Wyznaczanie momentu bezwładności wahadła Maxwella

I Opis teoretyczny
Doświadczenie te opiera się o pojęcie ruchu obrotowego, który jest ruchem
dotyczącym bryły sztywnej, której środki leżą na osi obrotu. Bryłą sztywną
nazywamy obiekt , który nie ulega odkształceniu pod wpływem działania sił , co
oznacza ze odległości między punktami nie ulegają zmianie.
Przystępując do doświadczenia bardzo istotne jest by znać 3 prawa tego ruchu
które brzmią następująco

I. Jeżeli na bryłę działa moment siły, którego wypadkowa jest równa 0, to bryła
taka pozostaje w spoczynku bądź wykonuje ruch obrotowy jednostajny.
II. Jeżeli na ciało sztywne działa stały i niezrównoważony moment siły, to
ciało to wykonuje ruch obrotowy jednostajnie przyspieszony bądź opóźniony, w
którym przyspieszenie kątowe jest wprost proporcjonalne do działającego momentu
siły, a odwrotnie proporcjonalne do momentu bezwładności ciała

gdzie:
M- moment siły I
moment bezwładności
- przyspieszenie kÄ…towe r
promień od osi obrotu
F- działająca siła L
moment pędu
III. Jeżeli na bryłę A działa bryła B pewnym momentem siły MAB, wówczas bryła B
działa na bryłę A momentem siły MBA równym co do wartości ale przeciwnie
skierowanym.


Obliczanie momentu bezwładności
Moment bezwładności liczymy dzieląc ciało na imfinityzymalnie małe kawałki,
traktując każde z nich jako punkty materialne, sumując ich masy oraz kwadrat
promieni od osi obrotu

Całkując:

ęMoment bezwładności dla:

walca b) pierścień c) rura cienkościenna

Dla wyznaczenia bezwładności istotna jest rola z Twierdzenia Steinera, które
podaje związek pomiędzy momentem bezwładności ciała względem danej osi, a jego
momentem bezwładności osi przechodzącej przez środek masy i równoległej do
poprzedniej


Wiedząc to łatwo jest stwierdzić iż Energia kinetyczna ruchu obrotowego jest
niczym innym jak połową iloczynu kwadratu prędkości kątowej i momentu
bezwładności

Wahadło Maxwella

Składa się z krążka , przez środek którego przechodzi oś zawieszona na sznurku
Podczas doświadczenia nakładamy na niego pierścień zmieniając tym samym moment
bezwładności całego układu. Podczas spadku układ wprawiany jest w obrotowy oraz
postępowy który jest wynikiem siły grawitacji. W celu zmierzenia momentu
bezwładności musimy odczytać czas spadku układu z konkretnej wysokości który
zmierzony jest za pomocą fotokomórki zatrzymującej czas w momencie gdy wiązka
światła zostaje zakłócona.

Wiedząc już w jakim ruchu porusza się nasz układ oraz stosując zasadę
zachowania energii wzór wygląda następująco




Wiedząc że:



Jesteście w stanie wyprowadzić wzór:




Dodając iż wyznaczamy końcowy wzór:



gdzie:
I-moment bezwładności wahadła [kg]
m-masa [kg]
d- średnica[m]
g- przyspieszenie ziemskie [9,81m/s]
h- wysokość
t- czas spadku


II Pomiar i opracowywanie wyników

Miary przyrządów
Pomiary były dokonywane za pomocą suwmiarki, której dokładność wynosi 0,05mm
którą zmierzyliśmy 3 pierścienie o różnych masach i wymiarach przedstawione w
tabeli 1 , masa krążka wynosi 120g a osi na której jest zawieszony 32g o
średnicy 1cm

Tab.1)


Pierścień I
Pierścień II
Pierścień III
Masa
268g
369g
532g
Promień wewnętrzny
4,19cm
4,23cm
4,3cm
Promień zewnętrzny
1,08cm
1,045cm
0,98cm
Åšrednica
10,54cm


Wysokość
1,2cm
1,8cm
2,39cm

Średnice wyliczono z sumy promieni pomnożonej o 2

Dla każdego krążka zostało wykonane 5 pomiarów Widoczne są w Tabelach 2,3 i 4

Tab. 2)


Pierścień I







h1[40cm]
h2[35cm]
h3[30cm]
h4[25cm]
h5[20cm]
h6[15cm]
h7[10cm]
t1 [s]
2,127
1,970
1,831
1,624
1,498
1,270
1,053
t2 [s]
2,131
1,995
1,798
1,655
1,466
1,268
1,072
t3 [s]
2,125
1,921
1,892
1,602
1,458
1,284
1,102
t4 [s]
2,142
1,954
1,801
1,642
1,472
1,278
1,080
t5 [s]
2,133
1,961
1,803
1,628
1,455
1,254
1,043






Tab.3)

Pierścień II







h1[40cm]
h2[35cm]
h3[30cm]
h4[25cm]
h5[20cm]
h6[15cm]
h7[10cm]
t1 [s]
2,190
2,062
1,901
1,684
1,527
1,303
1,101
t2 [s]
2,230
2,045
1,933
1,709
1,544
1,289
1,123
t3 [s]
2,200
2,091
1,941
1,723
1,540
1,294
1,202
t4 [s]
2,283
2,086
1,921
1,629
1,522
1,292
1,143
t5 [s]
2,224
2,089
1,933
1,689
1,500
1,314
1,145


Tab.4)

Pierścień III







h1[40cm]
h2[35cm]
h3[30cm]
h4[25cm]
h5[20cm]
h6[15cm]
h7[10cm]
t1 [s]
2,195
2,113
1,946
1,806
1,532
1,345
1,076
t2 [s]
2,260
2,213
1,968
1,796
1,586
1,366
1,104
t3 [s]
2,265
2,094
1,921
1,844
1,578
1,345
1,129
t4 [s]
2,188
2,145
1,913
1,821
1,499
1,367
1,104
t5 [s]
2,190
2,135
1,937
1,784
1,544
1,319
1,082



Opracowywanie wyników

Niepewność wliczono ze wzoru



Średni czas spadku jest średnią arytmetyczną wyników podana wzorem



Równanie dla współczynnika a z regresji liniowej




Daje następujący wzór

czyli y=x

Podstawiając pod końcowy wzór na bezwładność otrzymujemy




Współczynnik korelacji liniowej wyliczamy ze wzoru




Niepewność pomiaru dla momentu bezwładności wyliczamy ze wzoru



Gdzie zmiennymi sÄ… a i d otrzymujemy




Poniższe wartości zostały zapisane w tabelach 5,6 i 7


Tab.5)

Pierścień I







h1[40cm]
h2[35cm]
h3[30cm]
h4[25cm]
h5[20cm]
h6[15cm]
h7[10cm]
t1 [s]
2,127
1,970
1,831
1,624
1,498
1,270
1,053
t2 [s]
2,131
1,995
1,798
1,655
1,466
1,268
1,072
t3 [s]
2,125
1,921
1,892
1,602
1,458
1,284
1,102
t4 [s]
2,142
1,954
1,801
1,642
1,472
1,278
1,080
t5 [s]
2,133
1,961
1,803
1,628
1,455
1,254
1,043
Åšredni czas
2,131
1,960
1,825
1,631
1,469
1,271
1,071
Niepewność Ät
0,006
0,026
0,039
0,019
0,017
0,011
0,023
Współczynnik a =11,31



Niepewność Äa =0,23






Tab.6)

Pierścień II







h1[40cm]
h2[35cm]
h3[30cm]
h4[25cm]
h5[20cm]
h6[15cm]
h7[10cm]
t1 [s]
2,190
2,062
1,901
1,684
1,527
1,303
1,101
t2 [s]
2,230
2,045
1,933
1,709
1,544
1,289
1,123
t3 [s]
2,200
2,091
1,941
1,723
1,540
1,294
1,202
t4 [s]
2,283
2,086
1,921
1,629
1,522
1,292
1,143
t5 [s]
2,224
2,089
1,933
1,689
1,500
1,314
1,145
Åšredni czas
2,225
2,074
1,925
1,768
1,526
1,298
1,142
Niepewność Ät
0,020
0,020
0,016
0,036
0,017
0,010
0,038
Współczynnik a =12.53



Niepewność Äa =0,47





Tab.7)

Pierścień III







h1[40cm]
h2[35cm]
h3[30cm]
h4[25cm]
h5[20cm]
h6[15cm]
h7[10cm]
t1 [s]
2,195
2,113
1,946
1,806
1,532
1,345
1,076
t2 [s]
2,260
2,213
1,968
1,796
1,586
1,366
1,104
t3 [s]
2,265
2,094
1,921
1,844
1,578
1,345
1,129
t4 [s]
2,188
2,145
1,913
1,821
1,499
1,367
1,104
t5 [s]
2,190
2,135
1,937
1,784
1,544
1,319
1,082
Åšredni czas
2,219
2,141
1,937
1,811
1,547
1,348
1,088
Niepewność Ät
0,039
0,045
0,021
0,023
0,035
0,019
0,019
Współczynnik a =12.93



Niepewność Äa =0,46






Teoretycznie dla wartości układu Moment bezwładności jest sumą momentów
bezwładności wszystkich elemętów
I = I0 + IK + IP
gdzie:
I0 = 1/2mr2
IK = 1/2m(r12 + r22)
IP = 1/2m(r12 + r22)

Tabela 8 przedstawia dokładność pomiaru

Tab. 8)

I pierścień
II pierścień
III pierścień
Oś wahadła
Krążek
Masa [kg]
0,268
0,396
0,532
0,032
0,120
Doświadczalny moment bezwładności [kg m2]
0,00555Ä…0,00043
0,00762Ä…0,00124
0,000976Ä…0,00023
0,00000043Ä…0,00005
0,000092Ä…00005
Teoretyczny moment bezwładności [kg m2]
0,000506
0,000648
0,000865


Ocena dokładności pomiaru
91,71%
85,39%
87,74%




Po linearyzacji wzoru, sporządzono wykresy 1,2 oraz 3 dla każdego pierścienia,
ilustrujące przebieg zmienności czasu opadania od zmian wysokości na których
umieszczony był układ składający się z krążka, osi wraz z konkretnymi
pierścieniami.

Wykres przedstawiają zależność czasu opadania a wysokością na której zostały
umieszczone



Wyk.1 Pierścień I

















Współczynnik korelacji wynosi 0,9991 z czego wywnioskować można ze jest zawarta
silna zależność liniowa między czasem a wysokością





Wyk.2 Pierścień II















Współczynnik korelacji wynosi 0,9961








Wyk.3 Pierścień III















Współczynnik korelacji wynosi 0,9937


III Wnioski

Precyzyjność suwmiarki pozwala na oszacowanie dokładnych wyników , zaś
niepewność masy elemętów została pominięta ze względu na brak jakichkolwiek
informacji w jaki sposób były one mierzone oraz jaką niepewnością.
Czas był mierzony za pomocą fotokomórki która wstrzymywała jego dalszy przebieg
w momencie przejścia układu przez wiązkę , niemniej jednak wyniki różniły się
ze względu na to iż układ był trzymany przez elektromagnes , przez co
musieliśmy pchnąć układ co nadawało mu małą ale widoczną w wynikach prędkość.
W celu zapobiegnięcia błędu odchyliliśmy układ o około 2mm. Kolejnym czynnikiem
który mógł wpłynąć na niedokładność mógł być sposób nawijania linki trzymającej
oÅ›.
Opór powietrza został pominięty

Jak mówi teoria im większy Momot bezwładności tym ciężej nadać lub zmniejszyć
prędkość układu co widoczne jest również w wynikach przez nas odczytanych.
Dokładność wyników dla wszystkich trzech układów jest wyższa niż 85% , więc
wynik wychodzi dość wiarygodnie mimo przeszkód wymienionych wcześniej
Również współczynniki korelacji wszystkich 3 układów wskazuje na poprawność
wyników