Wyznaczanie współczynnika lepkości cieczy. Doświadczenie Stokesła.

I. Opis teoretyczny
Płyny (ciecze i gazy) to substancje zdolne do przepływu. Charakterystyczne dla
nich jest to, iż umieszczone w naczyniu przyjmują kształt owego naczynia.
Powodem tego jest to, iż płyn nie przeciwstawia się sile naprężającej stycznej
do powierzchni.

Płyn idealny- jest to wyidealizowany płyn rzeczywisty, w celu uproszczenia
opisu przepływu płynów. Idealny płyn spełnia następujące warunki:
Brak w nim tarcia wewnętrznego zwanego lepkością pomiędzy sąsiednimi warstwami
płynu. Nie występuje dyssypacja energii
Przepływ ma charakter idealnego poślizgu
Ruch płynu idealnego jest:
Laminarny (ustalony)
prędkość poruszającego się płynu co do wartości i
kierunku jest stałą w każdym jego punkcie
Nielepki
pomiędzy cząsteczkami płynu nie występuje tarcie
Bez wirowy
żaden punkt płynu nie posiada prędkości kątowej
Nieściśliwy
gęstość płynu jest stałą

Paradoks hydrostatyczny to zasada, która głosi iż im większa prędkość przepływu
tym ciśnienie jest mniejsze.

Ruch płynu idealnego najlepiej opisuje tzw. równanie Bernoulliego, wynikające
bezpośredni z zasady zachowania energii:

gdzie:
p1,p2
ciśnienie statyczne w strudze płynu;
Å„
gęstość płynu;
v1,v2
prędkość przepływu powietrza;
g
przyspieszenie ziemskie;

Prawa zjawiska lepkości
Przy opisie przepływu płynów rzeczywistych należy uwzględnić istniejące w nich
siły tarcia. W przypadku ciał stałych mamy do czynienia z tarciem występującym
jedynie na powierzchni, zaś w płynach ujawnia się ono w całej objętości, zwane
jest lepkością bądź tarciem wewnętrznym.

Mając 2 płytki o powierzchni S oddalonych od siebie o d, wprawiając jedną z
nich w ruch z prędkością v względem drugiej, to siła F potrzebna do
podtrzymania ruchu będzie proporcjonalna do powierzchni S i prędkości v a
odwrotnie proporcjonalna do odległości d:



gdzie: ç
współczynnik lepkości

Lepkość odpowiedzialna jest za opór ruchu. Ciało poruszające się w płynie z
prędkością v działa siłą oporu ruchu zależną od tej prędkości, gęstości ń i i
współczynnika lepkoÅ›ci ç a także wielkoÅ›ci ciaÅ‚Ä… wyrażona jego wymiarami
liniowymi w kierunku prostopadłym do wektora v . Z tych wielkości składa się
liczba Reynoldsa

Znając wartość tej liczby określić możemy czy płyn względem stykającego się z
ciała będzie miał charakter laminarny czy turbulentny

Lepkość dynamiczna
stosunek naprężeń do szybkości ścinania

gdzie:
ì- lepkość dynamiczna [P (Pauz)];
ć- szybkość ścinania [1/s];
ô- naprężenie Å›cinajÄ…ce;


Lepkość kinematyczna
stosunek lepkości dynamicznej do gęstości płynu

gdzie:
v - lepkość kinematyczna [St (stokes)] ;
Å„
gęstość płynu;
ì
lepkość dynamiczna;


Ruch kulki w płynie oraz wyznaczanie wzoru na współczynnik lepkości



Opis płynów rzeczywistych jest na tyle trudny iż do dziś równania Naviera-
Stokesła pozostają nierozwiązane. Jednak przyjmując iż liczba Reynoldsa jest
mała (Re<<1) możemy posłużyć się przybliżeniami. Wyrażają one m.in. siłę oporu
ze strony cieczy na ciało , ze wzoru Stokesła


Równanie to opisuje siłę oporu na kulkę o promieniu r poruszającej się z
prędkością v. Niemniej jednak wzór ten jest słuszny wyłącznie, gdy kulka
porusza się w nieograniczonej objętości cieczy. W doświadczeniu mamy do
czynienia z cylindrem o promieniu R, równanie więc przyjmuje postać:



Należy uwzględnić 3 siły działające na kulkę
Ciężkości


Wyporu (prawo Archimedesa)


Oporu

gdzie:
Å„k
gęstość kulki;
Å„p
gęstość płynu;
m- masa;
Przyjmując iż:
ńk> ńp (ruch odbywa się na skutek siły ciężkości)
na płynny ośrodek kulki będzie działać siła wyporu
F0 (t- czas opadania kulki na określonej drodze l)

SumujÄ…c otrzymujemy:
Możemy teraz przystąpić do wyznaczania współczynnika lepkości








Po przekształceniu otrzymujemy końcowy wzór:





II. Pomiar i opracowywanie wyników

Układ doświadczalny stanowiły:
Wiskozymetr wypełniony gliceryną
Kulki o różnych rozmiarach
Miarka (Äl=1cm)
Suwmiarka (Ä2R=0,05mm)
Åšruba mikrometryczna (Ä2r=0,01mm)
Waga analityczna (Äm=0,001g)
Termometr (ÄT=0,5oC)
Aerometr (ÄÅ„=0,01g/cm3)
Stoper (Ät=0,01s)

Przebieg doświadczenia
Celem doświadczenia jest wyznaczenie współczynnika lepkości. Na samym początku
przed przystąpieniem do głównej fazy doświadczenia zostały wykonane następujące
pomiary:

Pięciokrotne zmierzenie średnicy 5 małych i 5 dużych kulek za pomocą śruby
mikrometrycznej
Pięciokrotne zważenie masy 5 małych i 5 dużych kulek na wadze analitycznej
Pięciokrotne zmierzenie średnicy szerokości wiskozymetru za pomocą suwmiarki
Wyznaczenie odległości 1m na wiskozymetrze za pomocą miarki, w których zostanie
mierzony czas spadku kulek
Odczytano wartości temperatury na termometrze i gęstości cieczy z areometru
(temperatura w pomieszczeniu odpowiada temperaturze gliceryny)
W głównej fazie doświadczenia mierzono czas spadku kulek w płynie na odległości
1m


Wyniki pomiarów przedstawione są w poniższych tabelach:
GÄ™stość cieczy - 1,275 g/cm3 ÄÅ„=0,01g/cm3
Temperatura
24 oC ÄT=0,05
Długość wiskozymetru
1m Äl=0,01m
Pomiar kulek
Duże kulki


Małe kulki

l.p.
Średnica (wartość uśredniona 5 pomiarów) [mm]
Masa [g]
Średnica (wartość uśredniona 5 pomiarów) [mm]
Masa [g]
1.
6,34
1,047
4,02
0,260
2.
6,34
1,044
4,02
0,262
3.
6,33
1,047
4,02
0,263
4.
6,34
1,045
4,01
0,262
5.
6,34
1,044
4,02
0,262














Äd = 0,01 mm Äm=0,001 g
Wartość uśredniona
dD = 6,34mm
mD = 1,045g
dM =4,02mm
mM = 0,261g

Pomiar średnicy cylindra [mm]

1.
22,27

2.
22,22

3.
22,28

4.
22,24

5.
22,21
Wartość uśredniona

dC = 22,24mm
Äd=0,05 mm


Czas spadku kulek [s]

Duże kulki

Małe kulki

1.
4,95
10,40

2.
4,93
10,50

3.
4,86
10,42

4.
4,91
10,52

5.
4,77
10,43
Wartość uśredniona

tD = 4,88s
tM = 10,45s
Ät= 0,01s

Do uśrednienia pomiarów zastosowano wzór na średnią arytmetyczną



Wyznaczanie gęstości kulek




Gęstości kulek [kg/m3]

Duże kulki

Małe kulki

1.
7845,98
7700,39

2.
7831,14
7711,91

3.
7845,14
7688,92

4.
7838,56
7746,87

5.
7843,01
7700,62
Wartość uśredniona

Å„D =7843,01 kg/ m3
Å„M =7709,63 kg/ m3
ÄÅ„=0,01g/cm3





Wyznaczanie wykładnika potęgowego n:
Zakładamy iż pomiaru dla obu kulek muszą dać ten sam wykładnik n dlatego też
wyznaczamy go w następujący sposób:






n = 2,55

Wyznaczanie współczynnika lepkoÅ›ci ç:

Dla nieograniczonej objętości cieczy
Dla ograniczonej objętości cieczy



çD = = 0,474638

çM == 0,464999
çÅ‚D = = 0,7024583
çÅ‚M == 0,5919827

Rachunek niepewności

Dla pomiarów bezpośrednich , niepewność wyznaczamy ze wzorów:







Masy kulek
Äm=0,001g



Promienie kulek
Är=0,005mm



Pomiar cylindra
ÄR=0,025 mm
mm
mm

Pomiar czasu opadania kulek
Ät=0,01s
s s


Rachunek błędów dla pozostałych wielkości wymaga zastosowania metody dla
pomiarów pośrednich

Dla Pomiaru gęstości kulek zastosujemy złożoną niepewność standardową


ÄÅ„=0,01 g/cm3
0,00000765 g/cm3
0.00000662 g/cm3

Dla całej reszty pomiarów stosowany będzie wzór na różniczkę zupełną

Pomiar wykładnika potęgowego n










Pomiar współczynnika lepkoÅ›ci ç


Dla dużej kulki:









Dla małej kulki:










Pomiar współczynnika lepkoÅ›ci çÅ‚

Dla dużej kulki:







Dla małej kulki:








Podsumowanie wyników:

mD
(1,045Ä…0,067) g
mM
(0,261Ä…0,068) g
rD
(3,169Ä…0,001) mm
rM
(2,011Ä…0,001) mm
Å„D
(7843,01Ä…7,65) kg/m3
Å„C
(1275,1Ä…0,1) kg/m3
Å„M
(7709,63Ä…6,62)
tD
(4,88Ä…0,32) s
tM
(10,45Ä…0,32) s
l
(100Ä…1) cm
n
2,55Ä…0,22

çD = (0,4746Ä…0,0345)
çM = (0,4649Ä…0,0275
çÅ‚D = (0,7024Ä…0,0244)
çÅ‚M = (0,5919Ä…0,0215)
20 oC
25 oC
1,499
0,945
III. Wnioski
Wartość tablicowa gliceryny [kg/m3]

çÅ‚D
çÅ‚M
24,5%
36,7%
Błąd względny



Widoczna jest dość duża rozbieżność wyników doszukując się przyczyn należy
spojrzeć na :
Podczas pomiaru czasu opadania kulek, uczestnik mierzył czas według swoich
bodźców wzrokowych oraz czasu reakcji, nie możemy określić bledu jego reakcji,
dlatego każda spóźniona reakcja mogła wpłynąć na wynik w większym ,bądź
mniejszym stopniu. Przy badaniu tego typu doświadczeń efektywniejsza byłaby
fotokomórka.
Kulki były wykonane z takiego samego materiału, więc powinny one mieć taką samą
gęstość, niemniej jednak w wynikach są one od siebie różne
Założeniem było iż kulki będą poruszać się ruchem jednostajnym prostoliniowym,
ale nie byliśmy w stanie tego określić, jednak istnieje ewentualność, że był on
inny ruch dlatego należy to uwzględnić
Nie mamy pewności czy w wiskozymetrze znajdowało się 100% gliceryny, wszelkie
zanieczyszczenia spowodowane wcześniejszymi doświadczeniami mogły wpłynąć na
jej stężenie, a także fakt iż mogła zaabsorbować niewielką ilość pary wodnej z
otoczenia

Jak już wcześniej było wspomniane wzór na lepkość płynów rzeczywistych do dziś
jest nierozwiązywalny, dlatego też pojawia się tyle wątpliwości.