M E C H A N I K A C I A A S T A AY C H E G Z A M I N C Z Z I I
1 . Z a r y s m e c h a n i k i p e Bz a n i a
P e Bz a n i e z a c h o d z i p r z y n a p r |e n i a c h m n i e j s z y c h n i | n a p r |e n i a u p l a s t y c z n i a j c e . P r o c e s z w i z a n y j e s t
z e z w i k s z a n i e m s i o d k s z t a Bc e n i a w c z a s i e s t a Be g o o b c i |e n i a , k t r e w y w o Bu j e n a p r |e n i a o i n t e n s y w n o [c i
m n i e j s z e j n i | . S y m b o l e w i e l k o [c i z w i z a n y c h z p e Bz a n i e m p o s i a d a j i n d e k s - c - c r e e p . P r d k o [ p e Bz a n i a
p
w y n o s i 1 0 - 5 % / h .
P e Bz a n i e w Ba [c i w e z m i a n a s t a n u o d k s z t a Bc e n i a p o d w p By w e m s t a Be g o l u b z m i e n n e g o s t a n u n a p r |e n i a .
R e l a k s a c j a z m i a n a s t a n u n a p r |e n i a p r z y u s t a l o n y m s t a n i e o d k s z t a Bc e n i a i w u s t a l o n e j t e m p e r a t u r z e .
M a t e r i a By l e p k o p l a s t y c z n e m a t e r i a By , k t r y c h u p l a s t y c z n i e n i e j e s t c z u Be n a p r d k o [ o d k s z t a Bc e n i a .
K r z y w a p e Bz a n i a z a l e |n o [ o d k s z t a Bc e n i a p e Bz a n i a c ( t ) o r a z p r d k o [c i p e Bz a n i a c ( t ) o d c z a s u .
S p a d e k p r d k o [c i o d k s z t a Bc e n i a c w p i e r w s z y m e t a p i e p e Bz a n i a j e s t s p o w o d o w a n e u m o c n i e n i e m
o d k s z t a Bc e n i o w y m . W z r o s t w a r t o [c i c w t r z e c i m e t a p i e j e s t w y n i k i e m n a g r o m a d z e n i a s i w a d m a t e r i a Bo w y c h
( p o r y , p k n i c i a ) p o w s t a By c h w e w c z e [n i e j s z y c h e t a p a c h p e Bz a n i a .
S T O S O W A N E T E O R I E P E AZ A N I A :
T e o r i a p e Bz a n i a n a l e |y d o m e c h a n i k i o [r o d k w c i g By c h i z a j m u j e s i b a d a n i e m p r o c e s w b a r d z o p o w o l n y c h .
R o z w a |a n i a t e o r e t y c z n e i b a d a n i a d o t y c z m i d z y i n n y m i z a l e |n o [c i m i d z y c a w y w o Bu j c y m p e Bz a n i e .
P r d k o [ p e Bz a n i a :
d c
= f ( ) f ( ) = B 1 m B , m - w s p Bc z y n n i k i w y z n a c z o n e d r o g a p r o k s y m a c j i
1
d t
W c e l u z w i k s z e n i a z g o d n o [c i k r z y w e j t e o r e t y c z n e j p e Bz a n i a z d o [w i a d c z e n i e m , s t a B B z a s t p u j e s i f u n k c j B ( t )
1
1 d
o r a z w p r o w a d z a s i c z Bo n o p i s u j c y p r d k o [ o d k s z t a Bc e n i a s p r |y s t e g o : ( ) w y n i k a j c y z p r a w a
E d t
H o o k e ' a .
1
1
=
E
d 1 d
=
d t E d t
d c 1 d
c = = + B ( t ) m
d t E d t
T e o r i e s t a r z e n i a :
c c
O d k s z t a Bc e n i e p e Bz a n i a ( w u s t a l o n e j t e m p e r a t u r z e ) o p i s u j e s i f u n k c j n a p r |e n i a i c z a s u : = f ( , t )
i d o d a t k o w o u w z g l d n i a s i o d k s z t a Bc e n i e s p r |y s t e : = / E :
c = + f ( , t )
E
p r z y j m u j e s i , |e f ( , t ) j e s t f u n k c j p o t g o w o d o r a z l i n i o w o d t , c o m o |n a z a p i s a :
f ( , t ) = m B t
b = c o n s t . , i w e f e k c i e :
c = + B t m
E
C z a s t o d g r y w a r o l p a r a m e t r u , w i c z m i e n n e w Ba s n o [c i m a t e r i a Bu w c z a s i e i n t e r p r e t u j e m y j a k o s t a r z e n i e .
T e o r i a N a d a i a :
P r z y j m u j e s i , |e p r z y o d k s z t a Bc e n i u s t r u k t u r a l n i e s t a t e c z n y c h m a t e r i a B w p r z y r o s t y o d k s z t a Bc e n i a d z w i z a n e s
z p r z y r o s t e m n a p r |e n i a d :
" "
d = d + d
" "
d - r |n i c z k a z u p e Bn a 2 z m i e n n y c h : i ,
"
- o d k s z t a Bc e n i o w e u m o c n i e n i e m a t e r i a Bu ,
"
"
- p r d k o [c i o w e u m o c n i e n i e m a t e r i a Bu .
"
P o n i e w a | w i e l e m a t e r i a B w n i e w y k a z u j e s t r u k t u r y s t a t y c z n e j , u w z g l d n i a s i t o p r z e z d o d a n i e d o p r a w e j s t r o n y
"
r w n a n i a c z Bo n u : d t .
" t
T E O R I A P AY N I C I A A P E AZ A N I E :
W p r o c e s i e p e Bz a n i a w y s t p u j e o d k s z t a Bc e n i e p l a s t y c z n e , w i c d o o p i s u p By n i c i a p r z y p e Bz a n i u m o |n a z a s t o s o w a
t e o r i L e v y M i s e s a . Z a k Ba d a m y , |e w p r z e s t r z e n i n a p r |e D ( x ) i s t n i e j e p o t e n c j a B p e Bz a n i a c ( ) . P r a w o
i j i i j
p r d k o [c i p e Bz a n i a m o |e m y z a p i s a a n a l o g i c z n i e j a k w p r a w i e L - M :
2
i j = " c ( i j )
c
" i j
g d z i e :
c - d e w i a t o r t e n s o r a p r d k o [c i o d k s z t a Bc e n i a p r z y p e Bz a n i u ,
i j
- p a r a m e t r z a l e |n y o d H o r a z o d i n t e n s y w n o [c i p r d k o [c i p e Bz a n i a c ,
H
( i j ) - p o t e n c j a B p e Bz a n i a .
P a r a m e t r p r z e z a n a l o g i d o p r a w a L e v y - M i s e s a m o |e m y w y z n a c z y z e w z o r u :
c
H
= 3
H
2
g d z i e :
c - i n t e n s y w n o [ p r d k o [c i p e Bz a n i a ,
H
H - i n t e n s y w n o [ n a p r |e D
P r a w o p By n i c i a p r z y p e Bz a n i u m a t e r i a Bu [c i [l i w e g o :
i j =
c i j
D l a m a t e r i a B w n i e [c i [l i w y c h :
i j =
c i j c
i w w c z a s p r a w o p By n i c i a p r z y p e Bz a n i u s t o w a r z y s z o n e z w a r u n k i e m p e Bz a n i a d l a m a t e r i a Bu [c i [l i w e g o p r z y j m u j e
p o s t a :
c = i j
i j
2 . E l e m e n t y t e o r i i p l a s t y c z n o [c i m e t a l i c z n y c h c i a B n i e [c i [l i w y c h
D o o p i s u z a c h o w a n i a s i c i a B p o d c z a s o d k s z t a Bc e n i a z o s t a By w p r o w a d z o n e w y i d e a l i z o w a n e i c h m o d e l e :
" m o d e l c i a Ba s z t y w n o i d e a l n i e p l a s t y c z n e g o ,
" m o d e l c i a Ba s z t y w n o p l a s t y c z n e g o z e w z m o c n i e n i e m ,
" m o d e l c i a Ba s z t y w n o l e p k o p l a s t y c z n e g o z e w z m o c n i e n i e m ,
" m o d e l c i a Ba s p r |y s t o i d e a l n i e p l a s t y c z n e g o .
S t o s o w a n a t e o r i a p l a s t y c z n o [c i n i e [c i [l i w y c h c i a B o p a r t a j e s t n a p o j c i u p l a s t y c z n e g o p o t e n c j a Bu M i s e s a , k t r y j e s t
f u n k c j s t a n u n a p r |e n i a :
F = F ( I , I , I )
1 2 3
3
P o o s i g n i c i u w a r t o [c i k r y t y c z n e j , s t a Be j d l a d a n e g o m a t e r i a Bu , p l a s t y c z n y p o t e n c j a B o k r e [l a w a r u n e k
p l a s t y c z n o [c i :
F = F ( I 1 , I 2 , I 3 ) = 2
p
Z w i z k i m i d z y p r z y r o s t a m i o d k s z t a Bc e n i a i n a p r |e n i a w s t a n i e p l a s t y c z n y m , c z y l i t z w . p r a w a p l a s t y c z n r g o
p By n i c i a o p i s u j e z a l e |n o [:
" F ( i j )
d i j = d
" i j
W s p Bc z y n n i k p r o p o r c j o n a l n o [c i d o k r e [l a n y j e s t z a l e |n o [c i :
E ' '
"
2
d = 3
p
S z c z e g l n y m p r z y p a d k i e m w a r u n k u p l a s t y c z n o [c i M i s e s a , d l a n i e [c i [l i w y c h i z o t r o p o w y c h s i a B, j e s t j e g o p o s t a
k w a d r a t o w a :
3 I ' = 2
2 p
H y d r o s t a t y c z n a s k Ba d o w a s t a n u n a p r |e n i a = I / 3 n i e m a w p By w u n a p l a s t y c z n e p By n i c i e . D l a p e Bn e g o o p i s u
m 1
p l a s t y c z n e g o p By n i c i a n i e [c i [l i w y c h c i a B n a l e | p o n a d t o w a r u n k i r w n o w a g i k t r e b e z u w z g l d n i e n i a s i B
m a s o w y c h i b e z w Ba d n o [c i o w y c h m a j p o s t a :
" i j
= 0
" x i
o r a z w a r u n e k n i e [c i [l i w o [c i :
d = 0
i i
J e d n o z n a c z n e r o z w i z a n i e p r o b l e m w m e c h a n i k i p l a s t y c z n e g o o d k s z t a Bc a n i a c i a B n i e [c i [l i w y c h j e s t
w w i k s z o [c i p r z y p a d k w n i e m o |l i w e . D o i c h r o z w i z a n i a s t o s u j e s i r |n e m e t o d y , n p . m e t o d r w n a D
r |n i c z k o w y c h r w n o w a g i , m e t o d y e n e r g e t y c z n e o r a z m e t o d e l e m e n t w s k o Dc z o n y c h .
K l a s y c z n a m e c h a n i k a p l a s t y c z n e g o p By n i c i a , z p r z y j t y m i m o d e l a m i c i a B p l a s t y c z n y c h , n i e p o z w a l a o p i s a
z j a w i s k z a c h o d z c y c h w o d k s z t a Bc a n y c h p l a s t y c z n i e m a t e r i a Ba c h [c i [l i w y c h , d o k t r y c h z a l i c z a s i s p i e k a n e
m a t e r i a By m e t a l i c z n e .
4
3 . E l e m e n t y t e o r i i p l a s t y c z n o [c i m e t a l i c z n y c h c i a B p o r o w a t y c h
W A R U N K I P L A S T Y C Z N O ZC I M A T E R I A A W ZC I ZL I W Y C H :
M e t a l i c z n y m m a t e r i a Bo m z m i e n i a j c y m p o d c z a s o d k s z t a Bc e n i a w s p o s b t r w a By o b j t o [ p o [w i c a s i
w o s t a t n i m c z a s i e d u |o u w a g i , g B w n i e w a s p e k c i e p r z e j [c i a t a k i e g o m a t e r i a Bu w s t a n p l a s t y c z n y . W y c h o d z c
z z a Bo |e n i a , |e p l a s t y c z n y p o t e n c j a B j e s t f u n k c j n i e z m i e n n i k w t e n s o r a n a p r |e n i a , p r z e d s t a w i o n o t e o r i
p l a s t y c z n e g o p By n i c i a i z o t r o p o w y c h , [c i [l i w y c h m a t e r i a B w , a f u n k c j p By n i c i a o p i s a n o r w n a n i e m w p o s t a c i :
1 ) W a r u n e k p l a s t y c z n o [c i K u h n a D o w n e y a :
5
2 ) W a r u n e k p l a s t y c z n o [c i G r e e n a :
6
3 ) W a r u n e k p l a s t y c z n o [c i O y a n e :
4 ) E n e r g e t y c z n y w a r u n e k p l a s t y c z n o [c i :
7
8
W a r u n k i p l a s t y c z n o [c i o k r e [l o n e z a l e |n o [c i a m i ( 1 . 6 8 ) , ( 1 . 7 2 ) i ( 1 . 7 4 ) w y p r o w a d z o n e z o s t a By d l a [c i [l i w y c h c i a B
p r z y z a Bo |o n y c h m o d e l a c h p o r w ( w a l e c w y d r |o n y , k u l a w y d r |o n a , k o s t k a w y d r |o n a ) .
9
A m o d e l w a l c a w y d r |o n e g o p o d d a n y s k r c a n i u o r a z h y d r o s t a t y c z n e m u [c i n a n i u ( z a Bo |e n i e d l a w a r u n k u
p l a s t y c z n o [c i H i r s c h v o g l a ) :
r n a p r |e n i e [c i n a j c e ,
[c i s k a j c e n a p r |e n i e h y d r o s t a t y c z n e .
0
B m o d e l k u l i w y d r |o n e j p o d d a n e j [c i s k a n i u h y d r o s t a t y c z n e m u :
N a p r |e n i e p o t r z e b n e d o z a m k n i c i a p o r a w y r a |o n e j e s t w z o r e m :
M
R
M = 0 l n
r
C m o d e l k o s t k i s z e [c i e n n e j w y d r |o n e j ( z a Bo |e n i e d l a w a r u n k u p l a s t y c z n o [c i O y a n e ) :
1 0
D d o d a t k o w o : m o d e l p o r w s f e r y c z n y c h w m a t e r i a l e i z o t r o p o w y m ( z a Bo |e n i u d l a w a r u n k u p l a s t y c z n o [c i
G r e e n a ) :
P r z y i c h w y p r o w a d z e n i u u w z g l d n i o n o o d d z i e l n i e s t a n u h y d r o s t a t y c z n e g o [c i s k a n i a i c z y s t e g o [c i n a n i a .
Z a l e |n o [c i d l a t y c h s t a n w n a p r |e n i a w y k o r z y s t a n o d o s f o r m u Bo w a n i a p o s t a c i m a t e m a t y c z n e j w a r u n k w
p l a s t y c z n o [c i p r z y z a Bo |e n i u , |e p o w i e r z c h n i a p By n i c i a j e s t e l i p s o i d o b r o t o w . W a r u n k i t e u w z g l d n i a j , p r z y
p r z e j [c i u m a t e r i a Bu [c i [l i w e g o w s t a n p l a s t y c z n y , w p By w d r u g i e g o n i e z m i e n n i k a d e w i a t o r a n a p r |e n i a , p i e r w s z e g o
n i e z m i e n n i k a t e n s o r a n a p r |e n i a I , p o r o w a t o [c i ( l u b g s t o [c i ) o r a z n a p r |e n i a u p l a s t y c z n i a j c e g o
1 w p
m a t e r i a Bu o s n o w y l u b c i a Ba p o r o w a t e g o . T y l k o w a r u n e k p l a s t y c z n o [c i K u h n a D o w n e y a n i e j e s t z w i z a n y z
m o d e l e m p o r a , l e c z z c e c h a m i m a t e r i a Bo w y m i t j . g r a n i c p l a s t y c z n o [c i i l i c z b P o i s s o n a .
A N A L I Z A W A R U N K W P L A S T Y C Z N O ZC I :
1 1
1 2
1 3
1 4
4 . E l e m e n t y m e c h a n i k i k o m p o z y t w
1 5
1 6
1 7
1 8
1 9
2 0
2 1
2 2
2 3
2 4
2 5
2 6
2 7
2 8
2 9
E C
K O C
3 0
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