Rozwini cie funkcji w bazie funkcji własnych
Mamy zbiór wszystkich funkcji własnych operatora ,
tzn. spełniaj cych
S one ortonormalne .
Dowolna funkcja daje si przedstawi w postaci:
Oznacza to, e zbiór funkcji własnych jest zupełny,
Stanowi baz w przestrzeni funkcji falowych.
z

Uzasadnienie podamy pó niej.
Jak znale współczynniki rozwini cia
dla dowolnej ?
Rozwini cie funkcji w bazie funkcji własnych
Dla mamy
danie normalizacji
implikuje danie
Według interpretacji probabilistycznej oznacza to, e układ
b d cy w stanie jest z prawdopodobie stwem
w stanie własnym .
Z takim wła nie prawdopodobie stwem w pomiarze wielko ci F
otrzymamy warto , je li nie jest ona zdegenerowana.
Å„
Ä…
W przypadku degeneracji prawdopodobie stwo uzyskania jest sum mo-
Ä…
dułów współczynników przy ortogonalnych funkcjach odpowiadaj cych .
Warto oczekiwana
Dla tej samej funkcji rozwini tej w bazie funkcji własnych
obliczmy
Å› Å›
ć
To jest warto rednia.
Dla dowolnego stanu opisanego unormowan funkcj
warto redni  lub oczekiwan  wielko ci F w tym stanie
definiujemy jako:
Wariancja
Wariancja wielko ci F w stanie
jest miar  rozrzutu warto ci, które mo na uzyska
w pomiarze, od warto ci redniej. Wyznacza
niepewno  nieokre lono  nieoznaczono
wielko ci F w stanie .
rednie odchylenie
kwadratowe
Przypadek szczególny - stan własny F
Mamy stan własny operatora
Obliczamy w nim
ść
Ä…
warto oczekiwan :
wektor odchylenia
Å›
od redniej:
Ä™
Wariancj :
ść ś \

Ä…
W stanie własnym mamy pewno , co do warto ci F, jak mo na
ć \
ć ć
Å›
otrzyma w pomiarze. Mo e to by tylko warto własna f.
f.
f.
f.
ć
Å›
Niepewno jest  zerowa .
Å› Å› Å›
Jest to stan o okre lonej warto ci wielko ci F.
Tak jest tylko w stanach własnych!
Å›
Je li w jest , to
czyli
Jednoczesna okre lono dwóch wielko ci
Operatory obu wielko ci, F i G,
musz mie wspólny stan własny
Wtedy
czyli
operatory s przemienne
w działaniu na .
Teraz zobaczmy, co wynika z komutacji operatorów .
Mamy i .
Wtedy .
Å›
Ä… Ä…
jest funkcj własn do tej samej warto ci własnej .
Å›
Je li f nie jest zdegenerowana, to
\

i istnieje g, takie e
Jednoczesna okre lono dwóch wielko ci
Degeneracja
jest te funkcj własn , to
z
\

Znajd my takie , eby
\
ść
Liniowa niezale no
Å„
daje dla - układ N równa na N
Jednoczesna okre lono dwóch wielko ci
Degeneracja c.d.
Å„
układ równa na współczynniki
Ä…
Układ kramerowski ma zerowe rozwi zanie
Warunek na istnienie innych
Å„
Ä…
(niezerowych) rozwi za
Równanie algebraiczne
Ä…
stopnia N na niewiadom g. Ma N pierwiastków.
Å›
Ä…
Obie wielko ci s w stanie
Å›
okre lone.
Zasada Heisenberga
Zasada nieoznaczono ci, niepewno ci, nieokre lono ci
Istniej pary wielko ci, których nie da si nigdy
zmierzy jednocze nie z  pewno ci 
Relacja ma szczególne znaczenie.
Nie jest szczególnym przypadkiem ogólnej zasady.
Czas nie jest obserwabl . Nie ma operatora czasu.
Dowód relacji nieoznaczono ci
Ä… Ä… Ä™
Ć
â b
Mamy operatory hermitowskie i oraz dowoln unormowan funkcj stanu ¨
Ć
Åš = (â + iÄ…b)¨
0 d" (Åš,Åš)
2
Ć Ć Ć Ć
0 d" (â¨,â¨) + iÄ…(â¨,b¨) - iÄ…(b¨,â¨) +Ä… (b¨,b¨)
2
Ć Ć Ć
0 d" (¨,â2¨) + iÄ…(¨,âb¨) - iÄ…(¨,bâ¨) +Ä… (¨,b2¨)
2
Ć Ć
0 d" (¨,â2¨) +Ä…(¨,i[â,b]¨) +Ä… (¨,b2¨)
2
Ć Ć
ëÅ‚ öÅ‚
(¨,i[â,b]¨)2
Ć
ìÅ‚Ä… (¨,i[â,b]¨) ÷Å‚
0 d" (¨,â2¨) + Ä… + (¨,b2¨) -
Ä…
ìÅ‚Ä… ÷Å‚
Ć Ć
2(¨,b2¨) 4(¨,b2¨)
íÅ‚ Å‚Å‚
= 0
1
Ć Ć
(¨,â2¨)(¨,b2¨) e" (¨,i[â,b]¨)2
4
Dowód relacji nieoznaczono ci c.d.
1
Ć Ć
(¨,â2¨)(¨,b2¨) e" (¨,i[â,b]¨)2
4
Ć Ć
Ć Ć
â = Â- A, b = B- B Ò! [â,b] = [Â,B]
Ć
(¨,(Â- A)2¨) = W (A), (¨,(B- B)2¨) = W (B)
1
Ć
W (A)W (B) e" (¨,i[Â,B]¨)2
4
2
1
Ć
W (A)W (B) e" (¨,[Â,B]¨)
4
c.b.d.o.