6. Dopasowywanie modeli do danych
W procesie dopasowywania modelu matematycznego ym = gm(u,�) do dodanych
eksperymentalnych wyodrębnić można dwa podstawowe etapy:
" identyfikację strukturalną, czyli dobór gm  odpowiedniego do problemu typu równań
matematycznych i powiązań między nimi (może się ona odbywać na drodze analizy
struktury fizycznej obiektu lub empirycznie);
" estymację parametrów, polegająca na doborze takich wartości parametrów modelu �, aby
jak najdokładniej opisywał on posiadane dane (poza przypadkiem stosowania praw lub
teorii fizycznych, w których wartości parametrów są określone, ma ona charakter
empiryczny).
6.1. Estymacja parametrów jako zadanie odwrotne
Estymacja parametrów modelu jest zadaniem odwrotnym drugiego rodzaju. Na podstawie
skutku, jakim są dane wyjściowe y (uzyskane dla pewnego pobudzenia u) wyznaczana jest
przyczyna takiej, a nie innej ich postaci, a są nią wartości parametrów modelu �. Rozwiązanie
tego zadania wymaga formalnego odwrócenia związku przyczynowo-skutkowego
wyrażonego przez model gm, jego struktura mus być zatem znana.
Estymacja parametrów modeli fizykomatematycznych, gdzie odzwierciedlają one
właściwości fizyczne modelowanego obiektu, jest równoważna z pośrednim pomiarem
złożonym tych właściwości.
Można się zastanawiać, czy estymacja parametrów danego modelu (o znanej strukturze gm) jest jednakowo
efektywna dla dowolnego pobudzenia u, czy też istnieje pewne u optymalne, dające najdokładniejsze
oszacowanie �. Na pytanie to odpowiada teoria planowania eksperymentów (rozdz. 8).
6.2. Estymacja parametrów modeli liniowych
Model może być liniowy np. względem wejść, parametrów, zmiennych stanu itd. W rozdziale
tym pod pojęciem  model liniowy rozumiane będą modele liniowe względem parametrów
(LP), gdyż właśnie ta cecha determinuje postać algorytmów estymacji.
Przypomnijmy, że model liniowy musi spełniać zasadę superpozycji:
ym =� gm(�u,a�1 +� b�2)�=� agm(�u,�1)�+� bgm(�u,�2)�
,
T
T
gdzie a i b są skalarami, a całkowity wektor parametrów to � =� [�1 �T]� . Model taki,
2
uwzględniając przekształcenie pobudzenia u przez funkcję (liniową lub nieliniową) fi, można
ogólnie zapisać jako:
ym =� gm(�u,�)�=� fi(�u)� ,
2 Techniki eksperymentu (� A.G. Polak 2014)
lub posługując się macierzą eksperymentu (tożsamą z macierzą wrażliwości):
ym =� X� ,
gdzie dla N próbek i p parametrów:
�� f1(�u1)� L� f (�u1)�
ł�
p
ś�ym
ę� ś�
X =� =� M� O� M�
.
ę� ś�
ś�
ę�
f1(�uN )� K� f (�uN )�ś�
p
�� ��
Zwykle liczba obserwacji (danych w spróbkowanych sygnałach u i y) jest większa od liczby
parametrów �, tj. N > p.
Przykładem może być model w postaci szeregu potęgowego 3-go rzędu:
ym =� q�1 f1(�u)�+� q�2 f2(�u)�+� q�3 f3(�u)�+� q�4 f4(�u)�
=� q�11 +� q�2u +� q�3u2 +� q�4u3.
Wtedy macierz eksperymentu przyjmie postać:
3
�� ł�
1 u1 L� u1
ę�M� ś�
X =� M� O� M� .
ę� ś�
3
ę�1 uN L� uN ś�
�� ��
Ostatecznie zarejestrowane dane wyjściowe y to (w uproszczeniu) wyjście modelu ym
zakłócone addytywnym szumem v:
y =� ym +� v .
6.2.1. Podstawowe założenia
Podczas estymacji parametrów modelu w oparciu o dane eksperymentalne najczęściej zakłada
się, że można je traktować jako realizację zmiennej losowej y opisanej funkcją gęstości
prawdopodobieństwa p(y,�), co wypływa ze stochastycznego charakteru wektora parametrów
� :
y =� g0(�u,�)�
lub szumu v:
y =� g0(�u,�0)�+� � .
 4. Wsadowe metody estymacji parametrów modeli liniowych 3
Prawdziwy (hipotetyczny) model związku przyczynowo-skutkowego o charakterze
deterministycznym oznaczony jest tu jako g0, a �0 to prawdziwe wartości parametrów tego
modelu.
Wektor v traktowany jest jako realizacja zmiennej losowej v. Jeżeli szum jest skorelowany, to
macierz jego kowariancji wynosi
cov(�)�=� E{��T}�� R .
W szczególności, gdy szum jest nieskorelowany, macierz kowariancji ma postać:
2 2 2
R =� diag(�[�s�1 s�2 L� s� ]�)�,
N
lub dodatkowo dla szumu stacjonarnego:
2
R =� s�v I .
Często zakłada się też, że addytywne zakłócenia losowe mają charakter szumu białego
2
(gaussowskiego): � �� e , gdzie e to realizacja szumu białego o wariancji s�e .
Koncepcja wyjaśniająca losowy charakter danych wynikający z ich zakłócenia addytywnym
szumem pozwala następująco scharakteryzować właściwości statystyczne y:
E{�y}�=� g0(�u,�0)� Ł� cov{�y}�=� R .
Natomiast w przypadku losowego charakteru wektora parametrów, �0 należy interpretować
jako E{�}�.
6.2.2. Metody wsadowe
Metody wsadowe pozwalają na obliczenie estymatorów parametrów modelu matematycznego
na podstawie wcześniej zarejestrowanych danych pomiarowych (off-line). W przypadku
modeli liniowych realizujące je algorytmy są jednokrokowe i stosunkowo nieskomplikowane.
Wadą ich jednak jest to, że estymacja może być przeprowadzona dopiero po zakończeniu
eksperymentu, a nie w czasie jego trwania.
6.2.2.1. Metody bayesowskie
Metody bayesowskie wykorzystują prawdopodobieństwa warunkowe. Do ich grona należy
metoda maksymalnego prawdopodobieństwa a posteriori (MAP). Dane eksperymentalne y
Ć
traktowane są w niej jako znane, natomiast � jako wektor losowy. Estymator �MAP uzyskuje
się maksymalizując prawdopodobieństwo tego, że pochodzi on z systemu o zarejestrowanym
(ustalonym) y:
Ć
�MAP =� arg max f (� | y)�,
�
4 Techniki eksperymentu (� A.G. Polak 2014)
gdzie funkcja gęstości prawdopodobieństwa a posteriori f (� | y)� na podstawie wzoru Bayesa
wynosi:
f (�y | �)�f (�)�.
f (� | y)� =�
f (�y)�
Funkcja gęstości prawdopodobieństwa f (�y | �)� znajdująca się w liczniuku nazywana jest
funkcją wiarygodności L(y,�). Ponieważ y jest ustalone, maksymalizacja
prawdopodobieństwa a posteriori sprowadza się do maksymalizacji licznika:
Ć
�MAP =� arg max L(�y,�)�f (�)�.
�
Ć
W celu wyznaczenia wartości estymatora �MAP konieczna jest zatem aprioryczna znajomość
funkcji gęstości prawdopodobieństwa wektora parametrów f(q�), co jednak rzadko ma miejsce.
W sprzyjających okolicznościach dostępne są typy poszczególnych rozkładów (rys.) oraz
estymaty ich dwóch pierwszych momentów, tj. wartości oczekiwanej i wariancji [Nied 09].
Rys. Przykładowe rozkłady gęstości prawdopodobieństwa parametru: normalny (lewy panel) i jednostajny
(prawy panel)
6.2.2.2. Metoda największej wiarygodności
W metodzie największej wiarygodności (ML) dane eksperymentalne y traktowane są jako
zmienna losowa, a q� jako nieznany, lecz ustalony wektor parametrów. Estymację można
interpretować jako wybór takiego wektora parametrów, dla którego zarejestrowane dane są
najbardziej prawdopodobne (wg funkcji wiarygodności L).
Przy maksymalizacji prawdopodobieństwa wystąpienia zaobserwowanych wartości y (tzn. ich
wiarygodności) postępuje się analogicznie jak przy dopasowaniu odpowiedzi modelu do
pomiarów tyle, że tym razem model odpowiedzi ma charakter statystyczny, podany w postaci
funkcji gęstości prawdopodobieństwa wystąpienia ich określonych wartości.
Funkcja gęstości prawdopodobieństwa ciągu próbek y1,..., yN sygnału odpowiedzi na znane
pobudzenie ma postać wielowymiarową, a wartości próbek zależą od poszukiwanych
parametrów modelu �. Każda z próbek jest realizacją pewnej zmiennej losowej yi, a funkcja
gęstości opisuje cały wektor zmiennych y =�[�y1,..., yN]�
w sposób łączny.
 4. Wsadowe metody estymacji parametrów modeli liniowych 5
Ć
Estymator �ML maksymalizuje funkcję wiarygodności L(y,�) a" f(y|�):
Ć
�ML =� arg max L(�y,�)�.
�
Maksymalizacja może być przeprowadzona tylko przy znajomości postaci funkcji
Ć
wiarygodności. Zatem, aby obliczyć �ML , należy znać lub założyć na podstawie posiadanej
wiedzy jej jawną postać zależną od �.
W ogólności poszukiwanie ekstremum nieliniowej funkcji L sprowadza się do problemu
optymalizacyjnego (patrz rozdz. 3.4). W przypadku pewnych rozkładów gęstości
prawdopodobieństwa zadanie upraszcza się jednak do estymacji liniowej. Takim
przypadkiem, najczęściej też stosowanym w praktyce, jest opis addytywnych zakłóceń
pomiaru poprzez rozkład normalny, a w szczególności przez ich macierz kowariancji R.
Wtedy wielowymiarowy rozkład łączny ma funkcję gęstości prawdopodobieństwa (funkcję
wiarygodności) postaci:
-�N 2 -�1 2 T
1
f (�y | �)�� L(�y,�,R)�=� (�2Ą)� [�det(�R)�]� exp(�-� �(�)� R-�1�(�)�)�,
2
gdzie wektor rezyduów (reszt):
�(�) = y  ym(�).
Korzystając z faktu, iż logarytm jest funkcją monotoniczną, poszukiwanie maksimum funkcji
wiarygodności sprowadza się do poszukiwaniu maksimum jej logarytmu naturalnego postaci:
1 1 1 T
ln L =� -� N ln(�2Ą)�-� ln(�det(�R)�)�-� �(�)� R-�1�(�)�,
2 2 2
co upraszcza obliczenia. Ponieważ pierwsze dwa składniki maksymalizowanego wyrażenia
nie zależą od estymowanych parametrów, to ostatecznie maksymalizacja funkcji
wiarygodności prowadzi do minimalizacji (znak minus przy ostatnim czynniku) funkcjonału
VML(�)�:
Ć
�ML =� arg max(�ln L)�=� arg min(�VML(�)�)�,
� �
1 T 1 T
VML(�)�=� �(�)� R-�1�(�)�=� (�y -� ym(�)�)� R-�1(�y -� ym(�)�)�.
2 2
Różniczkując macierzowo funkcję kryterialną VML(�) względem �
ś�VML ś� ś�
T T
1 1
=� [� (�y -� ym(�)�)� R-�1(�y -� ym(�)�)�]�=� [� (�y -� X�)� R-�1(�y -� X�)�]�=� -�XTR-�1(�y -� X�)�
2 2
ś� ś� ś�
i przyrównując pochodną do zera:
Ć
-� XTR-�1(�y -� X�ML)�=� 0,
Ć
-� XTR-�1y +� XTR-�1X�ML =� 0,
Ć
XTR-�1X�ML =� XTR-�1y
6 Techniki eksperymentu (� A.G. Polak 2014)
Znajduje się minimum VML dla estymatora postaci:
-�1
Ć
�ML =� (�XTR-�1X)� XTR-�1y
o macierzy kowariancji SML:
-�1
Ć
SML =� cov(�ML)�=� (�XTR-�1X)� .
Warto zauważyć, że estymator ML jest szczególnym przypadkiem estymatora MAP wtedy,
gdy rozkłady gęstości prawdopodobieństwa parametrów modelu są jednostajne:
Ć Ć
�ML =� �MAP f (�)�=�const ,
gdyż wtedy:
Ć Ć
�MAP =� arg max L(�y,�)�f (�)�=� arg max L(�y,�)�=� �ML .
� �
6.2.2.3. Metoda najmniejszych kwadratów
W metodzie najmniejszych kwadratów (LS), wprowadzonej przez Legendre a i Gaussa,
zakłada się addytywny charakter szumu będącego realizacją nieskorelowanych zmiennych
losowych o rozkładzie normalnym, zerowej wartości oczekiwanej i jednakowej wariancji (co
w wielu wypadkach jest uzasadnione dzięki centralnemu twierdzeniu granicznemu). Podejście
to wymaga zatem niewielkiej wiedzy apriorycznej.
Ć
�LS
Estymator uzyskuje się minimalizując odległość modelu ym(�) od danych
eksperymentalnych y w przestrzeni l2 (odległość euklidesowa):
Ć
�LS =� arg minVLS(�)�,
�
gdzie funkcjonał VLS ma postać:
N
2
2
VLS(�)�=� y -� ym(�)� =� -� ym(�ui,�)�)�
��(�yi
2
i=�1
2
T
=� y -� X� =� (�y -� X�)� (�y -� X�)�.
2
Zauważmy, że podejście to stosowane jest przy założeniu, że addytywne błędy pomiarowe e
występują tylko w zmiennej zależnej (zarejestrowany sygnał wyjściowy y), natomiast
zmienna niezależna (pobudzenie u) znana jest bezbłędnie (rys).
 4. Wsadowe metody estymacji parametrów modeli liniowych 7
Rys. Ilustracja błędów zmiennej zależnej y w metodzie najmniejszych kwadratów
W celu znalezienia wektora parametrów dającego minimum funkcjonału należy
zróżniczkować VLS względem �:
ś�VLS (�)
=� -�2XT(�y -� X�)� =� -�2XTy +� 2XTX�
ś�
i uzyskane wyrażenie na pochodną przyrównać do zera:
Ć
-� 2XTy +� 2XTX�LS =� 0,
Ć
XTX�LS =� XTy.
Macierz XTX o wymiarze p��p (gdzie p to liczba parametrów) jest kwadratowa i jeżeli jest
nieosobliwa, to można ją odwrócić uzyskując wyrażenie na estymator:
-�1
Ć
�LS =� (�XTX)� XTy
.
Warunkiem na to, że wyznaczone ekstremum to minimum, jest dodatnio określony hessian,
czyli macierz drugich pochodnych:
ś�2VLS(�)� ś�
=� (�-� 2XTy +� 2XTX�)�=� 2XTX .
ś�2 ś�
Macierz XTX jest dodatnio określona, zatem znalezione ekstremum to minimum.
Macierz kowariancji estymatora LS dana jest przez:
-�1
2
Ć
SLS =� cov(�LS)�=�s�e (�XTX)�
,
2
gdzie s� , dla przypomnienia, jest wariancją addytywnego szumu białego. Ponieważ metodę
e
LS stosuje się w sytuacjach, w których nieznane są właściwości statystyczne zakłóceń, nie
można wyznaczyć odchyleń standardowych estymatorów bezpośrednio z powyższego wzoru
2
(wartość s� nie jest znana). Wariancję szumu można jednak oszacować na podstawie
e
8 Techniki eksperymentu (� A.G. Polak 2014)
rezyduów, zakładając bezbłędność modelu. Wtedy błąd średniokwadratowy VMSE
dopasowania modelu do danych wynosi [Sj�berg 95]:
1 p N -� p
LS 2 2 2
Ć Ć
VMSE(�LS)�=� E{�VLS(�LS)�}�=� �e -� �e =� �e .
N N N
Pamiętając, że jednocześnie
1 1 1
T
Ć
VLS(�LS)�=� �T� =� (�y -� ym(�)�)� (�y -� ym(�)�)�,
N N N
otrzymuje się znane wyrażenie pozwalające oszacować wariancję szumu na podstawie
wyznaczonych rezyduów:
N -� p 1
2
s�e � �T�
N N
i ostatecznie [Hocking 76]:
T
-�1
Ć Ć
�(�LS)� �(�LS)�=� yT(�I -� X(�XTX)� XT)�y
2
Ć
s�e =�
.
N -� p N -� p
Estymator LS jest szczególnym przypadkiem estymatora ML (a tym samym MAP) w sytuacji,
2 2 2 2
gdy addytywne zakłócenia mają charakter stacjonarny (tj. s�1 =� s�2 =� K�=� s�N �� s�e ) i są
realizacją niezależnych zmiennych losowych (tzn. macierz kowariancji jest diagonalna):
Ć Ć
�LS =� �ML ,
2
R =�s� I
e
gdyż wtedy:
-�1 -�1 -�1 -�1
-�2 -�2 2 -�2
Ć Ć
�ML =� (�XTR-�1X)� XTR-�1y =� (�XTs�e X)� XTs�e y =� s�e(�XTX)� XTs�e y =� (�XTX)� XTy =� �LS
.
Przykład: Estymacja parametrów układu oddechowego podczas sztucznej wentylacji
W uproszczeniu układ oddechowy można zamodelować jako szeregowe połączenie dwóch parametrów: oporu
Rrs i podatności Crs (rezystor i kondensator w elektrycznym modelu zastępczym  rys.).
Rys. Elektryczny model zastępczy procesu sztucznej wentylacji płuc
Z II prawa Kirchhoffa otrzymuje się związek (model MISO) między wyjściem (ciśnienie Prs mierzone w
respiratorze) i wejściem modelu (przepływ Q mierzony w respiratorze oraz obliczana na jego podstawie objętość
powietrza wprowadzonego do płuc V = +"Qdt ):
Prs(�t)�=� RrsQ(�t)�+� ErsV(�t)�+� P0 ,
 4. Wsadowe metody estymacji parametrów modeli liniowych 9
który w zapisie macierzowym przyjmuje postać (przez P0 oznaczając ciśnienie na początku pomiarów):
prs =� Rrsq +� Ersv +� P0 .
Wektor parametrów modelu to � = [Rrs, Ers, P0]T . Macierz eksperymentu wynosi:
ś�p
rs
X =� =� [�q,v,1]�
,
ś�
zatem estymaty parametrów (w tym mechanicznych właściwości układu oddechowego) oblicza się następująco:
T
-�1
T T
Ć Ć
[�R ,Ę ,P]� =� (�X X)� X p .
rs rs 0 rs
Przykładowy przepływ wentylacyjny Q oraz wynik dopasowania modelu do danych ciśnienia Prs pokazano na
rys.
Model 1
0.5
0
-0.5
-1
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
0.4
Data
0.3
Model
0.2
0.1
0
-0.1
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
Time (s)
Rys. Przykładowe dopasowanie modelu sztucznej wentylacji płuc do danych
6.2.2.3. Metoda ważonych najmniejszych kwadratów
Często stosowanym, uogólnionym podejściem do estymacji, jest metoda ważonych
Ć
�WLS
najmniejszych kwadratów (WLS), w której estymatory wyznacza się minimalizując
funkcjonał VWLS:
Ć
�WLS =� arg minVWLS(�)�,
�
w postaci ważonego błędu średniokwadratowego (odległości modelu od danych w l2):
T T
VWLS(�)�=� (�y -� ym(�)�)� W(�y -� ym(�)�)�=� (�y -� X�)� W(�y -� X�)�
,
gdzie W jest różnie w poszczególnych metodach dobieraną, dodatnio określoną, symetryczną
macierzą wag (najczęściej diagonalną). Wyrażają one posiadaną wiedzę aprioryczną o
poszczególnych danych pomiarowych, np. ich dokładność czy szczególne znaczenie.
Wektor estymatorów i macierz kowariancji dane są w tym przypadku wzorami [VBos 88]:
Flow Q (L/s)
Pressure Prs (kPa)
10 Techniki eksperymentu (� A.G. Polak 2014)
-�1
Ć
�WLS =�(�XTWX)� XTWy
i
-�1 -�1
Ć
SWLS =� cov(�WLS)�=�(�XTWX)� XTWRWX(�XTWX)�
,
gdzie R, przypomnijmy, jest dodatnio określoną macierzą kowariancji zakłóceń addytywnych
o zerowej wartości oczekiwanej.
Nietrudno zauważyć, że zarówno ML jak i LS są szczególnymi przypadkami metody
ważonych najmniejszych kwadratów. Można to sprawdzić podstawiając W = R 1 w przypadku
metody największej wiarygodności (wagi są wtedy odwrotnie proporcjonalne do niepewności
poszczególnych danych) lub W = I w przypadku metody najmniejszych kwadratów
(wszystkie wagi są jednakowe i wynoszą 1).
Zależność estymatora od wyjścia modelu i szumu pomiarowego
Na przykładzie metody WLS warto przyjrzeć się, w jaki sposób estymator parametrów
budowany jest przez wyjście modelu ym (tożsame z niezakłóconym wyjściem obiektu w
przypadku bezbłędnego modelu), a w jakim stopniu przez konkretną realizację szumu
pomiarowego e (pamiętając, że w przypadku szumu addytywnego obowiązuje relacja
y = ym + e):
-�1 -�1
Ć
�WLS =� (�XTWX)� XTWy =� (�XTWX)� XTW(�y0 +� e)�
-�1 -�1
=� (�XTWX)� XTWy +� (�XTWX)� XTWe
0
-�1 -�1
=� (�XTWX)� XTWX�0 +� (�XTWX)� XTWe
-�1
=� �0 +� (�XTWX)� XTWe,
gdzie �0 oznacza wektor parametrów o prawdziwych wartościach (tj. takich, które miał model
generujący wyjście ym = X�0). Widać stąd, że wpływ obu czynników (ym i e) jest analogiczny
-�1
Ć
�WLS
 są one tak samo przetworzone przez operator (�XTWX)� XTW . W efekcie estymator
ma charakter zmiennej losowej (także w innych metodach), a obliczane jego wartości tym
bardziej są zbliżone do wartości oczekiwanej, im mniejsza jest energia zakłóceń losowych
zawartych w danych empirycznych (im większy stosunek sygnału do szumu  SNR).
6.2.3. Estymacja z ograniczeniami
6.2.3.1. Estymacja z ograniczeniami liniowymi
W rzeczywistych sytuacjach parametry odpowiadające fizycznym właściwościom obiektu
mogą przyjmować tylko pewne wartości, zazwyczaj należące do znanego przedziału [a, b],
lub np. nie mogą być ujemne. W procesie wyznaczania ich wartości należy wykorzystać tę
informację aprioryczną, a stosowane metody noszą nazwę estymacji z ograniczeniami.
 4. Wsadowe metody estymacji parametrów modeli liniowych 11
Zdanie estymacji z ograniczeniami jest złożone i zaproponowano wiele metod jego
rozwiązania. Do najpopularniejszych należą metody liniowe (opierające się o LS), w których
ograniczenia nałożone na � przyjmują postać układu równań liniowych:
G� =� g ,
gdzie G(q�p) (q < p) jest znaną macierzą więzów, a g jest znanym wektorem współczynników
liniowych. Należy zatem rozwiązać typowe zadanie LS ale tak, aby estymatory parametrów
spełniały powyższe równanie:
Ć
�� =� arg min(�y -� X�)�T -� X�)�,
(�y
��
�
��
Ć
��
��G� =� g .
W tym celu stosuje się jedną z dwóch metod: metodę mnożników Lagrange a (typowo gdy
q < p/2) lub metodę elementów (q > p/2).
Metoda elementów
Metoda elementów wykorzystuje fakt, że skoro p parametrów jest skojarzonych ze sobą za
pośrednictwem q równań liniowych, to niezależnych jest tylko q z nich, a inne można wyrazić
jako kombinacje liniowe pozostałych. Ostatecznie wystarczy wyestymować wartości p  q
parametrów, a q następnych obliczyć na ich podstawie. Prowadzi to do redukcji liczby
estymowanych parametrów i stąd metoda ta zwana jest również metodą redukcji zmiennych.
Pierwszym krokiem jest przedstawienie macierzy G jako macierzy blokowej, podzielonej na
macierz prostokątną G1((p q)�q) oraz macierz kwadratową G2(q�q): G [G1|G2], a wektora
parametrów odpowiednio jako [�1 �2]T. Wtedy układ równań więzów przyjmuje postać:
�1
�� ł�
[�G1 | G2]� ę� ś� =� g .
��2 ��
Stąd:
G1�1 +� G2�2 =� g ,
a rozwiązanie względem �2:
�2 =� G-�1(�g -� G1�1)�.
2
Pozwala to na wyeliminowanie q parametrów z równania modelowego, przy czym macierz
eksperymentu również dzieli się na odpowiednie bloki:
�1
�� ł�
ym =� [�X1 | X2]� ę� ś� =� X1�1 +� X2�2 .
��2 ��
Podstawiając teraz wyprowadzoną zależność na �2, otrzymuje się następujące równanie z
niewiadomym wektorem p  q parametrów:
ym =� X1�1 +� X2G-�1(�g -� G1�1)�.
2
12 Techniki eksperymentu (� A.G. Polak 2014)
Można je uporządkować do podstawowej postaci liniowej (przenosząc na lewo znane
wartości) i pamiętając, że posiadane dane y = ym + e, zapisać:
-�1
y -� X2 4� g =� (�X4�4� 2 3� +� e,
1�4�2�G23� 1�1 +� X2G-�1G1)�1
2�4�4�
yr Xr
a następnie znalez
ć estymator �1 metodą najmniejszych kwadratów. Ostatecznie uzyskuje się:
��1 =� r -�1XTyr ,
(�XTXr)�
��Ć
r
��
Ć
��Ć 2
=� G-�1(�g -� G1�1)� .
��2
6.2.4. Estymacja parametrów modeli fourierowskich
Analiza właściwości danych powiązanych z ich widmem nie musi być przeprowadzana w
dziedzinie częstotliwości. W wielu sytuacjach znane są częstotliwości składowe
analizowanych sygnałów, a poszukiwane jedynie ich amplitudy i przesunięcia fazowe.
Przydatne okazuje się wtedy wykorzystanie modelu matematycznego badanego sygnału
analogicznego do szeregu Fouriera (częstotliwości nie muszą być harmoniczne):
p p p
ym(�ti)�=� a�0 +� sin(�2Ą fkti +� j�k )�=� a�0 +� cos(�2Ą fkti)�+� sin(�2Ą fkti)�
,
��a�k ��ak ��bk
k =�1 k =�1 k =�1
gdzie:
2 2 2 2
a�k =� ak +� bk sinj�k =� ak ak +� bk .
i
Ponieważ w tym przypadku nieznanymi parametrami są ą0, a i b, dopasowywanie tego
modelu do danych sprowadza się do estymacji modelu LP w dziedzinie czasu (rys.), a
macierz eksperymentu przyjmuje postać:
1 cos(�2Ą f1t1)� sin(�2Ą f1t1)� L� cos(�2Ą fpt1)� sin(�2Ą fpt1)�
�� ł�
ę�1 cos(�2Ą f1t2)� sin(�2Ą f1t2)� L� cos(�2Ą f t2)� sin(�2Ą f t2)�ś�
p p
ę� ś�
X =�
.
ę�M� M� M� O� M� M� ś�
ę�1 cos(�2Ą f1tN sin(�2Ą f1tN L� cos(�2Ą fptN sin(�2Ą fptN
)� )� )� )�ś�
�� ��
 4. Wsadowe metody estymacji parametrów modeli liniowych 13
Rys. Dopasowanie modelu Fouriera do danych składających się z 7 sinusoid przesuniętych w fazie [Polak 06].
Potencjalnie analogicznie można próbować rozwiązać problem dodatkowej estymacji
częstotliwości powyższego szeregu, jednakże wtedy model staje się NLP i, co gorsze, posiada
dużą liczbę minimów lokalnych.