1. LICZBY ZESPOLONE
1.1 PODSTAWOWE DEFINICJE I WA
ASNOŚCI
Def. 1.1.1 (liczba zespolona, płaszczyzna zespolona)
Liczbą zespoloną nazywamy uporządkowaną parę liczb rzeczywistych np. (x,y), (u,v), (a,b). Liczby zespolone oznaczamy
krótko przez z, w itp. Zbiór wszystkich liczb zespolonych oznaczmy przez C. Mamy zatem
def
.
C =�{�z =� (x, y) : x, y �� R}�
Uwaga. Liczbę zespoloną z = (x,y) przedstawiamy na płaszczyz
nie w postaci punktu o współrzędnych (x,y) lub w postaci
wektora o początku w punkcie (0,0) i końcu w punkcie (x,y). W tej interpretacji zbiór wszystkich liczb zespolonych nazywamy
płaszczyzną zespoloną.
Def. 1.1.2 (równość, suma i iloczyn liczb zespolonych)
Niech z1 =� (x1 , y1 ) , z2 =� (x2 , y2 ) będą liczbami zespolonymi.
1. Równość liczb zespolonych określamy przez warunek:
def
z1 =� z2 �� x1 =� x2 oraz y1 =� y2 .
2. Sumę liczb zespolonych określamy wzorem:
def
.
z1 +� z2 =�(� x1 +� x2 , y1 +� y2 )�
3. Iloczyn liczb zespolonych określamy wzorem:
def
.
z1 �� z2 =� (� x1x2 -� y1 y2 , x1 y2 +� x2 y1)�
Fakt 1.1.3 (własności działań w zbiorze liczb zespolonych)
Niech z , z , z będą dowolnymi liczbami zespolonymi. Wtedy
1 2 3
1. dodawanie liczb zespolonych jest przemienne, tzn.
z1 +� z2 =� z2 +� z1
2. dodawanie liczb zespolonych jest łączne, tzn.
(� z1 +� z2 )� +� z3 =� z1 +� (� z2 +� z2 )�
def
3. dla każdej liczby zespolonej z liczba zespolona spełnia równość
0 =� (0,0)
z +� 0 =� z
def
z =� (x, y)
4. dla każdej liczby zespolonej liczba spełnia równość
-� z =� (-�x,-� y)
z +� (-�z) =� 0
5. mnożenie liczb zespolonych jest przemienne, tzn.
z1 �� z2 =� z2 �� z1
6. mnożenie liczb zespolonych jest łączne, tzn.
(�z1 �� z2 )� �� z3 =� z1 �� (�z2 �� z3 )�
def
7. dla każdej liczby zespolonej z liczba zespolona spełnia równość
1 =� (1,0)
z ��1 =� z
z =� (x, y) ą� 0
8. dla każdej liczby zespolonej liczba zespolona
def
ć� ��
1 x y
�� ��
=� ,-�
�� 2 2 2 2 ��
z x +� y x +� y
Ł� ł�
spełnia równość
1
z �� =� 1
z
9. mnożenie liczb zespolonych jest rozdzielne względem dodawania, tzn.
z1 ��(� z2 +� z3 )� =� z1 �� z2 +� z1 �� z3 .
1
Uwaga. Liczby zespolone 0,  z, 1 oraz wprowadzone odpowiednio w punktach 3, 4, 7 oraz 8 powyższego faktu są
z
jedynymi liczbami o żądanych w tych punktach własnościach. Liczby te nazywamy odpowiednio: elementem neutralnym
dodawania, elementem przeciwnym liczby z, elementem neutralnym mnożenia oraz elementem odwrotnym do liczby z.
1
Def. 1.1.4 (odejmowanie i dzielenie liczb zespolonych)
Niech z , z �� C będą dowolnymi liczbami zespolonymi.
1 2
1. odejmowanie liczb zespolonych określamy wzorem:
def
z1 -� z2 =� z1 +� (-�z2 )
2. dzielenie liczb zespolonych określamy wzorem:
z1 def 1
=� z1 ��
, o ile z ą� 0.
2
z2 z2
Uwaga. Wszystkie reguły czterech podstawowych działań algebraicznych (dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie)
znane z liczb rzeczywistych obowiązują także w zbiorze liczb zespolonych. W szczególności prawdziwe są wzory skróconego
mnożenia, wzory na sumę wyrazów ciągu arytmetycznego i geometrycznego itd.
Fakt 1.1.5 (zbiór liczb rzeczywistych jest podzbiorem zbioru liczb zespolonych)
Podzbiór R zbioru liczb zespolonych C złożony z liczb postaci (x,0), gdzie x �� R, ma następujące własności:
1. (x1,0) +� (x2 ,0) =� (x1 +� x2 ,0) ,
2. (x1,0) -� (x2 ,0) =� (x1 -� x2 ,0) ,
3. (x1,0) �� (x2 ,0) =� (x1 �� x2 ,0) ,
ć� ��
(x1,0) x1
�� ��
4. =� ,0�� , gdzie x ą� 0.
2
��
(x2 ,0) x2 ł�
Ł�
Uwaga. Z własności tych wynika, zbiór R można utożsamiać ze zbiorem liczb rzeczywistych R. Będziemy pisali x zamiast
(x,0); w szczególności 0 = (0,0) oraz 1 = (1,0).
1.2 POSTAĆ ALGEBRAICZNA LICZBY ZESPOLONEJ
Def. 1.2.1 (jednostka urojona)
Liczbę zespoloną (0,1) nazywamy jednostką urojoną i oznaczamy ją przez i;
def
.
i =� (0,1)
Fakt 1.2.2 (postać algebraiczna liczby zespolonej)
Każdą liczbę zespoloną można jednoznacznie zapisać w postaci:
z =� x +� iy
,
x, y �� R
gdzie .
Uwaga. Ten sposób przedstawienia liczb zespolonych nazywamy ich postacią algebraiczną. Nie każde przedstawienie liczby
zespolonej w postaci x + iy jest jej postacią algebraiczną. Niezbędne jest dodanie warunku x, y �� R.
Def. 1.2.3 (część rzeczywista i urojona liczby zespolonej)
Niech x + iy będzie postacią algebraiczną liczby zespolonej z. Wówczas
1. liczbę x nazywamy częścią rzeczywistą liczby zespolonej z, co zapisujemy
def
,
Re z =� x
2. liczbę y nazywamy częścią urojoną liczby zespolonej z, co zapisujemy
def
.
Im z =� y
Liczbę zespoloną postaci iy, gdzie y �� R \ {0}, nazywamy liczbą czysto urojoną.
Rys. 1.2.1 Interpretacja geometryczna jednostek rzeczywistej i urojonej oraz liczby zespolonej
w postaci algebraicznej.
2
Uwaga. Dodawanie, odejmowanie i mnożenie liczb zespolonych w postaci algebraicznej wykonujemy tak, jak dodawanie,
2
odejmowanie i mnożenie wielomianów zmiennej i, przy warunku
i =� -�1. Przy dzieleniu przez liczbę zespoloną x + iy,
gdzie x, y �� R, należy dzielną i dzielnik pomnożyć przez liczbę x  iy, aby w mianowniku uzyskać liczbę rzeczywistą.
Fakt 1.2.4 (o równości liczb zespolonych w postaci algebraicznej)
Dwie liczby zespolone są równe wtedy i tylko wtedy, gdy ich części rzeczywiste i urojone są równe, tzn.
Rez1=�Rez2
��
.
z1=�z2����
=�Imz2
��Imz1
1.3 SPRZ
ŻENIE I MODUA
LICZBY ZESPOLONEJ
Def. 1.3.1 (sprzężenie liczby zespolonej)
Sprzężeniem liczby zespolonej z = x + iy, gdzie x, y �� R, nazywamy liczbę zespoloną określoną wzorem:
z
def
.
z =� x -� iy
Liczba sprzężona do liczby zespolonej jest jej obrazem w symetrii osiowej względem osi Rez.
Fakt 1.3.2 (własności sprzężenia liczb zespolonych)
Niech z, z , z �� C. Wtedy
1 2
5. z +� z =� 2 Re z
1. z1 +� z2 =� z1 +� z2
6. z -� z =� 2i Im z
2. z1 -� z2 =� z1 -� z2
3. z1 �� z2 =� z1 �� z2 7. (� z)� =� z
8. Im(� z)� =� -� Im(� z)�
ć� ��
z1 z1
4. �� �� , o ile z ą� 0
=� 2
�� ��
z2
z2
Ł� ł�
Uwaga. Równości podane w punktach 1 i 3 prawdziwe są odpowiednio dla dowolnej liczby składników i czynników.
Def. 1.3.3 (moduł liczby zespolonej)
Modułem liczby zespolonej z = x + iy, gdzie x, y �� R, nazywamy liczbę rzeczywistą |z| określoną wzorem:
def
2 2
.
z =� x +� y
Moduł liczby zespolonej jest uogólnieniem wartości bezwzględnej liczby rzeczywistej. Geometrycznie moduł liczby
zespolonej z jest odległością punktu z od początku układu współrzędnych.
Uwaga. Moduł różnicy liczb zespolonych z , z jest długością odcinka łączącego punkty z , z płaszczyzny zespolonej.
1 2 1 2
Fakt 1.3.4 (własności modułu liczby zespolonej)
Niech z, z , z �� C. Wtedy
1 2
z =� z =� -� z
1. z1 -� z Ł� z1 -� z2
5.
2
2
z1 �� z2 =� z1 �� z2 z �� z =� z
2. 6.
Re z Ł� z
7.
z1 z1
=�
3. , o ile z ą� 0
2
z2 z2
Im z Ł� z
z1 +� z2 Ł� z1 +� z2 8.
4.
Uwaga. Warunki podane w punktach 2 i 4 powyższego faktu prawdziwe są także dla dowolnej liczby odpowiednio czynników
i składników. Przy obliczaniu ilorazu liczb zespolonych w i z ą� 0 wygodnie jest stosować tożsamość:
w wz
=�
.
2
z
z
3
1.4 POSTAĆ TRYGONOMETRYCZNA LICZBY ZESPOLONEJ
Def. 1.4.1 (argument i argument główny liczby zespolonej)
Argumentem liczby zespolonej z = x + iy ą� 0, gdzie x, y �� R, nazywamy każdą liczbę j� �� R spełniającą układ równań:
x
��cosj� =�
��
z
��
.
��
��sinj� =� y
��
z
��
Przyjmujemy, że argumentem liczby z = 0 jest każda liczba j� �� R. Argumentem głównym liczby zespolonej z ą� 0 nazywamy
argument j� tej liczby spełniający nierówność 0 Ł� j� < 2p�. Przyjmujemy, że argumentem głównym liczby z = 0 jest 0. Argument
arg z
główny liczby zespolonej z oznaczamy przez . Każdy argument j� liczby zespolonej z ą� 0 ma postać
j� =� arg z +� 2kp�
, gdzie k �� Z.
Rys. 1.4.1 Argument liczby zespolonej Rys. 1.4.2 Argument główny liczby zespolonej
Uwaga. Argumenty liczby zespolonej są miarami z są miarami kąta zorientowanego utworzonego przez dodatnią część osi
rzeczywistej i wektor wodzący tej liczby (rys. 1.4.1). Argument główny liczby zespolonej jest najmniejszą nieujemną miarą
kąta zorientowanego utworzonego przez dodatnią część osi rzeczywistej i wektor wodzący tej liczby (rys. 1.4.2). Czasem
przyjmuje się, że argument główny liczby zespolonej jest liczbą z przedziału (-p�,p�].
Fakt 1.4.2 (postać trygonometryczna liczby zespolonej)
Każdą liczbę zespoloną z można przedstawić w postaci:
z =� r(�cosj� +� i sin j� )� ,
gdzie r ł� 0 oraz j� �� R. Liczba r jest wówczas modułem liczby z, a j� jednym z jej argumentów.
Fakt 1.4.3 (równość liczb zespolonych postaci trygonometrycznej)
Liczby zespolone z1 =� r1(�cosj�1 +� i sin j�1 )� , z2 =� r2 (�cosj�2 +� i sin j�2 )� , gdzie r , r ł� 0 oraz j� , j� �� R, są równe
1 2 1 2
wtedy i tylko wtedy, gdy:
r1 =� r2 =� 0 albo r1 =� r2 >� 0 oraz j�1 =� j� +� 2kp� dla pewnego k �� Z.
2
Fakt 1.4.4 (mnożenie i dzielenie liczb zespolonych w postaci trygonometryczne)
Niech z1 =� r1(�cosj�1 +� i sin j�1)� , z2 =� r2 (�cosj�2 +� i sin j�2 )� , gdzie r , r ł� 0 oraz j� , j� �� R będą liczbami
1 2 1 2
zespolonymi. Wtedy
1. z1 �� z2 =� r1r2[�cos(j�1 +� j�2 ) +� i sin(j�1 +� j�2 )]�
z1 r1
=� [�cos(j�1 -� j� ) +� i sin(j�1 -� j� )]�
2. , o ile z ą� 0.
2
2 2
z2 r2
Inaczej mówiąc, przy mnożeniu liczb zespolonych ich moduły mnożymy, a argumenty dodajemy. Podobnie, przy dzieleniu
liczb zespolonych ich moduły dzielimy, a argumenty odejmujemy.
Uwaga. Pierwszy ze wzorów w ostatnim fakcie jest prawdziwy także dla dowolnej liczby czynników.
Fakt 1.4.5 (o argumentach iloczynu, ilorazu, sprzężenia oraz liczby przeciwnej)
Niech z, z , z �� C oraz niech n �� N. Wtedy
1 2
1. arg(z1z2 ) =� arg z1 +� arg z2 +� 2kp� dla pewnego k �� Z;
n
2. arg(�z )� =� n arg z +� 2kp� dla pewnego k �� Z;
4
ć� z1 ��
�� ��
3. arg�� �� =� arg z1 -� arg z2 +� 2kp� dla pewnego k �� Z, o ile z ą� 0;
2
z2
Ł� ł�
4. arg(� z)� =� -� arg z +� 2kp� dla pewnego k �� Z;
arg(-�z) =� p� +� arg z +� 2kp�
5. dla pewnego k �� Z;
1
argć� �� =� -� arg z +� 2kp�
6. �� �� dla pewnego k �� Z, o ile z ą� 0;
z
Ł� ł�
Uwaga. W rzeczywistości k może przyjmować wartości 1. 0 lub  1; 2. dowolne; 3. 0 lub 1; 4. 1; 5. 0, 1 lub  1; 6. 1.
Fakt 1.4.6 (wzór de Moivre a)
Niech z =� r(�cosj� +� i sin j�)� , gdzie r ł� 0, j� �� R oraz niech n �� N. Wtedy
n n
z =� r (�cos nj� +� i sin nj� )� .
Def. 1.4.7 (symbol )
eij�
Dla j� �� R liczbę zespoloną cosj� + isinj� oznaczamy krótko przez ;
eij�
def
.
eij� =� cosj� +� i sin j�
Fakt 1.4.8 (własności symbolu )
eij�
Niech j�, j� , j� będą dowolnymi liczbami rzeczywistymi oraz niech k będzie dowolną liczbą całkowitą. Wtedy
1 2
1 1 2 5.
eij� ą� 0
1.
ei(�j� +�j�2 )� =� eij� ��eij�
1 2
1
6. , gdzie l �� Z
eij� =� eij� �� j�1 =� j�2 +� 2lp�
eij�
1
2.
ei(�j� -�j�2 )� =�
2
eij�
k
eij� =� 1
7.
3.
(�eij� )� =� eikj�
4. 8. arg(�eij� )� =� j� +� 2lp� dla pewnego l �� Z
ei(�j� +�2kp� )� =� eij�
Fakt 1.4.9 (postać wykładnicza liczby zespolonej)
Każdą liczbę zespoloną z można zapisać w postaci wykładniczej, tj. w postaci
z =� reij� ,
gdzie r ł� 0, j� �� R. Liczba r jest wówczas modułem liczby z, a j� jej argumentem.
Fakt 1.4.10 (o równości liczb zespolonych w postaci wykładniczej)
Niech r , r ł� 0 oraz j� , j� �� R. Wówczas
1 2 1 2
1 2
albo r1 =� r2 >� 0 oraz j�1 =� j� +� 2kp� , gdzie k �� Z.
r1eij� =� r2eij� �� r1 =� r2 =� 0
2
Fakt 1.4.11 (działania na liczbach zespolonych w postaci wykładniczej)
1 2
Niech , , gdzie r, r , r ł� 0 oraz j�, j� , j� �� R, będą liczbami zespolonymi oraz niech k
z =� eij� , z1 =� eij� z2 =� eij� 1 2 1 2
będzie liczbą całkowitą. Wtedy
k k
1. 4.
z =� re-�ij� z =� r eikj�
1
2.
-� z =� rei(j� +�p� )
5.
z1 �� z2 =� r1r2ei(j� +�j�2 )
1 1
z1 r1 -�j�2 )
1
3. =� e-�ij� , o ile z ą� 0
=� ei(j�
6. , o ile z ą� 0
2
z r
z2 r2
1.5 PIERWIASTKOWANIE LICZB ZESPOLONYCH
Def. 1.5.1 (pierwiastek z liczby zespolonej)
Pierwiastkiem stopnia n �� N z liczby zespolonej z nazywamy każdą liczbę zespoloną w spełniającą równość:
.
wn =� z
5
n
Zbiór pierwiastków stopnia n z liczby zespolonej z oznaczamy przez .
z
n
Uwaga. Symbol ma inne znaczenie w odniesieniu do liczb rzeczywistych, a inne do liczb zespolonych (w tym także
rzeczywistych traktowanych jak zespolone). Pierwiastek w dziedzinie rzeczywistej jest określony jednoznacznie i jest to
funkcja R �� R dla n nieparzystych oraz [0,Ą�) ��[0,Ą�) dla n parzystych. Pierwiastkowanie w dziedzinie zespolonej jest
n
natomiast rozwiązywaniem równania , zatem jest zbiorem rozwiązań tego równania. Symbolu pierwiastka w
wn =� z
z
dziedzinie zespolonej nie wolno używać do żadnych działań i obliczeń, gdyż podstawowe wzory dla pierwiastków, prawdziwe
4 2
w dziedzinie rzeczywistej tutaj nie mają sensu, np. .
z ą� z
Fakt 1.5.2 (wzór na pierwiastki z liczby zespolonej)
Każda liczba zespolona z =� r(�cosj� +� i sin j� )� , gdzie r ł� 0 oraz j� �� R, ma dokładnie n pierwiastków stopnia n. Zbiór
tych pierwiastków ma postać:
n
,
z =� {�w0 , w1,K�, wn-�1}�
gdzie
j� +� 2kp� j� +� 2kp�
ć�cos ��
n
wk =� r , i sin
�� �� dla k = 0, 1, & , n  1.
n n
Ł� ł�
Uwaga. Dla k = 0, 1, & , n  2 prawdziwa jest zależność:
k
2p� 2p� 2p� 2p�
�� ��
.
wk +�1 =� wk ć�cos , i sin =� w0 ć�cos , i sin
�� �� �� ��
n n n n
Ł� ł� Ł� ł�
Fakt 1.5.2 (interpretacja geometryczna zbioru pierwiastków z liczby zespolonej)
z =� r(�cosj� +� i sin j� )�
Zbiór pierwiastków stopnia n ł� 3 z liczby zespolonej , gdzie r = |z| oraz j� = argz, pokrywa się ze
n
zbiorem wierzchołków n kąta foremnego wpisanego w okrąg o promieniu i środku w początku układu współrzędnych.
r
j� j�
ć�cos +� i sin ��
n
w0 =� r
Pierwszy wierzchołek tego wielokąta jest w punkcie �� �� , a kąt między promieniami wodzącymi
n n
Ł� ł�
2p�
kolejnych wierzchołków jest równy (rys. 1.5.1).
n
Rys. 1.5.1 Interpretacja geometryczna zbioru pierwiastków z liczby zespolonej
2. WIELOMIANY
2.1 PODSTAWOWE POJ
CIA I WA
ASNOŚCI
Def. 2.1.1 (wielomian rzeczywisty)
Wielomianem rzeczywistym stopnia n �� N �� {0} nazywamy funkcję W: R �� R określoną wzorem:
n n-�1
W (x) =� an x +� an-�1x +� K� +� a1x +� a0 ,
gdzie a �� R dla 0 Ł� k Ł� n oraz a ą� 0. Ponadto przyjmujemy, że funkcja W(x) �� 0 jest wielomianem stopnia  Ą�. Liczby a , 0 Ł�
k n k
k Ł� n, nazywamy współczynnikami wielomianu W.
Def. 2.1.2 (wielomian zespolony)
Wielomianem zespolonym stopnia n �� N �� {0} nazywamy funkcję W: C �� C określoną wzorem:
n n-�1
W (z) =� cn z +� cn-�1z +� K� +� c1z +� c0 ,
gdzie c �� C dla 0 Ł� k Ł� n oraz c ą� 0. Ponadto przyjmujemy, że funkcja W(z) �� 0 jest wielomianem stopnia  Ą�. Liczby c , 0 Ł�
k n k
k Ł� n, nazywamy współczynnikami wielomianu W.
6
Uwaga. Każdy wielomian rzeczywisty można traktować jako wielomian zespolony rozszerzając jego dziedzinę z R na C. Tak
będziemy postępować przy omawianiu pierwiastków zespolonych wielomianów rzeczywistych. Wielomian zespolony lub
rzeczywisty będziemy nazywali krótko wielomianem.
Def. 2.1.3 (suma, różnica i iloczyn wielomianów)
Niech P i Q będą wielomianami. Sumę, różnicę i iloczyn wielomianów P i Q określamy w sposób naturalny, tj. przyjmujemy:
def def
, .
(� P ą� Q)�(x) =� P(x) ą� Q(x) (� P �� Q)�(x) =� P(x) �� Q(x)
Def. 2.1.4 (podzielność wielomianów)
Mówimy, że wielomian S jest ilorazem, a wielomian R resztą z dzielenia wielomianu P przez wielomian Q, jeżeli dla każdego
x ��R (x �� C) spełniony jest warunek
P(x) =� Q(x) �� S (x) +� R(x)
oraz stopień reszty R jest mniejszy od stopnia dzielnika Q.
Jeżeli R(x) �� 0, to mówimy, że wielomian P jest podzielny przez wielomian Q.
2.2 PIERWIASTKI WIELOMIANÓW
Def. 2.2.1 (pierwiastek wielomianu)
Liczbę rzeczywistą (zespoloną) x nazywamy pierwiastkiem rzeczywistym (zespolonym) wielomianu W, jeżeli W(x ) = 0.
0 0
Tw. 2.2.2 (Bezout)
Liczba x jest pierwiastkiem wielomianu W wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje wielomian P taki, że
0
W (x) =� (x -� x0 )P(x)
.
Uwaga. Reszta z dzielenia wielomianu W przez dwumian x  x jest równa W(x ).
0 0
Def. 2.2.3 (pierwiastek wielokrotny wielomianu)
Liczba x jest pierwiastkiem k krotnym wielomianu W wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje wielomian P taki, że
0
P(x0 ) ą� 0
W (x) =� (x -� x0 )k P(x) oraz .
Fakt 2.2.4 (o pierwiastkach wielokrotnych wielomianu)
Liczba x jest pierwiastkiem k krotnym wielomianu W wtedy i tylko wtedy, gdy
0
/ (k -�1) (k )
W (x0 ) =� W (x0 ) =� K�W (x0 ) =� 0 oraz W (x0 ) ą� 0 .
Tw. 2.2.5 (o pierwiastkach całkowitych wielomianu)
Niech
n n-�1
W (x) =� an x +� an-�1x +� K� +� a1x +� a0
będzie wielomianem o współczynnikach całkowitych oraz niech liczba całkowita p ą� 0 będzie pierwiastkiem wielomianu W.
Wtedy p jest dzielnikiem wyrazu wolnego a .
0
Tw. 2.1.6 (o pierwiastkach wymiernych wielomianu)
Niech
n n-�1
W (x) =� an x +� an-�1x +� K� +� a1x +� a0
p
będzie wielomianem stopnia n o współczynnikach całkowitych oraz niech liczba wymierna , gdzie p i q są liczbami
q
całkowitymi względnie pierwszymi, będzie pierwiastkiem wielomianu W. Wtedy p jest dzielnikiem współczynnika a , a q jest
0
dzielnikiem współczynnika a tego wielomianu.
n
Uwaga. Jeżeli a = 1, to wszystkie wymierne pierwiastki wielomianu są całkowite.
n
2.3 ZASADNICZE TWIERDZENIE ALGEBRY
Tw. 2.3.1 (zasadnicze twierdzenie algebry)
Każdy wielomian zespolony stopnia dodatniego ma co najmniej jeden pierwiastek zespolony.
Fakt 2.3.2 (o przedstawieniu wielomianu w postaci iloczynu dwumianów)
1. Każdy wielomian zespolony stopnia n �� N ma dokładnie n pierwiastków zespolonych (uwzględniając pierwiastki
wielokrotne).
2. Niech wielomian W stopnia n �� N ma pierwiastki zespolone z o krotnościach odpowiednio k , gdzie k �� N dla 1 Ł� j Ł� m
j j j
oraz k + k + & + k = n. Wtedy
1 2 m
1 2 m
W (z) =� cn (z -� z1)k �� (z -� z2 )k ��K� �� (z -� zm )k ,
7
gdzie c jest współczynnikiem stojącym przy z w wielomianie W.
n n
Fakt 2.3.3 (wzory Viete a)
n n-�1
Niech W (z) =� cn z +� cn-�1z +� K� +� c1z +� c0 będzie wielomianem zespolonym stopnia n �� N. Wówczas liczby
z , z , ..., z są pierwiastkami wielomianu W (z uwzględnieniem krotności) wtedy i tylko wtedy, gdy
1 2 n
cn-�1
��
1
��z +� z2 +� ... +� zn =� -� cn
��
��
cn-�2
��z z2 +� z1z3 +� ... +� zn-�1zn =� cn
1
��
.
��
��z1z2 z3 +� z1z2 z4 +� ... +� zn-�2 zn-�1zn =� -� cn-�3
��
cn
��
c0
n
��z z2 z3...zn-�1zn =�
(�-�1)�
1
��
cn
��
Uwaga. Jeżeli znamy niektóre pierwiastki wielomianu, to wzory Viete a pozwalają znalez
ć pozostałe pierwiastki tego
wielomianu.
Fakt 2.3.4 (o pierwiastkach zespolonych wielomianu rzeczywistego)
Niech W będzie wielomianem o współczynnikach rzeczywistych. Wówczas liczba zespolona z jest k krotnym pierwiastkiem
0
z0
wielomianu W wtedy i tylko wtedy, gdy liczba jest pierwiastkiem k krotnym tego wielomianu.
Tw. 2.3.5 (o rozkładzie wielomianu rzeczywistego na czynniki rzeczywiste)
Niech W będzie wielomianem stopnia n �� N o współczynnikach rzeczywistych. Ponadto niech x będą pierwiastkami rzeczywi-
j
z , z
stymi tego wielomianu o krotności k , gdzie k �� N dla 1 Ł� j Ł� r oraz niech , gdzie Imz > 0, będą pierwiastkami
j j j j j
(�k1 +� ... +� kr )� +� 2(�l1 +� ... +� ls )� =� n
zespolonymi tego wielomianu o krotności l , gdzie 1 Ł� j Ł� s, przy czym . Wtedy
j
1 r 1 s
W (x) =� an (x -� x1)k ��...�� (x -� xr )k �� (x2 +� p1x +� q1)l ��... �� (x2 +� ps x +� qs )l ,
gdzie p =  2Rez oraz q = |z |2 dla 1 Ł� j Ł� s, a a jest współczynnikiem wielomianu W stojącym przy xn.
j j j j n
Inaczej mówiąc, każdy wielomian rzeczywisty można przedstawić w postaci iloczynu wielomianów rzeczywistych stopnia co
najwyżej drugiego. Mówimy wówczas o rozkładzie wielomianu rzeczywistego na rzeczywiste czynniki nierozkładalne.
2.4 UA
AMKI PROSTE
Def. 2.4.1 (funkcja wymierna)
Funkcją wymierną rzeczywistą (zespoloną) nazywamy iloraz dwóch wielomianów rzeczywistych (zespolonych).
Def. 2.4.2 (funkcja wymierna właściwa)
Funkcję wymierną nazywamy właściwą, jeżeli stopień wielomianu w liczniku ułamka określającego tę funkcję jest mniejszy
od stopnia wielomianu w mianowniku.
Uwaga. Każda funkcja wymierna jest sumą wielomianu oraz funkcji wymiernej właściwej.
Def. 2.4.3 (ułamki proste)
1. Zespolonym ułamkiem prostym nazywamy zespoloną funkcję wymierną postaci:
A
, gdzie A, a �� C oraz n �� N.
n
(z +� a)
2. Rzeczywistym ułamkiem prostym pierwszego rodzaju nazywamy rzeczywistą funkcję wymierną postaci:
A
, gdzie A, a �� R oraz n �� N.
n
(x +� a)
3. Rzeczywistym ułamkiem prostym drugiego rodzaju nazywamy rzeczywistą funkcję wymierną postaci:
Ax +� B
2
, gdzie p, q, A, B �� R oraz n �� N, przy czym D� =� p -� 4q <� 0
(x2 +� px +� q)n
8
Tw. 2.4.4 (o rozkładzie funkcji wymiernej na ułamki proste)
Każda funkcja wymierna właściwa rzeczywista (zespolona) jest sumą rzeczywistych (zespolonych) ułamków prostych.
Przedstawienie to jest jednoznaczne.
P(z)
1. Zespolona funkcja wymierna właściwa postaci , gdzie
Q(z)
1 2 m
Q(z) =� cn (z -� z1)k (z -� z2 )k �� ... �� (z -� zm )k ,
i
jest sumą k + k + ... + k zespolonych ułamków prostych, przy czym czynnikowi (z -� zi )k odpowiada suma k ułamków
1 2 m i
prostych postaci:
Aik
Ai1 Ai2
i
+� +� ... +� ,
2 ki
z -� zi
(�z -� zi )� (�z -� zi )�
Aik
gdzie A , A , & , �� C dla 1 Ł� i Ł� m.
i1 i2
i
P(x)
2. Rzeczywista funkcja wymierna właściwa postaci , gdzie
Q(x)
1 2 r 1 2
Q(x) =� an (x -� x1)k �� (x -� x2 )k ��...�� (x -� xr )k �� (x2 +� p1x +� q1)l �� (x2 +� p2 x +� q2 )l ��...�� (x2 +� ps x +� qs )
,
jest sumą k + k + ... + k rzeczywistych ułamków prostych pierwszego rodzaju oraz l + l + ... + l rzeczywistych ułamków
1 2 m 1 2 s
prostych drugiego rodzaju, przy czym
i
�� czynnikowi (x -� xi )k odpowiada suma k ułamków prostych pierwszego rodzaju postaci
i
Aik
Ai1 Ai2
i
+� +� ... +� ,
ki
x -� xi -� xi 2
(�x )� (�x -� xi )�
Aik
gdzie A , A , & , �� R dla 1 Ł� i Ł� r.
i1 i2
i
j
�� czynnikowi (x2 +� p x +� q )l odpowiada suma l ułamków prostych drugiego rodzaju postaci
j
j j
B x +� C
B x +� C B x +� C
jl jl
j1 j1 j2 j 2 j j
+� +� ... +�
,
2 l
j
x2 +� p x +� q
(�x2 +� p x +� q )� (�x2 +� p x +� q )�
j j
j j j j
B , B ,..., B , C , C ,...C �� R
gdzie dla 1 Ł� j Ł� s.
j1 j 2 jl j1 j 2 jl
j j
3. MACIERZE I WYZNACZNIKI
3.1 MACIERZE  PODSTAWOWE OKREŚLENIA
Def. 3.1.1 (macierz rzeczywista i zespolona)
Macierzą rzeczywistą (zespoloną) wymiaru m �� n, gdzie m, n �� N, nazywamy prostokątną tablicę złożoną z mn liczb
rzeczywistych (zespolonych) ustawionych w m wierszach i n kolumnach.
Uwaga. Macierze będziemy oznaczali dużymi literami alfabetu np. A, B, X itp. Element macierzy A stojący w i tym wierszu
[aij ]m��n lub [aij], gdy znany jest
oraz w j tej kolumnie oznaczamy przez a . Macierz A można także zapisywać w postaci
ij
jej wymiar. Macierze A lub B są równe, gdy mają te same wymiary m �� n oraz a = b dla każdego 1 Ł� i Ł� m oraz 1 Ł� j Ł� n.
ij ij
Def. 3.1.2 (rodzaje macierzy)
1. Macierz wymiaru m �� n, której wszystkie elementy są równe 0 nazywamy macierzą zerową wymiaru m �� n i oznaczmy
0
lub przez 0, gdy znamy jej wymiar.
m��n
9
0 0 L� 0
�� ł�
ę�0 0 L� 0ś�
ę� ś�
ę� ś�
M� M� O� M�
ę� ś�
��0 0 L� 0��
2. Macierz, której liczba wierszy równa się liczbie kolumn nazywamy macierzą kwadratową. Liczbę wierszy (kolumn)
nazywamy wtedy stopniem macierzy kwadratowej. Elementy macierzy, które mają ten sam numer wiersza co kolumny,
tworzą główną przekątną macierzy.
3. Macierz kwadratową stopnia n ł� 2, w której wszystkie elementy stojące nad główną przekątną są równe 0, nazywamy
macierzą trójkątną dolną stopnia n.
a11 0 0 L� 0
�� ł�
ę�a a22 0 L� 0 ś�
21
ę� ś�
ę� ś�
a31 a32 a33 L� 0
ę� ś�
M� M� M� O� M�
ę� ś�
ę�an1 an2 an3 L� ann ś�
�� ��
Podobnie określa się macierz trójkątną górną.
a11 a12 a13 L� a1n
�� ł�
ę�
0 a22 a23 L� a2n ś�
ę� ś�
ę� ś�
0 0 a33 L� a3n
ę� ś�
M� M� M� O� M�
ę� ś�
ę�
0 0 0 L� ann ś�
�� ��
4. Macierz kwadratową stopnia n, w której wszystkie elementy nie stojące na głównej przekątnej są równe 0, nazywamy
macierzą diagonalną lub przekątniową stopnia n.
a11 0 0 L� 0
�� ł�
ę� ś�
0 a22 0 L� 0
ę� ś�
ę� ś�
0 0 a33 L� 0
ę� ś�
M� M� M� O� M�
ę� ś�
ę�
0 0 0 L� ann ś�
�� ��
Macierz diagonalną stopnia n, w której wszystkie elementy głównej przekątnej są równe 1, nazywamy macierzą
jednostkową stopnia n. Macierz jednostkową stopnia n oznaczamy przez I lub przez I, gdy znany jest jej stopień.
n
1 0 0 L� 0
�� ł�
ę�0 1 0 L� 0ś�
ę� ś�
ę� ś�
0 0 1 L� 0
ę�M� M� M� O� M�ś�
ę� ś�
ę�0 0 0 L� 1ś�
�� ��
3.2 DZIAA
ANIA NA MACIERZACH
Def. 3.2.1 (suma i różnica macierzy)
Niech A = [a ] i B = [b ] będą macierzami wymiaru m �� n. Sumą (różnicą) macierzy A i B nazywamy macierz C = [c ], której
ij ij ij
elementy określone są wzorem:
def
def
ć� ��
cij =� aij +� bij �� cij =� aij -� bij ��
Ł� ł�
dla 1 Ł� i Ł� m oraz 1 Ł� j Ł� n. Piszemy wtedy C = A + B (C = A  B).
10
Def. 3.2.2 (mnożenie macierzy przez liczbę)
Niech A = [a ] będzie macierzą wymiaru m �� n oraz niech a� będzie liczbą rzeczywistą lub zespoloną. Iloczynem macierzy A
ij
przez liczbę a� nazywamy macierz B = [b ], której elementy są określone wzorem:
ij
def
bij =� a�aij
dla 1 Ł� i Ł� m oraz 1 Ł� j Ł� n. Piszemy wtedy B = a�A.
Fakt 3.2.3 (własności działań na macierzach)
Niech A, B, C będą dowolnymi macierzami tego samego wymiaru rzeczywistymi lub zespolonymi oraz niech a�, b� będą
odpowiednio liczbami rzeczywistymi lub zespolonymi. Wtedy
1. A + B = B + A
5. a�(A + B) = a�A + a�B
2. A + (B + C) = (A + B) + C
6. (a� + b�)A = a�A + b�A
3. A + 0 = 0 + A = A
7. 1��A = A
4. A + ( A) = 0
8. (a�b�)A = a�(b�A)
Def. 3.2.4 (iloczyn macierzy)
Niech A = [a ] ma wymiar m �� n, a macierz B = [b ] wymiar n �� k. Iloczynem macierzy A i B nazywamy macierz C = [c ],
ij ij ij
wymiaru m �� k, której elementy określone są wzorem:
def
cij =� ai1b1 j +� ai 2b2 j +� ... +� ainbnj
dla 1 Ł� i Ł� m oraz 1 Ł� j Ł� n. Piszemy wtedy C = AB.
Uwaga. Element c iloczynu macierzy A i B otrzymujemy sumując iloczyny odpowiadających sobie elementów i tego wiersza
ij
macierzy A i j tej kolumny macierzy B. Iloczyn macierzy A i B można obliczyć tylko wtedy, gdy liczba kolumn macierzy A
równa się liczbie wierszy macierzy B.
Rys. 3.2.1 Schemat obliczania elementów iloczynu macierzy A i B
Fakt 3.2.5 (własności iloczynu macierzy)
1. Niech macierz A ma wymiar m �� n, a macierze B i C wymiar n �� k. Wtedy
A(B +� C) =� AB +� AC
.
2. Niech macierze A, B mają wymiar m �� n, a macierz C wymiar n �� k. Wtedy
( A +� B)C =� AC +� BC
.
3. Niech macierz A ma wymiar m �� n, a macierz B wymiar n �� k oraz niech a� będzie liczbą rzeczywistą lub zespoloną.
Wtedy
A(a�B) =� (a�A)B =� a� ( AB)
.
4. Niech macierz A ma wymiar m �� n, macierz B ma wymiar n �� k, a macierz C wymiar k �� l. Wtedy
( AB)C =� A(BC)
.
5. Niech macierz A ma wymiar m �� n. Wtedy
AI =� I A =� A
.
n m
Uwaga. Własności podane w punktach 1 i 2 nazywamy rozdzielnością dodawania względem mnożenia, a własność podaną w
punkcie 4 łącznością mnożenia. Mnożenie macierzy kwadratowych nie jest przemienne, bowiem na ogół AB ą� BA. Zamiast
1�AA...A będziemy pisali An.
n czynników
11
Def. 3.2.6 (macierz transponowana)
Niech A = [a ] będzie macierzą wymiaru m �� n. Macierzą transponowaną do macierzy A nazywamy macierz B = [b ] wymiaru
ij ij
n �� m określoną wzorem:
def
bij =� a
ji
dla 1 Ł� i Ł� m oraz 1 Ł� j Ł� n. Macierz transponowaną do macierzy A oznaczamy AT.
Uwaga. Przy transponowaniu, kolejne wiersze macierzy wyjściowej stają się kolejnymi kolumnami macierzy transponowanej.
Ilustrujemy to na przykładzie macierzy wymiaru 3 �� 4.
a11 a21 a31
�� ł�
a11 a12 a13 a14
�� ł�
ę�a ś�
12
ę�a a22 a23 a24 ś�, AT =� ę� a22 a32 ś� .
A =�
21
ę� ś�
ę� ś�
a13 a23 a33
ę�
ę� ś�
31 ��
��a a32 a33 a34 ś�
a24 a34 ��
��a14
Fakt 3.2.7 (własności transpozycji macierzy)
1. Niech A i B będą macierzami wymiaru m �� n. Wtedy
(A +� B)T =� AT +� BT .
2. Niech A będzie macierzą wymiaru m �� n oraz niech a� będzie liczbą rzeczywistą lub zespoloną. Wtedy
T T
oraz .
(�a�A)� =� a�AT
(�AT )� =� A
3. Niech A będzie macierzą wymiaru m �� n, a B macierzą wymiaru n �� k. Wtedy
(AB)T =� BT AT .
4. Niech A będzie macierzą kwadratową oraz niech r �� N. Wtedy
( Ar )T =� (AT )r .
Def. 3.2.8 (macierz symetryczna i antysymetryczna)
Niech A będzie macierzą kwadratową.
1. Macierz A jest symetryczna wtedy i tylko wtedy, gdy
.
AT =� A
2. Macierz A jest antysymetryczna wtedy i tylko wtedy, gdy
.
AT =� -�A
Uwaga. Macierz jest symetryczna, gdy jej elementy położone symetrycznie względem głównej przekątnej są sobie równe.
Macierz jest antysymetryczna, gdy jej elementy położone symetrycznie względem głównej przekątnej różnią się tylko
znakiem, a elementy głównej przekątnej są równe 0.
Fakt 3.2.9 (własności macierzy symetrycznych i antysymetrycznych)
1. Niech A będzie dowolną macierzą kwadratową. Wtedy
a) macierz A + AT jest symetryczna,
b) macierz A  AT jest antysymetryczna.
2. Niech A będzie dowolną macierzą. Wtedy macierze AAT i ATA są symetryczne.
3. Każdą macierz kwadratową można jednoznacznie przedstawić w postaci sumy macierzy symetrycznej i antysymetrycznej:
1 1
A =� (�A +� AT )� +� (�A -� AT )� .
2 2
3.3 DEFINICJA INDUKCYJNA WYZNACZNIKA
Def. 3.3.1 (wyznacznik macierzy)
Wyznacznikiem macierzy kwadratowej nazywamy funkcję, która każdej macierzy rzeczywistej (zespolonej) A = [a ] przypi-
ij
suje liczbę rzeczywistą (zespoloną) detA. Funkcja ta jest określona wzorem indukcyjnym:
1. jeżeli macierz A ma stopień n = 1, to
det A =� a11 ,
2. jeżeli macierz A ma stopień n ł� 2, to
det A =� (-�1)1+�1 a11 det A11 +� (-�1)1+�2 a12 det A12 +� ... +� (-�1)n+�1 a1n det A1n
gdzie A oznacza macierz otrzymaną z macierzy A przez skreślenie i tego wiersza i j tej kolumny.
ij
Uwaga. Wyznacznik macierz A oznaczamy także przez det[a ] lub |A|, a w formie rozwiniętej przez
ij
12
a11 a12 L� a1n
�� ł�
a11 a12 L� a1n
ę�a a22 L� a2n ś�
a12 a22 L� a2n
ś�
detę� 12 lub .
ę� ś� M� M� O� M�
M� M� O� M�
ę�a an2 L� ann ś�
an1 an2 L� ann
�� n1 ��
Będziemy mówili wymiennie stopień wyznacznika �� stopień macierzy, element wyznacznika �� element macierzy, wiersz
wyznacznika �� wiersz macierzy, kolumna wyznacznika �� kolumna macierzy.
Fakt 3.3.2 (reguły obliczania wyznaczników 2-go i 3-go stopnia)
a b
�� ł�
A =�
1. Niech będzie macierzą stopnia 2. Wtedy
ę�c d ś�
�� ��
.
a b c
�� ł�
ę�d ś�
A =� e f
2. Niech będzie nacierzą stopnia 3. Wtedy
ę� ś�
ę�
��g h i ś�
��
.
Uwaga. Podany wyżej sposób obliczania wyznaczników stopnia 3 nazywamy regułą Sarrusa. Ten sposób obliczania
wyznaczników nie przenosi się na wyznaczniki wyższych stopni.
Fakt 3.3.3 (interpretacja geometryczna wyznaczników 2-go i 3-go stopnia)
r�
r�
1. Niech D oznacza równoległobok rozpięty na wektorach a =� (x1 , y1 ) , (rys. 3.3.1). Pole |D| tego
b =� (x2 , y2 )
równoległoboku wyraża się wzorem:
x1 y1
�� ł�
D =�| detę� | .
y2 ś�
��x2 ��
Rys. 3.3.1 Interpretacja geometryczna wyznacznika drugiego stopnia
r�
r�
2. Niech V oznacza równoległościan rozpięty na wektorach a =� (x1 , y1 , z1 ) , ,
b =� (x2, y2, z2)
c =� (x3, y3, z3)
(rys. 3.3.2). Objętość |V| tego równoległościanu wyraża się wzorem:
x1 y1 z1
�� ł�
V =�| detę�x2 y2 z2 ś� | .
ę� ś�
ę� ś�
y3 z3 ��
��x3
13
Rys. 3.3.2 Interpretacja geometryczna wyznacznika trzeciego stopnia
Def. 3.3.4 (dopełnienie algebraiczne)
Niech A = [a ] będzie macierzą kwadratową stopnia n ł� 2. Dopełnieniem algebraicznym elementu a macierzy A nazywamy
ij ij
liczbę:
def
Dij =� (-�1)i +� j det Aij ,
gdzie A oznacza macierz stopnia n  1 powstałą przez skreślenie i tego wiersza i j tej kolumny macierzy A.
ij
Tw. 3.3.5 (rozwinięcia Laplace a wyznacznika)
Niech A będzie macierzą kwadratową stopnia n ł� 2 oraz niech liczby 1 Ł� i, j Ł� n będą ustalone. Wtedy wyznacznik macierzy A
można obliczyć ze wzorów:
det A =� ai1Di1 +� ai2 Di 2 +� ... +� ain Din
1. .
Inaczej mówiąc, wyznacznik macierzy jest równy sumie iloczynów elementów i tego wiersza i ich dopełnień algebraicznych.
Wzór ten nazywamy rozwinięciem Laplace a wyznacznika względem i tego wiersza.
det A =� a1 j D1 j +� a2 j D2 j +� ... +� anj Dnj .
2.
Inaczej mówiąc, wyznacznik macierzy jest równy sumie iloczynów elementów j tej kolumny i ich dopełnień algebraicznych.
Wzór ten nazywamy rozwinięciem Laplace a wyznacznika względem j tej kilumny.
Uwaga. Dla ustalonych liczb 1 Ł� r, s Ł� n, gdzie r ą� s, prawdziwe są wzory:
as1Dr1 +� as 2 Dr 2 +� ... +� asn Drn =� 0
.
a1s D1r +� a2s D2r +� ... +� ans Dnr =� 0
Inaczej mówiąc, suma iloczynów elementów dowolnego wiersza i dopełnień algebraicznych elementów innego wiersza jest
równa 0. Podobnie, suma iloczynów dowolnej kolumny i odpowiadających im dopełniń algebraicznych innej kolumny jest
równa 0.
Fakt 3.3.6 (wyznacznik macierzy trójkątnej)
Niech A = [a ] będzie macierzą trójkątną dolną lub górną stopnia n ł� 2. Wtedy
ij
det A =� a11 �� a22 �� ... �� ann
.
Inaczej mówiąc, wyznacznik macierzy trójkątnej jest równy iloczynowi elementów stojących na głównej przekątnej.
3.4 DEFINICJA PERMUTACYJNA WYZNACZNIKA*
Def. 3.4.1 (permutacja)
Permutacją n elementową, gdzie n �� N, nazywamy każde różnowartościowe odwzorowanie p zbioru {1, 2, & , n} na siebie.
Permutację taką zapisujemy w postaci
1 2 K� i K� n
ć� ��
p =� �� ��
,
��
p1 p2 K� pi K� pn ��
Ł� ł�
gdzie p oznacza wartość permutacji p dla i, 1 Ł� i Ł� n. Zbiór wszystkich permutacji n elementowych oznaczamy przez P .
i n
Uwaga. Istnieje n! różnych permutacji n elementowych.
Def. 3.4.2 (inwersja, znak permutacji)
1 2 K� i K� j K� n
ć� ��
�� ��
p =�
Niech będzie permutacją n elementową. Para {p , p } elementów tej
i j
��
p1 p2 K� pi K� p K� pn ��
j
Ł� ł�
permutacji tworzy inwersję, gdy
pi >� p i <� j
oraz .
j
Znak permutacji p jest określony wzorem
def
k
,
sgn( p) =� (-�1)
gdzie k oznacza liczbę par elementów tej permutacji, które tworzą inwersje.
14
Def. 3.4.3 (wyznacznik macierzy)
Niech A = [a ] będzie macierzą kwadratową stopnia n. Wyznacznikiem macierzy A nazywamy liczbę detA określoną wzorem:
ij
def
det A =� a2 ...anp ,
��sgn( p)a1 p1 p2 n
p��Pn
1 2 K� n
ć� ��
p =� �� ��
gdzie , a sumowanie obejmuje wszystkie (tj. n!) permutacje n elementowe.
��
p1 p2 L� pn ��
Ł� ł�
Uwaga. Obie definicje wyznacznika, indukcyjna i permutacyjna, są równoważne.
3.5 WA
ASNOŚCI WYZNACZNIKÓW
Fakt 3.5.1 (własności wyznaczników)
1. Wyznacznik macierzy kwadratowej mającej kolumnę (wiersz) złożoną z samych zer jest równy 0.
a11 a12 K� 0 K� a1n
a21 a22 K� 0 K� a2n
=� 0
M� M� O� 0 O� M�
an1 an2 K� 0 K� ann
2. Wyznacznik macierzy kwadratowej zmieni znak jeżeli między sobą przestawimy dwie kolumny (wiersze).
a1i a1k a1k a1i
a2i a2k a2k a2i
=� -�
.
L� M� L� M� L� L� M� L� M� L�
ani ank ank ani
3. wyznacznik macierzy kwadratowej mającej dwie jednakowe kolumny (wiersze) jest równy 0.
a� a�
b� b�
=� 0
.
L� M� L� M� L�
w� w�
4. Jeżeli wszystkie elementy pewnej kolumny (wiersza) macierzy kwadratowej zawierają wspólny czynnik, to czynnik ten
można wyłączyć przed wyznacznik tej macierzy.
a11 a12 K� ca1i K� a1n a11 a12 K� a1i K� a1n
a21 a22 K� ca2i K� a2n a21 a22 K� a2i K� a2n
=� c
.
M� M� O� M� O� M� M� M� O� M� O� M�
an1 an2 K� cani K� ann an1 an2 K� ani K� ann
Ponadto
ca11 ca12 K� ca1i K� ca1n a11 a12 K� a1i K� a1n
ca21 ca22 K� ca2i K� ca2n a21 a22 K� a2i K� a2n
=� cn
.
M� M� O� M� O� M� M� M� O� M� O� M�
can1 can2 K� cani K� cann an1 an2 K� ani K� ann
5. Wyznacznik macierzy kwadratowej, której elementy pewnej kolumny (wiersza) są sumami dwóch składników jest równy
sumie wyznaczników macierzy, w których elementy tej kolumny (wiersza) są zastąpione tymi składnikami.
/ /
a11 a12 K� a1i K� a1n
a11 a12 K� a1i +� a1i K� a1n a11 a12 K� a1i K� a1n
/ /
a21 a22 K� a2i K� a2n
a21 a22 K� a2i +� a2i K� a2n a21 a22 K� a2i K� a2n
=� +�
M� M� O� M� O� M�
M� M� O� M� O� M� M� M� O� M� O� M�
/ /
an1 an2 K� ani K� ann
an1 an2 K� ani +� ani K� ann an1 an2 K� ani K� ann
.
6. Wyznacznik macierzy nie zmieni się, jeżeli do elementów dowolnej kolumny (wiersza) dodamy odpowiadające im
elementy innej kolumny (innego wiersza) tej macierzy pomnożone przez dowolną liczbę.
15
a11 a12 L� a1 j L� a1k L� a1n a11 a12 L� a1 j +� ca1k L� a1k L� a1n
a21 a22 L� a2 j L� a2k L� a2n a21 a22 L� a2 j +� ca2k L� a2k L� a2n
=�
.
M� M� O� M� O� M� O� M� M� M� O� M� O� M� O� M�
an1 an 2 L� anj L� ank L� ann an1 an2 L� anj +� cank L� ank L� ann
Ogólnie: wyznacznik macierzy nie zmieni się, jeżeli do elementów dowolnego wiersza (kolumny) dodamy sumę odpowia-
dających im elementów innych wierszy (kolumn) tej macierzy pomnożonych przez dowolną liczbę.
7. Wyznaczniki macierzy kwadratowej i jej transpozycji są równe.
a11 a12 L� a1n a11 a21 L� an1
a21 a22 L� a2n a12 a22 L� an2
=�
M� M� O� M� M� M� O� M�
an1 an2 L� ann a1n a2n L� ann
Uwaga. Korzystając z powyższych własności wyznaczników można istotnie uprościć jego obliczanie. W tym celu w
wybranym wierszu lub kolumnie wyznacznika staramy się uzyskać możliwie najwięcej zer. Do oznaczenia podanych wyżej
operacji na macierzach będziemy stosowali następujące symbole:
1. w �� w  oznacza zamianę między sobą i tego oraz j tego wiersza,
i j
2. k �� k  oznacza zamianę między sobą i tej oraz j tej kolumny,
i j
3. cw  oznacza pomnożenie i tego wiersza przez liczbę c,
i
4. ck  oznacza pomnożenie i tej kolumny przez liczbę c,
i
5. w + cw  oznacza dodanie do elemnetów i tego wiersza odpowiadających im elementów j tego wiersza pomnożonych
i j
przez liczbę c,
6. k + ck  oznacza dodanie do elemnetów i tej kolumny odpowiadających im elementów j tej kolumny pomnożonych
i j
przez liczbę c,
Wymienione wyżej przekształcenia macierzy nazywamy operacjami elementarnymi.
Fakt 3.5.2 (algorytm Chió obliczania wyznaczników)
Niech A = [a ] będzie macierzą kwadratową stopnia n ł� 3 oraz niech a ą� 0. Wówczas
ij 11
/ / /
�� ł�
a22 a23 L� a2n
ę� ś�
/ / /
a11 a1 j
a32 a33 L� a3n ś� �� ł�
1
/
det A =� �� detę� , gdzie aij =� detę�
ś�
ś�
(a11)n-�2 ę� M� M� O� M�
��ai1 aij ��
ę� ś�
/ / /
an3 L� ann ��
ę� ś�
��an2
dla i, j = 2, 3, & , n.
Uwaga. Algorytm Chió stosujemy głównie do obliczania wyznaczników macierzy niwielkich stopni, których elementy są
liczbami całkowitymi. Algorytm ten w prosty sposób pozwala obniżać stopnie obliczanych wyznaczników.
a12 a13 Ź� a1 j �� a1n
a11
/ / / /
a22 a23 L� a2 j L� a2n
a22 a23 L� a2 j M� a2n
a21
/ / / /
a32 a33 L� a3 j L� a3n
a32 a33 M� a3 j M� a3n
a31
M� M� O� �� O� M�
1
M� M� O� �� N� M�
�� =�
, gdzie
/ /
ai/ ai/ Ź� aij �� ain
(a11 )n-�2 2 3
ai ai3 Ź� aij �� ain
ai1 2
M� M� O� Ż� O� M�
M� M� N� Ż� O� M�
Ż�
/ / / /
an2 an3 L� anj L� ann
an2 an3 M� anj M� ann
an1
a11 a1 j
�� ł�
/
aij =� .
ę�a aij ś�
i1
�� ��
Rys. 3.5.1 Schemat algorytmu Chió obliczania wyznaczników
Tw. 3.5.3 (Cauchy ego o wyznaczniku iloczynu macierzy)
Niech A i B będą macierzami kwadratowymi tego samego stopnia. Wtedy
det( A �� B) =� det A �� det B
.
Fakt 3.5.4 (wyznacznik Vandermonde a)
Niech n ł� 2 oraz niech z , z , & , z będą liczbami zespolonymi. Wtedy
1 2 n
16
2 n-�1
1 z1 z1 L� z1
2 n-�1
def
1 z2 z2 L� z2
V (z1, z2 ,..., zn ) =� =� -� zk )
.
��(zl
M� M� M� O� M�
1Ł�k <�l Ł�n
2 n-�1
1 zn zn L� zn
V (z1 , z2 ,..., zn ) ą� 0
Jeżeli liczby z , z , & , z są parami różne, to .
1 2 n
3.6 MACIERZ ODWROTNA
Def. 3.6.1 (macierz odwrotna)
Niech A będzie macierzą stopnia n. Macierzą odwrotną do macierzy A nazywamy macierz B spełniającą warunek:
AB = BA = I ,
n
gdzie I oznacza macierz jednostkową stopnia n. macierz odwrotną do macierzy A oznaczamy przez A 1.
n
Uwaga. Jeżeli macierz A ma macierz odwrotną, to nazywamy ją odwracalną i wówczas detA ą� 0. Macierz odwrotna do danej
macierzy jest określona jednoznacznie.
Def. 3.6.2 (macierz osobliwa i nieosobliwa)
Macierz kwadratową A nazywamy macierzą osobliwą, gdy
det A =� 0 .
W przeciwnym przypadku mówimy, że macierz A jest nieosobliwa.
Fakt 3.6.3 (warunek odwracalności macierzy)
Macierz kwadratowa jest odwracalna wtedy i tylko wtedy, gdy jest nieosobliwa.
Tw. 3.6.4 (o postaci macierzy odwrotnej)
Niech macierz A = [a ] stopnia n będzie nieosobliwa. Wtedy
ij
T
D11 D12 L� D1n
�� ł�
ę�D D22 L� D2n ś�
1
21
ę� ś�
A-�1 =� ,
ę� ś�
det A M� M� O� M�
ę� ś�
Dn2 L� Dnn ��
��Dn1
gdzie D oznaczają dopełnienia algebraiczne elementów a macierzy A.
ij ij
a b
�� ł�
A =�
Uwaga. Dla macierzy nieosobliwej wzór na macierz odwrotną ma postać:
ę�c d ś�
�� ��
d -� b
1 �� ł�
A-�1 =�
.
ę�-� ś�
ad -� bc c a
�� ��
Fakt 3.6.5 (własności macierzy odwrotnych)
Niech macierze A i B tego samego stopnia będą odwracalne oraz niech a� �� C\{0}. Wtedy macierze A 1, AT, AB, a�A także są
odwracalne i prawdziwe są równości:
-�1 -�1
-�1
1. 4.
det(�A-�1)� =� (�det A)� (� AB)� =� B A-�1
-�1
1
-�1
2.
(�A-�1)� =� A
5. (�a�A)� =� (�A-�1)�
a�
-�1 T
3.
(�AT )� =� (�A-�1)�
Fakt 3.6.6 (bezwyznacznikowy sposób znajdowania macierzy odwrotnej)
Niech A będzie macierzą nieosobliwą. Aby znalez
ć macierz odwrotną do macierzy A postępujemy w następujący sposób. Z
prawej strony macierzy A dopisujemy macierz jednostkową I tego samego stopnia. Na wierszach otrzymanej w ten sposób
macierzy blokowej [A|I] będziemy wykonywać następujące operacje elementarne:
1. przestawiać między sobą dwa dowolne wiersze (w �� w ),
i j
2. dowlny wiersz mnożyć przez stałą różną od zera (cw ),
i
3. do elementów dowolnego wiersza dodawać sumy odpowiadających im elementów innych wierszy pomnożonych przez
dowolne liczby (w + cw ).
i j
Przy pomocy tych operacji sprowadzamy macierz blokową [A|I] do postaci [I|B]. Macierz B jest wtedy macierzą odwrotną do
macierzy A, tj. B = A 1.
17
[� A | I]� ��dzial�� na wierszach | A-�1]�
��ania����
���[�I
Rys. 3.6.1 Schemat bezwyznacznikowego sposobu znajdowania macierzy odwrotnej.
3.7 ALGORYTM SPROWADZANIA MACIERZY DO POSTACI JEDNOSTKOWEJ
Fakt 3.7.1 (algorytm Gaussa)
Niech A będzie macierzą stopnia n ł� 2 o wyznaczniku różnym od zera. Macierz tę można przekształcić do macierzy
jednostkowej I wykonując na jej wierszach następujące operacje elementarne:
n
1. zamiana między sobą dwóch dowolnych wierszy,
2. mnożenie dowolnego wiersza przez liczbę różną od zera,
3. dodawanie do elementów dowolnego wiersza odpowiadających im elementów innego wiersza pomnożonych przez
dowolną liczbę.
Macierz jednostkową uzyskamy w dwóch krokach:
I krok. Otrzymanie macierzy trójkątnej górnej z jedynkami na głównej przekątnej postaci:
1 b12 b13 L� b1n
�� ł�
ę�0 1 b23 L� b2n ś�
ę� ś�
ę� ś�
0 0 1 L� b3n
ę� ś�
ę�M� M� M� O� M� ś�
ę�0 0 0 L� 1 ś�
�� ��
Operacje elementarne wykonujemy tak, aby kolejne kolumny macierzy A uzyskały przedstawioną powyżej postać.
Przekształcenia zaczynamy od uzyskania odpowiedniej postaci pierwszej kolumny. Jeżeli a ą� 0, to wiersze w , w , & , w
11 1 2 n
/ / /
macierzy A przekształacamy kolejno na wiersze w1 , w2 ,..., wn według wzorów:
w1
��w/ =�
1
��
a11
��
��w =� w2 -� a21w1/ .
/
��
2
��M�
��
/
��wn =� wn -� an1w1/
��
Jeżeli natomiast a = 0, to wiersze macierzy A przestawiamy tak, aby w jej lewym górnym rogu znalazł się element niezerowy
11
i dalej wykonujemy wymienione wcześniej operacje.
Kolejne kolumny z jedynkami na przekątnej i zerami poniżej przekątnej uzyskujemy stosując przedstawione wyżej postępowa-
nie do macierzy coraz niższych stopni, począwszy od stopnia n  1 aż do stopnia 1 włącznie.
II krok. Otrzymanie macierzy jednostkowej postaci:
1 0 0 L� 0
�� ł�
ę�0 1 0 L� 0ś�
ę� ś�
ę� ś�
0 0 1 L� 0
ę�M� M� M� O� M�ś�
ę� ś�
ę�0 0 0 L� 1ś�
�� ��
/ / / // // //
Wiersze wn , wn -�1,..., w1 otrzymanej macierzy trójkątnej przekształcamy kolejno na wiersze wn , wn -�1,..., w1
macierzy jednostkowej w następujący sposób:
// /
��
wn =� wn
��
// / //
��wn-�1 =� wn-�1 -� bn-�1 nwn
��
// / // //
��w =� wn-�22 -� bn-�2 wn-�1 -� bn-�2 wn .
n-�2 n-�1 n
��M�
��
// / // // //
��w1 =� w1 -� b12w2 -� b13w3 -� ... -� b1nwn
��
18
Uwaga. Macierzy o wyznaczniku 0 nie można sprowadzić do macierzy jednostkowej. Algorytm Gaussa jest bardzo wygodnym
narzędziem przy obliczaniu wyznaczniow, odwracaniu macierzy, określaniu ich rzędów oraz przy rozwiązywaniu układów
równań liniowych.
4. UKA
ADY RÓWNAC
LINIOWYCH
4.1 PODSTAWOWE OKREŚLENIA
Def. 4.1.1 (układ równań liniowych, rozwiązanie układu równań)
Układem m równań liniowych z n niewiadomymi x , x , & , x , gdzie m, n �� N, nazywamy układ równań postaci:
1 2 n
a11x1 +� a12x2 +� ... +� a1nxn =� b1
��
��a x1 +� a22x2 +� ... +� a2nxn =� b2
��
21
,
��
M� M� O� M� M�
��
��am1x1 +� am2x2 +� ... +� amnxn =� bm
��
gdzie a �� R, b �� R dla 1 Ł� i Ł� m, 1 Ł� j Ł� n.
ij i
Rozwiązaniem układu równań liniowych nazywamy każdy ciąg (x , x , & , x ) n liczb rzeczywistych spełniających ten układ.
1 2 n
Układ równań, który nie ma rozwiązań nazywamy układem sprzecznym.
Uwaga. Powyższy układ równanń liniowych można zapisać w postaci macierzowej:
AX = B,
gdzie
a11 a12 L� a1n x1 b1
�� ł� �� ł� �� ł�
ę�a a22 L� a2n ś� ę�x ś� ę�b ś�
def def def
12 2 2
ę� ś� ę� ś� ę� ś�
A =� , X =� , B =� .
ę� ś� ę� ś� ę� ś�
M� M� O� M� M� M�
ę� ś� ę� ś� ę� ś�
am2 L� amn ��
��am1 ��xn �� ��bm ��
Macierz A nazywamy macierzą główną układu równań liniowych, macierz X macierzą (kolumną) niewiadomych, a B macierzą
(kolumną) wyrazów wolnych. Rozważa się także układy równań liniowych, w których macierze A, X oraz B są zespolone. W
przypadku  małej liczby niewiadomych będziemy je oznaczać literami x, y, z, t, u, v, w.
Def. 4.1.2 (układ jednorodny i niejednorodny)
Układ równań liniowych postaci
AX = 0,
gdzie A jest macierzą wymiaru m �� n, natomiast 0 jest macierzą zerową wymiaru m �� 1, nazywamy układem jednorodnym.
Układ równań liniowych postaci
AX = B,
w którym B jest macierzą niezerową nazywamy układem niejednorodnym.
Uwaga. Jednym z rozwiązań każdego układu jednorodnego AX = 0 jest macierz zerowa
0
�� ł�
ę�0ś�
ę� ś�
X =�
ę� ś�
M�
ę�0ś�
�� ��
wymiaru n �� 1, gdzie n oznacza liczbę kolumn macierzy A.
4.2 UKA
ADY CRAMERA
Def. 4.2.1 (układ Cramera)
Układem Cramera nazywamy układ równań liniowych AX = B, w którym A jest macierzą nieosobliwą.
Tw. 4.2.2 (wzór Cramera)
Układ Cramera AX = B ma dokładnie jedno rozwiąznie. Rozwiązanie to jest określone wzorem
19
det A1
�� ł�
ę�det A2 ś�
1
ę� ś�
X =� ,
ę� ś�
det A M�
ę�det An ś�
�� ��
gdzie n oznacza stopień macierzy A, natomiast A , dla 1 Ł� j Ł� n, oznacza macierz A, w której j tą kolumnę zastąpiono kolumną
j
wyrazów wolnych B, tzn.
a11 a12 K� b1 K� a1n
�� ł�
ę�a a22 K� b2 K� a2n ś�
def
21
ę� ś�
Aj =� .
ę� ś�
M� M� O� M� O� M�
ę�a an2 K� bn K� ann ś�
�� n1 ��
Uwaga. Równość określającą rozwiązanie układu równań liniowych nazywamy wzorem Cramera. Równość ta po rozpisaniu
przyjmuje postać:
det A1 det A2 det An
x1 =� , x2 =� , & , xn =� ,
det A det A det A
zwaną wzorami Cramera.
Fakt 4.2.3 (metoda macierzy odwrotnej)
Rozwiązanie układu Cramera AX = B jest określone wzorem: .
X =� A-�1B
4.3 METODA ELIMINACJI GAUSSA DLA UKA
ADÓW CRAMERA
Fakt 4.3.1 (metoda eliminacji Gaussa dla układów Cramera)
Niech AX = B będzie układem Cramera, w którym A jest macierzą stopnia n. Rozwiązanie tego układu znajdujemy w następu-
jący sposób:
1. budujemy macierz rozszerzoną układu postaci
��a11 a12 L� a1n b1 ł�
ę�a a22 L� a2n b2 ś�
21
ę� ś�
[� A | B]� =�
.
ę�
M� M� O� M� M�ś�
ę� ś�
ę�a an2 L� ann bn ś�
n1
�� ��
[�I | X ]�
2. przekształcamy macierz rozszerzoną do postaci wykonując na jej wierszach następujące operacje elementarne:
a) zamianę między sobą dwóch dowolnych wierszy (w �� w ),
i j
b) pomnożenie dowolnego wiersza przez liczbę różną od zera (cw ),
i
c) dodanie do elementów dowolnego wiersza odpowiadających im elementów innego wiersza pomnożonego przez dowolną
liczbę (w + cw ).
i j
Operacje te mają na celu doprowadzenie macierzy rozszerzonej do postaci:
��
1 0 L� 0 x1 ł�
ę�0 1 L� 0 x2 ś�
ę� ś�
[�I | X ]� =�
ę�M� M� O� M� M�ś� .
ę� ś�
ę�0 0 L� 1 xn ś�
�� ��
Ostatnia kolumna macierzy rozszerzonej (macierz X) jest wtedy rozwiązaniem wyjściowego układu równań.
[�A| B]��operacje ����na wierszach | X ]�
���elementarne �����[�I
Rys. 4.3.1 Schemat metody eliminacji Gaussa rozwiązywania układów równań liniowych.
Uwaga. Przy przekształcaniu macierzy rozszerzonej układu do postaci końcowej możemy wykorzystać algorytm Gaussa
sprowadzania macierzy nieosobliwej do postaci jednostkowej podany w fakcie 3.7.1.
Uwaga. Praktyczną wersją metody eliminacji Gaussa dla układów Cramera jest metoda kolumn jednostkowych. Polega ona
na przekształceniu macierzy rozszerzonej układu w celu doprowadzenia wszystkich kolumn macierzy tego układu do postaci
jednostkowej (tzn. z jedną jedynką i resztą zer). Jedynki z różnych kolumn muszą się przy tym znalez
ć w różnych wierszach.
Końcowa postać [I/|X/] macierzy rozszerzonej będzie się różnić od postaci[I|X] jedynie kolejnością wierszy. Dla układu
20
Cramera z n niwiadomymi metoda ta wymaga n kroków, gdyż w każdym kroku przekształca się ostatecznie całą kolumnę.
Kolejność przekształcanych kolumn oraz położenie końcowych  jedynek jest dowolna, przy czym wygodnie jest do
przekształcenia wybrać kolumnę składającą się z jedynki,  małych liczb całkowitych i  dużej liczby zer. W porównaniu z
klasycznym algorytmem Gaussa metoda ta nie wymaga przestawiania wierszy ani budowania macierzy trójkątnej. Wymaga
jednak wykonania większej liczby mnożeń.
Fakt 4.3.2 (algorytm przekształcania j tej kolumny)
Chcąc w miejsce niezerowego elementu a otrzymać  jedynkę , a na pozostałych miejscach j tej kolumny same zera
ij
wystarczy i ty wiersz macierzy rozszerzonej podzielić przez a . Następnie należy od pozostałych kolejnych wierszy
ij
odejmować i ty wiersz mnożony odpowiednio przez a , a , & , a , a , & , a . Schematycznie przedstawimy to poniżej
1j 2j i-1j i+1j nj
L� a1 j L� L� a1 j L�
�� .ł� �� .ł� ��L� 0 L� .ł�
ę�O� M� O� M�ś� ę�O� M� O� M�ś� ę�O� M� O� M�ś�
ę� ś� ę� ś� ę� ś�
j
ę� ę�
L� ai-�1 j L� L� ai-�1 j L�
.ś� .ś� w1-�a1 wi ę�L� 0 L� .ś�
M�
ę� ś� ę� ś� ę� ś�
: aij
i i-�1 j
L� 1 L� .
����ę� .ś� wi+�1-�ai+�1 wi L� 1 L� .ś�
��w ai-�1
��-����ę�
ę�L� aij L� .ś� ��w
wi
j
ę�L� ai+�1 j L� .ś� ę�L� ai+�1 j L� .ś� M� ę�L� 0 L� .ś�
wn -�anjwi
ę� ś� ę� ś� ę� ś�
ę�O� M� O� M�ś� ę�O� M� O� M�ś� ę�O� M� O� M�ś�
ę�L� anj L� .ś� ę�L� anj L� .ś� ę�L� 0 L� .ś�
�� �� �� �� �� ��
4.4 METODA ELIMINACJI GAUSSA DLA DOWOLNYCH UKA
ADÓW RÓWNAC
LINIOWYCH
Def. 4.4.1 (równoważność układów równań liniowych)
Niech A, A/, B, B/ będą macierzami o wymiarach odpowiednio m �� n, k �� n, m �� 1, k �� 1. Ponadto niech
/
�� ł�
x1
x1
�� ł�
ę� ś�
ę�x ś� /
2 /
ę�x2 ś�
ę� ś�
X =� , X =�
ę� ś� ę�
M�
M�ś�
ę�x ś�
ę� ś�
/
�� n ��
ę� ś�
��xn ��
/ / /
będą macierzami niewiadomych, przy czym ciąg (�x1 , x2 ,..., xn )� jest permutacją ciągu (x , x , & , x ). Mówimy, że
1 2 n
układy równań liniowych AX = B i A/X/ = B/ są równoważne, jeżeli zbiory ich rozwiązań są identyczne.
Fakt 4.4.2 (o równoważnym przekształcaniu układów równań)
Podane poniżej operacje na wierszach macierzy rozszerzonej [A|B] układu równań liniowych AX = B przekształcają go na
układ równoważny:
1. zamiana między sobą wierszy (w �� w ),
i j
2. mnożenie wiersza przez stałą różną od zera (cw ),
i
3. dodawanie do ustalonego wiersza innego wiersza wyraz po wyrazie (w + w ),
i j
4. skreślenie wiersza złożonego z samych zer (w ),
i
5. skreślenie jednego z wierszy równych lub proporcjonalnych (w ~ w ).
i j
Dodatkowo otrzymuje się układ równoważny, jeżeli w macierzy A zamienimy miejscami dwie kolumny przy jednoczesnej
zamianie niewiadomych (k �� k ).
i j
21
niewiadome niewiadome
x1 xi x xn x1 x xi xn
j j
Ż� Ż� Ż� Ż� Ż� Ż� Ż� Ż�
a11 L� a1i L� a1 j L� a1n a11 L� a1 j L� a1i L� a1n
�� ł� �� ł�
ę�a L� a2i L� a2 L� a2n ś� ę�a L� a2 L� a2i L� a2n ś�
21 j j
i j
ę� ś� ś�
A =� ��k ��k 21 =� A/
����ę�
ę� ś� ę� ś�
M� O� M� O� M� O� M� M� O� M� O� M� O� M�
ę� ś� ę� ś�
ę�a L� ami L� amj L� amn ś� ę�a L� amj L� ami L� amn ś�
m1 m1
�� �� �� ��
Fakt 4.4.3. (metoda eliminacji Gaussa)
Niech AX = B będzie układem równań liniowych, gdzie A jest macierzą wymiaru m �� n. Wówczas układ ten rozwiązujemy
następująco:
1. budujemy macierz rozszerzoną układu postaci:
niewiadome
x1 x2 xn
Ż� Ż� Ż�
�� a11 a12 L� a1n b1 ł�
ę�a a22 L� a2n b2 ś�
21
ę� ś�
[� A | B]� =�
ę�
M� M� O� M� M�ś�
ę� ś�
ę�a a2m L� amn bm ś�
m1
�� ��
2. na macierzy rozszerzonej dokonujemy równoważnych przekształceń układu sprowadzając ją do postaci:
parametry
niewiadome
/ / / / /
x1 x2 xr xr +�1 xn
Ż� Ż� Ż� Ż� Ż�
��1 0 L� 0 | s1r +�1 L� s1n z1 ł�
.
ę�0 1 L� 0 | s2r L� s2n z2 ś�
+�1
ę� ś�
/
ę�M� ś�
[�A/ | B ]� =� M� O� | M� O� M� M�
ę� ś�
+�1
ę�0 0 L� 1 | srr L� srn zr ś�
ę�0 0 L� 0 | 0 L� 0 zr +�1 ś�
�� ��
Wówczas,
a) jeżeli z ą� 0, to układ AX = B jest sprzeczny,
r+1
b) jeżeli z = 0 i n = r, to układ AX = B jest równoważny układowi Cramera i jego jedyne rozwiązanie ma postać x = z , x =
r+1 1 1 2
z , & , x = z ,
2 n n
c) jeżeli z = 0 i n > r, to układ AX = B ma nieskończenie wiele rozwiązań, przy czym r spośród zmiennych x , x , & , x
r+1 1 2 n
/ / /
oznaczanych symbolami x1 , x2 ,..., xr zależy od pozostałych n  r zmiennych oznaczanych symbolami
/ / /
xr +�1 , xr +� 2 ,..., xn w następujący sposób:
/ /
�� ł� z1 s1r+�1 s1r +�2 L� s1n �� ł�
x1 �� ł� �� ł� xr +�1
ę�x/ ś� ę� ś�
ę�z ś� ę�s s2r L� s2n ś�
/
2 2r +�1 +�2
2
ę� ś� ę�xr +�2 ś�
ę� ś� ę� ś�
=� -� .
ę� ę� ś�
ś�
M� M� M� O� M�
M�ś� ę� ś� ę� M�
ę� ś� ę� ś�
ę�z ś� ę�s srr L� srn ś�
/ /
xn
ę� ś� ę� ś�
�� 3 �� �� rr +�1 +�2 ��
��xr �� �� ��
/ / /
Uwaga. Liczba r jest wyznaczona jednoznacznie. Jest to tzw. rząd macierzy A. Zmienne x1 , x2 ,..., xr będziemy
/ / /
nazywać zmiennymi zależnymi, a zmienne xr +�1 , xr +� 2 ,..., xn zmiennymi niezależnymi lub parametrami. Podział
zmiennych na zależne i parametry nie jest jednoznaczny, ale nie jest też dowolny. Przy przekształcaniu macierzy rozszerzonej
układu do postaci końcowej możemy wykorzystać algorytm sprowadzania macierzy nieosobliwej do postaci jednozstkowej
(patrz fakt 3.7.1). W przeciwieństwie do układu Cramera, omówionego w poprzednim paragrafie, mogą pojawić się tu trzy
nowe sytuacje:
1. wiersz złożony z samych zer  wtedy go skreślamy,
2. dwa wiersze równe lub proporcjonalne  wtedy skreślamy jeden z nich,
22
3. brak elementu niezerowego w kolejnej kolumnie powodujący niemożność ustawienia kolejnej jedynki na przekątnej 
wtedy całą kolumnę wraz z jej zmienną przestawiamy na miejsce przedostatnie przed kolumnę wyrazów wolnych
(zmienna ta staje się parametrem).
Uwaga. Praktyczną wersją metody eliminacji Gaussa dla dowolnych układów równań liniowych jest metoda kolumn
jednostkowych. Jest ona rozszerzeniem metody opisanej dla układów Cramera (patrz fakt 4.3.2) na przypadek ogólny. Polega
ona na równoważnym przekształceniu macierzy rozszerzonej układu, w celu doprowadzenia możliwie największej liczby
kolumn do postaci jednostkowej. Jedynki z różnych kolumn jednostkowych powinny się przy tym znależć w różnych
wierszach. Przekształcenie poszczególnych kolumn wykonujemy dokładnie tak samo, jak dla układów Cramera. Przy wyborze
tych kolumn oraz miejsc na jedynki mamy pełną dowolność. Jednoznacznie określona jest tylko liczba tych kolumn, ale
pojawia się ona w naturalny sposób na końcu postępowania. Najwygodniej jest brać do przekształceń kolumny zawierające
 małe liczby całkowite i  dużo zer. W przypadku dowolnych układów równań w trakcie postępowania mogą pojawić się
wiersze zerowe  wtedy je skreślamy, wiersze równe lub proporcjonalne  wtedy skreślamy jeden z nich. Może się także
zdarzyć, że w macierzy rozszerzonej układu pojawi się wiersz zerowy z elementem niezerowym w kolumnie wyrazów
wolnych. Taki układ równań jest oczywiście sprzeczny. Jeśli tak się nie zdarzy, to postępowanie kończy się wtedy, gdy liczba
wyróżnionych kolumn jest równa liczbie wierszy, które pozostały w macierzy. Rozwiązanie układu odczytujemy teraz z
końcowej postaci macierzy, wyróżnione  jedynki wskazują zmienne zależne.
5. GEOMETRIA ANALITYCZNA W PRZESTRZENI
5.1 WEKTORY
Def. 5.1.1 (przestrzeń R3)
Przestrzenią R3 nazywamy zbiór wszystkich uporządkowanych trójek (x,y,z) liczb rzeczywistych;
def
.
R3 =�{�(x, y, z) : x, y, z �� R}�
Uwaga. Przestrzeń R3 będziemy interpretować geometrycznie na trzy sposoby, tzn. jako:
1. zbiór wszystkich punktów P = (x,y,z) w przestrzeni (rys. 5.1.1). W tej interpretacji elementy przestrzeni R3 nazywamy
punktami i oznaczamy przez A, B, C, P, Q itd. Liczby x, y, z nazywamy wtedy współrzędnymi punktu P = (x,y,z).
Rys. 5.1.1 Punkty w przestrzeni
r�
2. zbiór wszystkich wektorów zaczepionych w przestrzeni. Wektory te mają wspólny początek O = (0,0,0), a
a =� OP
końce w punktach P = (x,y,z) (rys. 5.1.2). Wektor nazywamy wektorem wodzącym punktu P. W tej interpretacji
OP
r�
r� r� r� r� r�
elementy przestrzeni R3 nazywamy wektorami i oznaczamy przez a, b , c, u, v, w itd. Wektory wodzące punktów
r� r� r� r�
r , r0 , r1 a =� (x, y, z)
będziemy oznaczali przez itd. Liczby x, y, z nazywamy współrzędnymi wektora .
Rys. 5.1.2 Wektory zaczepione
r�
3. zbiór wszystkich wektorów swobodnych w przestrzeni. Przez wektor swobody (rys. 5.1.3) rozumiemy tutaj zbiór
u
wszystkich wektorów zaczepionych w różnych punktach, które mają ten sam kierunek, a zwrot oraz długość co wektor
r�
u . W tej interpretacji elementy przestrzeni R3 także nazywamy wektorami.
Rys. 5.1.3 Wektory swobodne
23
Def. 5.1.2 (punkty współliniowe i współpłaszczyznowe)
1. Mówimy, że punkty A, B, C przestrzeni R3 są współliniowe, gdy istnieje prosta, do której należą te punkty (rys. 5.1.4).
Rys. 5.1.4 Punkty A, B, C są współliniowe
2. Mówimy, że punkty K, L, M, N przestrzeni R3 są współpłaszczyznowe, gdy istnieje płaszczyzna, do której należą te
punkty.
Rys. 5.1.5 Punkty K, L, M, N są współpłaszczyznowe
Def. 5.1.3 (wektory współliniowe i współpłaszczyznowe)
r�
r�
1. Mówimy, że wektory są współliniowe, gdy istnieje prosta, w której zawarte są te wektory (rys. 5.1.6). Wektory
a, b
r�
r�
r�
współliniowe będziemy nazywać także wektorami równoległymi; piszemy wtedy a || b . Przyjmujemy, że wektor
o
jest równoległy do dowolnego wektora.
r�
r�
Rys. 5.1.6 Wektory są współliniowe
a, b
r� r� r�
u, v , w
2. Mówimy, że wektory są współpłaszczyznowe, gdy istnieje płaszczyzna, w której zawarte są te wektory.
r�
Przyjmujemy, że wektor i dwa dowolne wektory są współpłaszczyznowe.
o
r� r� r�
u, v , w
Rys. 5.1.7 Wektory są współpłaszczyznowe
Def. 5.1.4 (działania na wektorach)
r� r� r� r� r�
u =� (x, y, z)
Niech , w =� (x1 , y1 , z1 ) , v =� (x2 , y2 , z2 ) oraz niech a� �� R. Sumę wektorów i
w v
określamy wzorem:
r� r�def
.
w +� v =� (x1 +� x2 , y1 +� y2 , z1 +� z2 )
r� r�
Różnicę wektorów i określamy wzorem:
w v
r� r�def
.
w -� v =� (x1 -� x2 , y1 -� y2 , z1 -� z2 )
r�
Iloczyn wektora przez liczbę rzeczywistą a� określamy wzorem:
u
def
r�
.
a�u =� (a�x,a�y,a�z)
24
def def
r�
r� r�
Dodatkowo przyjmujemy oznaczenia . Wektor nazywamy wektorem
oraz o
o =� (0,0,0) -� u =� (-�x,-� y,-�z)
r� r�
zerowym, a wektor wektorem przeciwmym do wektora .
-� u u
Fakt 5.1.5 (warunki równoległości i współpłaszczyznowości wektorów)
r�
r�
1. Mówimy, że wektory i są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje liczba rzeczywista a� taka, że
a
b
r�
r�
.
b =� a�a
r�
r� r�
2. Mówimy, że wektory , , są współpłaszczyznowe wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją liczby rzeczywiste a� i b�
a c
b
takie, że
r�
r� r�
c =� a�a +� b�b .
Fakt 5.1.6 (własności dziłań na wektorach)
r� r� r�
u, v , w
Niech będą wektorami w R3 oraz niech a�, b� �� R. Wtedy
r� r� r� r�
1. dodawanie wektorów jest działaniem przemiennym,tj. ur�+� v =� v +�r� r� r�
u ,
r� r�
u +� (v +� w) =� (u +� v) +� w
2. dodawanie wektorów jest działaniem łącznym, tj. ,
r� r� r� r�
3. wektor jest elementem neutralnym dodawania, tj. ur� o =�r�u ,
o +�
r� r� r�
u +� (-�u) =� o
4. wektor jest elementem przeciwnym do wektora , tj. ,
-� u
r� r�u
5. 1�� u =�r� ,
u
r�
(a�b� )u =� a� (b�u)
6. ,
r� r� r�
(a� +� b� )u =� a�u +� b�u)
7. ,
r� r� r� r�
a� (u +� v) =� a�u +� a�v
8. .
Fakt 5.1.7 (o własnościach rzutów wektorów)
r� r� r�
u, v , w
Niech
będą dowolnymi wektorami w R3 oraz niech a� �� R. Ponadto niech l będzie dowolną prostą w przestrzeni.
Wtedy
r� r�
u, v
1. rzut prostokątny sumy wektorów na prostą l jest równy sumie rzutów tych wektorów na tę prostą,
r�
2. rzut prostokątny iloczynu wektora przez liczbę a� na prostą l jest równy iloczynowi rzutu tego wektora na tę prostą
w
przez liczbę a�.
Def. 5.1.8 (układ współrzędnych w przestrzeni)
Układem współrzędnych w przestrzeni nazywamy trzy ustalone proste x, y, z przecinające się w jednym punkcie 0, które są
wzajemnie prostopadłe. Taki układ współrzędnych oznaczamy przez Oxyz. Proste Ox, Oy, Oz nazywamy osiami, a płaszczyzny
xOy, yOz, xOz płaszczyznami układu współrzędnych.
Def. 5.1.9 (orientacja układu współrzędnych w przestrzeni)
W zależności od wzajemnego położenia osi Ox, Oy, Oz układu współrzędnych wyróżniamy dwie jego orientacje: układ
prawoskrętny (rys. 5.1.8) i układ lewoskrętny (rys. 5.1.9).
Rys. 5.1.8 Układ współrzędnych o orientacji Rys. 5.1.9 Układ współrzędnych o orientacji
prawoskrętnej lewoskrętnej
Uwaga. Nazwa układ prawoskrętny pochodzi z następującej interpretacji: jeżeli prawą rękę umieścimy tak, aby kciuk
wskazywał dodatnią część osi Oz, to zgięte palce wskażą kierunek obrotu od osi Ox do osi Oy. Podobną interpretację ma układ
lewoskrętny.
Def. 5.1.10 (wersory na osiach układu współrzędnych)
r�
r� r�
Wektory i =� (1,0,0), j =� (0,1,0), k =� (0,0,1) nazywamy wersorami odpowiednio na osiach Ox, Oy, Oz (rys. 5.1.8
i 5.1.9).
Def. 5.1.11 (długość wektora)
r�
v =� (x, y, z)
Długość wektora jest określona wzorem:
25
def
r�
2 2 2
.
v =� x +� y +� z
r�
v =� (x, y, z)
Uwaga. Długość wektora
jest równa odległości punktu P = (x,y,z) od początku układu współrzędnych (rys.
5.1.10).
Rys. 5.1.10 Interpretacja geometryczna długości wektora
Fakt 5.1.12 (własności długości wektora)
r� r�
u, v
Niech będą wektorami w R3 oraz niech a� �� R. Wtedy
r� r� r� r� r� r� r� r�
u ł� 0 u =� 0 �� u =� o u +� v Ł� u +� v
1. , przy czym 3.
r� r� r� r� r� r�
a�u =� a� �� u u -� v Ł� u -� v
2. 4.
Uwaga. Nierówność 3 jest prawdziwa także dla dowolnej liczby składników. Nierówność tę ze względu na jej interpretację
geometryczną nazywamy nierównością trójkąta (rys. 5.1.11). równość w tej nierówności jest możliwa tylko wtedy, gdy
r� r� r� r� r� r�
v =� b�u
lub albo, gdy
u =� o v =� o dla pewnego b� > 0.
Rys. 5.1.11 Ilustracja nierówności trójkąta
Fakt 5.1.13 (położenie punktu podziału odcinka)
r� r�
Niech r1 oraz r2 będą wektorami wodzącymi odpowiednio punktów A i B. Punkt P podziału odcinka AB w stosunku 1 : l�,
gdzie l� > 0, ma wektor wodzący
r� r�
r� l�r1 +� r2
r =� .
1 +� l�
r� r� r�
r =� (x, y, z)
Uwaga. Jeżeli r1 =� (x1, y1, z1 ), r2 =� (x2 , y2 , z2 ) , to współrzędne wektora wyrażają się
wzorami:
l�x1 +� x2
��
��x =� 1+� l�
��
l�y1 +� y2
��y =�
.
��
1+� l�
��
�� l�z1 +� z2
��z =� 1+� l�
��
Rys. 5.1.12 Podział odcinka AB w stosunku 1 : l�
Fakt 5.1.14 (współrzędne środka masy układu punktów materialnych)
26
r�
ri
Niech , gdzie 1 Ł� i Ł� k, będą wektorami wodzącymi punktów materialnych P o masach m . Wektor wodzący środka masy
i i
C tego układu punktów materialnych ma postać:
r� r� r�
m1r1 +� m2r2 +� ... +� mk rk
r�
r =�
.
m1 +� m2 +� ... +� mk
r� r�
ri =� (xi , yi , zi ) r =� (x, y, z)
Uwaga. Jeżeli , gdzie 1 Ł� i Ł� k, to współrzędne wektora wyrażają się wzorami:
�� m1x1 +� m2x2 +� ... +� mk xk
��x =� m1 +� m2 +� ... +� mk
��
��
m1y1 +� m2 y2 +� ... +� mk yk
��y =�
.
��
m1 +� m2 +� ... +� mk
��
��
m1z1 +� m2z2 +� ... +� mk zk
z =�
��
�� m1 +� m2 +� ... +� mk
��
5.2 ILOCZYN SKALARNY
Def. 5.2.1 (iloczyn skalarny)
r� r� r� r�
u, v
Niech będą dowolnymi wektorami w R3. Iloczyn skalarny wektorów i określamy wzorem:
u v
r� r�def r� r�
,
u o� v =� u �� v �� cosj�
r� r�
gdzie j� jest miarą kąta między wektorami u i v (rys. 5.2.1).
Rys. 5.2.1 Ilustracja do definicji iloczynu skalarnego
r� r�
Uwaga. Miara kąta między wektorami niezerowymi i wyraża się wzorem:
u v
r� r�
u o� v
j� =� arc cos
r� r�
.
u �� v
r� r�
Rzut prostopadły wektora na wektor wyraża się wzorem:
u v
r� r�
r� u o� v r�
w =� �� v
.
r� 2
v
Fakt 5.2.2 (wzór do obliczania iloczynu skalarnego)
r� r�
Niech u =� (x1, y1, z1) oraz v =� (x2 , y , z ) będą wektorami w R3. Wtedy
r�2 r�2
u o� v =� x1x2 +� y1 y2 +� z1z2 .
Fakt 5.2.3 (własności iloczynu skalarnego)
r� r� r�
u, v , w
Niech będą dowolnymi wektorami w R3 oraz niech a� �� R. Wtedy
r� r� r� r�
1. u o�r�v =�r� o� u ,
v
r� r�
2. (�a�u)� o� v =� a�(�v o� u)� ,
r� r� r� r� r� r� r�
3. (�u +� v)� o� w =� u o� w +� v o� w ,
r� r� r� 2
u o� u =� u
4. ,
r� r� r� r�
u o� v Ł� u �� v
5. ,
r� r� r� r�
6. wektory i są prostopadłe �� u o� v =� 0 .
u v
27
Uwaga. Równość podana w punkcie 3 jest prawdziwa także dla dowolnej liczby wektorów składników. Równość w nierówno-
r� r�
ści 5 jest możliwa tylko wtedy, gdy wektory i są równoległe.
u v
5.3 ILOCZYN WEKTOROWY
Def. 5.3.1 (iloczyn wektorowy)
r� r� r� r�
Niech i będą niewspółliniowymi wektorami w R3. Iloczynem wektorowym uporządkowanej pary wektorów i
u v u v
r�
nazywamy wektor , który spełnia warunki:
w
r� r�
1. jest prostopadły do płaszczyzny rozpiętej na wektorach i (rys. 5.3.1),
u v
r� r� r� r�
u �� v �� sin j�
2. jego długość jest równa polu równoległoboku rozpiętego na wektorach i , tj. równa , gdzie j� jest
u v
r� r�
miarą kąta między wektorami i ,
u v
r� r� r�
u, v , w
3. orientacja trójki wektorów jest zgodna z orientacją układu współrzędnych Oxyz.
r� r� r� r� r� r�
Iloczyn wektorowy pary wektorów i oznaczamy przez . Jeżeli jeden z wektorów , jest wektorem
u v u �� v u v
r� r� r�
zerowym lub wektory te są współliniowe, to przyjmujemy, że u �� v =� o .
r� r� r�
Rys.5.3.1 Wektor jest iloczynem wektorowym wektorów i .
w u v
Fakt 5.3.2 (wzór do obliczania iloczynu wektorowego)
r� r�
Niech u =� (x1, y1, z1) oraz v =� (x2 , y2 , z2 ) będą wektorami w R3. Wtedy
r�
r� r�
i j k
r� r�
u �� v =� x1 y1 z1
,
x2 y2 z2
r�
r� r�
gdzie i , j , k oznaczają wersory odpowiednio na osiach Ox, Oy, Oz.
Fakt 5.3.3 (własności iloczynu wektorowego)
r� r� r�
3
u, v , w
Niech
r� r� r� będą dowolnymi wektorami w R oraz niech a� �� R. Wtedy
r�
1. u �� v =�r�-�v �� u ,
r� r� r�
2. (�a�u)� �� v =� a�(�u �� v)� ,
r� r� r� r� r� r� r�
u
3. (�r� +� v)� �� w =� u �� w +� v �� w ,
r� r� r� r� r� r�
u �� (v +� w) =� u �� v +� u �� w
4. ,
r� r� r� r�
u �� v Ł� u �� v
5. ,
r� r� r� r�
6. wektory u i v są równoległe �� u �� v =� 0 .
r� r�
Uwaga. Równość w nierówności 5 jest możliwa tylko wtedy, gdy wektory i są prostopadłe. Iloczyn wektorów
u v
r�
r� r�
zapisanych jako kombinacje liniowe wersorów i , j , k można obliczyć stosując powyższe własności oraz wykorzystując
tabelkę:
r� r� r�
��
j
i k
r� r� r� r�
o
-� j
i k
r� r� r� r�
o
j
-�r�k i
r� r� r�
o
j
k -� i
Def. 5.3.4 (moment siły)
r� r�
Momentem siły przyłożonej w punkcie P, względem punktu O nazywamy wektor określony wzorem:
F M
r� r�
.
M =� OP �� F
28
Rys. 5.3.2 Moment siły
5.4 ILOCZYN MIESZANY
Def. 5.4.1 (iloczyn mieszany)
r� r� r� r� r� r�
u, v , w u, v , w
Niech będą wektorami w R3. Iloczyn mieszany uporządowanej trójki wektorów określamy wzorem:
def
r� r� r� r� r� r�
.
(�u, v, w)� =� (�u �� v)� o� w
Fakt 5.4.2 (interpretacja geometryczna iloczynu mieszanego wektorów)
r� r� r�
u, v , w
Iloczyn mieszany wektorów jest równy (z dokładnością do znaku) objętości równoległościanu V rozpiętego na
r� r� r�
u, v , w
wektorach (rys. 5.4.1).
r� r� r�
V =� (�u, v , w)�
.
r� r� r�
u, v , w
Rys. 5.4.1 Równoległościan rozpięty ma wektorach
Fakt 5.4.3 (wzór do obliczania iloczynu mieszanego)
r� r� r�
w =� (x3 , y3 , z3 )
Niech u =� (x1, y1, z1) , v =� (x2 , y2 , z2 ) , będą wektorami w R3. Wtedy
x1 y1 z1
r� r� r�
(�u, v, w)� =� x2 y3 z2
.
x3 y3 z3
Fakt 5.4.4 (własności iloczynu mieszanego)
r� r� r� r�
u, v , w, r
Niech będą wektorami w R3 oraz niech a� �� R. Wtedy
r� r� r� r� r� r�
(u, v, w) =� (v, w, u)
1. ,
r� r� r� r� r� r�
(u, v, w) =� -�(v, u, w)
2. ,
r� r� r� r� r� r� r� r� r� r�
(u +� r , v, w) =� (u, v, w) +� (r , v, w)
3. ,
r� r� r� r� r� r�
(a�u, v, w) =� a� (u, v, w)
4. ,
r� r� r� r� r� r�
u, v , w (u, v, w) =� 0
5. wektory leżą w jednej płaszczyz
nie �� ,
r� r� r� r� r� r�
(u, v, w) Ł� u �� v �� w
6. .
r� r� r�
u, v , w
Uwaga. Równość w ostatniej nierówności jest możliwa tylko wtedy, gdy przynajmniej jeden z wektorów jest
zerowy albo, gdy te wektory są wzajemnie prostopadłe.
Objętość czworościanu V o wierzchołkach A = (x ,y ,z ), A = (x ,y ,z ), A = (x ,y ,z ), A = (x ,y ,z ) wyraża się wzorem:
1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 4 4 4 4
x1 y1 z1 1
�� ł�
ę�x y2 z2 1ś�
1
ś�
V =� detę� 2 .
ę� ś�
6 x3 y3 z3 1
ę� ś�
y4 z4 1��
��x4
29
5.5 RÓWNANIA PA
ASZCZYZNY
Fakt 5.5.1 (równanie normalne płaszczyzny)
r�
r0
Równanie płaszczyzny p� przechodzącej przez punkt P = (x ,y ,z ) o wektorze wodzącym i prostopadłej do wektora
0 0 0 0
r� r�
n =� ( A, B, C) ą� o
(rys. 5.5.1) ma postać:
r� r� r�
p� : (r -� r0 ) o� n =� 0
,
r�
r�
r =� (x0 , y0 , z0 )
gdzie n
jest wektorem wodzącym punktów przestrzeni. Wektor nazywamy wektorem normalnym tej
płaszczyzny.
r�
Rys. 5.5.1 Płaszczyzna p� przechodzi przez punkt P i jest prostopadła do wektora n
0
W formie rozwiniętej równanie płaszczyzny p� przyjmuje postać:
p� : A(x -� x0 ) +� B( y -� y0 ) +� C(z -� z0 ) =� 0
.
Powyższe zależności nazywamy równaniami normalnymi płaszczyzny.
Fakt 5.5.2 (równanie ogólne płaszczyzny)
Każde równanie postaci:
p� : Ax +� By +� Cz +� D =� 0
,
r�
n =� ( A, B, C)
gdzie |A| + |B| + |C| > 0, przedstawia płaszczyznę. Płaszczyzna ta ma wektor normalny
i przecina oś Oz w
D
punkcie z =� -� , o ile C ą� 0 (rys. 5.5.2).
C
Rys. 5.5.2 Płaszczyzna p� jest opisana przez równanie Ax + By + Cz + D = 0, C ą� 0
Fakt 5.5.3 (równanie parametryczne płaszczyzny)
r�
r0
Równanie płaszczyzny p� przechodzącej przez punkt P = (x ,y ,z ) o wektorze wodzącym i rozpiętej na
0 0 0 0
r� r�
u =� (a1,b1, c1) v =� (a2 ,b2, c2 )
niewspółliniowych wektorach i (rys. 5.5.3) ma postać:
r� r� r� r�
p� : r =� r0 +� su +� tv
, gdzie s, t �� R
lub inaczej:
p� : (x, y, z) =� (x0 +� y0 +� z0 ) +� s(a1 , b1 , c1 ) +� t(a2 , b2 , c2 )
, gdzie s, t �� R.
W formie rozwiniętej równanie tej płaszczyzny przyjmuje postać:
x =� x0 +� sa1 +�ta2
��
, gdzie s, t �� R.
p� :��y =� y0 +� sb1 +�tb2
��
��z =� z0 +� sc1 +�tc2
��
Powyższe zależności nazywamy równaniami parametrycznymi płaszczyzny.
30
r� r�
Rys. 5.5.3 Płaszczyzna p� przechodzi przez punkt P i jest równoległa do wektorów u i v
0
Fakt 5.5.4 (równanie płaszczyzny przechodzącej przez 3 punkty)
Równanie płaszczyzny p� przechodzącej przez 3 niewspółliniowe punkty P = (x ,y ,z ), gdzie 1 Ł� i Ł� 3, (rys. 5.5.4) ma postać:
i i i i
x y z 1
x1 y1 z1 1
p� : =� 0
.
x2 y2 z2 1
x3 y3 z3 1
Rys. 5.5.4 Płaszczyzna wyznaczona przez trzy punkty
Fakt 5.5.5 (równanie odcinkowe płaszczyzny)
Równanie płaszczyzny p� odcinającej na osiach Ox, Oy, Oz układu współrzędnych odpowiednio odcinki (zorientowane)
a, b, c ą� 0 (rys. 5.5.5) ma postać:
x y z
p� : +� +� =� 1
.
a b c
Powyższą zależność nazywamy równaniem odcinkowym płaszczyzny.
Rys. 5.5.5 Płaszczyzna odcinająca na osiach układu odcinki a, b, c
5.6 RÓWNANIA PROSTEJ
Fakt 5.6.1 (równanie parametryczne prostej)
r�
r0
Równanie prostej l przechodzącej przez punkt P = (x ,y ,z ) o wektorze wodzącym i wyznaczonej przez niezerowy
0 0 0 0
r�
v =� (a,b, c)
wektor kierunku (rys. 5.6.1) ma postać:
r� r� r�
l : r =� r0 +� tv
, gdzie t �� R
lub inaczej:
l : (x, y, z) =� (x0 , y0 , z0 ) +� t(a, b, c)
, gdzie t �� R.
Powyższą zależność nazywamy równaniem parametrycznym prostej w postaci wektorowej.
31
r�
Rys. 5.6.1 Prosta l przechodzi przez punkt P i jest równoległa do wektora v
0
Po rozpisaniu na współrzędne parametryczne prosta przyjmuje postać:
x=� x0 +�at
��
, gdzie t �� R.
l:��y =� y0 +�bt
��
��z =� z0 +�ct
��
Fakt 5.6.2 (równanie kierunkowe prostej)
r�
v =� (a,b, c)
Równanie prostej l przechodzącej przez punkt P = (x ,y ,z ) i wyznaczonej przez niezerowy wektor kierunku
0 0 0 0
(rys. 5.6.2) ma postać:
x -� x0 y -� y0 z -� z0
l : =� =� .
a b c
Ten sposób zapisu równania parametrycznego prostej nazywamy jej równaniem kierunkowym.
r�
Rys. 5.6.2 Prosta l przechodzi przez punkt P i jest równoległa do wektora v
0
Uwaga. Ponieważ jest to zapis umowny równania prostej, w mianownikach powyższych ułamków mogą wystąpić zera.
Fakt 5.6.3 (równanie krawędziowe prostej)
p�1 : A1x +� B1y +� C1z +� D1 =� 0
Równanie prostej l, która jest częścią wspólną dwóch nierównoległych płaszczyzn ,
p� : A2x +� B2 y +� C2z +� D2 =� 0
(rys. 5.6.3), ma postać:
2
A1x+� B1y+�C1z+� D1 =�0
��
.
l:��
x+� B2y+�C2z+� D2 =�0
��A2
Ten sposób zapisu prostej nazywamy jej równaniem krawędziowym.
r� r� r� r� r�
r�
v =� n1 �� n2 n1 =� ( A1, B1,C1) n2 =� ( A2, B2 ,C2 )
Uwaga. Wektor kierunkowy v prostej l ma postać , gdzie , .
32
Rys. 5.6.3 Prosta l jest częścią wspólną płaszczyzn p� i p�
1 2
5.7 WZAJEMNE POA
OŻENIA PUNKTÓW, PROSTYCH I PA
ASZCZYZN
Def. 5.7.1 (rzut punktu na płaszczyznę i na prostą)
Rzutem prostopadłym punktu P na płaszczyznę p� nazywamy punkt P/ tej płaszczyzny (rys. 5.7.1) spełniający warunek:
/
.
PP ^�p�
Rys. 5.7.1 Rzut prostopadły P/ punktu P na płaszczyznę p� oraz odległość d punktu P od tej płaszczyzny
Podobnie rzutem prostopadłym punktu P na prostą l nazywamy punkt P/ tej prostej (rys. 5.7.2) spełniający warunek:
/
.
PP ^�l
Rys. 5.7.2 Rzut prostopadły P/ punktu P na prostą l oraz odległość d punktu P od tej prostej
Uwaga. W podobny sposób definiuje się rzut ukośny punktu na płaszczyznę lub prostą w kierunku ustalonego wktora.
Fakt 5.7.2 (odległość punktu od płaszczyzny)
Odległość d punktu P = (x ,y ,z ) od płaszczyzny p� : Ax +� By +� Cz +� D =� 0 wyraża się wzorem:
0 0 0 0
Ax0 +� By0 +� Cz0 +� D
d =�
.
2 2
A2 +� B +� C
Uwaga. Odległość punktu P od płaszczyzny p� jest równa długości odcinka PP/, gdzie P/ jest rzutem prostopadłym punktu P na
płaszczyznę p� (rys. 5.7.1). Podobnie, odległość punktu P od prostej l jest równa długości odcinka PP/, gdzie P/ jest rzutem
prostopadłym punktu P na prostą l (rys. 5.7.2).
Fakt 5.7.3 (odległość płaszczyzn równoległych)
p�1 : A1x +� B1y +� C1z +� D1 =� 0
Odległość d między płaszczyznami równoległymi ,
p� : A2x +� B2 y +� C2z +� D2 =� 0
(rys. 5.7.3) wyraża się wzorem:
2
D1 -� D2
d =�
.
2 2
A2 +� B +� C
33
Rys. 5.7.3 Odległość między płaszczyznami p� i p�
1 2
Def. 5.7.4 (kąt nachylenia prostej do płaszczyzny)
Kątem nachylenia prostej l do płaszczyzny p� nazywamy kąt ostry a� między prostą l, a jej rzutem prostopadłym l/ na
płaszczyznę p� (rys. 5.7.4). Jeżeli prosta l jest równoległa do płaszczyzny p�, to przyjmujemy, że kąt jej nachylenia do tej
płaszczyzny jest równy 0.
Rys. 5.7.4 Kąt nachylenia prostej l do płaszczyzny p�
Fakt 5.7.5 (miara kąta nachylenia prostej do płaszczyzny)
r� r�
Kąt nachylenia j� prostej o wektorze kierunkowym v do płaszczyzny o wektorze normalnym n wyraża się wzorem:
r� r� r� r�
n �� v n o� v
p�
j� =� arc cos j� =� -� arc cos
r� r� lub r� r� .
n �� v 2 n �� v
Def. 5.7.6 (kąt między prostymi)
Kątem między prostymi nazywamy kąt ostry utworzony przez wektory kierunkowe tych prostych (rys. 5.7.5). Przyjmujemy, że
kąt między prostymi równoległymi jest równy 0.
Rys. 5.7.5 Kąt między prostymi przecinającymi się oraz między prostymi skośnymi
Fakt 5.7.7 (miara kąta między prostymi)
r� r�
v1 v2
Miarą kąta j� między prostymi o wektorach kierunkowych i wyraża się wzorem:
r� r�
v1 o� v2
j� =� arc cos
.
r� r�
v1 �� v2
Def. 5.7.8 (kąt między płaszczyznami)
Kątem między płaszczyznami nazywamy kąt ostry między wektorami normalnymi tych płaszczyzn (rys. 5.7.6). Przyjmujemy,
że kąt między płaszczyznami równoległymi jest równy 0.
Rys. 5.7.6 Kąt między płaszczyznami
34
Fakt 5.7.9 (miara kąta między płaszczyznami)
r� r�
n1 n2
Miarą kąta j� między płaszczyznami p� i p� o wektorach normalnych odpowiednio i wyraża się wzorem:
1 2
r� r�
n1 o� n2
j� =� arc cos
.
r� r�
n1 �� n2
6. GEOMETRIA ANALITYCZNA NA PA
ASZCZYy
NIE
6.1 PROSTA NA PA
ASZCZYy
NIE
Fakt 6.1.1 (równanie prostej)
1. Równanie prostej l przechodzącej przez punkt P = (x ,y ) i nachylonej od dodatniej części osi Ox pod kątem a� (rys. 6.1.1)
0 0 0
ma postać:
l : y -� y0 =� tga� (x -� x0 )
.
Rys. 6.1.1 Rys. 6.1.2
2. Równanie prostej l przechodzącej przez punkty P = (x ,y ), P = (x ,y ) (rys. 6.1.2) ma postać:
1 1 1 2 2 2
l : (x2 -� x1 )( y -� y1 ) =� ( y2 -� y1)(x -� x1 ) .
3. Równanie prostej l odcinającej na osiach Ox i Oy odcinki (skierowane) o długościach odpowiednio a i b, gdzie ab ą� 0,
(rys. 6.1.3) ma postać:
x y
l : +� =� 1
.
a b
Jest to tzw. równanie odcinkowe prostej.
Rys. 6.1.3 Rys. 6.1.4
r�
n =� ( A, B) ą� 0
4. Równanie prostej l przechodzącej przez punkt P = (x ,y ) i mającej wektor normalny
(rys. 6.1.4) ma
0 0 0
postać:
l : A(x -� x0 ) +� B( y -� y0 ) =� 0
.
Jest to tzw. równanie normalne prostej.
Rys. 6.1.5 Rys. 6.1.6
5. Równanie parametryczne prostej l przechodzącej przez punkty P = (x ,y ), P = (x ,y ) (rys. 6.1.5) ma postać:
1 1 1 2 2 2
35
x=� x1 +�(x2 -� x1)t
��
, t �� R.
l:��
��y=� y1 +�(y2 -� y1)t
r�
r0
6. Równanie parametryczne (postać wektorowa) prostej l przechodzącej przez punkt P o wektorze wodzącym i mającej
0
r�
kierunek zadany przez wektor v (rys. 6.1.6) ma postać:
r� r� r�
l : r =� r0 +� tv
, t �� R,
r�
gdzie jest promieniem wodzącym punktu P płaszczyzny.
r
Fakt 6.1.2 (warunki równoległości prostych)
1. Proste l : A x + B y + C = 0, l : A x + B y + C = 0 są równoległe wtedy i tylko, gdy A1B2 -� A2 B1 =� 0 .
1 1 1 1 2 2 2 2
2. Proste l : y = m x + b , l : y = m x + b są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy m1 =� m2 .
1 1 1 2 2 2
r� r� r� r� r� r�
r� r�
l1 : r =� r1 +� tv1 l2 : r =� r2 +� tv2
3. Proste , t �� R, , t �� R, są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy v1 =� kv2 dla
pewnego k ą� 0.
Rys. 6.1.7 Proste równoległe
Fakt 6.1.3 (warunki prostopadłości prostych)
1. Proste l : A x + B y + C = 0, l : A x + B y + C = 0 są prostopadłe wtedy i tylko, gdy A1 A2 +� B1B2 =� 0 .
1 1 1 1 2 2 2 2
2. Proste l : y = m x + b , l : y = m x + b są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy m1m2 =� -�1.
1 1 1 2 2 2
r� r� r� r� r� r�
r� r�
l1 : r =� r1 +� tv1 l2 : r =� r2 +� tv2
3. Proste , t �� R, , t �� R, są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy v1 o� v2 =� 0 .
Rys. 6.1.8 Proste prostopadłe
Fakt 6.1.4 (kąt między prostymi)
1. Miara kąta ostrego j� utworzonego przez proste l : A x + B y + C = 0, l : A x + B y + C = 0 wyraża się wzorem:
1 1 1 1 2 2 2 2
A1 A2 +� B1B2
j� =� arc cos
.
(A1)2 +� (B1 )2 (A2 )2 +� (B2 )2
2. Miara kąta ostrego j� utworzonego przez proste l : y = m x + b , l : y = m x + b wyraża się wzorem:
1 1 1 2 2 2
m1 -� m2
j� =� arctg
.
1 +� m1m2
p�
Jeżeli m m =  1, to przyjmujemy, że j� =� .
1 2
2
36
Rys. 6.1.9 Kąt ostry między prostymi l i l
1 2
Fakt 6.1.5 (odległości punktów i prostych)
1. Odległość d punktów P = (x ,y ), P = (x ,y ) wyraża się wzorem:
1 1 1 2 2 2
2 2
d =� P1P2 =� (x2 -� x1 ) +� ( y2 -� y1 ) .
Rys. 6.1.10 Odległość punktów P i P Rys. 6.1.11 Odległość punktu P od prostej l
1 2 0
2. Odległość d punktu P = (x ,y ) od prostej l: Ax + By + C = 0 wyraża się wzorem:
0 0 0
Ax0 +� By0 +� C
d =� d (P0 , l) =�
.
2
A2 +� B
3. Odległość d prostych l : A x + B y + C = 0, l : A x + B y + C = 0 wyraża się wzorem:
1 1 1 1 2 2 2 2
C1 -� C2
d =� d(l1, l2 ) =�
.
2
A2 +� B
Rys. 6.1.12 Odległość dwóch prostych równoległych
6.2 PRZEKSZTAA
CENIA PA
ASZCZYZNY
Fakt 6.2.1 (przekształcenia płaszczyzny)
r�
v =� (a,b)
1. Współrzędne punktu P/ otrzymanego w wyniku przesunięcia punktu P = (x,y) o wektor wyrażają się
wzorami:
��
x/ =�x+�a
.
P/:��
��
/
��
��y =�y+�b
r�
Rys. 6.2.2 Symetrie względem osi układu współrzędnych
Rys. 6.2.1 Przesunięcie punktu P o wektor v
2. Współrzędne punktów P/ i P// otrzymanych w wyniku symetrii punktu P = (x,y) odpowiednio względem osi Ox i Oy
wyrażają się wzorami:
37
�� ��
x/ =�x x// =�-�x
, .
P/:�� P//:��
�� ��
/ //
�� ��
��y =�-�y ��y =�y
3. Współrzędne punktu P/ otrzymanego w wyniku symetrii punktu P = (x,y) względem początku układu współrzędnych
wyrażają się wzorami:
��
x/ =�-�x
.
P/:��
��
/
��
��y =�-�y
Rys. 6.2.3 Symetria względem początku układu Rys. 6.2.4 Obrót wokół początku układu współrzędnych o
współrzędnych
kąt a�
4. Współrzędne punktu P/ otrzymanego w wyniku obrotu punktu P = (x,y) wokół początku układu współrzędnych o kąt a� (w
kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara) wyrażają się wzorami:
��
x/ =� xcosa� -� ysina�
.
P/ :��
��
/
��
��y =� xsina� +� ycosa�
5. Współrzędne punktów P/ i P// otrzymanych w wyniku podobieństw (powinowactw) punktu P = (x,y) w skali k względem
odpowiednio osi Ox i Oy wyrażają się wzorami:
�� ��
x/ =�x x// =�kx
, .
P/:�� P//:��
�� ��
/ //
�� ��
��y =�ky ��y =�y
Rys. 6.2.5 Podobieństwo w skali k=-1/ względem osi Rys. 6.2.6 Jednokładność w skali k=2 względem
2
Ox oraz podobieństwo w skali k=1/ względem osi początku układu współrzędnych
3
Oy
6. Współrzędne punktu P/ otrzymanego w wyniku jednokładności (podobieństwa) punktu P = (x,y) w skali k względem
początku układu współrzędnych wyrażają się wzorami:
��
x/ =�kx
.
P/:��
��
/
��
��y =�ky
Fakt 6.2.2 (równania krzywych przesuniętych i obróconych)
38
1. Niech G� oznacza zbiór punktów (x,y) �� R2 spełniających równanie F(x,y) = 0. Wtedy zbiór G�/ otrzymany w wyniku
r�
v =� (a,b)
przesunięcia zbioru G� o wektor jest opisany przez równanie:
/
G� : F (x -� a, y -� b) =� 0 .
r�
Rys. 6.2.7 Zbiór G�/ powstał w wyniku przesunięcia zbior G� o wektor v
2. Niech G� oznacza zbiór punktów (x,y) �� R2 spełniających równanie F(x,y) = 0. Wtedy zbiór G�/ otrzymany w wyniku obrotu
zbioru G� wokół początku układu współrzędnych o kąt a� jest opisany przez równanie:
/
G� : F (x cosa� +� y sin a�,-�x sin a� +� y cosa� ) =� 0 .
Rys. 6.2.8 Zbiór G�/ powstał ze zbioru G� w wyniku jego obrotu wokół początku układu współrzędnych o kąt a�
Uwaga. Podobną postać mają równania zbiorów G�/ otrzymanych w wyniku zastosowania do zbioru G� = {(x,y)��R2: F(x,y) = 0}
pozostałych przekształceń płaszczyzny, tj. symetrii osiowej lub punktowej, podobieństwa względem prostej lub punktu.
6.3 KRZYWE STOŻKOWE
Def. 6.3.1 (okrąg)
Okręgiem o środku w punkcie O i promieniu r > 0 nazywamy zbiór punktów płaszczyzny położonych w odległości r od
punktu O (rys. 6.3.1).
Rys. 6.3.1 Okrąg o środku w punkcie O i promieniu r
Fakt 6.3.2 (równanie okręgu)
Równanie okręgu o środku w początku układu współrzędnych i promieniu r > 0 ma postać:
2 2 2
x +� y =� r .
Def 6.3.3 (elipsa)
Elipsą o ogniskach w punktach F , F oraz o dużej osi 2a, gdzie 2a > 2c = |F F |, nazywamy zbiór punktów płaszczyzny,
1 2 1 2
których suma odległości od ognisk F i F jest stała i równa 2a (rys. 6.3.2)
1 2
PF1 +� PF2 =� 2a
.
Rys. 6.3.2 Elipsa o ogniskach F i F
1 2
39
Fakt 6.3.4 (równanie elipsy)
Równanie elipsy o środku w początku układu współrzędnych i półosiach a > 0 i b > 0 ma postać:
2
x2 y
.
+� =� 1
2
a b2
Zależność między półosiami a, b oraz ogniskową c elipsy ma postać:
a2 -� b2 =� c2 .
Def. 6.3.5 (hiperbola)
Hiperbolą o ogniskach w punktach F , F oraz o dużej osi 2a, gdzie 2a < 2c = |F F |, nazywamy zbiór punktów płaszczyzny,
1 2 1 2
których wartość bezwzględna różnicy odległości od ognisk F i F jest stała i równa 2a (rys. 6.3.3)
1 2
PF1 -� PF2 =� 2a
.
Rys. 6.3.3 Hiperbola o ogniskach F i F
1 2
Fakt 6.3.6 (równanie hiperboli)
Równanie hiperboli o środku w początku układu współrzędnych i półosiach rzeczywistej a > 0 i urojonej b > 0 ma postać:
2
x2 y
-� =� 1 .
2
a b2
Zależność między półosiami a, b oraz ogniskową c hiperboli ma postać:
a2 +� b2 =� c2 .
Asymptoty hiperboli mają równania:
b b
/
l : y =� x , l : y =� -� x .
a a
Def. 6.3.7 (parabola)
Parabolą o ognisku w punkcie F i kierownicy k, nazywamy zbiór punktów płaszczyzny, których odległość od ogniska jest
równa ich odległości od kierownicy (rys. 6.3.4).
PF =� PK =� d (P, k )
.
Rys. 6.3.4 Parabola o ognisku F i kierownicy k
Fakt 6.3.8 (równania paraboli)
p
ć� �� p
,0 x =� -�
1. Równanie paraboli, której ognisko F ma współrzędne , gdzie p ą� 0, a kierownica k ma równanie
ma
�� ��
2 2
Ł� ł�
postać:
2
y =� 2 px .
40
b
x =� -�
2. Równanie y =� ax2 +� bx +� c , gdzie a ą� 0, przedstawia parabolę. Osią tej paraboli jest prosta , a
2a
W =� (xw, yw )
wierzchołek ma współrzędne określone wzorami:
b D�
xw =� -� yw =� -� , gdzie .
,
D� =� b2 -� 4ac
2a 4a
Jeżeli a > 0, to parabola ma ramiona skierowane do góry, a dla a < 0 na dół.
Rys. 6.3.5 Parabola o równaniu y = ax2 + bx + c, gdzie a ą� 0
Uwaga. Okrąg, elipsę, parabolę i hiperbolę nazywamy krzywymi stożkowymi, gdyż każda z nich jest przekrojem powierzchni
bocznej stożka pewną płaszczyzną.
Fakt 6.3.9 (równania parametryczne krzywych stożkowych)
1. Równanie parametryczne elipsy E o środku w początku układu współrzędnych i półosiach a > 0, b > 0 ma postać
x=�acost
��
, t �� [0,2p�).
E:��
��y=�bsint
Gdy przyjmiemy a = b = r, to otrzymany równanie parametryczne okręgu.
2. Równanie paramrtryczne hiperboli H o środku w początku układu współrzędnych i półosi rzeczywistej a > 0 oraz półosi
urojonej b > 0 ma postać:
x=�ą�acht
��
, t �� R.
H:��
��y=�bsht
Uwaga. Przyjmując we wzorze znak  + otrzymamy prawą gałąz
hiperboli, a przyjmując znak    otrzymamy lewą gałąz
.
Fakt 6.3.10 (równania stycznych do krzywych stożkowych)
1. Równanie stycznej s do okręgu O: x2 + y2 = r2 wystawionej w punkcie P = (x ,y ) należącym do tego okręgu ma postać:
1 1 1
2
s : x1x +� y1 y =� r .
Rys. 6.3.6 Styczna do okręgu O w punkcie P
1
x2 y2
2. Równanie stycznej s do elipsy E : +� =� 1 wystawionej w punkcie P = (x ,y ) należącym do tej elipsy ma postać:
1 1 1
a2 b2
x1x y1 y
s : +� =� 1.
2
a b2
41
Rys. 6.3.7 Styczna do elipsy E w punkcie P
1
x2 y2
3. Równanie stycznej s do hiperboli H : -� =� 1 wystawionej w punkcie P = (x ,y ) należącym do tej hiperboli ma
1 1 1
a2 b2
postać:
x1x y1 y
s : -� =� 1 .
2
a b2
Rys. 6.3.8 Styczna do hiperboli h w punkcie P
1
4. Równanie stycznej s do paraboli P: y2 = 2px wystawionej w punkcie P = (x ,y ) należącym do tej paraboli ma postać:
1 1 1
s : y1 y =� p(x +� x1 ) .
Rys. 6.3.9 Styczna do paraboli P w punkcie P
1
42