I1

16:10  18:40
Rozwia zania różnych zadań maja znalez
ć sie na różnych kartkach.
Każda kartka musi być podpisana w LEWYM GÓRNYM ROGU nazwiskiem i imieniem pi-
sza cego, jego nr. indeksu oraz nazwiskiem osoby prowadza cej ćwiczenia i nr. grupy ćwiczeniowej.
Nie wolno korzystać z kalkulatorów, telefonów komórkowych ani innych urza dzeń
elektronicznych; jeśli ktoś ma, musza być schowane i wyla czone! Nie dotyczy rozrusz-
ników serca.
Nie wolno korzystać z ksia żek, tablic ani notatek!
Wszystkie stwierdzenia należy uzasadniać. Wolno i NALEŻY powolywać sie na twierdzenia, które
zostaly udowodnione na wykladzie lub na ćwiczeniach.
0. Podać definicje kresu górnego zbioru niepustego A ą" .
Podać przyklad przeliczalnego zbioru A ą" , dla którego sup A = 2008 i 2008 " A .
/
Niech X ą" be dzie niepustym zbiorem i niech f: X - oznacza pewna funkcje . Podać
definicje cia glości i definicje jednostajnej cia glości funkcji f .
"
1. Niech a1 = 1 , an+1 = 1 + an - 1 .
Rozstrzygna ć, czy cia g (an) ma granice .
Jeśli cia g (an) ma granice , znalez
ć ja .
2. Dla jakich liczb rzeczywistych c szereg
" |c|
1
cn sin
n
n=1
jest zbieżny?
3. Znalez
ć wszystkie takie pary liczb rzeczywistych a, b , dla których funkcja
Å„Å‚
esin x - 1
ôÅ‚
ôÅ‚
a · dla -1 < x < 0,
ôÅ‚
ôÅ‚
ln(1 + x)
ôÅ‚
ôÅ‚
òÅ‚
f(x) = b dla x = 0,
ôÅ‚
ôÅ‚
" "
ôÅ‚
ôÅ‚ 3 3
ôÅ‚
1 + x - 1 + 2x
ôÅ‚
ół
" " dla x > 0;
1 + x - 1 + 2x
jest cia gla we wszystkich punktach pólprostej (-1, ") .
4. f spelnia warunek Lipschitza na . Udowodnij, że funkcja g(x) = f(x) sin x spelnia waru-
nek Lipschitza na wtedy i tylko wtedy, gdy f jest ograniczona.