Funkcje kształtu
Zasady tworzenia funkcji kształtu
Funkcja kształtu
jest to funkcja opisująca odkształcenie elementu skończonego.
W rzeczywistości funkcja kształtu nie opisuje dokładnie
odkształcenia elementu, ale tylko je aproksymuje w taki sposób
aby uzyskać zgodność przemieszczeń w węzłach oraz prawidłowy
aby uzyskać zgodność przemieszczeń w węzłach oraz prawidłowy
opis odkształceń i naprężeń w elemencie.
W związku z tym funkcje kształtu nie
mogą być wybierane zupełnie
dowolnie. Powinny one spełniać
pewne warunki, które decydują o ich
jakości lub przydatności do
aproksymacji przemieszczeń,
odkształceń a w konsekwencji
naprężeń.
Dobór rodzaju wielomianu
Dobór wielomianu powinien zapewniać izotropię względem osi układu
współrzędnych. Jeżeli zbiór wielomianów aproksymujących przedstawimy w
postaci trójkąta Pascala, to wybór członów tego trójkąta powinien być
symetryczny względem jego osi.
Funkcja kształtu tarczy
trójkątnej CST
N (x, y) = a + b x + c y
Ni (x, y) = ai + bix + ci y
1
x y
Funkcja kształtu elementu
x2 xy y2
płytowego trójkątnej
x3 x2y xy2 y3
w(x, y) =
2
x4 x3y x y2 xy3 y4
= a1 + a2x + a3 y + a4x2 + a5xy +
+ a6 y2 + a7x3 + a8(x2 y + xy2)+ a9 y3
O doborze liczby składników
decyduje liczba stopni swobody
węzła.
TARCZA
TARCZA
PA
YTA
PA
YTA
PA
YTA
PA
YTA
TRÓJK


TRÓJK


TNA
PROSTOK
PROSTOK


TNA
Dobór rodzaju wielomianu
Tarcza O doborze liczby składników decyduje liczba
węzłów i stopni swobody jednego węzła.
Jeżeli znamy trzy przemieszczenia, to
funkcja kształtu może zawierać trzy
współczynniki przy zmiennych:
Ni (x, y) = ai + bix + ci y
Płyta Jeżeli znamy dziewięć przemieszczeń, to
funkcja kształtu może zawierać dziewięć
członów ze współczynnikami przy zmiennych:
w(x, y) =
= a1 + a2x + a3 y + a4x2 + a5xy +
+ a6 y2 + a7x3 + a8(x2 y + xy2)+ a9 y3
Kryteria doboru funkcji kształtu
 kryterium ruchu sztywnego
dobrze
z
le
Ruch bryły sztywnej czyli:
u = u = u = u = u
ix jx kx lx x
u = u = u = u = u
iy jy ky ly y
Funkcje kształtu powinny być tak dobrane, aby nie pozwalały na powstanie
naprężeń w elemencie, którego przemieszczenia wynikają jedynie z ruchu
elementu jako ciała sztywnego.
Kryteria doboru funkcji kształtu
 kryterium stałości odkształceń
Funkcje kształtu powinny zapewniać możliwości
powstania stałego pola odkształceń wewnątrz elementu.
Spełnienie warunków kryterium ruchu sztywnego i kryterium
stałości odkształceń zapewniają stałe
i liniowe człony w wielomianach, z których najczęściej budujemy
funkcje kształtu. Przy czym funkcja kształtu musi być wielomianem
takiego rzędu, aby przy liczeniu odkształceń czyli po zróżniczkowaniu
można było otrzymać wartość stałą.
Kryterium stałości odkształceń
na przykładzie tarczy
�ł łł
"
0
�ł śł
ux (x, y) = Ni (x, y)uix + N (x, y)u + Nk (x, y)ukx
j jx
�ł łł
�x
�ł"x śł
ux
�ł łł
"
uy (x, y) = Ni (x, y)uiy + N (x, y)ujy + Nk (x, y)uky
�y =
� �ł śł j
� =�ł śł �ł 0 śł � �łu śł
�
�
"y
y
�ł śł �ł �ł
�ł śł
" "
�łłxy śł
�ł śł
�ł �ł
Wielomian funkcji
�ł"y "x �ł
Ni (x, y) = ai + bix + ci y
kształtu musi mieć taki
N (x, y) = aj + bj x + cj y
j
stopień, aby po
stopień, aby po
policzeniu pochodnych
Nk (x, y) = ak + bk x + ck y
pozostały co najmniej
wartości stałe czyli
uix
�ł łł
stopień wielomianu
�łu śł
�ł łł
bi 0 bj 0 bk 0
iy
musi być równy
�ł śł
�ł0 ci 0 cj 0 ck śł
�ł śł
u rzędowi pochodnych.
jx
�
�
�
�
=
�
�łu śł
Pierwsza pochodna we
�ł śł
jy
�ł śł
wzorze na
�łci bi cj bj ck bk śł
�łukx śł
�ł �ł
odkształcenia
�ł śł
odpowiada liniowej
�łu śł
ky
�ł �ł
funkcji kształtu.
Kryterium stałości odkształceń
na przykładzie płyty
Wielomian funkcji kształtu musi mieć taki
�ł łł
"2w
stopień, aby po policzeniu pochodnych
- z
�ł śł
�ł łł
�x
"x2 śł
pozostały co najmniej wartości stałe czyli
�ł
"2w
�ł śł
�ł� śł
stopień wielomianu musi być równy
�ł
=�ł - z
�
� =
�
�
"y2 śł
y rzędowi pochodnych. Druga pochodna
�ł śł
śł
we wzorze na odkształcenia oznacza, że
�ł- 2z "2w śł
�łł xy śł
�ł "x"y śł
�ł "x"y śł
funkcją kształtu musi być wielomian co
funkcją kształtu musi być wielomian co
�ł �ł
�ł �ł
�ł �ł
�łł xy �ł
najmniej drugiego stopnia.
w(x, y) = a1 + a2x + a3 y + a4x2 + a5xy + a6 y2 + a7x3 + a8(x2 y + xy2)+ a9 y3
"2w(x, y)
= a4 + 3a7x + 2a8 y
"x2
Ten wielomian jest trzeciego
"2w(x, y) stopnia, więc też spełnia
= a6 + 2a8x + 6a9 y
kryterium stałości odkształceń.
"y2
"w2(x, y)
= a5 + a8(2x + 2y)
"x"y
Kryteria doboru funkcji kształtu
 kryterium zgodności odkształceń
dobrze
y
le  na rysunku widoczne jest
załamanie, które świadczy o braku
ciągłości odkształceń wewnątrz
elementu.
Funkcje kształtu powinny zapewniać ciągłość przemieszczeń wewnątrz
elementu, zgodność przemieszczeń i skończone wartości odkształceń na
brzegach sąsiadujących elementów.
Kryteria doboru funkcji kształtu
 kryterium zgodności odkształceń
Elementy nie spełniają kryterium,
Elementy spełniają kryterium,
ponieważ na krawędzi pomiędzy
ponieważ poszczególne punkty
węzłami nie ma takich samych
krawędzi pomiędzy węzłami mają
przemieszczeń.
te same przemieszczenia.
Funkcje kształtu powinny zapewniać ciągłość przemieszczeń wewnątrz
elementu, zgodność przemieszczeń i skończone wartości odkształceń na
brzegach sąsiadujących elementów.
Kryteria doboru funkcji kształtu
 kryterium zgodności odkształceń
Elementy nie spełniają
kryterium, ponieważ na
�
krawędzi pochodna
przemieszczeń dąży do
nieskończoności.
Na krawędzi nie ma osobliwości,
a wartości pochodnych przyjmują
wartości, które nie dążą do
nieskończoności.
Funkcje kształtu powinny zapewniać ciągłość przemieszczeń wewnątrz
elementu, zgodność przemieszczeń i skończone wartości odkształceń na
brzegach sąsiadujących elementów.
Elementy dostosowane i niedostosowane
Elementy spełniające tylko kryteria ruchu sztywnego i stałości
odkształceń, a nie spełniające kryterium zgodności odkształceń są
nazywane niedostosowanymi.
Elementy spełniające wszystkie wymienione kryteria czyli kryterium
ruchu sztywnego, kryterium stałości odkształceń i kryterium
zgodności odkształceń są nazywane dostosowanymi.
Stosując elementy niedostosowane
elementy niedostosowane
dostajemy za duże
wynik dokładny [21]
przemieszczenia, a stosując
elementy dostosowane
 przesztywniamy konstrukcję czyli
elementy dostosowane
otrzymujemy za małe
liczba elementów
przemieszczenia.
przemieszczenie
Funkcje kształtu
elementu ramowego płaskiego
 wielomiany Hermita
Nr 1 2 3 4 5 6
�i 1 - � �
1- 3�2 + 2�3 �2 3 - 2� � 1 - 2� + �2 - �2 1- �
( ) ( )
( )
wykres
�i
�i '
�i '
- 6� 1 - � 6� 1 - �
- 6� 1 - � 6� 1 - � - � 2 - 3�
-1 1 ( ) ( ) 1- 4� + 3� ( )
-1 1 ( ) ( ) 1- 4� + 3�2 - � 2 - 3�
( )
wykres
�i '
�i '' - 6 + 12� 6 - 12� - 4 + 6� - 2 + 6�
0 0
wykres
�i ''
�1, �3, �5 dotyczą węzła początkowego, a �2, �4, �6 dotyczą węzła początkowego
Funkcje stosowane są do elementów prętowych a ich iloczyny mogą być stosowane
jako funkcje kształtu płyt.
Funkcje kształtu
elementów tarczowych
Z książki:
Mechanika budowli.
Ujęcie komputerowe , t.3
W tabeli pokazane są
także wyrazy trójkąta
także wyrazy trójkąta
Pascala.
Funkcje kształtów
elementów tarczowych
Z książki: W tabeli pokazane są
Mechanika budowli. także wyrazy trójkąta
Ujęcie komputerowe , t.3 Pascala.
Funkcje kształtu
elementów płytowych
1
1
x y
x2 xy y2
x3 x2y xy2 y3
x4 x3y x2y2 xy3 y4
3
x5 x4y x y2 x2y3 xy4 y5
4
x6 x5y x y2 x3y3 x2y4 xy5 y6
płyta trójk
płyta trójk
ą
tna
płyta czworok
płyta czworok
ą
tna
o 9 stopniach swobody
o 9 stopniach swobody
o 12 stopniach swobody
o 12 stopniach swobody
płyta trójk
ą
płyta trójk
ą
tna
płyta czworok
płyta czworok
ą
tna
o 21 stopniach swobody
o 21 stopniach swobody
o 24 stopniach swobody
o 24 stopniach swobody
Elementy płytowe
o trzech stopniach swobody w węz
le
3 węzły x 3 st. swob. =
9 stopni swobody
1
x y
2 2
x xy y
Element dostosowany
3 2 2 3
x x y xy y
4 3 2 2 3 4
x x y x y xy y
5 4 3 2 2 3 4 5
x x y x y x y xy y
6 5 4 2 3 3 2 4 5 6
6 5 4 2 3 3 2 4 5 6
x x y x y x y x y xy y
x x y x y x y x y xy y
4 węzły x 3 st. swobody =
12 stopni swobody
Element dostosowany
płyta trójk
ą
tna
płyta czworok
ą
tna
o 9 stopniach swobody
o 12 stopniach swobody
płyta trójk
ą
tna
płyta czworok
ą
tna
o 21 stopniach swobody
o 24 stopniach swobody
Element płytowy czworokątny
o czterech stopniach swobody w węz
le
W jednym węz
le przyjmuje się następujące
stopnie swobody:
1
" przesunięcie:
x y
2 2
x xy y
3 2 2 3
x x y xy y
wi
4 3 2 2 3 4
x x y x y xy y
5 4 3 2 2 3 4 5
" dwa obroty:
x x y x y x y xy y
x x y x y x y xy y
"wi
"wi
"wi
"wi
6 5 4 2 3 3 2 4 5 6
� = -
�ix = -
� =
�iy =
x x y x y x y x y xy y
"y
"x
Element niedostosowany
" jedna mieszana druga pochodne ugięcia:
j
"2wi
z
k
"y"x
x
y
i
l
4 węzły x 4 st. swobody =
16 stopni swobody
płyta czw orok
ą
tna
o 16 stopnia ch swobody
płyta trójk
ą
tna
płyta czworok
ą
tna
o 21 stopniach swobody
o 24 stopniach swobody
Element płytowy czworokątny
o sześciu stopniach swobody w węz
le
W jednym węz
le przyjmuje się następujące
stopnie swobody:
1
" przesunięcie:
x y
x2 xy y2
wi
x3 x2y xy2 y3
x4 x3y x2y2 xy3 y4
3
" dwa obroty:
x5 x4y x y2 x2y3 xy4 y5
"wi
"wi
"wi
"wi
4
x6 x5y x y2 x3y3 x2y4 xy5 y6
� = -
�ix = -
� =
�iy =
"y
"x
Element dostosowany
" trzy drugie pochodne ugięcia:
j
"2wi
"2wi "2wi
z
k "y2
"x2 "y"x
x
y
i
l
4 węzły x 6 st. swobody =
24 stopni swobody
płyta trójk
ą
tna
płyta czworok
ą
tna
o 9 stopniach swobody
o 12 stopniach swobody
płyta trójk
ą
tna
płyta czworok
ą
tna
o 21 stopniach s wobody
o 24 stopniach s wobody
Element płytowy trójkątny
o sześciu stopniach swobody w węz
le i jednym
dodatkowym w dodatkowym węz
le na krawędzi
k
�pn
3 węzły x 6 st. swobody +
p
+3 węzły x 1 st. swobody =
�mn
i m
A 21 stopni swobody
l
W jednym węz
le przyjmuje się następujące
W jednym węz
le przyjmuje się następujące
�
�ln
j
n stopnie swobody:
" przesunięcie: wi
"wi
"wi
�ix = -
�iy =
" dwa obroty:
"y
"x
" trzy drugie pochodne ugięcia:
1
x y
x2 xy y2 "2wi
"2wi "2wi
x3 x2y xy2 y3
"y2
"x2 "y"x
x4 x3y x2y2 xy3 y4
3
x5 x4y x y2 x2y3 xy4 y5
4 "w
x6 x5y x y2 x3y3 x2y4 xy5 y6 " i w dodatkowym węz
le
�n =
"n
płyta trójk
ą
tna
płyta czworok
ą
tna
o 9 stopniach swobody
o 12 stopniach swobody
płyta trójk
ą
tna
płyta czworok
ą
tna
o 21 stopniach swobody
o 24 stopniach swobody
Element Veubeke - dostosowany
z
Element o 16 stopniach swobody. W
jednym węz
le przyjmuje się następujące
y
stopnie swobody:
wi
" przesunięcie:
wa (x, y)
"wi
"wi
�ix = -
�iy =
" dwa obroty:
�n
"y
"x
"x
x
x
" na krawędzi w dodatkowym węz
le
"w
w
�n =
"n
�y
�x
Funkcja kształtu jest sumą trzech funkcji kształtu:
w(x, y) = wa(x, y) + wb(x', y') + wc(x'', y'')
gdzie wa jest funkcją dla całego elementu
wa(x, y) = a1 + a2x + a3y + a4x2 + a5xy + a6y2 + a7x3 + a8x2y + a9xy2 + a10y3
Element Veubeke - dostosowany
Funkcja kształtu jest sumą trzech funkcji kształtu:
y'
w(x, y) = wa(x, y) + wb(x', y') + wc(x'', y'')
gdzie wb i wc są funkcjami dla części elementu w nowych
wb(x', y')
układach współrzędnych
wb(x', y')
= 0
wb(x', y') = a11y' +a12 y' +a13x' y'
wb(x', y') = a11y'2+a12 y'3+a13x' y'2
x'
wc(x', y') = a14 y''2+a15y''3+a16x'' y''2
z
y 
y
wc(x'', y'')
x''
wa(x, y)
�n
x
wc(x', y')
= 0
wa (x, y) = a1 + a2x + a3y + a4x2 +
w
+ a5xy + a6 y2 + a7x3 + a8x2 y + a9xy2 + a10 y3
�y
�x
Koniec
Koniec