Wykład II Mechanika
Zasady dynamiki Newtona1
I zasada dynamiki: Jeśli na ciało nie działa żadna siła bądz
działające siły
równoważą się, ciało to porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym
r
( v = const ) lub spoczywa.
r r
Pęd: p = mv
II zasada dynamiki: Zmiana pędu ciała w (nieskończenie) krótkim czasie jest
równa sile działającej na to ciało pomnożonej przez ten czas
r r
r
r
d (m v) dv
r
r
dp
= m = ma = F
= F
dt dt
dt
Masa grawitacyjna (m*) i bezwładna (m):
r
m*
r r r r
Fg = m*g = m a Ò! a = g Ò! m ~ m* , przyjmuje siÄ™ m* = m
m
Układ inercjalny: układ w którym zachodzi I zasada dynamiki
Transformacja Galileusza2
2
x = x
r r r Å„Å‚ - u t
x
= r
Å„Å‚ - ut
ôÅ‚
ôÅ‚r2
òÅ‚ ôÅ‚ 2 - u t
y = y
y
ôÅ‚
ôÅ‚
=
òÅ‚
ółt2 t
2
z = z
ôÅ‚ - u t
z
ôÅ‚
ôÅ‚ 2
ółt = t
r2 r
dr dr
r
= - u
dt dt
r2 r
2 2
d r d r
=
dt2 dt2
Jeśli dany układ jest inercjalny, to układy poruszające się względem niego ze
stałą prędkością też są inercjalne
Zasada superpozycji sił: jeśli na dany punkt działa kilka sił, to siła wypadkowa
jest sumą wektorową sił składowych
1
Isaac Newton 1643-1727
2
Galileo Galilei 1564-1642
1
Wykład II cd. Mechanika
II zasada dynamiki dla układu N punktów materialnych:
r
r
N
Fi
r r - siła zewnętrzna działająca na i-ty punkt,
dpi
= Fi + Fij i, j = 1,2,K N
r
"
dt
Fij - siła działająca na i-ty punkt pochodząca
j=1
j`"i
od punkty j-tego
III zasada dynamiki: siła reakcji jest równa i przeciwnie skierowana do akcji
r r
Fij = -Fji
N N
r r r
1
Suma sił wzajemnego oddziaływania punktów znika
Fij = (Fij + Fji)= 0
" "
2
i, j=1 i, j=1
i`" j i`" j
Prawa zachowania
Zachowanie pędu
N
r
Å„Å‚
r
"
ôÅ‚P = pi - caÅ‚kowity pÄ™d ukÅ‚adu punktów
j=1
ôÅ‚
i = 1,2,K N
òÅ‚
r
ôÅ‚F = N r
Fi
- całkowita siła zewnętrzna
"
ôÅ‚
j=1
ół
r
N N
r r r
dP
= Fi + Fij = F
" "
dt
i=1 i, j=1
r
i`" j
dP
Jeśli siła zewnętrzna znika, całkowity pęd układu jest zachowany: = 0
dt
r
r r
1 dR
r
Åšrodek masy: R = ri , M = , P = M
"mi "mi
M dt
i i
Ruch środka masy określają wyłącznie siły zewnętrzne
Zachowanie momentu pędu
s
r r
Ji = ri × pi
Å„Å‚
- moment pędu i-tego punktu materialnego
ôÅ‚
N
òÅ‚
r r
ôÅ‚J = Ji , i = 1,2,K N - caÅ‚kowity moment pÄ™du ukÅ‚adu punktów
"
j =1
ół
r r
vi × pi = 0
r
r
ëÅ‚ r r öÅ‚ r r
dJ
r r r
ìÅ‚
= vi × pi + ri × = × F + Fij ÷Å‚ = ×F + × Fij
ìÅ‚ ÷Å‚
"ëÅ‚ r r r dpi öÅ‚ "ri i " "ri i "ri
ìÅ‚ ÷Å‚
dt dt
íÅ‚ Å‚Å‚
i i j, j`"i i i, j, j`"i
íÅ‚ Å‚Å‚
r r r r r
1 1
r r r r r r
= ×F + (ri × Fij + rj × Fji)= ×F + - rj ) × Fij
"ri i " "ri i "(ri
2 2
i i, j, j`"i i i, j, j`"i
2
Wykład II cd. Mechanika
r r
r r
Jeśli układ jest izolowany (Fi = 0), a siły wzajemnego oddziaływania centralne((ri - rj ) || Fij )
r
dJ
= 0
dt
Wielkość momentu pędu zależy od wyboru układu współrzędnych.
r
Układ środka masy
Å„Å‚ m ri
" i
r
ôÅ‚ i
r r
R a"
promienie wodzÄ…ce w CM ri* : ri * = 0
"mi ôÅ‚
m
" i
i òÅ‚
i
ôÅ‚
r
r r
ôÅ‚ *
r a" R - r
ół i i
r r r r* r r* r* r
r
Moment pÄ™du: J = R × P + J , P a" pi , J a" × pi
"mi "ri
i i
Zachowanie energii
pojedyncza czÄ…stka
r r r r r
r r
p2 dT p dp p dr
T a" - energia kinetyczna = = F = F
2m dt m dt m dt
d
r r r
(T + V )= 0
r
ëÅ‚ "V(r) "V(r) "V(r) öÅ‚
r
F = dt
siÅ‚a potencjalna: -"V(r) = ìÅ‚ , , ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
"x "y "z
íÅ‚ Å‚Å‚
T+V  całkowita energia
V  energia potencjalna
"V
 układ konserwatywny
"t
r r)
dr dx "V dy "V dz "V dV (r
r
"V (r) = + + =
dt dt "x dt "y dt "z dt
układ cząstek
r r
r r r r r
ëÅ‚ r r öÅ‚ r d(ri - rj ) r
pi2 dT pi dpi dri ìÅ‚ r dri r 1
r r r r
T a" , = = Fi (ri ) + (ri - rj )÷Å‚ = Fi (ri ) + Fij (ri - rj )
" " " "Fij " "
ìÅ‚ ÷Å‚
2mi dt 2mi dt dt dt 2 dt
i i i j, j`"i i i, j,i`" j
íÅ‚ Å‚Å‚
r
r), r r)
Fi = -"Vi (r Fij = -"Vij (r siły potencjalne
1
energia potencjalna ukÅ‚adu ëÅ‚ öÅ‚
U a" + d 1
"Vi "Vij
ìÅ‚ ÷Å‚
2 = 0
i i, j,i`" j "Vi "Vij
ìÅ‚T + + ÷Å‚
dt 2
i i, j,i`" j
íÅ‚ Å‚Å‚
T + U energia całkowita układu
3