I = Å"I
I =I = [cm ] I = [cm ]
12 [kN /m]
20 [kN ]
5 [kNm]
3
I 2 I
1
2 2
I1 4
I1
I1
0
5
4
8 1 1
ËÄ…2 ËÄ…3
u1
3
2
1
4
0
4 5
8 1 1
u =Z
ËÄ… =Z
ËÄ… =Z
r Å"Z ƒÄ…r Å"Z ƒÄ…r Å"Z ƒÄ…R =
P
r Å"Z ƒÄ…r Å"Z ƒÄ…r Å"Z ƒÄ…R =
P
r Å"Z ƒÄ…r Å"Z ƒÄ…r Å"Z ƒÄ…R =
P
1 Jerzy Skoryna KBI 3
23
3
2
1
4
01 42 53
0
5
4
8 1 1
Z Z
Z Z
Z
Z
EI
M EI Z EI Z
M
M
EI
M EI Z EI Z
EI
M EI Z Z Z
EI
M EI Z Z Z
EI
M EI Z Z
EI
M EI Z Z
EI
EI
M Z Z
EI
EI
M Z Z
2 Jerzy Skoryna KBI 3
Z1 =Ä…
1
Stan :
r21 r31
Ä…
1
1,08
2
3 0,363803
1
1,08
3
8
4
3
3
0 4 5
16
8
0,363803
8 1 1
3 Å"EI M =0 M =0 M =0 M =1,08 EI M =1,08 EI
M =-
01 10 12 21 23 32
16
M =-3 Å"EI M =-3 Å"EI M =-0,363803 EI M =-0,363803 EI
24 42 35 53
8 8
Z2 =Ä…
1
Stan :
Ä…
1
r32
r12 1,44
0,27 2
3
1
1,0
2,88
4
0 4 0,5 5
8 1 1
M =0 M =0 M =0 M =0,27 EI M =2,88 EI M =1,44 EI
01 10 12 21 23 32
M =1,0 EI M =0,5 EI M =0 M =0
24 42 35 53
ObciÄ…\
enie siłami zewnętrznymi 22.04.2005 3 Jerzy Skoryna KBI 3
Z3 =Ä…
1
Stan :
r23 Ä…
1
r13
2,88
2
3
1
1,44
0,970143
4
0,485071
0 4 5
8 1 1
M =0 M =0 M =0 M =0 M =1,44 EI M =2,88 EI
01 10 12 21 23 32
M =0 M =0 M =0,970143 EI M =0,485071 EI
24 42 35 53
Stan P:
12 [kN /m]
5 [kNm]
R3 P
R2 P
R1 P
1,0
1,0
1
2 3
20 [kN ]
4
1,0
0 4 5
8 1 1
M =0 M =0 M =0 M =0 M =-1 [kNm] M =1 [kNm]
01 10 12 21 23 32
M =0 M =0 M =-1 [kNm] M =1 [kNm]
24 42 35 53
ObciÄ…\
enie siłami zewnętrznymi 22.04.2005 4 Jerzy Skoryna KBI 3
rik
Obliczam reakcje w poszczególnych stanach równowa\
ąc odpowiednie węzły:
3
Z1 =Ä…
1
Stan : r21 =śą1,08 - źąÅ"EI =0,705 EI
8
r31 =śą1,08 -0,363803 źąÅ"EI =0,716197 EI
Z2 =Ä… r22 =śą2,88ƒÄ…1ƒÄ…0,27 źąÅ"EI =4,15 EI
1
Stan :
r32 =1,44 EI
Z3 =Ä… r23 =1,44 EI
1
Stan :
r33 =śą2,88ƒÄ…0,970143źąÅ"EI =3,85014 EI
R2 P=-1,0 [kNm]
Stan P:
R3 P=-5-1ƒÄ…1=-5[kNm]
Reakcje nie będące momentami obliczam korzystając z równania pracy wirtualnej:
3 Å"1 Å"ąźąƒÄ…śą-3 Å"2 Å"1 Å"ąźąƒÄ…śą1,08 Å"2 Å"śą-1
Ä…
r11 Å"1 ƒÄ…śą- 1 1 źąÅ"ąźąƒÄ…śą-0,363803 Å"2 Å"1 Å"ąźą=0
1 1
16 4 8 4 4 4
r11 =0,956277 EI
Ä…
r12 Å"1 ƒÄ…0,27 Å"0ƒÄ…śąśą1,0ƒÄ…0,5źąÅ"1 Å"ąźąƒÄ…śąśą2,88 ƒÄ…1,44źąÅ"śą-1 źąÅ"ąźą=0
1 1
4 4
r12 =0,705 EI
Ä…
r13 Å"1 ƒÄ…śąśą1,44 ƒÄ…2,88 źąÅ"śą-1 źąźąƒÄ…śąśą0,970143ƒÄ…0,485071źąÅ"1 Å"ąźą=0
1
4 4
r13 =0,716197 EI
R1
W równaniu pracy wirtualnej do obliczenia P występują przemieszczenia, na których wykonuje
pracÄ™ obciÄ…\
enie zewnętrzne. Do ich obliczenia wykorzystuję równania łańcucha kinematycznego:
ÍÄ…23
3
2
2 a
ÍÄ…42 3 a
ÍÄ…53 4
5
4
1 1
V =4 Å"0ƒÄ…0,5 Å"śą-1 źą=-0,125
“! 422a
2 a
4
“! 53a V =-0,5 Å"1 =-0,125
3 a
4
Ä… Ä…
20 Å"1 ƒÄ…R1 PÅ"1 ƒÄ…śą-1ƒÄ…1źąÅ"ÍÄ…23 ƒÄ…śą-1ƒÄ…1źąÅ"ÍÄ…35 ƒÄ…12 Å"1 Å"śą-0,125źąƒÄ…12 Å"1 Å"śą-0,125źą=0
R1 P=-17 [kN ]
ObciÄ…\
enie siłami zewnętrznymi 22.04.2005 5 Jerzy Skoryna KBI 3
Układ równań kanonicznych przyjmuje postać:
0,956277 Å"Z1 ƒÄ…0,705 Å"Z ƒÄ…0,716197 Å"Z3 -17 =0
2
0,705 Å"Z1 ƒÄ…4,15 Å"Z2 ƒÄ…1,44 Å"Z3 -1 =0
0,716197 Å"Z1 ƒÄ…1,44 Å"Z ƒÄ…3,85014 Å"Z3 -5 =0
2
Rozwiązanie układu:
EI Z1=21,0030
EI Z =-2,78316
2
EI Z3 =-1,56735
Po podstawieniu do wyjściowych wzorów transformacyjnych otrzymujemy ostateczne momenty
10,6593
[kNm]:
15,1615
M =-3,93806
01
0,751453
2
M =0
10,1615
10
3
1
M =0
12 11,4108
M =-0,751453
21
M =11,4108
23
4
M =15,1615
32
M =-10,6593
24
M =-9,26771
42
M =-10,1615
0 4 5
9,26771
35
M =-7,40124
53
3,93806
7,40124
8 1 1
Kontrola kinematyczna: wykres momentów w stanie wirtualnym [m]
4
4
4 2 3
1
4
Ä…
1
0
5
4
8 1 1
Ä…
MÅ"M
Ä…
ºÄ…4 Å"1 =²Ä… Å"dx=ºÄ…4 Å"Ä… 1 Å"śą0,5 Å"4 Å"9,2677 Å"1 Å"4-0,5 Å"4 Å"10,6593 Å"2 Å"4źąƒÄ…
1ƒÄ…
+"
EI EI 3 3
1 2 Å"1 Å"12 Å"12
Å"śą0,5 Å"1 Å"15,1615-0,5 Å"1 Å"11,4108 - źąÅ"4ƒÄ…
EI 3 8
2
1 2 Å"12 Å"12
Å"śą0,5 Å" 17 Å"10,1615 Å"2 Å"4-0,5 Å" 17 Å"7,40124 Å"1 Å"4- Å" 17 Å"0,5 Å"4źą=
ćą ćą ćą
EI 3 3 3 8
-32,1357 3,50140 27,2723
= ƒÄ… ƒÄ… =0,000 ºÄ…4 =0,000
EI 0,72 Å"EI EI
ObciÄ…\
enie siłami zewnętrznymi 22.04.2005 6 Jerzy Skoryna KBI 3
Siły tnące [kN] obliczam równowa\
ąc pojedyncze pręty obcią\
one momentami [kNm] i
obciÄ…\
eniem zewnętrznym:
M =10,6593
24
T =4,98175
T =0,984515
24
10
2
1
4
4
0
T =4,98175
T =0,984515
42
01
M =9,26771
M =3,93806
42
01
M =0,751453
21
2
1
T =0,0939316 T =0,0939316
12 21
8
12 [kN /m]
M =15,1615
M =11,4108 32
23
2 3
T =-20,5723 T =-32,5723
23 32
1
12 [kN /m]
M =10,1615
35
T =5,71480
35
3
4
5
T =2,80438
53
M =7,40124
53
1
ObciÄ…\
enie siłami zewnętrznymi 22.04.2005 7 Jerzy Skoryna KBI 3
Siły normalne [kN] obliczam równowa\
ąc węzły:
T =0,0939316 T =-20,5723
T =0,0939316
12 23
21
20 [kN ]
N =-19,0155=N N =-14,0338
12 21 23
2
1
T =0,984515 T =4,98175
10 24
N =-0,0939316
10
N =20,6662
24
T =-32,5723
32
N =-14,0338
3
32
T =5,71480
35
N =-35,0035
35
1 4
²Ä… F =32,5723ƒÄ…5,7148 Å" ƒÄ…N Å" =0 Ò! N =-35,0035
y 35 35
17 17
ćą ćą
4 1
²Ä… F =N ƒÄ…5,7148 Å" ƒÄ…35,0035 Å" =0 Ò! N =-14,0338
x 32 35
17 17
ćą ćą
Kontrola statyczna:
12 [kN /m]
20 [kN ]
5 [kNm]
3
2
1
4
0
5
4
T =5,71480
35
T =4,98175
T =0,984515
10 24
M =9,26771
M =3,93806
M =7,40124
42
01
53
N =0,0939316
10 N =20,6662 4
24
N =35,0035ƒÄ…12:
35
8 1 1
17
ćą
4 1
²Ä… F =0,0939316-20,6662ƒÄ…47,3728 Å" -5,71480 Å" -12 Å"2=0,0000
y
17 17
ćą ćą
4 1
²Ä… F =0,984515-4,98175ƒÄ…5,7148 Å" ƒÄ…35,0035 Å" -20=0,0000
x
17 17
ćą ćą
²Ä… M =-7,40124-9,26771-9,93806ƒÄ…0,0939316 Å"10-20,6662 Å"2 ƒÄ…20 Å"4 ƒÄ…5-12 Å"2 Å"1=0,0000
5
ObciÄ…\
enie siłami zewnętrznymi 22.04.2005 8 Jerzy Skoryna KBI 3
Wykresy sił normalnych i tnących:
-14,0338
-19,0155
ƒÄ…35,0035
3
2
1
N [kN ]
ƒÄ…20,6662
-0,0939316
ƒÄ…47,3728
0
4 5
ƒÄ…0,0939316 -20,5723
ƒÄ…5,71480
3
2
1
T [kN ]
-32,5723
ƒÄ…4,98175
ƒÄ…0,984515
ƒÄ…2,80438
0
4
5
ObciÄ…\
enie siłami zewnętrznymi 22.04.2005 9 Jerzy Skoryna KBI 3