Zadania z fizyki dla I roku
Wydziału Mechaniczno- Energetycznego
LISTA I
1.1. Dane są dwa wektory A = i + 2j - k i B = 3i + 4j . Obliczyć:
a) długość ka\
dego wektora;
b) iloczyn skalarny tych wektorów;
c) kąt zawarty między wektorami;
d) iloczyn wektorowy tych wektorów.
1.2. Znalez
ć wektor jednostkowy n prostopadły do dwóch wektorów A(2, -1, 1) i B(1, 2, -1).
1.3. Wykazać, \
e wektor A jest prostopadły do wektora B, jeśli |A + B|=|A - B|.
1.4. Siła F = -3i + j + 5k działa na punkt r (7, 3, 1). Obliczyć:
1
a) moment siły względem początku układu współrzędnych;
b) moment siły względem punktu r (0, 10, 0).
2
1.5. Pociąg A ma długość l , pociąg B - l . Gdy pociągi mijają się jadąc w tą samą stronę, to czas,
A B
który upływa od chwili gdy lokomotywa A dogoni ostatni wagon pociągu B, do chwili gdy
ostatni wagon pociÄ…gu A minie lokomotywÄ™ B, wynosi t . Gdy pociÄ…gi jadÄ… w przeciwne
1
strony, czas mijania wynosi t . Oblicz prędkości v i v obu pociągów.
2 A B
1.6. Dwie cząstki poruszają się wzdłu\
osi OX i OY odpowiednio z prędkościami v = 2i i v = 3j
1 2
[m/s]. W chwili t =0 są one w punktach o współrzędnych x = -3, y = 0, x = 0, y = -3 [m].
1 1 2 2
Znalez
ć wektor r - r , który określi poło\
enie drugiej cząstki względem pierwszej w funkcji
1 2
czasu. Kiedy i gdzie obie cząstki będą najbli\
ej siebie?
1
LISTA 2
2.1. Od rakiety, która unosi się pionowo do góry, w momencie, gdy ma ona prędkość v oderwał
0
się na wysokości h jeden z niepotrzebnych ju\
zbiorników paliwa. Znalez
ć czas, po którym
zbiornik ten opadnie na Ziemię, oraz jego prędkość w chwili upadku.
2.2. W jakim czasie ciało swobodnie spadające przebędzie n-ty metr drogi?
2.3. Punkt materialny porusza się w płaszczyz
nie XY, a jego ruch opisują równania: x(t) = at ,
2
y(t) = bt - ct , gdzie a,b,c są wielkościami stałymi. Znalez
ć, po upływie czasu t1 prędkość i
przyśpieszenie punktu oraz kąt pomiędzy wektorami prędkości i przyśpieszenia.
2.4. Przy powierzchni Ziemi rzucono poziomo ciało z prędkością v . Znalez
ć przyśpieszenie
0
styczne i normalne po czasie t1
.
2.5. U podnó\
a góry wznoszÄ…cym siÄ™ pod kÄ…tem ² do poziomu wystrzelono z armaty. Kula
wyleciała z lufy z prędkością v pod kątem ą do poziomu. Wyznacz współrzędne punktu, w
0
którym kula trafi w zbocze.
2.6. Odcinek AB porusza siÄ™ tak, \
e jego punkty ślizgają się po osiach układu współrzędnych XOY
ze stałą prędkością. Wyznacz tor, jaki będzie zakreślał dowolnie wybrany punkt na odcinku.
2
LISTA 3
3.1. Na stole przymocowano jedna za drugÄ… masy m1 , m2 i m3 do masy M (rys.).
Znalez
ć:
a) przyśpieszenie układu,
m3 m2
m1
b) naprÄ™\
enia wszystkich nici.
Tarcie zaniedbać.
M
3.2. Dwa ciała o masach m i m połączono nicią, która jest przerzucona przez bloczek znajdujący
1 2
się na wierzchołku równi nachylonej pod kątem ą (rys.). Współczynnik tarcia między ciałem o
masie m i równią wynosi f. Jaka powinna być masa m , aby ciało o masie m poruszało się:
2 1 2
a) w górę równi, b) w dół równi ?
m2
m1
3.3 Balon, którego całkowity cię\
ar wynosi P , opada w dół z prędkością v . Przyjmując, \
e
wielkość siły wyporu wynosi W wyznacz masę balastu m , jaką nale\
y wyrzucić z balonu, aby
zaczął się on wznosić z taką samą prędkością? Załó\
, \
e siła oporu ośrodka jest identyczna w
czasie spadania i wznoszenia balonu.
3.4. Ciało o masie m puszczone z wysokości h z prędkością początkową v= 0 spadło po czasie
2h
t = 3 . Jaka jest średnia siła tarcia na tej drodze (nie uwzględniać siły wyporu)?
g
3.5. Jaką prędkość początkową trzeba nadać ciału o masie m, aby wjechało na szczyt równi o
długości l i kącie nachylenia ą, jeśli współczynnik tarcia wynosi f. Wyznacz czas ruchu.
3
LISTA 4
4.1. Wyznacz gradient funkcji f(x,y,z):
a) f(x,y,z)=A(x3+y2+z2),
b) f(x,y,z)=B(x3+y2+z2)-1/2 , A i B  stałe
4.2. Udowodnij, \
e w polu potencjalnym rot E=0.
4.3. Energia potencjalna cząstki w pewnym polu grawitacyjnym o symetrii sferycznej ma postać
U(r) = ar-2 - br-1, gdzie a i b są dowolnymi stałymi, zaś r jest odległością od centrum. Oblicz
wartość r odpowiadającą stanowi równowagi oraz maksymalną wartość siły przyciągania
0
F .
max
4.4. Z powierzchni Ziemi wyrzucono ciało z prędkością v . Na jaką wysokość wzniesie się ciało?
0
Jaką powinno mieć najmniejszą prędkość początkową, aby nigdy nie spadło na Ziemię ?
4.5. W metalowej kuli o promieniu R i masie M wydrÄ…\
ono kulę o promieniu r = R/2 w sposób
pokazany na rysunku:
Oblicz siłę, jaka będzie działać pozostała część du\
ej kuli na małą kuleczkę o masie m,
znajdującą się w odległości d od środka du\
ej kuli.
4
LISTA 5
5.1. Wyznacz pracę wciągnięcia ciała po równi pochyłej, jeśli masa ciała, długość równi, kąt
nachylenia równi do poziomu i współczynnik tarcia są dane.
5.2. Lokomotywa rozwija moc P = 1800 KW i ciÄ…gnie po torze poziomym pociÄ…g o masie 2000 ton.
Współczynnik tarcia f = 0.005. Oblicz maksymalną prędkość pociągu oraz przyspieszenie
pociągu, gdy ten posiada prędkość chwilową v = 4 m/s.
1
5.3. Z jaką prędkością nale\
y rzucić ciało z wysokości H, aby po n odbiciach znów wróciło na tę
samą wysokość, jeśli przy ka\
dym odbiciu traci k-tą część energii początkowej?
5.4. Niewa\
ka sprÄ™\
yna mo\
e być ściśnięta o "x pod wpływem siły F . Sprę\
ynÄ™ tÄ™ umieszczono
0 0
przy podstawie równi nachylonej pod kątem ą. Ciało o masie m pozostające początkowo na
szczycie równi zostaje zwolnione ześlizguje się w dół. Ciało to zatrzymuje się po ściśnięciu
sprÄ™\
yny "x . Jaką odległość s przebyło ciało do chwili zatrzymania się? Jaką prędkość miało to
1
ciało bezpośrednio przed zetknięciem się ze sprę\
ynÄ…?
5.5. Na transporter sypie się piasek ze stałą prędkością u[kg/s]. Oblicz moc silnika napędzającego
transporter, jeśli jego prędkość wynosi v.
5
LISTA 6
6.1. Na jaką wysokość od poło\
enia równowagi wzniesie się wahadło o masie M, jeśli utkwi w
nim pocisk o masie m lecący z prędkością v?
6.2. Dwie kule zderzają się, po czym poruszają się wzdłu\
jednej prostej. Jedna z kul przed
zderzeniem była w spoczynku a druga poruszała się z prędkością v . Kula poruszająca się
0
miała masę trzykrotnie mniejszą od kuli spoczywającej. Wyznacz:
a) prędkość kul po zderzeniu idealnie sprę\
ystym,
b) prędkość kul po zderzeniu idealnie niesprę\
ystym,
c) ubytek energii podczas zderzenia idealnie niesprÄ™\
ystego.
6.3. Poka\
, \
e podczas sprÄ™\
ystego zderzenia niecentralnego dwóch kul o niejednakowych
masach, z których jedna spoczywa, kÄ…t jaki tworzÄ… kule po zderzeniu wynosi 90º.
6.4. Na końcu nieruchomej łódki znajdującej się w wodzie stoi człowiek. Na jaką odległość
przesunie się łódka, jeśli człowiek przejdzie na jej drugi koniec? Masa człowieka, masa łódki,
długość łódki wynoszą odpowiednio: m, M i l. Opór pominąć.
6.5. Przez nieruchomy blok przerzucono sznur o długości l. Na obu końcach sznura na jednej
wysokości uczepiły się dwie małpy, które równocześnie zaczęły wdrapywać się do góry, przy
czym jedna z nich porusza się względem sznura z prędkością dwukrotnie większą, ni\
druga.
Po jakim czasie ka\
da z nich dosięgnie bloku? Masy małp są jednakowe, masę sznura
zaniedbać.
6
LISTA 7
7.1. Mała kulka zawieszona na nici o długości l zatacza okrąg o promieniu R . Jaki jest czas obiegu
kulki po okręgu?
7.2. Kulkę o masie m zawieszono na nici do ciała A o masie M . Następnie kulkę popchnięto tak,
\
e zaczęła krą\
yć po okręgu o promieniu R w płaszczyz
nie poziomej. Jaki jest współczynnik
tarcia f, jeśli czas obiegu kulki wynosi T ?
A
7.3. Na szczycie gładkiej kuli o promieniu R poło\
ono monetę, która zaczęła się zsuwać. W
którym momencie oderwie się od powierzchni (tarcia nie uwzględniać)?
7.4 Mała kulka stacza się po zje\
d\
alni zakończonej pętlą o promieniu R . Jaka powinna być
wysokość H zje\
d\
alni, aby kulka:
a) nie odpadła od pętli,
b) odpadła na wysokości h = 1,5R ?
7.5. Pocisk wystrzelono z prędkością v skierowaną pod kątem ą do poziomu z działa
0
znajdującego się na półkuli północnej w miejscowości o szerokości geograficznej Ć skierowanego
na południe. Oblicz odchylenie pocisku od osi celowniczej w chwili upadku na Ziemię.
7
LISTA 8
8.1. Kwadrat o boku 2a , le\
ący w płaszczyz
nie z = 0 ma w swych rogach uło\
one masy m i M
(rysunek). Obliczyć składowe tensora bezwładności względem osi X, Y, Z.
Y
m M
X
m
M
8.2. Do końca nici nawiniętej na bęben o promieniu R przywiązano masę m . Znalez
ć moment
bezwładności bębna, je\
eli wiadomo, \
e masa opuszcza się z przyśpieszeniem a .
8.3. Dwa odwa\
niki o masach odpowiednio m1 i m2 są połączone nicią przerzuconą przez krą\
ek.
Promień krą\
ka R , a jego masa m . Obliczyć:
a) przyspieszenie, z jakim poruszajÄ… siÄ™ odwa\
niki;
b) naciągi nici, na których są zawieszone odwa\
niki.
8.4. Z równi pochyłej o kącie nachylenia ą staczają się bez poślizgu kula i obręcz Prędkość
początkowa obu brył wynosi zero. Która z nich szybciej osiągnie dół równi? Obliczyć
przyspieszenia liniowe obu brył.
8.5. CiÄ™\
ka szpula z nawiniętą nicią, do której przyło\
ono siłę F , le\
y na płaszczyz
nie poziomej.
W którą stronę i z jakim przyśpieszeniem będzie poruszała się szpula w zale\
ności od kąta
między kierunkiem działania siły a płaszczyzną poziomą. Masa szpuli m , promień zewnętrzny
i wewnętrzny szpuli odpowiednio R i r ; moment bezwładności względem osi przechodzącej
przez środek równy jest I0 .
8.6. Listwa drewniana o długości L i masie M mo\
e obracać się dookoła osi prostopadłej do
listwy, przechodzącej przez jej środek. W koniec listwy trafia pocisk o masie m , lecący z
prędkością v w kierunku prostopadłym do osi listwy. Znalez
ć prÄ™dkość kÄ…towÄ… É , z jakÄ…
listwa zaczyna się obracać, gdy utkwi w niej pocisk.
8
LISTA 9
9.1. Układ K porusza się względem osi OX układu odniesienia K ze stałą prędkością v. W
układzie K znajduje się pręt o długości własnej L' , tworzący z osią OX kąt ą ' . Jaką długość
pręta L i jaki kąt ą zmierzy obserwator w układzie K (nieruchomym)?
9.2. Ile razy wzrasta gęstość ciała poruszającego się z prędkością v = 0.9c w stosunku do gęstości
ciała spoczywającego?
9.3. Wyznaczyć masę oraz prędkość elektronu, którego energia kinetyczna wynosi Ek .
9.4. Mezon µ utworzony w górnych warstwach atmosfery przebywa do chwili rozpadu odlegÅ‚ość
s = 5 km poruszając się z prędkością v = 0.99c. Jaki jest czas \
ycia mezonu mierzony przez nas,
a jaki mierzony w jego własnym układzie odniesienia? Jaka jest grubość atmosfery przebyta
przez mezon, zmierzona w jego własnym układzie odniesienia?
9.5. Jakie powinno być napięcie pola elektrycznego, aby zgodnie z zasadami mechaniki klasycznej
poruszający się w tym polu elektron uzyskał prędkość światła? Jaką prędkość w tym polu
uzyska według mechaniki relatywistycznej?
9.6. SÅ‚oÅ„ce emituje w ciÄ…gu sekundy energiÄ™ równÄ… 6,5 Å"1021kWh . PrzyjmujÄ…c, \
e moc
promieniowania Słońca jest stała, znalez
ć czas, w ciągu którego masa Słońca zmaleje do
poÅ‚owy. Masa SÅ‚oÅ„ca M = 2 Å"1031kg .
9
 LISTA 10
10.1. Równanie ruchu punktu dane jest w postaci: x(t) = sin(0,6Ąt). Znalez
ć te chwile, w których
występuje maksymalna prędkość i maksymalne przyśpieszenie.
10.2. Faza początkowa drgań harmonicznych równa się zeru. Przy wychyleniu punktu z poło\
enia
równowagi o x prędkość punktu jest równa v , a w przypadku wychylenia o x - v . Znalez
ć
1 1 2 2
amplitudę i okres tych drgań.
10.3. Energia całkowita ciała drgającego harmonicznie jest równa E a maksymalna siła działająca
1
na ciało F . Napisać równanie ruchu tego ciała, jeśli okres drgań trwa T a faza początkowa
1
wynosi Õ0 .
10.4. Na gumce o długości l i promieniu r wisi odwa\
nik o masie m. WiedzÄ…c, \
e moduł Younga
tej gumy wynosi E , znalez
ć okres T pionowych drgań odwa\
nika.
10.5. Areometr o masie m pływa w cieczy. Gdy zanurzy się go w cieczy i puści, zaczyna
wykonywać drgania z okresem T . Przyjmując, \
e drgania są nietłumione, znalez
ć gęstość
cieczy, w której pływa areometr. Średnica walcowej rurki areometru wynosi d
10.6. Przez ZiemiÄ™ przewiercono tunel. Do tunelu wpuszczono kulkÄ™. Znalez
ć czas potrzebny do
osiągnięcia przez kulkę środka Ziemi, a tak\
e prędkość, z jaką kulka minie środek Ziemi.
10
LISTA 11
11.1 Jak zmieni się okres drgań pionowych masy wiszącej na dwóch jednakowych sprę\
ynach,
gdy połączenie szeregowe sprę\
yn zostanie zastąpione połączeniem równoległym?
11.2 Drgania zadane sÄ… równaniem x(t) = A(t)sin(2½ t), gdzie amplituda zmienia siÄ™ w czasie
1
zgodnie z zale\
noÅ›ciÄ… A(t) = A (1 + cos(2½ t)). Znalez
ć składowe harmoniczne tych drgań.
0 2
11.3 Okres drgaÅ„ tÅ‚umionych jest równy T , dekrement tÅ‚umienia › , a faza poczÄ…tkowa wynosi
zero. Wychylenie punktu w chwili t = 0,25T jest równe x1. Napisz równanie ruchu tych drgań.
11.4. Dekrement logarytmiczny tÅ‚umienia wahadÅ‚a matematycznego jest równy › . Znalez
ć, ile
razy zmaleje amplituda wahań w ciągu jednego całkowitego wahania wahadła.
11.5. Wartości amplitud wymuszonych drgań harmonicznych są równe dla dwóch częstości siły
wymuszajÄ…cej É i É . Wyznacz czÄ™stość rezonansowÄ…, dla której amplituda drgaÅ„
1 2
wymuszonych osiągnie maksymalną wartość.
11.6. Ciało o masie m wykonuje drgania tłumione o maksymalnej amplitudzie A , fazie
max
poczÄ…tkowej równej zero oraz o staÅ‚ej tÅ‚umienia ². Na ciaÅ‚o to zaczęła dziaÅ‚ać zewnÄ™trzna siÅ‚a
okresowa, pod wpływem której ustaliły się drgania wymuszone opisane równaniem
x=Acos(2t - 0.75). Znalez
ć:
a) równanie drgań swobodnych,
b) równanie zewnętrznej siły okresowej.
11
Literatura
K. Jezierski, B. Kołodko, K. Sierański, Fizyka. Zadania z rozwiązaniami, cz. I, Oficyna
Wydawnicza Politechniki Wrocławskiej, Wrocław, 2000
12