Metoda przemieszczen obciazenie5

Część 1 PROJEKT NR 1 OBLICZANIE RAMY METOD PRZEMIESZCZEC 1
1.
POLITECHNIKA POZNACSKA
Instytut Konstrukcji Budowlanych
Zakład Mechaniki Budowli
PROJEKT NR 1-OBLICZENIE RAMY METOD PRZEMIESZCZEC
1.1. Wpływ obcią\enia zewnętrznego
Zadanie:
Dla układu przedstawionego na rysunku 1.1 obliczyć i wykonać wykresy sił przekrojowych powstałych od
obcią\enia zewnętrznego. Dokonać odpowiednich sprawdzeń wyników.
2 kN/m
I2
I1 I1
3
6 kN/m
10 kN
I2 I2
I1 I1
2
1 4 1 3
Rys.1.1. Rama statycznie niewyznaczalna
W zadaniu przyjęto przekroje:
I 220 ; I1=3060 [cm4]=I
I 240 ; I2=4250 [cm4]=1,389I
Określenie stopnia geometrycznej niezmienności wg zale\ności
SGN=" �ą�ą" �ą (1.1)
gdzie:
�ą
" - liczba węzłów sztywnych układu (z wyłączeniem węzłów podporowych)
�ą - liczba niezale\nych przesuwów mo\liwych w układzie
"
Anna Zielona gr 3KBI Metoda przemieszczeń AlmaMater
Część 1 PROJEKT NR 1 OBLICZANIE RAMY METOD PRZEMIESZCZEC 2
Liczbę w.w. przesuwów określam wykorzystując łańcuch kinematyczny jak na rysunku 1.2:
Rys.1.2.Aańcuch kinematyczny
Jak łatwo zauwa\yć �ą =2 , natomiast �ą=1 stąd otrzymujemy:
" "
SGN = 3 (1.2)
Aby rozpocząć rozwiązywanie zadania metodą przemieszczeń w pierwszej kolejności przyjmuję odpowiedni
układ podstawowy:
2 kN/m
u3=z1 R1
I2
2 3
I1 I1
3
Ć =z3
4
6 kN/m
u6=z2 R2
10 kN 6
I2
4
1
R3 I2
I1 I1
2
0
5
1 4 1 3
Rys.1.3.Układ podstawowy
Anna Zielona gr 3KBI Metoda przemieszczeń AlmaMater
Część 1 PROJEKT NR 1 OBLICZANIE RAMY METOD PRZEMIESZCZEC 3
Identyczność statyczną układu podstawowego z wyjściowym zapewnia układ równań kanonicznych:
R1=0
R2 = 0
{ }
R3=0
(1.3)
r11 z1 �ą r12 z2 �ąr13 z3�ą R1P= 0
r21 z1 �ąr22 z2�ą r23 z3�ą R2P =0
{ }
r31 z1�ą r32 z2�ą r33 z3�ą R3P =0
Aby określić wartości współczynników rik nale\y określić wartości momentów zginających wywołanych
stanami z =1, z =1, z =1 oraz stanem obcią\enia rzeczywistego (siłami zewnętrznymi). W tym celu po
1 2 3
pierwsze nale\y skorzystać ze wzorów transformacyjnych metody przemieszczeń umo\liwiających znalezienie
momentów Mik jako funkcji z1, z2 , z3, P .
Otrzymujemy zatem:
1
3EI1
ć 3EI
M = �"śą �ą ć �ą źą= �"�ą
01
I1
l01 0 01 ćą 5 01 [kNm]
M10 =0
0
Rys.1.4. Pręt 01
2
I1
M = 0
12
[kNm]
M21 = 0
1
Rys.1.5. Pręt 12
6 kN/m
[kNm]
M14= 0
I2 4
1
3EI2
6 �" 42 3 �"1,389EI�"śą z3ć �ą14 źą�ą12
M = �"śą �ą ć�ą źą�ą =
41
l14 4 14 8 4
Rys.1.6. Pręt 14
Anna Zielona gr 3KBI Metoda przemieszczeń AlmaMater
Część 1 PROJEKT NR 1 OBLICZANIE RAMY METOD PRZEMIESZCZEC 4
2 kN/m
M = 0
23
I2 3
2
[kNm]
M32 = 0
Rys.1.7. Pręt 23
3
M34 = 0
3EI1
[kNm]
M43= �"śą �ą4ć�ą źą= EI�"śą z3 ć�ą źą
34 34
l34
4
Rys.1.8 Pręt 34
4
2EI1
2EI
M = �"śą 2 �ą �ą �ą ć3 �ą źą= �"śą 2z3ć 3 �ą źą
45 45
l45 4 5 45 ćą 5
I1
[kNm]
2EI1
2EI
M54= �"śą �ą �ą2 �ą5ć 3 �ą źą= �"śą z3 ć3 �ą źą
5
45 45
l45 4
5
ćą
Rys.1.9. Pręt 45
M64= 0
3EI2
3 �"1,389 EI�"śą z3 ć�ą źą [kNm]
I2 6
4
M46= �"śą �ą4ć�ą źą=
46 46
l46 4
Rys.1.10. Pręt 46
Pojawiające się wartości kątów obrotów cięciw (prętów) nale\y określić z równania łańcucha kinematycznego
jako funkcje niezale\nych przesuwów (tutaj z1 oraz z2):
�ą = f śą z1, z2 źą= f śą z1 źą�ą f śą z2 źą
(1.4)
ik
�ą = f śą z1 źą
I etap to określenie funkcji :
ik
Anna Zielona gr 3KBI Metoda przemieszczeń AlmaMater
Część 1 PROJEKT NR 1 OBLICZANIE RAMY METOD PRZEMIESZCZEC 5
z1
2 3
�34
�12
6
4
1
0
5
Rys.1.11 Aańcuch kinematyczny w stanie z
1
Jak łatwo stwierdzić w tym przypadku:
�ą12 =�ą34
[rad] (1.5)
�ą =�ą =�ą =�ą =�ą = 0
01 14 45 46 23
Rozpisując natomiast równanie łańcucha kinematycznego na drodze 0123 na kierunek poziomy otrzymujemy:
z1
0123 Śą 0�ą2 �ą01 �ą3�ą = z1 �! �ą =�ą = [rad] (1.6)
12 12 34
3
�ą = f śą z2 źą
II etap to określenie funkcji :
ik
�23
�12 �34
�
�14 46
z2
�
45
�
01
Rys.1.12 Aańcuch kinematyczny w stanie z
2
Rozpisuję równanie łańcucha kinematycznego dla podanych ni\ej dróg:
Anna Zielona gr 3KBI Metoda przemieszczeń AlmaMater
Część 1 PROJEKT NR 1 OBLICZANIE RAMY METOD PRZEMIESZCZEC 6
z2
546 Śą 0�ą 2�ą = z2 �! �ą =
45 45
2
�ą z2
45
546 �ą 0�ą�ą ć 4�ą = 0 �! �ą46 = =
45 46
4 8
z2
0146 Śą 0�ą2 �ą01= z2 �! �ą =
01
2
ć z2
[rad] (1.7)
0146 �ą 0ć�ą01 ć 4�ą14 ć4�ą = 0 �! �ą =
46 14
4
ć z2
346 Śą 0ć3�ą �ą 0= z2 �!�ą =
34 34
3
ć z2
0123 Śą 0�ą 2�ą01�ą 3�ą12 �ą0= 0 �! �ą12 =
3
ć z2
012346 Żą 0�ą�ą �ą 4�ą �ą 4�ą = 0 �! �ą =
01 23 46 23
4
�ą = f śą z1, z2 źą= f śą z1źą�ą f śą z2 źą
Zestawienie (z zasady superpozycji):
ik
z2
�ą =
01
2
z1 z2
�ą = ć
12
3 3
ć z2
�ą =
23
4
ć z2
�ą =
14
[rad] (1.8)
4
z1 z2
�ą = ć
34
3 3
z2
�ą =
45
2
z2
�ą =
46
8
Stąd wartości momentów przęsłowych wynoszą;
Anna Zielona gr 3KBI Metoda przemieszczeń AlmaMater
Część 1 PROJEKT NR 1 OBLICZANIE RAMY METOD PRZEMIESZCZEC 7
ć 3EI�" z2
M01=
2
5
ćą
M10= 0
M12= 0
M21= 0
M14= 0
4,167 EI�"śą z3�ą z2 źą�ą12
M41=
4 4
M23= 0
M32= 0
[kNm] (1.9)
M34= 0
z1 z2
M = EI�"śą z3ć �ą źą
43
3 3
2EI�"śą 3 �"
M45= 2z3ć z2źą
2
5
ćą
2EI�"śą 3 �"
M54 = z3 ć z2 źą
2
5
ćą
M64= 0
4,167EI�"śą z3ć z2 źą
M46=
4 8
Na podstawie wzorów 1.9 określam wartości momentów od poszczególnych stanów obcią\eń:
Stan z1=1
r11
2 3
EI -EI
3 3 r21
6
4
1
r31
0
5
(0)
Rys.1.13. Stan z =1 M
1 1
Stan z =1
2
Anna Zielona gr 3KBI Metoda przemieszczeń AlmaMater
Część 1 PROJEKT NR 1 OBLICZANIE RAMY METOD PRZEMIESZCZEC 8
r12
EI
3
1,342 EI
0,26 EI
r22
0,26 EI -0,13 EI
0,13 EI
EI
-1,342 EI
3 r32
-0,671 EI
0,671 EI
-1,342 EI
1,342 EI
(0)
Rys.1.14. Stan z =1- M
2 2
Stan z3=1
r13
1 EI
1,042 EI
r23
1 EI 1,042 EI
1,042 EI
1,789 EI
1,042 EI
1,789 EI
r33
0,894 EI
0,894 EI
(0)
Rys.1.15. Stan z =1- M
3 3
Stan P
8
R1P
4
12
R3P
24
R2P
12
10
Rys.1.16 Stan P obcią\enie zewnętrzne -M [kNm]
P
Określenie współczynników rik dla trzeciego równania kanonicznego a więc r31, r32, r33, R3P z wykorzystaniem
równowagi węzła 4:
Anna Zielona gr 3KBI Metoda przemieszczeń AlmaMater
Część 1 PROJEKT NR 1 OBLICZANIE RAMY METOD PRZEMIESZCZEC 9
- EI
3
r31 ćEI
r31=
3
Rys.1.17 Równowaga węzła 4 w stanie z =1
1
EI
3
r32
1
-0,13 EI
0,26 EI
r32=EI śą �ą 0,26ć1,342ć 0,13źą
3
r32= ć0,8787 EI
-1,342 EI
Rys.1.18 Równowaga węzła 4 w stanie z =1
2
1 EI
r33 r33= EI śą1 �ą 2 �"1,042�ą1,789źą
r33 = 4,873 EI
1,042 EI
1,042 EI
1,789 EI
Rys.1.19 Równowaga węzła 4 w stanie z =1
3
R3P
R3P=12 [ kNm]
12
Rys.1.20 Równowaga węzła 4 w stanie P
Aby obliczyć pozostałe współczynniki układu równań kanonicznych rik nale\y skorzystać z zasady pracy
wirtualnej w wirtualnym stanie przemieszczeń.
ą
zą1=1
Stan wirtualny I -
Anna Zielona gr 3KBI Metoda przemieszczeń AlmaMater
Część 1 PROJEKT NR 1 OBLICZANIE RAMY METOD PRZEMIESZCZEC 10
z1=1
2
3
�34=1
� =1
3
12
3
6
4
1
0
5
ą
zą1= 1
Rys.1.21. Stan wirtualny przemieszczeń
Obliczając pracę sił w stanie rzeczywistym z =1 na przemieszczeniach wirtualnych jak na rysunku 1.21
1
otrzymujemy:
ą
1 ćEI EI
ą
r11 �"1�ą �"śą źą= 0 �! r11 =
(1.10)
3 3 9
Obliczając pracę sił w stanie rzeczywistym z2=1 na przemieszczeniach wirtualnych jak na rysunku 1.21
otrzymujemy:
Anna Zielona gr 3KBI Metoda przemieszczeń AlmaMater
Część 1 PROJEKT NR 1 OBLICZANIE RAMY METOD PRZEMIESZCZEC 11
ą
1 EI ć EI
ą
r12 �"1�ą �" =0 �! r12= (1.11)
3 3 9
Obliczając pracę sił w stanie rzeczywistym z =1 na przemieszczeniach wirtualnych jak na rysunku 1.21
3
otrzymujemy:
ą
1 ćEI
ą
r13 �"1�ą �" EI= 0 �! r13 = (1.12)
3 3
Obliczając pracę sił w stanie rzeczywistym P na przemieszczeniach wirtualnych jak na rysunku 1.21
otrzymujemy:
ą
R1P�"1=0 �! R1P=0 [ kN ]
(1.13)
ą
zą2= 1
Stan wirtualny II -
1
1
�23= -4
vA
1
� = -1
� = -1
34
12
3
3
3
1
1
1
1
� =
� = - 46
8
14
z2=1
4
vB
u1
1
�45=1
2
1
� =1
01
2
ą
zą2= 1
Rys.1.22. Stan wirtualny przemieszczeń
Obliczając pracę sił w stanie rzeczywistym z1=1 na przemieszczeniach wirtualnych jak na rysunku 1.22
otrzymujemy:
ą
1 ćEI ćEI
ą
r21 �"1 ć �"śą źą= 0 �! r11 = (1.14)
3 3 9
Obliczając pracę sił w stanie rzeczywistym z2=1 na przemieszczeniach wirtualnych jak na rysunku 1.22
otrzymujemy:
ą ą ą ą ą
1�" EI ć1 1 1 1
ą
r22 1ć �ą0,26 EI�"śą źą�ąśąć1,342ć1,342 źąEI�" ć 0,13EI�" ć 0,671 EI�" = 0 �! r22=1,87 EI (1.15)
�"
3 3 4 2 8 2
Obliczając pracę sił w stanie rzeczywistym z3=1 na przemieszczeniach wirtualnych jak na rysunku 1.22
otrzymujemy:
Anna Zielona gr 3KBI Metoda przemieszczeń AlmaMater
Część 1 PROJEKT NR 1 OBLICZANIE RAMY METOD PRZEMIESZCZEC 12
ą ą ą ą
ć1 ć1 1 1
r23 ą EI�"śą źą�ą1,042 EI�"śą źą�ąśą 1,789�ą0,894 źąEI�" �ą1,042 EI�" = 0 �! r23=ć 0,8782 EI (1.16)
�"1�ą
3 4 2 8
Aby obliczyć pracę sił w stanie rzeczywistym P oprócz wirtualnych kątów obrotu prętów przedstawionych na
rysunku 1.22. musimy znać równie\ wirtualne przemieszczenia pionowe punktów A, B (punkty przyło\enia sił
wypadkowych od obcią\enia ciągłego na prętach 14 i 23) oraz poziome przemieszczenie wirtualne węzła 1
(jako droga, na której pracę wykonuje pozioma siła 10 [kN]).
Wartości szukanych przemieszczeń wyznaczam z równania łańcucha kinematycznego:
ą
1
ą
01 Śą 0�ą 2 �"�ąą = u1 �! u1= 2 �" =1
ą ą
01
2
ą ą
1 1
012A Żą 0�ą�ą �ą 2 �ą23 =vąA �! vąA = ć 2 �" = 0
ą ą (1.17)
01
2 4
ą ą
1 1
01BŻą 0�ą�ąą �ą 2 �ą14 =v �! v = ć 2 �" = 0
ą
ąB ąB
01
2 4
Stąd z zasady pracy wirtualnej:
ą
ć1
ą ą
R2P�"1�ą12 �"śą źą�ą1 �"10= 0 �! R2P=ć 7 [ kN ]
(1.18)
4
Uwzględniając powy\sze wartości współczynników rik układ równań kanonicznych 1.3. przyjmie postać:
EI EI EI
z1ć z2ć z3= 0
9 9 3
EI
ć z1 �ą1,87EI z2 ć 0,879 EI z3 ć7=0
(1.19)
9
EI
{ }
ć z1 ć 0,879EI z2�ą4,873 EI z3�ą12= 0
3
Rozwiązanie powy\szego układu jest następujące:
EI z1 = ć4,735
EI z2=2,352
(1.20)
EI z3= ć2,362
Podstawiając wartości niewiadomych (1.20) do wzorów 1.9. otrzymam następujące wartości przęsłowych
momentów przywęzłowych:
Anna Zielona gr 3KBI Metoda przemieszczeń AlmaMater
Część 1 PROJEKT NR 1 OBLICZANIE RAMY METOD PRZEMIESZCZEC 13
M01=ć1,578
M10 =0
M12 =0
M21 =0
M14 =0
M41=10,152
M23 =0
[kNm] (1.21)
M32 =0
M34 =0
M43 =0
M =ć7,381
45
M =ć5,268
54
M64= 0
M =ć2,767
46
4
10,152
1,58
7,381
2,767
7,46
1,578
5,268
Rys.1.23. Momenty zginające w układzie statycznie niewyznaczalnym M(n)[kNm]
Maksymalne wartości momentów wynoszą:
#"Mmax1#"= 7,381 [ kNm ]
dla prętów o sztywności EI1
#"Mmax2#"=10,152 [kNm]
dla prętów o sztywności EI2
Wstępną poprawność wyników wykazuję poprzez sprawdzenie równowagi węzła 4:
2,767
10,152
7,381
Rys.1.24 Równowaga węzła 4
Anna Zielona gr 3KBI Metoda przemieszczeń AlmaMater
Część 1 PROJEKT NR 1 OBLICZANIE RAMY METOD PRZEMIESZCZEC 14
M = 7,381�ą 2,767ć10,152=ć0,004 H" 0 [kNm ] (1.22)
"
Mając określone wartości momentów zginających na ka\dym pręcie układu mogę obliczyć wartości sił
tnących w tych prętach
N10
1
T10
M0= 0 �!T01=T10= 0,706 [ kN ]
"
T01
0
1,578
N01
Rys.1.25. Pręt 01
T12=T21= 0 [ kN ]
T34=T43= 0 [ kN ]
2 [kN/m]
N23 N32
M2= 0 �!T32=ć 4 [ kN]
"
2 M3= 0 �!T23= 4 [ kN]
3
T32
"
T23
Rys.1.26. Pręt 23
6 [kN/m]
N14 N41
10,152
M1= 0 �!T41=ć14,538 [ kN ]
"
1
4
T41
M4= 0 �!T = 9,462 [kN ]
T14 "
14
Rys.1.27. Pręt 14
N46 M4= 0 �!T64= 0,692 [kN ]
N64 "
2,767
M6= 0 �!T46= 0,692 [kN ]
"
4 6
T64
T46
Rys.1.28. Pręt 46
N45
7,381
M4= 0 �!T54=5,657 [ kN ]
"
4
T45=T54= 5,657 [ kN ]
T45
T54
5
N54
Rys.1.29 Pręt 45
Anna Zielona gr 3KBI Metoda przemieszczeń AlmaMater
Część 1 PROJEKT NR 1 OBLICZANIE RAMY METOD PRZEMIESZCZEC 15
Zestawiając otrzymane wyniki otrzymuję:
4
+
-
4
9,462
0,692
+
+
-
0,706
5,657
+ +
14,538
Rys.1.30. Siły tnące w układzie statycznie niewyznaczalnym T(n)[kN]
Wyznaczając wartości sił normalnych występujących w zadanej ramie korzystam z równowagi węzłów.
3
2
4 [kN]
N12=N21 N34=N43
Rys.1.31. Równowaga węzłów 2 i 3
Z równowagi węzła 2:
N = N21=ć4 [ kN ]
(1.23)
12
Z równowagi węzła 3:
N = N43=ć4 [ kN ]
(1.24)
34
4
1
N14=N41
10
0,706
9,462
ą
ą
N01=N10
Rys.1.32.Równowaga węzła 1
Anna Zielona gr 3KBI Metoda przemieszczeń AlmaMater
Część 1 PROJEKT NR 1 OBLICZANIE RAMY METOD PRZEMIESZCZEC 16
5 2 5
ćą ćą
Dane: sin �ą = ; cos �ą =
5 5
Z równowagi węzła 1:
Y = 0 :ć4ć 9,462ćN01 cos �ą�ą 0,706 sin �ą = 0 �! N01 =N10 =ć14,698 [ kN ]
"
(1.25)
X = 0 :10�ą N14ć 0,706 cos �ą�ą14,698 sin �ą =0 �! N14= N41=ć15,942 [kN ]
"
Dla pręta 46 otrzymujemy:
N = N64 =0 [ kN ]
(1.26)
46
4
15,942
4
0,692
14,538
ą
ą
N45=N54
5,657
Rys.1.33.Równowaga węzła 4
5 2 5
ćą ćą
Dane: sin �ą = ; cos �ą =
5 5
Z równowagi węzła 4:
X = 0 :15,942ć 5,657cos �ą�ą N45sin �ą = 0 �! N45= N54= ć24,333 [ kN] (1.27)
"
Zestawiając otrzymane wyniki otrzymuję:
- -
4 4
14,698
24,333
-
- -
15,942
Rys.1.34. Siły normalne w układzie statycznie niewyznaczalnym N(n)[kN]
Anna Zielona gr 3KBI Metoda przemieszczeń AlmaMater
Część 1 PROJEKT NR 1 OBLICZANIE RAMY METOD PRZEMIESZCZEC 17
Aby sprawdzić poprawność uzyskanych wyników dokonuję kontroli statycznej:
2 kN/m
6 kN/m
10 kN
0,692
0,706
ą
ą
5,268
ą
ą
14,698
5,657
24,333
1,578
Rys.1.35. Kontrola statyczna-siły działające na zadany układ
X = 0 :ć0,706 cos�ą�ą 14,698 sin�ą �ą10ć 5,657 cos �ąć 24,333 sin �ą = ć0,00014 H" 0 [ kN ]
"
Y =0 :śą 14,698�ą24,333 źącos �ą �ąśą 0,706ć5,657źąsin �ą ć 0,692ć2 �"4ć 6 �"4= 0,00423 H" 0 [ kN ]
"
M1 = 0:ć1,578�ą 0,706�" 5ć 5,268�ą 6 �"4 �"2�ą2 �" 4 �"2�ą 0,692 �"8ć 24,333śącos �ą�" 5ć sin �ą�" 2źą
"
ćą
�ą5,657 śącos �ą�"2�ą sin �ą�"5źą=ć0,0187 H" 0 [ kNm]
Anna Zielona gr 3KBI Metoda przemieszczeń AlmaMater
Część 1 PROJEKT NR 1 OBLICZANIE RAMY METOD PRZEMIESZCZEC 18
Sprawdzenie naprę\eń normalnych wywołanych momentami zginającymi.
#"Mmax#"
�ą = �" zmax
Naprę\enia określam wg zale\ności:
Iy
�ą d"�ą
dop
Przyjmuję: �ą =19 [ kN /cm2 ]
dop
#"Mmax1#"=7,381 [ kNm]= 738,1 [ kNcm]
Na prętach o sztywności EI maksymalny moment zginający:
1
dla I1 =3060 [ cm4 ], I 220 Śą zmax=11 cm stąd:
738,1 kN
�ą = �"11 =2,65 [ ]
3060
cm2
kN kN
2,65 [ ]d"19 [ ]
cm2 cm2
#"Mmax2#"=10,152 [ kNm ]= 1015,2 [ kNcm]
Na prętach o sztywności EI2 maksymalny moment zginający:
dla I2 =4250 [ cm4 ] , I 240 Śą zmax=12 cm stąd:
1015,2 kN
�ą = �"12=2,87 [ ]
4250
cm2
kN kN
2,87 [ ]d"19 [ ]
cm2 cm2
Naprę\enia w obu przypadkach są znacznie mniejsze od dopuszczalnych . Wniosek: kształtowniki, z których
wykonano konstrukcję mogłyby mieć mniejsze przekroje.
Anna Zielona gr 3KBI Metoda przemieszczeń AlmaMater

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Metoda przemieszczen obciazenie8
METODA PRZEMIESZCZEŃ BELKA
Metoda przemieszczen projekt2
Metoda przemieszczeń dla ram płaskich złożonych z prętów pryzmatycznych
Obliczenia ramy Metodą przemieszczeń temperatura projekt39
cwicz mechanika budowli metoda przemieszczen rama
Wykl Mechanika Budowli 13 Metoda Przemieszczen
Metoda przemieszczen projekt

więcej podobnych podstron