Politechnika Śląska Gliwice, 2006/2007
Wydział: Automatyki, Elektroniki i Informatyki Semestr: 6 (letni)
Kierunek: Automatyka i robotyka
Podstawy Automatyki
 laboratorium
Ćw 5. Regulacja PID.
Data ćwiczeń laboratoryjnych: 28.03.2007
Grupa: 1
Sekcja: 3
Skład osobowy sekcji:
Zięba Andrzej
Bojko Marcin
1. Cel ćwiczenia:
Celem ćwiczenia była analiza własności układów regulacji oraz wskazanie możliwości
poprawy jego działania poprzez dobór odpowiednich regulatorów. Badany był wpływ typu oraz
nastaw regulatora dobieranych według: kryterium M , metody Zieglera-Nicholsa (Z-N), metody
max
QDR oraz zadanego zapasu fazy.
2. Program ćwiczenia:
Rysunek 1: Zamknięty układ regulacji.
A. Część pierwsza  porównanie działania układów z regulatorami dobieranymi według
różnych kryteriów.
Przeprowadz
analizę zamkniętego układu regulacji przedstawionego na rysunku 1. z
k
K śą sźą= ; gdzie : k=3, T =5, T =7.6 , a=1.
obiektem o transmitancji:
1 2
śą a�ąsźąśą1�ąsT źąśą1�ąsT źą
1 2
1. Zakładając K (s) = 1 zbadać własności obiektu regulacji K(s).
r
1.1. Wykreślić charakterystykę Nyquista układu otwartego  zaznaczyć zapas amplitudy oraz
zapas fazy.
1.2. Wykreślić odpowiedz
skokową układu zamkniętego.
1.3. Wykreślić przebieg wskaz
ników częstotliwościowych M(�) i q(�).
2. Zbadać wpływ nastaw regulatora P.
2.1. Dobrać k korzystając z:
r
a) kryterium M ;
max
b) zapasu fazy (przyjąć "Ć = Ą/6);
c) metody Zieglera-Nicholsa;
d) metody QDR.
2.2. Dla poszczególnych układów regulacji wykreślić:
a) charakterystykę Nyquista;
b) odpowiedz
skokową;
c) przebieg wskaz
ników częstotliwościowych.
Poszczególne charakterystyki należy przedstawić w sposób zbiorczy porównując je z
odpowiednimi charakterystykami układu bez regulatora (punkt A.1).
2.3. Na podstawie otrzymanych wyników wskazać  optymalną nastawę regulatora i
uzasadnić swój wybór.
3. Zbadać wpływ nastaw regulatora PI.
W tym celu należy dobrać nastawy regulatora wykorzystując poszczególne kryteria
(2.1 a,b,c,d) i wykreślić komplet charakterystyk (2.2 a,b,c). Na podstawie otrzymanych
wyników wskazać  optymalną nastawę regulatora i uzasadnić swój wybór.
4. Zbadać wpływ nastaw regulatora PID.
W tym celu należy dobrać nastawy regulatora wykorzystując poszczególne kryteria
(2.1 a,b,c,d) i wykreślić komplet charakterystyk (2.2 a,b,c). Na podstawie otrzymanych
wyników wskazać  optymalną nastawę regulatora i uzasadnić swój wybór.
B. Część druga  porównanie działania układów z regulatorami P, PI, PID.
Przeprowadz
analizę zamkniętego układu regulacji przedstawionego na rysunku 1. z
k
K śą sźą= ; k=3, T =7.5 , T =0.1�"T =0.75 , n=5.
obiektem o transmitancji: 2 1 2
śą1�ąsT źąn śą1�ąsT2źą
1
1. Zakładając K (s) = 1 zbadać własności obiektu regulacji K(s).
r
1.1. Wykreślić charakterystykę Nyquista układu otwartego.
1.2. Wykreślić odpowiedz
skokową układu zamkniętego.
1.3. Wykreślić przebieg wskaz
ników częstotliwościowych.
2. Dobrać nastawy regulatorów P, PI, PID według metody Zieglera-Nicholsa.
2.1. Dla poszczególnych układów regulacji wykreślić:
a) charakterystykę Nyquista;
b) przebiegi wskaz
ników: nadążania i regulacji.
Zbadać wpływ regulatorów P, PI, PID na zapas stabilności oraz przebiegi wskaz
ników
częstotliwościowych. Poszczególne charakterystyki należy przedstawić w sposób
zbiorczy porównując je z odpowiednimi charakterystykami układu bez regulatora (B.1).
2.2. Wykreślić odpowiedzi skokowe układów z regulatorami P, PI, PID i porównać z
odpowiedzią skokową układu zamkniętego bez regulatora (B.1.2)  co daje pojawienie
się kolejnych elementów w regulatorze.
2.3. Dla każdego typu regulatora porównać odpowiedzi skokowe układów przy nastawach
Zieglera-Nicholsa i nastawach dobranych w oparciu o inne kryterium (2.1 a,b,d)  czy
można polepszyć działanie układu odchodząc od nastaw Zieglera-Nicholsa.
3. Kod z
ródłowy programu:
Część A:
close all;
clear all;
clc;
% Zdefiniowanie transmitancji obiektu:
s=tf('s');
K=3/(s+1)/(5*s+1)/(7.5*s+1);
% Zdefiniowanie transmitancji regulatorow:
k_kr=5.666666; % wzmocnienie reg. P dla ktorego uklad znajdzie sie na granicy stabilnosci
T_kr=10.5; % okres wystepujacych wowczas oscylacji niegasnacych
k_p=3; % wzmocnienie procesu (uklad otwarty)
t1=14.38; % czas po ktorym odpowiedz skokowa uzyska 63,2% wartosci w stanie ustalonym
t2=7.4764; % czas po ktorym odpowiedz skokowa uzyska 28,3% wartosci w stanie ustalonym
T_p=1.5*(t1-t2); % zastepcza stala czasowa
T0_p=t1-T_p; % zastepczy czas opuznienia
% P:
Kr1=1.330;
Kr2=2.075;
Kr3=0.5*k_kr;
Kr4=T_p/k_p/T0_p;
% PI:
% Kr1=1.07*(1+1/(s*25));
% Kr2=1.12*(1+1/(s*10));
% Kr3=0.45*k_kr*(1+1/(s*0.85*T_kr));
% Kr4=(0.9*T_p/k_p/T0_p)*(1+1/(s*3.33*T0_p));
% PID:
% Kr1=3.7*(1+1/(s*10)+s*2);
% Kr2=11.5*(1+1/(s*20)+s*5);
% Kr3=0.6*k_kr*(1+1/(s*0.5*T_kr)+s*0.12*T_kr);
% Kr4=1.2*T_p/k_p/T0_p*(1+1/(s*2*T0_p)+s*0.5*T0_p);
% Wykreslenie odpowiednich charakterystyk:
figure;
hold on;
nyquist(K);
nyquist(minreal(K*Kr1));
nyquist(minreal(K*Kr2));
nyquist(minreal(K*Kr3));
nyquist(minreal(K*Kr4));
figure;
hold on;
step(minreal(K/(K+1)));
step(minreal(K*Kr1/(K*Kr1+1)));
step(minreal(K*Kr2/(K*Kr2+1)));
step(minreal(K*Kr3/(K*Kr3+1)));
step(minreal(K*Kr4/(K*Kr4+1)));
legend('Uklad bez regulatora','Kryterium M_{max}','Zapewnienie zapasu fazy 30^{o}',...
'Metoda Zieglera-Nicholsa','Metoda QDR',4);
figure;
hold on;
bodemag(minreal(K/(K+1)));
bodemag(minreal(K*Kr1/(K*Kr1+1)));
bodemag(minreal(K*Kr2/(K*Kr2+1)));
bodemag(minreal(K*Kr3/(K*Kr3+1)));
bodemag(minreal(K*Kr4/(K*Kr4+1)));
legend('Uklad bez regulatora','Kryterium M_{max}','Zapewnienie zapasu fazy 30^{o}',...
'Metoda Zieglera-Nicholsa','Metoda QDR',2);
xlim([10^(-3) 10^(2)]);
figure;
hold on;
bodemag(minreal(1/(K+1)));
bodemag(minreal(1/(K*Kr1+1)));
bodemag(minreal(1/(K*Kr2+1)));
bodemag(minreal(1/(K*Kr3+1)));
bodemag(minreal(1/(K*Kr4+1)));
legend('Uklad bez regulatora','Kryterium M_{max}','Zapewnienie zapasu fazy 30^{o}',...
'Metoda Zieglera-Nicholsa','Metoda QDR',2);
xlim([10^(-3) 10^(2)]);
Część B:
close all;
clear all;
clc;
% Zdefiniowanie transmitancji obiektu:
s=tf('s');
K=3/((0.75*s+1)^5)/(7.5*s+1);
% Zdefiniowanie transmitancji regulatorow - metoda Zieglera-Nicholsa:
k_kr=1.8538273; % wzmocnienie reg. P dla ktorego uklad znajdzie sie na granicy stabilnosci
T_kr=12.4; % okres wystepujacych wowczas oscylacji niegasnacych
Kr1=0.5*k_kr;
Kr2=0.45*k_kr*(1+1/(s*0.85*T_kr));
Kr3=0.6*k_kr*(1+1/(s*0.5*T_kr)+s*0.12*T_kr);
% Wykreslenie odpowiednich charakterystyk:
figure;
hold on;
nyquist(K);
nyquist(minreal(K*Kr1));
nyquist(minreal(K*Kr2));
nyquist(minreal(K*Kr3));
figure;
hold on;
bodemag(minreal(K/(K+1)));
bodemag(minreal(K*Kr1/(K*Kr1+1)));
bodemag(minreal(K*Kr2/(K*Kr2+1)));
bodemag(minreal(K*Kr3/(K*Kr3+1)));
legend('Uklad bez regulatora','Uklad z regulatorem P',...
'Uklad z regulatorem PI','Uklad z regulatorem PID',2);
xlim([10^(-2) 10^(2)]);
figure;
hold on;
bodemag(minreal(1/(K+1)));
bodemag(minreal(1/(K*Kr1+1)));
bodemag(minreal(1/(K*Kr2+1)));
bodemag(minreal(1/(K*Kr3+1)));
legend('Uklad bez regulatora','Uklad z regulatorem P',...
'Uklad z regulatorem PI','Uklad z regulatorem PID',2);
xlim([10^(-2) 10^(2)]);
figure;
hold on;
step(minreal(K/(K+1)));
step(minreal(K*Kr1/(K*Kr1+1)));
step(minreal(K*Kr2/(K*Kr2+1)));
step(minreal(K*Kr3/(K*Kr3+1)));
legend('Uklad bez regulatora','Uklad z regulatorem P',...
'Uklad z regulatorem PI','Uklad z regulatorem PID',4);
% Definicja nastaw regulatorow dla innych metod:
k_p=3; % wzmocnienie procesu (uklad otwarty)
t1=11.4491; % czas po ktorym odpowiedz skokowa uzyska 63,2% wartosci w stanie ustalonym
t2=6.298; % czas po ktorym odpowiedz skokowa uzyska 28,3% wartosci w stanie ustalonym
T_p=1.5*(t1-t2); % zastepcza stala czasowa
T0_p=t1-T_p; % zastepczy czas opuznienia
 % P:
Kr1a=0.84;
Kr1b=1.22;
Kr1d=T_p/k_p/T0_p;
% PI:
Kr2a=0.767*(1+1/(s*25));
Kr2b=0.915*(1+1/(s*10));
Kr2d=(0.9*T_p/k_p/T0_p)*(1+1/(s*3.33*T0_p));
% PID:
Kr3a=1.125*(1+1/(s*10)+s*2);
Kr3b=0.973*(1+1/(s*20)+s*5);
Kr3d=1.2*T_p/k_p/T0_p*(1+1/(s*2*T0_p)+s*0.5*T0_p);
% Odpowiedzi skokowe:
% Regulatory P:
figure;
hold on;
step(minreal(K*Kr1/(K*Kr1+1)));
step(minreal(K*Kr1a/(K*Kr1a+1)));
step(minreal(K*Kr1b/(K*Kr1b+1)));
step(minreal(K*Kr1d/(K*Kr1d+1)));
legend('Metoda Zieglera-Nicholsa','Kryterium M_{max}',...
'Zapewnienie zapasu fazy 30^{o}','Metoda QDR',4);
% Regulatory PI:
figure;
hold on;
step(minreal(K*Kr2/(K*Kr2+1)));
step(minreal(K*Kr2a/(K*Kr2a+1)));
step(minreal(K*Kr2b/(K*Kr2b+1)));
step(minreal(K*Kr2d/(K*Kr2d+1)));
legend('Metoda Zieglera-Nicholsa','Kryterium M_{max}',...
'Zapewnienie zapasu fazy 30^{o}','Metoda QDR',4);
% Regulatory PID:
figure;
hold on;
step(minreal(K*Kr3/(K*Kr3+1)));
step(minreal(K*Kr3a/(K*Kr3a+1)));
step(minreal(K*Kr3b/(K*Kr3b+1)));
step(minreal(K*Kr3d/(K*Kr3d+1)));
legend('Metoda Zieglera-Nicholsa','Kryterium M_{max}',...
'Zapewnienie zapasu fazy 30^{o}','Metoda QDR',4);
4. Realizacja zadań części pierwszej (A):
1. Badanie własności obiektu regulacji:
Ad 1.1.
N y q u i s t D i a g r a m
0 . 5
"Ć = 60o
S y s t e m : K
G a i n M a r g i n ( d B ) : 1 5 . 1
"L = 15.1
A t fr e q u e n c y ( r a d / s e c ) : 0 . 6
"k = 5.69
C l o s e d L o o p S t a b l e ? Y e s
0
- 0 . 5
S y s t e m : K
- 1
P h a s e M a r g i n ( d e g ) : 6 0
D e l a y M a r g i n ( s e c ) : 4 . 6 9
A t fr e q u e n c y ( r a d / s e c ) : 0 . 2 2 4
C l o s e d L o o p S t a b l e ? Y e s
- 1 . 5
- 2
- 2 - 1 . 5 - 1 - 0 . 5 0 0 . 5 1 1 . 5 2 2 . 5 3
R e a l A x is
I m a g in a r y A x is
Ad 1.2.
S t e p R e s p o n s e
1
0 . 9
0 . 8
0 . 7
0 . 6
0 . 5
0 . 4
0 . 3
0 . 2
0 . 1
0
0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0 3 5 4 0 4 5 5 0
T im e ( s e c )
Ad 1.3. Kolejno: wskaz
nik nadążania M(�); wskaz
nik regulacji q(�).
B o d e D ia g r a m
1 . 5
S y s t e m : u n t i t l e d 1
F r e q u e n c y ( r a d / s e c ) : 0 . 2 6 2
M a g n i t u d e ( a b s ) : 1 . 0 3
1
0 . 5
0
- 3 - 2 - 1 0 1 2
1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0
F r e q u e n c y ( r a d / s e c )
B o d e D ia g r a m
2
1 . 5
1
0 . 5
0
- 3 - 2 - 1 0 1 2
1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0
F r e q u e n c y ( r a d / s e c )
A m p lit u d e
M a g n it u d e ( a b s )
M a g n it u d e ( a b s )
2. Wpływ nastaw regulatora P.
Ad 2.1. Nastawy regulatora:
a) Kryterium M k = 1.330
max r
b) Zapewnienie zapasu fazy "Ć = Ą / 6 k = 2.075
r
c) Metoda Zieglera-Nicholsa k = 2.833
r
d) Metoda QDR k = 0.858
r
Ad 2.2.a)
N y q u i s t D i a g r a m
Bez regulatora:
2
"Ć = 60o
"L = 15.1
"k = 5.69
1
a) "Ć = 47.1o
0
"L = 12.6
"k = 4.27
- 1
b) "Ć = 30.0o
- 2
"L = 8.73
"k = 2.73
- 3
c) "Ć = 19.7o
- 4
"L = 6.02
"k = 2.00
- 5
d) "Ć = 67.9o
- 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
"L = 16.4
R e a l A x is
"k = 6.61
Ad 2.2.b)
S t e p R e s p o n s e
1 . 5
Bez regulatora:
y = 0.750
ust
y = 0.193
p
t = 37.4 s
r
a) y = 0.800
ust
1
y = 0.270
p
t = 42.2 s
r
b) y = 0.861
ust
y = 0.419
p
t = 56.7 s
r
0 . 5
c) y = 0.894
ust
U k l a d b e z r e g u l a t o r a
y = 0.546
p
K r y t e r i u m M
m a x
t = 71.6 s
r
o
Z a p e w n i e n i e z a p a s u fa z y 3 0
M e t o d a Z i e g l e r a - N i c h o l s a
M e t o d a Q D R
d) y = 0.720
ust
0
0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 0 9 0
y = 0.159
p
T im e ( s e c )
t = 38.4 s
r
I m a g in a r y A x i s
A m p l it u d e
y  wartość odpowiedzi skokowej w stanie ustalonym
ust
y  wartość przeregulowania odpowiedzi skokowej
p
t  czas regulacji  czas po którym |y(t) - y | < y � 1%
r ust ust
Ad 2.2.c)
Wskaz
nik nadążania:
B o d e D ia g r a m
3 . 5
Bez regulatora:
U k l a d b e z r e g u l a t o r a
K r y t e r i u m M
M = 1.03
m a x max
o
Z a p e w n i e n i e z a p a s u fa z y 3 0
� = 0.262 rad/
r s
3
M e t o d a Z i e g l e r a - N i c h o l s a
M e t o d a Q D R
a) M = 1.30
max
2 . 5
� = 0.310 rad/
r s
b) M = 2.03
max
2
� = 0.389 rad/
r s
1 . 5
c) M = 3.11
max
� = 0.449 rad/
r s
1
d) M = 0.92
max
� = 0.238 rad/
r s
0 . 5
0
- 3 - 2 - 1 0 1 2
1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0
F r e q u e n c y ( r a d / s e c )
Wskaz
nik regulacji:
B o d e D ia g r a m
4
Bez regulatora:
U k l a d b e z r e g u l a t o r a
K r y t e r i u m M
q = 1.58
m a x max
o
Z a p e w n i e n i e z a p a s u fa z y 3 0
� = 0.326 rad/
3 . 5 r s
M e t o d a Z i e g l e r a - N i c h o l s a
M e t o d a Q D R
a) q = 1.83
max
3
� = 0.377 rad/
r s
2 . 5
b) q = 2.52
max
� = 0.418 rad/
r s
2
c) q = 3.52
max
1 . 5
� = 0.477 rad/
r s
1 d) q = 1.49
max
� = 0.346 rad/
r s
0 . 5
0
- 3 - 2 - 1 0 1 2
1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0
F r e q u e n c y ( r a d / s e c )
M a g n i t u d e ( a b s )
M a g n i t u d e ( a b s )
Ad 2.3.
a) Kryterium M :
max
Zapewnia spełnienie wymagań związanych z zapasem fazy i zapasem wzmocnienia
stawianych układowi regulacji.
Uchyb regulacji stanowi 20.0% wymuszenia.
Przeregulowanie względne to 33,75%
Czas regulacji jest o 4.8 sekundy dłuższy niż w układzie bez regulatora (wynosi 42.2 s).
Wartość M wynosi 1.3 i jest optymalna, � = 0.310 rad/ .
max r s
Zdolność tłumienia zakłóceń o pulsacji mniejszej od 0.244 rad/ .
s
b) Zapewnienie zapasu fazy równego 30o:
Zapewnia spełnienie wymagań związanych z zapasem fazy i zapasem wzmocnienia
stawianych układowi regulacji.
Uchyb regulacji stanowi 13.9% wymuszenia.
Przeregulowanie względne to 48.66%
Czas regulacji jest o 19.3 sekundy dłuższy niż w układzie bez regulatora (wynosi 56.7 s).
Wartość M wynosi 2.03 i jest zbyt duża, � = 0.389 rad/ .
max r s
Zdolność tłumienia zakłóceń o pulsacji mniejszej od 0.285 rad/ .
s
c) Metoda Zieglera-Nicholsa:
Nie zapewnia spełnienia wymagań związanych z zapasem fazy i zapasem wzmocnienia
stawianych układowi regulacji.
Uchyb regulacji stanowi 10.6% wymuszenia.
Przeregulowanie względne to 61.07%
Czas regulacji jest o 34.2 sekundy dłuższy niż w układzie bez regulatora (wynosi 71.6 s).
Wartość M wynosi 3.11 i jest zbyt duża, � = 0.449 rad/ .
max r s
Zdolność tłumienia zakłóceń o pulsacji mniejszej od 0.323 rad/ .
s
d) Metoda QDR:
Zapewnia spełnienie wymagań związanych z zapasem fazy i zapasem wzmocnienia
stawianych układowi regulacji  najwyższe wartości ponieważ nastawa wzmocnienia jest
najmniejsza.
Uchyb regulacji stanowi 28.0% wymuszenia.
Przeregulowanie względne to 22.08%
Czas regulacji jest o 1.0 sekundy dłuższy niż w układzie bez regulatora (wynosi 38.4 s).
Wartość M wynosi 0.92 i jest zbyt mała, � = 0.238 rad/ .
max r s
Zdolność tłumienia zakłóceń o pulsacji mniejszej od 0.214 rad/ .
s
Wybór optymalnej nastawy: k = 1.330 (z kryterium M ).
r max
Uzasadnienie:
Nastawa wynikająca z metody Zieglera-Nicholsa jest nieodpowiednia ze względu na nie
spełnienie wymagań związanych z wartościami zapasu fazy i wzmocnienia. Dodatkowo wartość
przeregulowania jest zbyt duża i mogłaby w pewnych warunkach doprowadzić do zniszczenia
obiektu. Czas regulacji jest zbyt długi (niemalże dwa razy większy niż w przypadku układu bez
regulatora).
Nastawa wynikająca z metody QDR jest nieodpowiednia ze względu na duży uchyb
regulacji w stanie ustalonym oraz najniższą wartość pulsacji dla której zakłócenia są tłumione.
Nastawa wynikająca z zapewnienia żądanego zapasu fazy została odrzucona ze względu
na zbyt wielkie przeregulowanie (prawie 50%), co jest równoważne zbyt wysokiej wartości M .
max
Wadą nastawy wynikającej z kryterium M jest stosunkowo duża wartość uchybu w
max
stanie ustalonym. W przypadku sterowania procesami w których dokładność musiałaby być
większa należałoby wykorzystać nastawy zapewniające ją (nastawy wynikające z zapasu fazy bądz

Zieglera-Nicholsa). Jednakże w procesach w których wymagana jest stosunkowo duża dokładność
stosuje się regulatory PI bądz
PID.
3. Wpływ nastaw regulatora PI.
Ad 3.1. Nastawy regulatora:
a) Kryterium M k = 1.070 T = 25,000
max r c
b) Zapewnienie zapasu fazy "Ć = Ą / 6 k = 1.120 T = 10,000
r c
c) Metoda Zieglera-Nicholsa k = 2.550 T = 8,925
r c
d) Metoda QDR k = 0.772 T = 13,402
r c
Ad 3.2.a)
N y q u is t D i a g r a m
Bez regulatora:
3 "Ć = 60o
"L = 15.1
2
"k = 5.69
1
a) "Ć = 46.5o
0
"L = 13.1
"k = 4.52
- 1
- 2
b) "Ć = 30.0o
"L = 10.2
- 3
"k = 3.24
- 4
c) "Ć = 6.56o
- 5
"L = 2.50
- 6
"k = 1.33
- 7
d) "Ć = 48.7o
- 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3
"L = 14.6
R e a l A x is
"k = 5.37
Ad 3.2.b)
S t e p R e s p o n s e
1 . 8
Bez regulatora:
y = 0.750
ust
1 . 6
y = 0.193
p
t = 37.4 s
r
1 . 4
a) y = 1.000
ust
1 . 2
y = 0.150
p
t = 84.7 s
r
1
b) y = 1.000
ust
0 . 8
y = 0.410
p
t = 60.1 s
r
0 . 6
c) y = 1.000
ust
0 . 4
U k l a d b e z r e g u l a t o r a
y = 0.790
p
K r y t e r i u m M
m a x
t = 213 s
r
o
0 . 2 Z a p e w n i e n i e z a p a s u fa z y 3 0
M e t o d a Z i e g l e r a - N i c h o l s a
M e t o d a Q D R
d) y = 1.000
ust
0
0 2 0 4 0 6 0 8 0 1 0 0 1 2 0 1 4 0 1 6 0 1 8 0 2 0 0
y = 0.170
p
T im e ( s e c )
t = 36.6 s
r
I m a g i n a r y A x i s
A m p l it u d e
y  wartość odpowiedzi skokowej w stanie ustalonym
ust
y  wartość przeregulowania odpowiedzi skokowej
p
t  czas regulacji  czas po którym |y(t) - y | < y � 1%
r ust ust
Ad 3.2.c)
Wskaz
nik nadążania:
B o d e D ia g r a m
1 0
Bez regulatora:
U k l a d b e z r e g u l a t o r a
K r y t e r i u m M
M = 1.03
m a x max
9 o
Z a p e w n i e n i e z a p a s u fa z y 3 0
� = 0.262 rad/
r s
M e t o d a Z i e g l e r a - N i c h o l s a
M e t o d a Q D R
8
a) M = 1.30
max
� = 0.268 rad/
7 r s
6
b) M = 1.98
max
� = 0.274 rad/
r s
5
c) M = 9.26
max
4
� = 0.417 rad/
r s
3
d) M = 1.23
max
2
� = 0.215 rad/
r s
1
0
- 3 - 2 - 1 0 1 2
1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0
F r e q u e n c y ( r a d / s e c )
Wskaz
nik regulacji:
B o d e D ia g r a m
1 0
Bez regulatora:
U k l a d b e z r e g u l a t o r a
K r y t e r i u m M
q = 1.58
m a x max
9 o
Z a p e w n i e n i e z a p a s u fa z y 3 0
� = 0.326 rad/
r s
M e t o d a Z i e g l e r a - N i c h o l s a
M e t o d a Q D R
8
a) q = 1.81
max
� = 0.338 rad/
7 r s
6
b) q = 2.41
max
� = 0.299 rad/
r s
5
c) q = 9.59
max
4
� = 0.417 rad/
r s
3
d) q = 1.72
max
2
� = 0.275 rad/
r s
1
0
- 3 - 2 - 1 0 1 2
1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0
F r e q u e n c y ( r a d / s e c )
M a g n it u d e ( a b s )
M a g n it u d e ( a b s )
Ad 3.3.
a) Kryterium M :
max
Zapewnia spełnienie wymagań związanych z zapasem fazy i zapasem wzmocnienia
stawianych układowi regulacji.
Zerowy uchyb regulacji dla wymuszenia skokowego.
Przeregulowanie względne to 15%
Czas regulacji jest o 47.3 sekundy dłuższy niż w układzie bez regulatora (wynosi 84.7 s).
Wartość M wynosi 1.3 i jest optymalna, � = 0.268 rad/ .
max r s
Zdolność tłumienia zakłóceń o pulsacji mniejszej od 0.209 rad/ .
s
b) Zapewnienie zapasu fazy równego 30o:
Zapewnia spełnienie wymagań związanych z zapasem fazy i zapasem wzmocnienia
stawianych układowi regulacji.
Zerowy uchyb regulacji dla wymuszenia skokowego.
Przeregulowanie względne to 41%
Czas regulacji jest o 22.7 sekundy dłuższy niż w układzie bez regulatora (wynosi 60.1 s).
Wartość M wynosi 1.98 i jest zbyt duża, � = 0.274 rad/ .
max r s
Zdolność tłumienia zakłóceń o pulsacji mniejszej od 0.196 rad/ .
s
c) Metoda Zieglera-Nicholsa:
Nie zapewnia spełnienia wymagań związanych z zapasem fazy i zapasem wzmocnienia
stawianych układowi regulacji.
Zerowy uchyb regulacji dla wymuszenia skokowego.
Przeregulowanie względne to 79%
Czas regulacji jest o 175.6 sekundy dłuższy niż w układzie bez regulatora (wynosi 213 s).
Wartość M wynosi 9.26 i jest zbyt duża, � = 0.417 rad/ .
max r s
Zdolność tłumienia zakłóceń o pulsacji mniejszej od 0.288 rad/ .
s
d) Metoda QDR:
Zapewnia spełnienie wymagań związanych z zapasem fazy i zapasem wzmocnienia
stawianych układowi regulacji.
Zerowy uchyb regulacji dla wymuszenia skokowego.
Przeregulowanie względne to 17%
Czas regulacji jest o 0.8 sekundy krótszy niż w układzie bez regulatora (wynosi 36.6 s).
Wartość M wynosi 1.23 i jest bliska optymalnej, � = 0.215 rad/ .
max r s
Zdolność tłumienia zakłóceń o pulsacji mniejszej od 0.170 rad/ .
s
Wybór optymalnej nastawy: k = 0.772 T = 13,402 (z metody QDR).
r c
Uzasadnienie:
Nastawa wynikająca z metody Zieglera-Nicholsa jest nieodpowiednia ze względu na nie
spełnienie wymagań związanych z wartościami zapasu fazy i wzmocnienia. Dodatkowo wartość
przeregulowania jest zbyt duża i mogłaby w pewnych warunkach doprowadzić do zniszczenia
obiektu. Czas regulacji jest zbyt długi (ponad pięć razy większy niż w przypadku układu bez
regulatora).
Nastawa wynikająca z kryterium M została odrzucona z powodu długiego czasu
max
regulacji.
Nastawa wynikająca z zapewnienia żądanego zapasu fazy została odrzucona ze względu
na zbyt wielkie przeregulowanie (ponad 40%), co jest równoważne zbyt wysokiej wartości M .
max
Nastawa wynikająca z metody QDR jest najkorzystniejsza ze względu na czas regulacji,
niezbyt wielkie przeregulowanie, wartości M oraz q . Jej największą zaletą są stosunkowo duże
max max
zapasy fazy oraz wzmocnienia. Niestety nastawa ta charakteryzuje najgorszą charakterystyką
tłumienia zakłóceń. Z tego powodu przy tak dobranej nastawie układ nie powinien być narażony na
działanie zakłóceń o dużej amplitudzie i częstotliwości. Gdy warunki wymagałyby lepszych
własności układu ze względu na tłumienie zakłóceń lepszą nastawą byłaby ta wynikająca z zapasu
fazy.
4. Wpływ nastaw regulatora PID.
Ad 4.1. Nastawy regulatora:
a) Kryterium M k = 3.700 T = 10,000 T = 2,000
max r c d
b) Zapewnienie zapasu fazy "Ć = Ą / 6 k = 11.500 T = 20,000 T = 5,000
r c d
c) Metoda Zieglera-Nicholsa k = 3.400 T = 5,250 T = 1,260
r c d
d) Metoda QDR k = 1.029 T = 8,049 T = 2,012
r c d
Ad 4.2.a)
N y q u i s t D i a g r a m
Bez regulatora:
"Ć = 60o
"L = 15.1
5
"k = 5.69
a) "Ć = 46.7o
0
"L = "
"k = "
- 5
b) "Ć = 30.0o
"L = "
"k = "
- 1 0
c) "Ć = 24.3o
"L = "
"k = "
- 1 5
d) "Ć = 53.8o
- 1 5 - 1 0 - 5 0 5 1 0
"L = "
R e a l A x is
"k = "
Ad 4.2.b)
S t e p R e s p o n s e
1 . 6
Bez regulatora:
y = 0.750
ust
y = 0.193
1 . 4 p
t = 37.4 s
r
1 . 2
a) y = 1.000
ust
y = 0.240
p
1
t = 13.1 s
r
0 . 8
b) y = 1.000
ust
y = 0.390
p
0 . 6
t = 13.0 s
r
0 . 4 c) y = 1.000
ust
U k l a d b e z r e g u l a t o r a
y = 0.530
p
K r y t e r i u m M
m a x
t = 41.9 s
r
0 . 2 o
Z a p e w n i e n i e z a p a s u fa z y 3 0
M e t o d a Z i e g l e r a - N i c h o l s a
M e t o d a Q D R
d) y = 1.000
ust
0
0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0 3 5 4 0 4 5 5 0
y = 0.170
p
T im e ( s e c )
t = 34.4 s
r
I m a g i n a r y A x i s
A m p l it u d e
y  wartość odpowiedzi skokowej w stanie ustalonym
ust
y  wartość przeregulowania odpowiedzi skokowej
p
t  czas regulacji  czas po którym |y(t) - y | < y � 1%
r ust ust
Ad 4.2.c)
Wskaz
nik nadążania:
B o d e D ia g r a m
2 . 5
Bez regulatora:
U k l a d b e z r e g u l a t o r a
K r y t e r i u m M
M = 1.03
m a x max
o
Z a p e w n i e n i e z a p a s u fa z y 3 0
� = 0.262 rad/
r s
M e t o d a Z i e g l e r a - N i c h o l s a
M e t o d a Q D R
2
a) M = 1.30
max
� = 0.485 rad/
r s
1 . 5
b) M = 1.93
max
� = 2.02 rad/
r s
c) M = 2.42
max
1
� = 0.444 rad/
r s
d) M = 1.18
max
0 . 5
� = 0.163 rad/
r s
0
- 3 - 2 - 1 0 1 2
1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0
F r e q u e n c y ( r a d / s e c )
Wskaz
nik regulacji:
B o d e D ia g r a m
2 . 5
Bez regulatora:
U k l a d b e z r e g u l a t o r a
K r y t e r i u m M
q = 1.58
m a x max
o
Z a p e w n i e n i e z a p a s u fa z y 3 0
� = 0.326 rad/
r s
M e t o d a Z i e g l e r a - N i c h o l s a
M e t o d a Q D R
2
a) q = 1.48
max
� = 0.737 rad/
r s
1 . 5
b) q = 2.14
max
� = 2.21 rad/
r s
c) q = 2.41
max
1
� = 0.480 rad/
r s
d) q = 1.28
max
0 . 5
� = 0.365 rad/
r s
0
- 3 - 2 - 1 0 1 2
1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0
F r e q u e n c y ( r a d / s e c )
M a g n i t u d e ( a b s )
M a g n i t u d e ( a b s )
Ad 4.3.
a) Kryterium M :
max
Zapewnia spełnienie wymagań związanych z zapasem fazy i zapasem wzmocnienia
stawianych układowi regulacji.
Zerowy uchyb regulacji dla wymuszenia skokowego.
Przeregulowanie względne to 24%
Czas regulacji jest o 24.3 sekundy krótszy niż w układzie bez regulatora (wynosi 13.1 s).
Wartość M wynosi 1.3 i jest optymalna, � = 0.485rad/ .
max r s
Zdolność tłumienia zakłóceń o pulsacji mniejszej od 0.479 rad/ .
s
b) Zapewnienie zapasu fazy równego 30o:
Zapewnia spełnienie wymagań związanych z zapasem fazy i zapasem wzmocnienia
stawianych układowi regulacji.
Zerowy uchyb regulacji dla wymuszenia skokowego.
Przeregulowanie względne to 39%
Czas regulacji jest o 24.4 sekundy krótszy niż w układzie bez regulatora (wynosi 13.0 s).
Wartość M wynosi 1.93 i jest zbyt duża, � = 2.02 rad/ .
max r s
Zdolność tłumienia zakłóceń o pulsacji mniejszej od 1.55 rad/ .
s
c) Metoda Zieglera-Nicholsa:
Nie zapewnia spełnienia wymagań związanych z zapasem fazy i zapasem wzmocnienia
stawianych układowi regulacji.
Zerowy uchyb regulacji dla wymuszenia skokowego.
Przeregulowanie względne to 53%
Czas regulacji jest o 4.5 sekundy dłuższy niż w układzie bez regulatora (wynosi 41.9 s).
Wartość M wynosi 2.42 i jest zbyt duża, � = 0.444 rad/ .
max r s
Zdolność tłumienia zakłóceń o pulsacji mniejszej od 0.339 rad/ .
s
d) Metoda QDR:
Zapewnia spełnienie wymagań związanych z zapasem fazy i zapasem wzmocnienia
stawianych układowi regulacji.
Zerowy uchyb regulacji dla wymuszenia skokowego.
Przeregulowanie względne to 17%
Czas regulacji jest o 3.0 sekundy krótszy niż w układzie bez regulatora (wynosi 34.4 s).
Wartość M wynosi 1.18 i jest bliska optymalnej, � = 0.163 rad/ .
max r s
Zdolność tłumienia zakłóceń o pulsacji mniejszej od 0.209 rad/ .
s
Wybór optymalnej nastawy: k = 11.500 T = 20,000 T = 5,000 (z "Ć = 30o).
r c d
Uzasadnienie:
Nastawa wynikająca z metody Zieglera-Nicholsa jest nieodpowiednia ze względu na nie
spełnienie wymagań związanych z wartościami zapasu fazy i wzmocnienia. Dodatkowo wartość
przeregulowania jest zbyt duża i mogłaby w pewnych warunkach doprowadzić do zniszczenia
obiektu. Czas regulacji jest zbyt długi.
Nastawa wynikająca z metody QDR została odrzucona ze względu na zbyt długi czas
regulacji i najgorsze własności tłumienia zakłóceń w paśmie podrezonansowym.
Nastawa wynikająca z kryterium M jest stosunkowo dobra (czas regulacji, wielość
max
przeregulowania) jednakże za optymalną nastawę przyjęto tą wynikającą z żądania zapasu fazy
równego 30o. Zdecydowało o tym wyborze szerokie pasmo tłumienia zakłóceń pomimo większego
przeregulowania na odpowiedz
skokową.
5. Realizacja zadań części drugiej (B):
1. Badanie własności obiektu regulacji:
Ad 1.1.
N y q u i s t D ia g r a m
"Ć = 44.9o
0 . 5
S y s t e m : K
"L = 5.36
G a i n M a r g i n ( d B ) : 5 . 3 6
A t fr e q u e n c y ( r a d / s e c ) : 0 . 5 1
"k = 1.85
C l o s e d L o o p S t a b l e ? Y e s
0
- 0 . 5
S y s t e m : K
P h a s e M a r g i n ( d e g ) : 4 4 . 9
- 1
D e l a y M a r g i n ( s e c ) : 2 . 4 4
A t fr e q u e n c y ( r a d / s e c ) : 0 . 3 2 1
C l o s e d L o o p S t a b l e ? Y e s
- 1 . 5
- 2
- 2 - 1 0 1 2 3
R e a l A x i s
Ad 1.2.
S t e p R e s p o n s e
1 . 4
1 . 2
1
0 . 8
0 . 6
0 . 4
0 . 2
0
0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0
T i m e ( s e c )
Ad 1.3.
Wskaz
nik nadążania M(�): Wskaz
nik regulacji q(�):
B o d e D ia g r a m B o d e D ia g r a m
1 . 8 3
S y s t e m : u n t i t l e d 1
F r e q u e n c y ( r a d / s e c ) : 0 . 4 2
1 . 6
M a g n i t u d e ( a b s ) : 1 . 7 5
2 . 5
1 . 4
1 . 2 2
1
1 . 5
0 . 8
0 . 6 1
0 . 4
0 . 5
0 . 2
0 0
- 2 - 1 0 1 2 - 2 - 1 0 1 2
1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0
F r e q u e n c y ( r a d / s e c ) F r e q u e n c y ( r a d / s e c )
I m a g i n a r y A x i s
A m p l i t u d e
M a g n i t u d e ( a b s )
M a g n i t u d e ( a b s )
2. Porównanie regulatorów P, PI, PID  nastawy według metody Zieglera-Nicholsa.
a) Regulator P: k = 0.927
r
b) Regulator PI: k = 0.834 T = 10,54
r c
c) Regulator PID: k = 1.112 T = 6,200 T = 1,488
r c d
Ad 2.1.a)
N y q u i s t D i a g r a m
Bez regulatora:
1 0
"Ć = 44.9o
"L = 5.36
"k = 1.85
5
Z regulatorem P:
"Ć = 50.7o
"L = 6.02
0
"k = 2.00
Z regulatorem PI:
- 5
"Ć = 36.4o
"L = 5.31
"k = 1.84
- 1 0
Z regulatorem PID:
"Ć = 40.5o
"L = 7.37
- 1 5
- 2 - 1 0 1 2 3
"k = 2.34
R e a l A x is
Ad 2.1.b)
Wskaz
nik nadążania:
B o d e D ia g r a m
2
Bez regulatora:
U k l a d b e z r e g u l a t o r a
U k l a d z r e g u l a t o r e m P
M = 1.75
max
U k l a d z r e g u l a t o r e m P I
1 . 8
� = 0.420
r
U k l a d z r e g u l a t o r e m P ID
1 . 6
Z regulatorem P:
M = 1.52
1 . 4 max
� = 0.407
r
1 . 2
Z regulatorem PI:
1
M = 1.94
max
� = 0.357
r
0 . 8
Z regulatorem PID:
0 . 6
M = 1.47
max
0 . 4
� = 0.402
r
0 . 2
0
- 3 - 2 - 1 0 1
1 0 1 0 1 0 1 0 1 0
F r e q u e n c y ( r a d / s e c )
I m a g i n a r y A x i s
M a g n i t u d e ( a b s )
 Wskaz
nik regulacji:
B o d e D ia g r a m
3
Bez regulatora:
U k l a d b e z r e g u l a t o r a
U k l a d z r e g u l a t o r e m P
q = 2.52
max
U k l a d z r e g u l a t o r e m P I
� = 0.455
r
U k l a d z r e g u l a t o r e m P ID
2 . 5
Z regulatorem P:
q = 2.31
max
2
� = 0.444
r
Z regulatorem PI:
1 . 5
q = 2.66
max
� = 0.390
r
1
Z regulatorem PID:
q = 2.07
max
� = 0.546
r
0 . 5
0
- 3 - 2 - 1 0 1
1 0 1 0 1 0 1 0 1 0
F r e q u e n c y ( r a d / s e c )
Jeżeli obiekt regulacji można w dostatecznym stopniu aproksymować obiektem o
transmitancji będącej iloczynem opóz
nienia, wzmocnienia i inercji pierwszego rzędu (jak w
przykładzie) wówczas wpływ typu regulatora z nastawami dobranymi przy pomocy metody
Zieglera-Nicholsa jest następujący (odnośnie zapasów stabilności i wskaz
ników
częstotliwościowych):
Zapas wzmocnienia wynosi około "k = 2 (około 6 dB) dla wszystkich typów regulatorów.
Zapas ten równy jest 2 dla regulatora typu P  wynika to bezpośrednio z zastosowanej
metody.
Zapas fazy jest wynikiem ustawienia danego zapasu wzmocnienia w układzie regulacji.
Wartość maksymalnego modułu jest najniższa dla układu z regulatorem PID z czego można
wnioskować że w układzie tym będą występować najmniejsze oscylacje i przeregulowanie.
W układzie z regulatorem PI mamy sytuację odwrotną, to znaczy największą wartość
maksymalnego modułu.
Częstotliwość rezonansowa charakterystyk nadążania jest najwyższa dla układu z
regulatorem PID a najniższa dla układu z regulatorem PI. Zaletom zastosowania regulatora
P jest najszersze pasmo nadążania.
Z przebiegów wskaz
nika nadążania można wnioskować o zerowym uchybie regulacji w
stanie ustalonym dla układów z regulatorami PI i PID. Dla układu z regulatorem P uchyb ten
nie jest zerowy.
Wnioskiem z przebiegu wskaz
ników regulacji jest fakt całkowitego tłumienia stałych w
czasie zakłóceń dla układów z regulatorami PI i PID. Przy zastosowaniu regulatora
proporcjonalnego zakłócenia nie są całkowicie tłumione w całym zakresie ich
częstotliwości.
Najszerszym pasmem tłumienia zakłóceń charakteryzują się układy z regulatorami P i PID.
Zakres tłumienia zakłóceń układu z regulatorem PI jest nieco mniejszy.
M a g n i t u d e ( a b s )
Ad 2.2.
S t e p R e s p o n s e
1 . 4
Bez regulatora:
y = 0.751
ust
y = 0.359
p
1 . 2
t = 48.4 s
r
1
Z regulatorem P:
y = 0.736
ust
y = 0.324
p
0 . 8
t = 41.9 s
r
0 . 6
Z regulatorem PI:
y = 1.000
ust
y = 0.360
p
0 . 4
t = 54.3 s
r
U k l a d b e z r e g u l a t o r a
0 . 2
Z regulatorem PID:
U k l a d z r e g u l a t o r e m P
y = 1.000
U k l a d z r e g u l a t o r e m P I ust
U k l a d z r e g u l a t o r e m P ID
y = 0.360
p
0
0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0
t = 22.3 s
r
T im e ( s e c )
y  wartość odpowiedzi skokowej w stanie ustalonym
ust
y  wartość przeregulowania odpowiedzi skokowej
p
t  czas regulacji  czas po którym |y(t) - y | < y � 1%
r ust ust
Część proporcjonalna (regulator P):
Wiąże się bezpośrednio z ustawieniem w układzie zapasu wzmocnienia "k = 2.
Konsekwencje tej zmiany powodują zmianę: wartości uchybu w stanie ustalonym, wartości
przeregulowania, czasu regulacji, czasu zanikania oscylacji. W pewnym stopniu (zależnym od
dopasowania do układu inercyjnego I rzędu z opóz
nieniem) przebieg regulacji jest normalizowany.
Część całkująca (regulator PI):
Całka wprowadza do układu astatyzm I rzędu (zerowy uchyb regulacji w stanie
ustalonym dla wymuszenia skokowego). Zwiększa się oscylacyjność układu i czas regulacji.
Część różniczkująca (regulator PID):
Znacząco zmniejsza czas regulacji. Zwiększa szybkość reakcji układu na wymuszenie
sterujące. Oscylacje są bardzo szybko tłumione.
Najkorzystniejsza regulacja zachodzi przy zastosowaniu regulatora PID.
A m p l it u d e
Ad 2.3.a) Regulatory P:
S t e p R e s p o n s e
1 . 4
1 . 2
1
0 . 8
0 . 6
0 . 4
M e t o d a Z i e g l e r a - N i c h o l s a
0 . 2
K r y t e r i u m M
m a x
o
Z a p e w n i e n i e z a p a s u fa z y 3 0
M e t o d a Q D R
0
0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 0 9 0
T im e ( s e c )
Ad 2.3.b) Regulatory PI:
S t e p R e s p o n s e
1 . 5
1
0 . 5
M e t o d a Z i e g l e r a - N i c h o l s a
K r y t e r i u m M
m a x
o
Z a p e w n i e n i e z a p a s u fa z y 3 0
M e t o d a Q D R
0
0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 0 9 0 1 0 0
T im e ( s e c )
A m p lit u d e
A m p lit u d e
Ad 2.3.c) Regulatory PID:
S t e p R e s p o n s e
1 . 4
1 . 2
1
0 . 8
0 . 6
0 . 4
M e t o d a Z i e g l e r a - N i c h o l s a
0 . 2
K r y t e r i u m M
m a x
o
Z a p e w n i e n i e z a p a s u fa z y 3 0
M e t o d a Q D R
0
0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 0
T im e ( s e c )
Dla wszystkich przypadków regulatorów dla badanego obiektu nastawy wynikające z
metody Zieglera-Nicholsa są optymalne. Wynika to z faktu iż transmitancję obiektu regulacji
można z dużą dokładnością aproksymować iloczynem transmitancji elementu inercyjnego I rzędu i
opóz
nienia. Najgorszym kryterium doboru nastaw w tym przypadku okazuje się kryterium bazujące
na zapasie fazy równym 30o.
6. Wnioski:
Dobór nastaw regulatora zależy przede wszystkim od postaci transmitancji obiektu regulacji
oraz narzuconych warunków regulacji (na przykład maksymalnego przeregulowania, które
nie uszkodzi obiektu).
Metodę Zieglera-Nicholsa stosujemy kiedy transmitancję obiektu regulacji można z dużą
dokładnością aproksymować iloczynem transmitancji elementu inercyjnego I rzędu i
opóz
nienia.
Metoda QDR charakteryzuje sie czterokrotnym zmniejszeniem amplitudy kolejnych
oscylacji, .
Dla złożonych obiektów regulacji nie zawsze da się wyznaczyć zadowalające nastawy przy
pomocy kryteriów zobrazowanych w tym sprawozdaniu. Jednakże istnieje wiele innych
metod (np. bazujących na wskaz
nikach całkowych) przy zastosowaniu których można
otrzymać lepsze nastawy.
Często gdy w transmitancji obiektu regulacji znajduje się czynnik całkujący, aby uzyskać
dobre parametry regulacji wystarcza regulator P bądz
PD.
Bardzo często stosuje się aproksymacje złożonych obiektów regulacji znacznie prostrzymi
uzyskując bardzo dobre parametry regulacji.
A m p lit u d e