Zadania z fizyki - zestaw IV. AiRs3w 09
1. Pewne ciało wykonuje drgania harmoniczne o okresie T i amplitudzie A. Jaki jest stosunek energii kinetycznej
do potencjalnej w chwili gdy wychylenie x=1/2A. Zakładając, ze x(t=0)=0 wyznacz czas po którym ciało znajdzie
się w odległości x=A/2 i jego prędkość w tym momencie.
2. Dwie sprÄ™\
yny o stałych sprę\
ystości k1 i k2 oraz ciało o masie m tworzą układ drgający. Ile wynosi częstość
drgań układu gdy sprę\
yny połączone są szeregowo a ile gdy są one połączone równolegle.
3. Ile będzie wynosił okres drgań ciał o masach m1 i m2 połączonych sprę\
yną o stałej sprę\
ystości k, po
wychyleniu jednego z ciał z poło\
enia równowagi, jeśli znajdują się one na idealnie gładkiej poziomej
powierzchni.
4. Okres drgań wahadła matematycznego umieszczonego w windzie poruszającej się pionowo w górę jest podczas
hamowania n=2 razy większy ni\
podczas startu windy. Znalez
ć przyspieszenie windy, je\
eli wiadomo, \
e jego
wartość jest taka sama podczas startu i hamowania.
5. Wyznacz wypadkową amplitudę drgań, które powstają w wyniku superpozycji n drgań o jednakowej amplitudzie
A i jednakowej częstości, przesuniętych względem siebie w fazie o stały kąt Ć .
6. Cząstka wykonuje drgania harmoniczne wokół poło\
enia równowagi xs=0. KoÅ‚owa czÄ™stość drgaÅ„ wynosi É
o=4.0 rd/s. W pewnej chwili poło\
enie cząstki wynosiło xo= 25 cm, a jej prędkość v0= 100 cm/s. Znalez
ć
poło\
enie i prędkość cząstki po czasie t1=2.4 s.
7. Wyznaczyć okres małych drgań areometru o masie m = 50g i promieniu r=3.2 mm zanurzonego w idealnej
cieczy o gÄ™stoÅ›ci Á = 1.0 g/cm3 , który nieznacznie pchniÄ™to w kierunku pionowym.
8. Na szalkÄ™ o masie M, zawieszonÄ… na sprÄ™\
ynie o stałej sprę\
ystości k, spada z wysokości h cię\
arek o masie m i
przykleja się do niej. Jaka jest częstość i amplituda powstałych drgań.
9. Na poziomej płaszczyz
nie le\
y klocek o masie m1, który mo\
e ślizgać się po tej płaszczyz
nie bez tarcia. Na osi
umieszczonej w bocznej ściance klocka jest zawieszony pręt odługości l z umocowanym na końcu cię\
arkiem o
masie m2. Zaniedbując masę pręta obliczyć okres małych drgań wahadła.
10.Ciało o masie M wisi na sprę\
ynie o masie m i stałej sprę\
ystości k . Jaki będzie okres drgań tego układu, tj.
uwzględniając niezerową masę sprę\
yny.
11.Okres drgaÅ„ tÅ‚umionych wynosi T=4 s, logarytmiczny dekrement tÅ‚umienia ´= 1.6, a faza poczÄ…tkowa drgaÅ„
zero. W chwili t=T/4 wychylenie z poło\
enia równowagi wynosi x = 0.045 m. Napisz równanie ruchu tych drgań,
oraz określ czas po którym 90% energii początkowej drgań ulegnie rozproszeniu.
12. CiaÅ‚o wprawiono w drgania tÅ‚umione o dekremencie ´ : a) 2 i b) 0.2. JakÄ… drogÄ™ przebÄ™dzie to ciaÅ‚o do ustania
drgań jeśli w chwili początkowej wychylono je z poło\
enia równowagi na odległość A0 .
13. Niewielka kulka o masie m =0.1 kg, zawieszona na idealnej nici o długości l = 20 cm, mo\
e wykonywać
drgania z logarytmicznym dekrementem tÅ‚umienia ´=0.1. Obliczyć poÅ‚o\
enie i prędkość kulki po upływie czasu t =
15 s, je\
eli w chwili początkowej wychylenie z poło\
enia równowagi wynosi Ä…0= 0.1 rd, a prÄ™dkość kÄ…towa Ép =
0.1 rd/s.
14. Amplitudy drgaÅ„ wymuszonych sÄ… sobie równe przy czÄ™stoÅ›ciach koÅ‚owych siÅ‚y wymuszajÄ…cej : É1= 400 rd/s i
É2 = 600 rd/s. Ile wynosi rezonansowa czÄ™stość drgaÅ„ tego ukÅ‚adu.
15. W środku masy walca o masie M i promieniu R przymocowano poziomą sprę\
ynę o stałej sprę\
ystości k.
Walec wychylono z poło\
enia równowagi o odcinek A tak, \
e po zwolnieniu siły podtrzymującej toczy się on bez
poślizgu po poziomym podło\
u. Wyznacz okres drgań układu. oraz energię kinetyczną ruchu postępowego i
obrotowego walca w chwili gdy przetacza się on przez poło\
enie równowagi.
16. Tarczę w kształcie koła o promieniu R i masie M zawieszono na poziomej osi przechodzącej przez brzeg tarczy
i prostopadłej do jej powierzchni. Wyznaczyć okres drgań tarczy wokół poło\
enia równowagi.
17. W jakiej odległości od środka masy pręta o długości l =1m nale\
y umieścić poziomą oś obrotu, aby okres
drgań pręta wokół tej osi był najmniejszy.
Odpowiedzi:
1. Ek(x=A/2)/Ep.(x=A/2)= 3; t=T/12: v="3 Ä„ A/T;
2. T=2Ä„(m(k1+k2)/k1k2)1/2 T= 2Ä„(m/(k1+k2)1/2
3. T = 2Ä„ [m1 m2 / k(m1 + m2 ) ]1/2 ;
4. a0 =g( n2  1)/(n2 +1)
5. Aw = A sin(nĆ/2) /sinĆ/2 ;
6. x = [x02 + (v0/ É)2 ]1/2 sin[Ét1 + arctg(-v0/Éx0)]
v = - É[x02 + (v0/ É)2 ]1/2 sin[Ét1 + arctg(-v0/Éx0)]
7. T=2Ä„(m/Ä„r2Ág)1/2
8. A= mg/k [1+2kh/g(M.+m.]1/2 ;
9. T= 2Ä„[l/g(1+m2/m1)]1/2
10. T = 2Ä„ [(M.+1/3m.)/k ]1/2 ;
11. x(t)= xp. e ´/4 e - ´/T t sin(2Ä„/T t); tx = - T/2´ ln0.1;
12. s= A0 (1+e -´/2 )/(1- e -´/2 ) ;
13. Ä…=Ä…m e-²t sin(Ét+Ć)
É=É0/(1+´2/4Ä„2)1/2
ctgĆ=Ép/ÉoÄ…o (1+´2/4Ä„2)1/2 + ´/2Ä„
ąm = ąo/sinĆ
v= l d2Ä…/dt2= -²l Ä…m e-²t sin(Ét+Ć)+Él Ä…m e-²t cos(Ét+Ć)
14. Ér = "2/2 (É12 + É22 )1/2 ;
15. T= 2Ä„ [3M/2k]1/2 ; Ek = kA2/3 ; Eko = kA2/6
16. T = 2Ä„ [3R/2g]1/2
17. x = "3/6 L