ABC matematyki dla początkujących fizyków
Elementy analizy wektorowej
pole wektorowe i pole skalarne różniczkowanie funkcji wektorowej operator nabla gradient,
dywergencja, rotacja gradient, laplasjan w układzie sferycznym strumień pola wektorowego
krążenie twierdzenie Ostrogradskiego-Gaussa twierdzenie Stokes a natężenie pola wektorowego
i potencjał
1 Pole wektorowe i pole skalarne (x(t), y(t), z(t)).
d dx dy dz
r
Ć
Pochodna: = î + 5
+ k.
dt dt dt dt
Jeśli w przestrzeni każdemu punktowi x, y, z przypi-
Ć
Różniczka: d = (dx, dy, dz) = dx î + dy 5
+ dz k.
r

sany jest wektor f(x, y, z) to mamy do czynienia z
Funkcja wektorowa wielu zmiennych. Wiele ta-
polem wektorowym. Wektor f możemy nazwać natęże-
kich funkcji spotykamy opisujÄ…c zjawiska fizyczne.
niem pola. Linie styczne do wektorów pola nazywane są
Często będzie to zależność od położenia (współrzęd-
liniami pola.
ne x, y, z) i czasu (t). Na przykład: wektor prędko-
Podobnie, jeśli punktom x, y, z przypiszemy funkcję ska-
ści cząstek wody w rzece zależy zarówno od poło-
larną f(x, y, z) to mówimy o polu skalarnym.
żenia jak i od czasu. Mamy więc funkcję wektorową
Przykładami pierwszego jest pole prędkości cząstek
v

y, z, t) = vx(x, y, z, t), vy(x, y, z, t), vz(x, y, z, t) .
v(x,
wody w rzece, czy pole siły grawitacji F (r). Przykładem
Czasem zamiast y, z, t) pisze się skrótowo r, t).
v(x, v(
pola skalarnego jest temperatura powietrza T (x, y, z) w
Współrzędne przestrzenne nie muszą być współrzędny-
różnych punktach atmosfery.
mi układu kartezjańskiego, można stosować każdy inny.
Powierzchnia ekwiskalarna to miejsce geometryczne
punktów w których funkcja skalarna f(x, y, z) na taką
Zarówno funkcje skalarne jak i wektorowe można róż-
samą wartość (np. powierzchnie na której temperatura
niczkować po dowolnej zmiennej (traktując pozostałe
wynosi wszędzie 10oC). Równanie powierzchni ekwiska-
zmienne jako stałe)  jest to wtedy tzw. pochodna cząst-
larnej: f(x, y, z) = const.
kowa. Przykładowo, pochodną składowej x-owej wekto-
ra prędkości vx(x, y, z, t) po zmiennej z zapiszemy tak:
2 Różniczkowanie funkcji wekto- "vx
.
"z
rowej
Pochodna cząstkowa całego wektora po zmiennej z :
v
Funkcja jednej zmiennej. W przypadku wekto-

rowej funkcji jednej zmiennej, np. t, o składowych " "vx "vy "vz
v
= , , .

fx(t), fy(t), fz(t), obliczenie pochodnej wektora f(t)
"z "z "z "z
sprowadza się do obliczeniu pochodnych poszczególnych
" "
v v
składowych
Podobnie oblicza siÄ™ , .
"x "y

d dfx dfy dfz

f = , , .
dt dt dt dt
3 Operator nabla

Różniczka df jest wektorem określającym przyrost wek-
Określamy go tak, że w zapisie matematycznym jest

tora f, df = f(t + dt) - f(t). Wyraża się on przez róż-
symbolicznym wektorem o trzech składowych, w związ-
niczki poszczególnych składowych
ku z czym stosują sie do niego wszystkie reguły algebry
wektorów, m.in. mnożenia. W układzie kartezjańskim
Ć
df = (dfx, dfy, dfz) = dfxî + dfy5
+ dfzk.
wektor nabla wyraża się tak:

Przykład: Rozpatrzmy promień wodzący poruszają-
" " "
" = , , ,
cego siÄ™ punktu czyli funkcjÄ™ wektorowÄ… =
r(t)
"x "y "z
1
" " "
Ć w których funkcja f(x, y, z) ma taką samą wartość
" = î + 5
+ k .
"x "y "z
(nazwijmy tÄ™ powierzchniÄ™ powierzchniÄ… ekwiskalarnÄ…).
Równanie tej powierzchni: f(x, y, z)=const
Taki operator (jak każdy operator) sam w sobie nie ma
Przyrost funkcji f wynosi zero jeśli będziemy się
sensu, nabiera realnego sensu dopiero wtedy jeśli po-
przemieszczać po tej powierzchni o d w dowolnym
r
działa na jakąś funkcję (skalarną lub wektorową). Na-
kierunku. Matematycznie: wez
my różniczkę z obu stron
leży przy tym pamiętać aby stawiać operator po lewej
równania: d(f(x, y, z)) = d(const), co daje
stronie obiektu na który ma działać.
"f "f "f
Podnosząc do kwadratu operator ", czyli mnożąc ska- dx + dy + dz = 0.
"x "y "z
" " " " " "
larnie wektory " · " = , , · , , , uzy- Powyższe wyrażenie jest, jak widać, iloczynem skalar-
"x "y "z "x "y "z
nym gradientu "f i wektora (dx, dy, dz) czyli prze-
skujemy inny ważny operator zwany operatorem Lapla-
mieszczenia d wektora wodzÄ…cego Z zerowania ilo-
r r.
ce a, lub laplasjanem, oznaczanym symbolem "2 lub .
czynu skalarnego wnioskujemy o prostopadłości wekto-
W układzie kartezjańskim:
rów gradf i d a to z kolei implikuje prostopadłość
r,
"2 "2 "2
gradf do powierzchni ekwiskalarnej.
"2 = + +
"x2 "y2 "z2
Przykłady:

Laplasjan jest jak widać operatorem skalarnym. 1) Ile wynosi grad(r), gdzie r = x2 + y2 + z2 jest
długością promienia wodzącego? Obliczmy x-ową skła-

" x x
"
dowÄ… gradientu: x2 + y2 + z2 = = .
Działając operatorem nabla na funkcję zmiennych po-
"x
x2+y2+z2 r
łożenia x, y, z (formalnie  mnożąc funkcję przez wektor
Pozostałe składowe będą wyglądać podobnie, czyli
1
r
") uzyskujemy trzy użyteczne funkcje:
grad(r) = (x, y, z) = = r.
Ć
r r
Wykonując obliczenie w układzie sferycznym (patrz
"f(x, y, z) - gradient funkcji skalarnej f
rozdz. 7, strona 3) ten wynik uzyskuje siÄ™ od razu:
d
r

" · f(x, y, z) - dywergencja funkcji wektorowej f
grad(r) = (r) ûr 1 · ûr = .
dr 1= r

2) Obliczyć grad .

" × f(x, y, z) - rotacja funkcji wektorowej f r
" 1 x x
"
Składowa x-owa: = - " = - .
3
"x
x2+y2+z2 x2+y2+z2 r3

1 1 1
Zatem grad = - (x, y, z) = - r.
Ć
r r3 r2
4 Gradient funkcji
Podobnie jak w poprzednim przykładzie taki wynik
można było otrzymać prościej, obliczając gradient w
Wektor mnożony przez skalar jest dalej wektorem, a

1 d 1 1
ukÅ‚adzie sferycznym: grad( ) = ûr = - ûr =
więc gradient funkcji, który obliczamy mnożąc wektor "
r dr r r2
1
r
przez funkcjÄ™ skalarnÄ… f(x, y, z) jest wektorem. Zgodnie - .
r2 r
3) Gradient temperatury w atmosferze. Przypuśćmy, że
z regułą mnożenia wektora przez skalar gradient funkcji
temperatura T nad powierzchniÄ… Ziemi zmienia siÄ™ tylko
przedstawia się następująco
w kierunku pionowym (np. maleje) T = T (z). Gradient

dT
" " " "f "f "f
temperatury grad T (z) = (0, 0, ) jest więc wektorem
Ć Ć dz
"f = î + 5
+ k f = î + 5
+ k .
o kierunku pionowym (prostopadłym do powierzchni
"x "y "y "x "y "y
ekwiskalarnej, którą jest powierzchnia Ziemi), a jego
Zamiast pisowni "f często pisze sie grad f. dT
wartość podaje o ile stopni zmienia się temperatura
dz

przy wzniesieniu się o jednostkową wysokość.
"f "f "f
Zapamiętaj: grad f(x, y, z) = , , .
"x "y "z
Jeśli funkcja zależy tylko od jednej zmiennej kartezjań-
5 Dywergencja funkcji wektoro-
skiej, np. x, to wtedy gradient jest wyrażony przez zwy-
wej
kłą pochodną:
df
grad f(x) = î.
Jeśli funkcję wektorową f(x, y, z) o składowych
dx
fx(x, y, z), fy(x, y, z), fz(x, y, z) pomnożymy skalarnie
Własności gradientu.
przez wektor " to otrzymamy w wyniku funkcjÄ™ skalar-
"f

1) Każda z pochodnych cząstkowych we wzorze na ną, zwaną dywergencją funkcji f:
"xi
gradient mówi o tym jak szybko zmienia się funkcja f
"fx "fy "fz

" · f(x, y, z) = + +
w danym kierunku, wektor gradf jest wypadkowÄ… tych
"x "y "z
zmian i pokazuje kierunek, w którym funkcja zmienia
"fy
"fx "fz
siÄ™ najsilniej.
div f = + + .
"x "y "z
2) Wektor gradf jest prostopadły do powierzchni
Przykład: Obliczyć dywergencję wektora wodzącego
r.
ekwiskalarnej.
r
Uzasadnić to można następująco. Rozpatrzmy po- Wektor ma składowe rx = x, ry = y, rz = z, czyli
"x "y "z
wierzchnię będącą miejscem geometrycznym punktów, div = + + = 3.
r
"x "y "z
2
6 Rotacja funkcji wektorowej
S

v
Mnożenie wektorowe operatora nabla i funkcji wektoro-

wej "×f(x, y, z) daje w wyniku wektor (funkcjÄ™ wekto-
dS

v

rową) nazywany rotacją wektora f. Zgodnie z regułami
Ä…
Ä…
mnożenia wektorowego obliczamy ją następująco:
dS cos Ä…

dS
Ć
î 5
k

" " "

rot f(x, y, z) = .
"x "y "z

fx fy fz
Rozpatrzmy strugę wody przepływającą przez pewną
powierzchnię S. Ilość (objętość) wody przepływającej

"fy "fy
"fz "fx "fz "fx w 1 sekundzie przez wybrany element powierzchni dS

rot f = - , - , - .
"y "z "z "x "x "y
wynosi dÅš = v · dS jeÅ›li element dS jest prostopadÅ‚y
do kierunku przepÅ‚ywu (v · 1 s jest drogÄ… przebytÄ… w 1
s), a dÅš = v · dS · cos Ä… jeÅ›li powierzchnia jest nachylo-
7 Gradient, dywergencja, rota- na pod kÄ…tem Ä… (patrz rysunek). Wprowadzimy wektor

dS, który jest wektorem o długości dS i prostopadłym
cja, laplasjan w niekartezjań-
do powierzchni wypływu (zwrot na zewnątrz powierzch-
skich układach współrzędnych
ni). Wtedy elementarny strumień wypływającej przez
dS wody wyrazimy w postaci iloczynu skalarnego
Pomocny jest tekst: układy współrzędnych.pdf.

dÅš = · dS,
v
W przypadku rozpatrywania pól cechujących się syme-
trią (np. sferyczną, cylindryczną) układ kartezjański nie
a całkowity strumień wypływający przez powierzchnię
jest wygodnym układem.
S wyrazi się poprzez całkę po całej powierzchni

W układach współrzędnych innych niż kartezjański wzo-

Åš = · dS.
v
ry na gradient, dywergencję, rotację i laplasjan różnią
się od podanych powyżej. Wyrażają się one poprzez po-
S
chodne cząstkowe względem zmiennych właściwych dla
Prawa strona wyrażenia jest całką powierzchniową. Cał-
danego układu (i przez odpowiednie wektory bazowe
kę powierzchniową wyraża się na ogół dwoma symbo-

układu, jeśli dotyczy to gradientu i rotacji). Wzory te
lami całkowania , jako że powierzchnia jest tworem
nie zostaną podane tutaj lecz łatwo je odszukać w pod-
S
dwuwymiarowym, choć często można spotkać i pojedyń-
ręcznikach lub internecie. Warte są jednak przytoczenia

wzory dla gradientu pola skalarnego i operatora Lapla- czy symbol .
S
ce a (laplasjanu) w układzie sferycznym. Oto one:
Powyższa definicja strumienia dotyczy oczywiście każ-
Układ sferyczny.
dego innego pola wektorowego F , ogólnie:
Gradient, pole skalarne f(r, ¸, Õ)
"f 1 "f 1 "f
F
grad f = ûr + û¸ + ûÕ.

"r r "¸ r sin ¸ "Õ


ÅšF = F · dS.
dS
S
W szczególności, gdy funkcja f zależy tylko od r:
S
df
dS
grad f(r) = ûr.
dr
Laplasjan
Pole bezz
ródłowe.

Rozpatrzmy pole wektorowe F . Jeśli wez
miemy po-
1 " " 1 " " 1 "2
wierzchnię S zamkniętą, a wewnątrz niej nie ma ani
"2 = r2 + sin ¸ + .
r2 "r "r r2 sin ¸ "¸ "¸ "Õ2 z
ródeł ani absorbentów pola (np. w wyżej omówionym
r2sin2¸
przykładzie nie ma dodatkowego z
ródła wody w obsza-
rze zamkniętym powierzchnią S) to tyle samo wpływa
8 Strumień wektora pola
do wewnątrz powierzchni, ile z niej wypływa na ze-
wnątrz, a więc całkowity strumień jest równy zero
Zaczniemy od poglądowego przykładu dla wektorowego

pola prędkości cząstek płynącej cieczy.
v
Åš = F · dS = 0
S
3
1
(co oznacza kółko na symbolu całki  patrz przypis ). Lewa strona równości przedstawia całkowity strumień

Takie pole nazywamy bezz
ródłowym. pola F przepływający przez S. W szczególnym przy-
Zwróć uwagę, że strumień może być zarówno dodatni, padku, w sytuacji gdy wewnątrz dowolnie wybranej za-
jak i ujemny, w zależności od znaku iloczynu skalarnego mkniętej powierzchni nie ma z
ródel lub absorbentów
pod całką, czyli w zależności od tego czy pole wpływa pola to, jak już była mowa, strumienie wpływający i
do wewnątrz powierzchni (Ś < 0), czy z niej wypływa wypływający są równe co do wartości ale przeciwne co
(Ś > 0). do znaku i w efekcie strumień wypadkowy jest równy


zero. To implikuje zerowanie całki divF dV dla każ-
V
dego obszaru V , co jest możliwe wtedy i tylko wtedy
9 Krążenie wektora pola
gdy funkcja podcałkowa jest równa zero. Tak więc wa-

runek
Krążeniem pola wektorowego F po konturze zamknię-

div F = 0
tym C nazywamy całkę
stanowi kryterium pola bezz
ródłowego.


krążenie = F · dr.
C
11 Twierdzenie Stokes a
Taka całka po konturze nosi nazwę całki krzywoliniowej.
Wyrażenie pod znakiem całki jest iloczynem skalarnym
Twierdzenie Stokes a pozwala zamienić całkę po

wektora pola F i wektora dr, przedstawiajÄ…cego elemen-
krzywej zamkniętej C na całkę po powierzchni S
tarne przemieszczenie wzdłuż krzywej.
ograniczonej tÄ… krzywÄ…:

F

C
dr

F · dr = rotF · dS.

F
C S

dr
To twierdzenie jest prawdziwe dla każdej powierzchni
S, której brzegiem jest krzywa C (nie musi to być po-
wierzchnia płaska, wyobraz
sobie, że jest to błonka roz-
Ażeby dać fizyczny przykład  spotykaliśmy się z taką
pięta na ramce, dowolnie wybrzuszona).
całką przy okazji obliczania pracy wykonanej na drodze
W szczególnym przypadku gdy pole jest zachowawcze,

C (niekoniecznie zamkniętej) przez siły pola F . Przy

lewa strona (przedstawiajÄ…ca pracÄ™ wektora F po krzy-
czym, jeśli kontur C był krzywą zamkniętą, a rozpatry-
wej zamkniętej) jest równa zero. To znów implikuje zero-
wane pole sił było polem zachowawczym, to wykonana


wanie caÅ‚ki rotF ·dS dla każdego obszaru caÅ‚kowania
praca po drodze zamkniętej wynosiła zero
S

S ograniczonego konturem C, a to jest możliwe wtedy

F · dr = 0.

i tylko wtedy gdy funkcja podcałkowa rotF jest równa
C zero. Tak więc zerowanie rotacji wektora pola

rotF = 0

Takie pole F którego krążenie po dowolnej krzywej za-
jest warunkiem koniecznym i wystarczajÄ…cym zacho-
mkniętej jest równe zero nazywamy polem bezwirowym.

wawczości pola F .
10 Twierdzenie
12 Natężenie pola wektorowego i
Ostrogradskiego-Gaussa
potencjał skalarny
To twierdzenie pozwala zamienić całkę po dowolnej
powierzchni zamkniętej S na całkę po objętości V

Jeśli rozpatrujemy dowolne pole wektorowe F (x, y, z) to
ograniczonej tÄ… powierzchniÄ…:

wektor F przypisany do punktu (x, y, z) = nazywamy
r

natężeniem pola w tym punkcie.

F · dS = divF dV.
S V

Załóżmy, że pole F ( jest polem zachowawczym. Takie
r)
1 założenie jest równoważne stwierdzeniu, że  praca wek-
Kółko na symbolu całki oznacza, że obszar całkowania

tora F przy przemieszczeniu pomiędzy dwoma punkta-
jest obszarem zamkniętym, np. w tym przypadku jest to

B

mi A i B (czyli F d patrz rys.) nie zależy od tego
r,
zamknięta powierzchnia S. Podobnie jest, jeśli całkowania
A
dokonuje sie po krzywej zamkniętej. po jakiej drodze realizowane jest to przemieszczenie.
4

pole F
Znajdz
samodzielnie wzór na potencjał, jeśli przyjąć ze-
ro potencjału na powierzchni Ziemi. Będzie się on róż-
y B
nił od otrzymanego powyżej, ale różnica potencjałów w

r
dwóch punktach r1 i r2 będzie taka sama w obu przy-
A
padkach (pokaż!).

ro
2) Znalez
ć pole sił, któremu odpowiada potencjał
1
Õ(r) = kr2 (k jest staÅ‚Ä…).
2
x
Mamy do czynienia z symetriÄ… sferycznÄ…, wygodnie

jest liczyć w ukÅ‚adzie sferycznym. F = -"Õ =
W przypadku pola zachowawczego (i tylko wtedy) moż-
" 1
- ( kr2ûr) = -krûr = -k
r.
na dobrać takie pole skalarne Õ( którego gradient
r),
"r 2
ze znakiem ujemnym jest w każdym punkcie równy
r
3) Uzasadnij, że dla pola sił tarcia nie istnieje potencjał.

natężeniu pola F ( FunkcjÄ™ skalarnÄ… Õ( nazywamy
r). r)

potencjałem pola F (
r).

F ( = -grad Õ(
r) r).
Uzasadnienie:

Obliczmy całkę z funkcji F ( po dowolnej drodze po-
r)
między punktami i
ro r

r r r
"Õ "Õ "Õ

F d = - gradÕ · dr = - ( dx + dy + dz).
r
"x "y "z

ro ro ro
Wyrażenie w nawiasie pod całką jest różniczką zupełną
funkcji Õ( mamy wiÄ™c
r),

r r

F d = - dÕ( = -Õ( + (Õ(
r r) r) ro).

ro ro
r


Przepiszmy: Õ( = Õ( - F d
r) ro) r.

ro
PotencjaÅ‚ Õ dla danego pola zachowawczego zależy tylko
od punktu poczÄ…tkowego i koÅ„cowego. Ponieważ Õ(
ro)
jest stałą całkowania, można ją dobrać w sposób dowol-
ny, jest to kwestia umowy w jakim punkcie przyj-
ro
miemy potencjaÅ‚ równy zero, Õ( = 0 (czÄ™sto zero
ro)
potencjału przyjmuje się w nieskończoności (ro ")).
Wtedy

r

Õ( = - F d
r) r.

ro
Przykłady.

1) Znajdz
potencjał pola grawitacyjnego F (r) =
mMZ
-G ûr nad powierzchniÄ… Ziemi2. Przyjmiemy zero
r2
potencjału w nieskończoności. Potencjał w odległości r
od środka Ziemi (dla r > RZ, zastanów się dlaczego(?),
co trzeba by zmienić aby dostać rezultat dla r < RZ ?):
r
mMZ

Õ(r) = - (-G ûr) · dr.
r2
"

Po wykonaniu obliczeÅ„ (zwróć uwagÄ™, że ûr · dr = dr)
mMZ
otrzymujemy Õ(r) = -G . TÄ™ wielkość nazywamy
r
zwyczajowo energiÄ… potencjalnÄ… i oznaczamy Ep(r). Fi-
zycznie jest to praca jaką wykonamy aby równoważąc

siłę grawitacji (działając siłą -F ) przemieścić ciało o
masie m z " do punktu r.
2
ziemskie pole grawitacyjne jest przykładem pola

centralnego: wektor pola F zależy tylko od odległości r od
centrum pola, nie zależy od kierunku.
5