t-t ) sin wd (t -t ) , t łt
[]
mwd
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska Magdalena Rucka
3
Budowni ctwo, semestr 5, rok akademi cki 2013/14 Krzysztof Wilde
Dynamika Budowli
Drgania wymuszone układów o jednym stopniu swobody
b) impuls prostokątny
po t Ł td

&&
mu + ku = p(t) =

0 t ł td

u(t) = ust o (1- coswnt), t Ł td
faza działania impulsu t Ł td ( )
u(t) = ust o coswn t - td - coswntł, t ł td
( ) ( )
faza drgań swobodnych t ł td

Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska Magdalena Rucka
4
Budowni ctwo, semestr 5, rok akademi cki 2013/14 Krzysztof Wilde
Dynamika Budowli
Drgania wymuszone układów o jednym stopniu swobody
c) impuls sinusoidalny
posin(pt / td ) t Ł td

&&
mu + ku = p(t) =

0 t ł td

td /Tn ą 0.5
ć
ć ć
12pt
pt Tn
u(t) = ust o - sin
( )
sin
faza działania impulsu t Ł td , t Ł td ;
1- (Tn / 2td )2 Ł td ł 2td Ł Tn łł
Ł
ć
ć
(Tn / td )cos(ptd /Tn ) t td
faza drgań swobodnych t ł td u(t) = ust o sin 2p - 0.5
( )

, t ł td .

(Tn / 2td )2 -1 Tn Tn łł
Ł
Ł
td / Tn = 0.5
12pt 2pt 2pt
faza działania impulsu t Ł td
u(t) = ust o sin - cos t Ł td ;
( )ć
2 Tn Tn Tn ,
Łł
ć
p t
u(t) = ust o cos 2p - 0.5, t ł td .
faza drgań swobodnych t ł td ( )

2 Tn
Łł
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska Magdalena Rucka
5
Budowni ctwo, semestr 5, rok akademi cki 2013/14 Krzysztof Wilde
Dynamika Budowli
Drgania wymuszone układów o jednym stopniu swobody
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska Magdalena Rucka
6
Budowni ctwo, semestr 5, rok akademi cki 2013/14 Krzysztof Wilde
Dynamika Budowli
Drgania wymuszone układów o jednym stopniu swobody
d) przybliżone wyznaczanie przemieszczeń układu dla
tzw.  krótkiego impulsu
 krótki impuls
td < 0.5Tn
td
J = p(t)dt

0
J
u(t) = sin(wnt)
mwn
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska Magdalena Rucka
7
Budowni ctwo, semestr 5, rok akademi cki 2013/14 Krzysztof Wilde
Dynamika Budowli
Drgania wymuszone układów o jednym stopniu swobody
Drgania wywołane dowolną siłą wymuszającą
" Całka Duhamela
" Całkowanie numeryczne równań ruchu
Całka Duhamela
t
p(t )
u(t) = sin wn (t -t ) dt
[]

mwn
0
t
p(t )
n
u t = e-xw (1-t ) sin wd (t -t ) dt
( ) []

mwd
0
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska Magdalena Rucka
8
Budowni ctwo, semestr 5, rok akademi cki 2013/14 Krzysztof Wilde
Dynamika Budowli
Drgania wymuszone układów o jednym stopniu swobody
Całkowanie numeryczne równań ruchu:
" metoda różnic centralnych
" metoda Newmarka
Metoda różnic centralnych
&& &
mui + cui + kui = pi
ui+1 - ui-1 ui+1 - 2ui + ui-1
&&&
ui = , ui =
2
2Dt
Dt
( )
ui+1 - 2ui + ui-1 ui+1 - ui-1
m + c + kui = pi
2
2Dt
Dt
( )
ł ł2m ł

mc mc
+ -
ęśui+1 = pi - ęśui-1 - ęk - śui
22 2
2Dt 2Dt
Dt Dt
ęś ęś ś
ę
( ) ( ) ( )
Dt

14 3 1444444 3
4244 424444444
$
Ć
pi
k
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska Magdalena Rucka
9
Budowni ctwo, semestr 5, rok akademi cki 2013/14 Krzysztof Wilde
Dynamika Budowli
Drgania wymuszone układów o jednym stopniu swobody
Ć
pi
$
Ć
kui+1 = pi
ui+1 =
$
k
u1 - u-1 u1 - 2u0 + u-1
&&&
u0 = , u0 =
2
2Dt
Dt
( )
2
Dt
( )
&&&
u-1 = u0 - Dtu0 + u0
2
&& &
mu0 + cu0 + ku0 = p0
&
p0 - cu0 - ku0
&&
u0 =
m
Dt 1
warunek stabilności
<
Tn p
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska Magdalena Rucka
10
Budowni ctwo, semestr 5, rok akademi cki 2013/14 Krzysztof Wilde
Dynamika Budowli
Drgania wymuszone układów o jednym stopniu swobody
Algorytm metody różnic centralnych
1. Obliczenia początkowe
2. Obliczenia dla kroku czasowego i
&
p0 - cu0 - ku0
&&
u0 =
1.1
Ć
pi = pi - aui-1 - bui
2.1
m
2
Dt
( )
Ć
pi
&&&
u-1 = u0 - Dtu0 + u0
1.2
ui+1 =
2 2.2
$
k
mc
$
1.3 k =+
2
2Dt
Dt
( )
ui+1 - ui-1 ui+1 - 2ui + ui-1
2.3
&&&
ui = , ui =
2
2Dt
Dt
( )
mc
a =-
1.4
2
2Dt
Dt
( )
2m
1.5
b = k -
2
Dt
( )
3. Powtórzenie dla następnego kroku czasowego:
zamień i na i +1, powtórz 2.1, 2.2, 2.3 dla następnego kroku czasowego (i = 0, 1, 2, & ).
[u,v,a]=mrc(m,c,k,p,t,u0,v0)
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska Magdalena Rucka
11
Budowni ctwo, semestr 5, rok akademi cki 2013/14 Krzysztof Wilde
Dynamika Budowli
Drgania wymuszone układów o jednym stopniu swobody
Przykład
Układ o jednym stopniu swobody (m = 0.1 kg, k = 10 N/m, x = 0.05) poddany jest działaniu siły
wymuszającej jak na rysunku. Obliczyć metodą różnic centralnych przemieszczenie układu. Krok
czasowy "t =0.1 s, czas końcowy 1 s, u(0) = 0, v(0) =0.
1. Obliczenia początkowe
k
&
p0 - cu0 - ku0
wn == 10 rad/s
&&
u0 =
m
m
2
Dt
c = 2xmwn = 0.1 kg/s
&&&
u-1 = u0 - Dt u0 + u0
( )( )
2
mc
$
k =+
2
2Dt
Dt
( )
mc
2m
a =- b = k -
2
2
2Dt
Dt
Dt
( ) ( )
2. Obliczenia dla kroku czasowego i
Ć
pi = pi - aui-1 - bui
Ć
pi
ui+1 =
$
k
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska Magdalena Rucka
12
Budowni ctwo, semestr 5, rok akademi cki 2013/14 Krzysztof Wilde
Dynamika Budowli
Drgania wymuszone układów o jednym stopniu swobody
Metoda Newmarka
&& && &&
ui+1 = ui + 1- g Dtłui + gDt ui+1
( )( )

2
łu&i + b Dt 2 łu&i+1
&& &
ui+1 = ui + Dt ui + 0.5 - b Dt
( ) ( )( ) ( )

Dt 11
Warunek stabilności
Ł
Tn
p 2 g - 2b
1
1
b =
b =
4
Dt
6
Dt
<Ą
< 0.551
1 Tn
1 Tn
g =
g =
2
2
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska Magdalena Rucka
13
Budowni ctwo, semestr 5, rok akademi cki 2013/14 Krzysztof Wilde
Dynamika Budowli
Drgania wymuszone układów o jednym stopniu swobody
Metoda Newmarka
& & && &&
ui+1 = ui + 1- g Dtłui + gDt ui+1
( )( )

2
łu&i + b Dt 2 łu&i+1 &&
ui+1
&& &
ui+1 = ui + Dt ui + 0.5 - b Dt
( ) ( )( ) ( )

11& ć 0.5
1
&& &&
ui+1 = ui+1 - ui - ui - -1ui

22
bDt b
b Dt b Dt Łł
( ) ( )
ć
1
&& && & &&
ui+1 = ui + 1- g Dtłui + gDt ui+1 - ui - ui - -1ui
( ) ( ) 11 ć 0.5

bDt b
b Dt b Dt
Łł
( )2 ( )2
Łł
&& &
mui+1 + cui+1 + kui+1 = pi+1
mm m ć 0.5 gg gć 0.5
&&& & && & &&
ui+1 - ui - ui - -1 mui + cui + 1-g Dtł cui + cui+1 - cui - cui -gDt -1cui + kui+1 = pi+1
( )


bDt bDt b b
b Dt b Dt Łł Łł
( )2 ( )2 bDt b
ćm ć 0.5
m gg g ć 0.5
m
&&& & && & &&
+ c + k ui+1 = ui + ui + -1 mui - cui - 1-g Dtcui + cui + cui + gDt -1cui + pi+1
( )


b
b Dt b Dt Łł Łł
( )2 bDt ( )2 bDt b bDt b
Łł
Ć
Ć
kui+1 = pi+1
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska Magdalena Rucka
14
Budowni ctwo, semestr 5, rok akademi cki 2013/14 Krzysztof Wilde
Dynamika Budowli
Drgania wymuszone układów o jednym stopniu swobody
Algorytm metody Newmarka dla układów liniowych
1. Obliczenia początkowe
2. Obliczenia dla kroku czasowego i
&
p0 - cu0 - ku0
Ć & &&
&& Dpi = Dpi + aui + bui
u0 =
1.1 2.1
m
Ć
Dpi
1 g
$
Dui =
2.2
k = k + m + c
$
1.2 2
k
bDt
b Dt
( )
ggć g
m g c
&& &i
Dui = Dui - ui + Dt
2.3 1- 2b u&
a =+
1.3
bDt b
Łł
bDt b
11 1
1 ć g
&& & &&
Dui = Dui - ui - ui
2.4
2
b = m + Dt -1c
1.4
bDt 2b
b Dt
( )
2b 2b
Łł
& & & && && &&
2.5 ui+1 = ui +Dui, ui+1 = ui +Dui, ui+1 = ui +Dui
3. Powtórzenie dla następnego kroku czasowego:
zamień i na i +1, powtórz 2.1 do 2.5 dla następnego kroku czasowego.
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska Magdalena Rucka
15
Budowni ctwo, semestr 5, rok akademi cki 2013/14 Krzysztof Wilde
Dynamika Budowli
Drgania wymuszone układów o jednym stopniu swobody
Projektowanie konstrukcji o jednym stopniu swobody
obciążonych dynamicznie
&& &
mu + cu + ku = p(t)
&& &
ku = p(t)4244
cu
14- mu -3
pz
pz = ku
pz min = kumin
pz max = kumax
Mdyn max
M1pz max
obw M = MQ ą= M1Q ą
Mdyn min
M1pz min
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska Magdalena Rucka
16
Budowni ctwo, semestr 5, rok akademi cki 2013/14 Krzysztof Wilde
Dynamika Budowli
Drgania wymuszone układów o jednym stopniu swobody
2 przypadki szczególne:
a) drgania swobodne bez tłumienia b) drgania wymuszone harmonicznie
&& &
mu + cu + ku = po sinwt
u(t) = C sin wnt +j
&& ( )
mu + ku = 0
&& u(t) = ust o Rd sin wt -f
ku =-mu ( )
( )
2
&&
pz =-mu = mwnC = kC
umin,max = m(ust )o Rd
pz min,max = mkC pz min,max = mkumin,max = m poRd
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska Magdalena Rucka
17
Budowni ctwo, semestr 5, rok akademi cki 2013/14 Krzysztof Wilde


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Materiały do wykładu nr 1
Prawo Jazdy w OSK3 Materiały do wykładów6
Prawo Jazdy w OSK3 Materiały do wykładów4
Materiały do cwiczenia nr 11
Materiały do wykładu 7 (18 11 2011)
Podstawy budownictwa materialy do wykladu PRAWO wydr
Rysunki do wykladu nr 4
Międzyn przepływy p i k Bilans płatniczy materiały do wykładu 20 18 18
Materialy do zajec nr 3
Rezerwy w rachunkowości 2015 materiały do wykładu
Prawo Jazdy w OSK3 Materiały do wykładów8
Rysunki do wykladu nr 3  marca 11
Materiały do wykładu 1 (07 10 2011)
Prawo Jazdy w OSK3 Materiały do wykładów2
Materiały do wykładu 6 (04 11 2011)

więcej podobnych podstron