Odkształcenia sprę\
yste. Prawo Hooke'a
Jeśli po ustaniu działania siły ciało odkształcone powraca do pierwotnego kształtu,
to takie odkształcenie nazywamy sprę\
ystym. Rozró\
niamy sprę\
ystość objętości i
sprę\
ystość postaci ( kształtu ). Najwa\
niejsze odkształcenia postaci to: rozciąganie,
zginanie i skręcanie. Badając wydłu\
enie rozciąganego sprę\
yście pręta stwierdzono,
\
e wydłu\
enie to dla ustalonego materiału jest wprost proporcjonalne do działającej
siły ( F ) i długości początkowej ( lo ), a odwrotnie proporcjonalne do pola przekroju
poprzecznego ( s ).
"l <"
" <"
" <" F
" <"
�ł
�ł
�ł
�ł
l0
�ł
�ł
�ł
�ł
Fl0 F "l
"
"
"
�ł
�ł
�ł
�ł
"l <" "l <" �! <"
" <" " <" �! <"
" <" l0 " <" �! <"
" <" " <" �! <"
�!
�!
�!
�!
żł
żł
żł
żł
s s l0
�ł
�ł
�ł
�ł
l
" �ł
1 �ł
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
"l <"
" <"
" <"
" <"
s
F
Tę zale\
ność mo\
na przedstawić równaniem:
F "l
"
"
"
= E
=
=
=
s l0
F
- naprę\
enie wewnętrzne
s
"l
"
"
"
- względny przyrost długości
l0
E - moduł Younga
Powy\
sza zale\
ność wyra\
a prawo Hooke'a i mo\
na ją wyrazić słowami:
Względny przyrost długości ciała jest wprost proporcjonalny do naprę\
enia
wewnętrznego, które go wywołało.
Moduł Younga zale\
y od rodzaju materiału i łatwo zauwa\
yć, \
e jeśli " = lo to
"l
"
"
F/s = E. Moduł Younga Wyra\
a zatem taką wartość naprę\
enia wewnętrznego, które
spowodowałoby podwojenie długości pręta. Praktycznie biorąc często pręt ulega
zerwaniu zanim nastąpi podwojenie jego długości. Jeśli wydłu\
enie jest związane z
odkształceniami bardziej zło\
onymi ( np. wydłu\
enie sprę\
yny ), to prawo Hooke'a
mo\
na zapisać w postaci:
F = k �" "l
�" "
�" "
�" "
29
gdzie k - stała sprę\
yny ( współczynnik sprę\
ystości ).
Własności sprę\
yste ciał stałych
Ze względu na własności sprę\
yste ciała stałe dzielimy na sprę\
yste, kruche i
plastyczne. Ich własności ilustrują poni\
sze wykresy.
F
s
OA - zakres odkształceń sprę\
ystych zgodnych
pm
z prawem Hooke'a,
C
AB - zakres odkształceń sprę\
ystych niezgodnych
B
z prawem Hooke'a,
A
BC - zakres odkształceń plastycznych.
"l pm - wytrzymałość na zerwanie, tj. taka wartość
"
"
"
O naprę\
enia wewnętrznego, przy której
l0
następuje zerwanie materiału.
Zale\
ność naprę\
enia wewnętrznego od względnego
przyrostu długości dla ciał sprę\
ystych
F F
s s
"l "l
" "
" "
" "
l0 l0
Zale\
ność dla ciał kruchych Zale\
ność dla ciał plastycznych
Energia potencjalna sprę\
ystości
Energia potencjalna jest cechą ka\
dego układu ciał pozostających w spoczynku, jeśli
pomiędzy ciałami tego układu działają siły. Pomiędzy cząsteczkami ciał stałych
działają siły spójności. Odkształcenie sprę\
yste ciała powoduje zmiany odległości
między cząsteczkami, co oznacza, \
e zmienia się energia potencjalna układu
cząsteczek. Ciało nieodkształcone jest w stanie energii zerowej. Energia potencjalna
sprę\
ystości ciała odkształconego jest równa pracy wykonanej podczas
odkształcenia.
30
Rozwa\
amy sprę\
ynę, która na początku nie jest odkształcona. Pod działaniem siły
sprę\
yna stopniowo wydłu\
a się. W momencie gdy wydłu\
enie wynosi x, działa siła
F(x). Praca elementarna wykonana w trakcie odkształcenia sprę\
ystego o dx
wynosi:
dW = F(x) dx
Jeśli odkształcenie podlega prawu Hooke'a, to siła powodująca odkształcenie jest
wprost proporcjonalna do wydłu\
enia. Miarą pracy elementarnej jest pole wąskiego
prostokąta pod wykresem F(x).
F(x)
F
F(x)
dx
x
dx
"l
"
"
"
F(x)
x
x
" l
"
"
"
F
Praca wykonana podczas wydłu\
enia sprę\
yny stanowi sumę prac elementarnych i
odpowiada jej pole trójkąta pod wykresem F(x).
1
W = " dW = " l F
" "
" "
" "
2
1
F
" l
"
"
"
W =
2
F = k " l
"
"
"
k - stała sprę\
yny
1
W =
k " l2
"
"
"
2
Jeśli pod działaniem siły zachodzi odkształcenie niesprę\
yste, to wykonana przy tym
praca idzie na przyrost energii wewnętrznej ciała. Objawia się to zwykle wzrostem
temperatury.
31
Ciśnienie hydrostatyczne
Jest to ciśnienie spowodowane cię\
arem cieczy. Na dno prostopadłościennego lub
cylindrycznego naczynia jest wywierane parcie równe cię\
arowi cieczy zawartej w
naczyniu. Ciśnienie wywierane na dno naczynia wynosi:
Q
p = ; Q = m g = � g h S
= �
= �
= �
S
�hSg
�
�
�
=
� p =
=
=
h
S
p = �gh
= �
= �
= �
� - gęstość cieczy
�
�
�
s
W przypadku naczynia o dowolnym
kształcie, ciśnienie wywierane na poziom
h1 poło\
ony na głębokości h1 wynosi � h1.
� g
�
�
Zgodnie z prawem Pascala, takie samo
ciśnienie panuje na całym poziomie.
h2 h
Ciśnienie wywierane na podstawę jest
równe sumie ciśnień hydrostatycznych
h3
wywieranych przez poszczególne słupy
cieczy i wynosi:
p = � g h1 + � g h2 + � g h3 = � g (h1 + h2 + h3)
� � � �
� � � �
� � � �
p = �gh
= �
= �
= �
Oznacza to, \
e kształt naczynia nie ma wpływu na wartość ciśnienia
hydrostatycznego wywieranego na dno naczynia.
Ciśnienie analogiczne do ciśnienia hydrostatycznego powstaje jako rezultat ruchu
przyspieszonego naczynia z cieczą. Pozioma rurka zawierająca ciecz o gęstości �
�
�
�
porusza się z przyspieszeniem a.
l
a
W układzie odniesienia związanym z rurką, na ciecz działa siła bezwładności, a
rezultatem działania tej siły jest ciśnienie wywierane na dno rurki. Wynosi ono:
ma �lSa
�
�
�
p = =
= =
= =
= =
S S
p = �la
= �
= �
= �
32
Równowaga cieczy w naczyniach połączonych
h2
�
�
�
�1 h1 �2
�
�
�
Jeśli w naczyniach połączonych znajdują się ró\
ne ciecze, to warunkiem równowagi
jest równość ciśnień hydrostatycznych wywieranych na taki poziom, poni\
ej którego
ciecz jest jednorodna.
�1gh1 = �2gh2
� = �
� = �
� = �
�1h1 = �2h2
� = �
� = �
� = �
Prawo Archimedesa
Prostopadłościenna kostka jest zanurzona w cieczy o gęstości �
�.
�
�
h1
h2
F1
F2
S ( h - h ) - objętość kostki
2 1
Na ró\
nych głębokościach panują ró\
ne
ciśnienia hydrostatyczne. Efektem ró\
nicy ciśnień jest ró\
ne parcie wywierane na
podstawy: górną i dolną. Powstaje zatem wypadkowa sił skierowana pionowo do
góry, zwana siłą wyporu. Jest ona równa:
Fw = F2 - F1
Fw = p2 S - p1 S
Fw = � g h2 S - � g h1 S = �
� � � g S (h2 - h1)
� � �
� � �
Fw = �gV
= �
= �
= �
Na ka\
de ciało zanurzone w cieczy lub gazie działa siła wyporu skierowana
pionowo do góry, równa cię\
arowi ośrodka wypartego przez to ciało.
33
Dla ka\
dego ciała pływającego w cieczy, siła wyporu działająca na zanurzoną część
ciała jest równa cię\
arowi tego ciała.
Siły międzycząsteczkowe
Spoistość ciał stałych i cieczy zawdzięczamy istnieniu sił międzycząsteczkowych
zwanych siłami spójności. Siły działające między cząsteczkami ró\
nych ciał, np.
między ciałem stałym i cieczą, nazywamy siłami przylegania. Jeśli siły przylegania
między ciałem stałym i cieczą są większe od sił spójności w cieczy, to ciecz zwil\
a
ciało stałe. Jeśli przewa\
ają siły spójności, to ciecz nie zwil\
a ciała stałego. Dla
przykładu: szkło jest zwil\
ane przez wodę, a nie jest zwil\
ane przez rtęć.
Napięcie powierzchniowe
Cząsteczki tworzące powierzchnie cieczy połączone siłami spójności tworzą tzw.
błonę powierzchniową. Błona powierzchniowa utrzymuje na powierzchni cieczy
drobną monetę lub \
yletkę.
F
l
Siły napięcia powierzchniowego działają stycznie do powierzchni cieczy, a
prostopadle do krawędzi błony powierzchniowej i starają się zmniejszyć
powierzchnię błony. Stosunek siły napięcia powierzchniowego do długości krawędzi
błony nazywamy współczynnikiem napięcia powierzchniowego.
F
� =
� =
� =
� =
l
Wartość współczynnika napięcia powierzchniowego zale\
y od rodzaju cieczy, oraz
od temperatury. Maleje ona ze wzrostem temperatury. Środki piorące zmniejszają
wartość współczynnika napięciowego, dzięki czemu woda łatwiej wnika w tkaniny.
Błonki mydlane zawierają dwie błony powierzchniowe przedzielone cieniutką
warstewką cieczy.
34
Współczynnik napięcia powierzchniowego w przypadku błonki
F
jest określony równaniem:
F
l
� =
� =
� =
� =
2l
Istnienie sił napięcia powierzchniowego tłumaczy działanie tkanin wodoodpornych.
Dzięki impregnowaniu, woda nie zwil\
a nitek tkaniny. Między nitkami tworzy się
błona powierzchniowa, która nie przepuszcza wody.
Siły napięcia powierzchniowego nie pozwalają równie\
na opadanie rtęci w
termometrze lekarskim.
Pomiędzy zbiorniczkiem i kapilarą istnieje zwę\
enie, gdzie powstaje
błona powierzchniowa, która nie pozwala na powrót rtęci do
zbiorniczka termometru.
Menisk
Jeśli ciecz zwil\
a ścianki naczynia, to przy ściance powierzchnia cieczy podnosi się.
Taki kształt powierzchni nazywamy meniskiem wklęsłym. Jeśli ciecz nie zwil\
a
ścianek naczynia, to powierzchnia cieczy przy ściance opada tworząc tzw. menisk
wypukły.
F
p
Fp
F
s
Fs
Powierzchnia cieczy ustawia się prostopadle do wypadkowej sił działających na
cząsteczki tej cieczy ( siły reakcji ). Dysproporcja między siłami spójności i
przylegania, które działają na poszczególne cząsteczki cieczy wyjaśnia ró\
ny kształt
menisku.
35
Włoskowatość
Cienkie rurki lub szczeliny, o szerokości stanowiącej ułamek milimetra nazywamy
naczyniami włoskowatymi. Jeśli ciecz zwil\
a ścianki naczynia, to jej poziom w
naczyniu włoskowatym jest wy\
szy ni\
w naczyniu szerokim. Jeśli ciecz nie zwil\
a
ścianek, to jej poziom w naczyniu włoskowatym jest ni\
szy ni\
w naczyniu
szerokim. Podnoszenie, względnie opadanie cieczy w naczyniach włoskowatych jest
efektem działania sił napięcia powierzchniowego.
Są one skierowane stycznie do powierzchni cieczy i starają się wyprostować błonę
powierzchniową. Stan równowagi powstaje wtedy, gdy ciśnienie hydrostatyczne
słupka cieczy o wysokości h zostaje zrównowa\
one przez wypadkową sił napięcia
powierzchniowego.
dF1 dF
Ń
Ń
Ń
Ń
2Ąr
Ą
Ą
Ą
h
�
�
�
�
r
p
2r
dF - siła napięcia powierzchniowego działająca na fragment krawędzi błony
powierzchniowej o długości dl,
Ń - kąt zwil\
ania.
Ń
Ń
Ń
Ciśnienie w rurce włoskowatej na poziomie p jest równe ciśnieniu atmosferycznemu.
36
dF1
"
"
"
"
�gh =
� =
� =
� =
Ąr2
Ą
Ą
Ą
dF1 = dF cosŃ
= Ń
= Ń
= Ń
dF = �dl
= �
= �
= �
dF1 = �dl cosŃ
= � Ń
= � Ń
= � Ń
� cosŃ dl
� Ń
� Ń
� Ń
"
"
"
"
�gh =
� =
� =
� =
Ąr2
Ą
Ą
Ą
� cosŃ �" 2Ąr
� Ń �" Ą
� Ń �" Ą
� Ń �" Ą
�gh =
� =
� =
� =
Ąr2
Ą
Ą
Ą
Z powy\
szych rozwa\
ań wynika, \
e wysokość cieczy w naczyniu włoskowatym jest
odwrotnie proporcjonalna do szerokości naczynia. Przyjmując, \
e kąt zwil\
ania jest
bliski zeru, otrzymujemy:
2�
�
�
�
h =
=
=
=
�gr
�
�
�
Zjawisko włoskowatości tłumaczy nasiąkanie wodą takich materiałów jak cegła czy
kreda. Wyjaśnia ono równie\
działanie bibuły i ręcznika. Dzięki włoskowatości
odbywa się wędrówka wody w pniach i gałęziach drzew oraz w łodygach roślin.
Rozszerzalność termiczna
Wzrost temperatury ciała powoduje, niezale\
nie od stanu skupienia, zwiększenie
prędkości cząsteczek, czemu towarzyszy wzrost objętości. Współczynnikiem
rozszerzalności termicznej ciała nazywamy stosunek przyrostu objętości
wywołanego ogrzewaniem do objętości początkowej i do przyrostu temperatury,
który go spowodował.
"V
"
"
"
ą =
ą =
ą =
ą =
V0"t
"
"
"
Współczynnik rozszerzalności termicznej cieczy mo\
na wyznaczyć za pomocą tzw.
piknometru ( dylatometr cieczowy ). Jest to kolba szklana zamknięta korkiem, w
którym tkwi cienka rurka. Wyznaczamy masę m1 cieczy wypełniającej piknometr w
temperaturze To = 0�
�C.
�
�
Vo Vo
m1 To m2 T
�
�
�
�
V
W wyniku ogrzania cieczy do temperatury T następuje wzrost jej objętości.
Przyjmując, \
e objętość piknometru praktycznie nie ulega zmianie, prowadzi to do
37
wylania się nadmiaru cieczy. Wewnątrz pozostaje ciecz o masie m2. Gęstość cieczy
po ogrzaniu wynosi:
m2 m1 m1
� = = �! V = V0
� = = �! =
� = = �! =
� = = �! =
V0 V m2
Stąd przyrost objętości cieczy wywołany ogrzaniem jest równy:
m1 - m2
-
-
-
"V = V - V0 = V0
" = - =
" = - =
" = - =
m2
Współczynnik rozszerzalności termicznej jest równy:
V - V0 m1 - m2
- -
- -
- -
ą = =
ą = =
ą = =
ą = =
V0"t m2 T - T0
"
"
"
( - )
( - )
( - )
( )
Większość cieczy w wyniku ogrzewania zwiększa swoją objętość. Woda jednak
wykazuje istotną anomalię. Wzrost temperatury wody w zakresie od 0� do 4�
�C �C
� �
� �
prowadzi do zmniejszania objętości, a dopiero dalszy wzrost temperatury powoduje
wzrost objętości. Woda w temperaturze 4�
�C ma zatem największą gęstość. Przyczyną
�
�
tej anomalii jest łączenie się cząsteczek H2O w większe struktury, który to proces
zachodzi w temperaturze zbli\
onej do 0�
�C i prowadzi do wzrostu objętości wody.
�
�
W przypadku ciał stałych, ogrzewanie prowadzi równie\
do wzrostu objętości.
Zwykle jednak istotne są zmiany długości ciała. Współczynnikiem rozszerzalności
liniowej nazywamy przyrost długości danego materiału przypadający na jednostkę
długości początkowej i jednostkowy przyrost temperatury.
"l
"
"
"
 =
 =
 =
 =
l0"t
"
"
"
Pomiędzy współczynnikiem rozszerzalności objętościowej i współczynnikiem
rozszerzalności liniowej zachodzi związek przybli\
ony:
ą = 3
ą 
ą 
ą 
Zmiany długości materiału wywołane ogrzewaniem lub oziębianiem mo\
na
zlikwidować działaniem siły. Musi wtedy zachodzić równość:
F "l "l F
" "
" "
" "
= E ; = "t �! = E"t
= = " = "
= = " = "
= = " = "
S l0 l0 S
E - moduł Younga.
38