Projekt:  Wiedza i kompetencje z fizyki, chemii i informatyki na potrzeby gospodarki - Wiking
Wydział Chemii UJ
MATERIAA
Y DO ZAJ
Ć WYRÓWNAWCZYCH z
Fizyki
Rok akademicki 2012/2013
Konspekt 1
WEKTORY I SKALARY
1. Zmianę położenia punktu materialnego nazywamy przemieszczeniem, które można
przedstawić za pomocą strzałki zwanej wektorem. Strzałka przedstawia wypadkowy
efekt ruchu, a nie drogę przebytą przez punkt materialny.
P1
t1
P2
t2
Rys.1
2. Wektor charakteryzuje: wartość (moduł),
kierunek (linia na której leży),
zwrot (grot strzałki, w którą stronę działa),
punkt przyłożenia (można przesuwać w danym układzie
współrzędnych dopóki kąty jakie wektor tworzy z osiami
współrzędnych są zachowane).
3. Wielkości wektorowe są to wielkości mające odpowiednią wartość i kierunek i
podlegają określonym regułom dodawania, np. oprócz przemieszczenia, także
położenie, prędkość, przyspieszenie, siła.
4. Skalary to wielkości, które mają jedynie wartość, np. masa, czas, ładunek, gęstość,
praca, moc.
ALGEBRA WEKTORÓW
5. Dodawanie wektorów:
Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego
w ramach programu operacyjnego KAPITAA
LUDZKI
 A) metoda
geometryczna
B) metoda analityczna (rozkładanie wektorów na składowe.
6. Przykład metoda geometryczna:
Dane wektory: a, b.
Sprawdz
prawo przemienności: a + b = b + a
7. Przykład metoda geometryczna :
Dane wektory: a, b, c.
Sprawdz
prawo łączności: (a + b) + c = a + (b + c)
Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego
w ramach programu operacyjnego KAPITAA
LUDZKI
8. Przykład metoda analityczna.
Sposób analityczny polega na:
A) podaniu rzutów: ax, ay, az wektora a (z ich znakami) na osie układu współrzędnych,
albo
B) też na podaniu modułu wektora i kątów jakie tworzy on z osiami okładu
współrzędnych.
Wprowadza się tutaj wersory, czyli wektory jednostkowe prostokątnego układu
współrzędnych: i, j, k, przy czym |i|=|j|=|k|=1.
W przestrzeni:
Ć
Ć
a axi ay 5
azk
Moduł wektora:
a a ax 2 ay 2 az 2
kąt jaki tworzy wektor a z osiami układu:
ax
az
ay
cos( )
cos( )
cos( )
ax 2 ay 2 az 2
ax 2 ay 2 az 2
ax 2 ay 2 az 2
Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego
w ramach programu operacyjnego KAPITAA
LUDZKI
9. Przykłady rozkładanie wektora na składowe: skalarnie i wektorowo.
Ile składowych może mieć wektor a ?
wiele, zależy od wyboru układu współrzędnych.
10. Znalezienie składowych skalarnych i wektorowych w wybranych układach
współrzędnych.
Znalezienie składowych skalarnych i wektorowych w wybranym układzie współrzędnych.
Składowe skalarne rzuty na osie:
ax a cos
ay asin
ay
tg
ax
Składowe wektorowe pkt 8B.
Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego
w ramach programu operacyjnego KAPITAA
LUDZKI
Projekt:  Wiedza i kompetencje z fizyki, chemii i informatyki na potrzeby gospodarki - Wiking
Wydział Chemii UJ
MATERIAA
Y DO ZAJ
Ć WYRÓWNAWCZYCH z
fizyki
Rok akademicki 2012/2013
Konspekt 2
WEKTORY I SKALARY, c.d.
Mnożenie wektorów
W zadanym układzie wektor definiowany jest poprzez podanie jego współrzędnych:
a = (ax, ay, az)
1. Mnożenie wektora (a) przez skalar (n).
r�
r�
b na
Wynikiem jest wektor (b). Jego moduł jest równy iloczynowi modułu wektora a i wartości
bezwzględnej n. Zwrot wektora b jest zgodny ze zwrotem a, jeżeli n 0, a przeciwny do
zwrotu a jeżeli n 0.
Analitycznie b = (nax, nay, naz)
2. Iloczyn skalarny wektorów.
Wynikiem jest skalar.
r� r�
r� r�
a b abcos (a,b)
Ć Ć
Ć Ć
a b (axi ay 5
azk) (bxi by 5
bzk)
po wykonaniu działania
a b axbx ayby azbz
Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego
w ramach programu operacyjnego KAPITAA
LUDZKI
3. Iloczyn wektorowy wektorów.
Wynikiem jest wektor c, którego długość
r� r�
r� r�
a b c absin (a,b)
Kierunek wektora c jest prostopadły do płaszczyzny, w której leżą wektory a i b.
Zwrot jest określony z reguły śruby prawoskrętnej (jeżeli wnętrze obracającej się prawej dłoni
zakreśla łuk od wektora a do b, to kciuk ma zwrot zgodny ze zwrotem wektora c).
Obliczając analitycznie:
Ć
Ć
a b (aybz azby)i (azbx axbz) 5
(axby aybx)k
Trzeba pamiętać, że:
a b b a
Przykład 1.
Dane są dwa wektory:
Ć
a 3iĆ 5
k
Ć
b 2i 5

Oblicz:
a) Iloczyn skalarny wektorów a i b.
Ć Ć
Ć Ć
a b (3i 5
k) (2i 5
0 k)
Ć Ć
a b 3 2iĆ iĆ 3 1 iĆ 5
0 1 2 5
iĆ 1 1 5
5
0 1 2k iĆ 1 k 5
0)
a b 6 1 5
Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego
w ramach programu operacyjnego KAPITAA
LUDZKI
b) Iloczyn wektorowy wektorów a i b
Ć Ć
Ć
a b (3i 5
k) (2iĆ 5
0 k)
Ć Ć
Ć
a b 3 2i iĆ 3 1 iĆ 5
0 1 2 5
iĆ 1 1 5
5
0 1 2k iĆ 1 1 k 5
0)
Ć Ć Ć Ć
a b 0 3 1 k 0 1 2 k 0 0 2 5
1 iĆ 0 3k 2k 2 5
iĆ
Ć
a b 5k 2 5
iĆ
c) długości wektorów a i b oraz ich iloczynu wektorowego.
2
a 32 12 1 11
2
b 22 1 5
2 2 2
a b 5 2 1 30
d) kat między wektorami
a b 2
cos a b 0,674
11 5
a b
a b arccos0,674 47,6
Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego
w ramach programu operacyjnego KAPITAA
LUDZKI
lub
a b
30
sin a b 0,738
11 5
a b
a b arcsin0,738 47,6
Przykład 2.
Znajdz
wartość i kierunek wektora
Ć Ć
a 3k k 5

Rozwiązanie
Ć Ć Ć
a 3k k 5
3k 1 iĆ 3 j
Odpowiedz
:
Długość wektora wynosi 3, jest skierowany w dodatnim kierunku osi y.
Przykład 3.
Znajdz
wartość i kierunek wektora
Ć
a 5
2k 5

Rozwiązanie
Ć Ć Ć
a 5
2k 5
2 5
1 iĆ 2 k 2k
Odpowiedz
:
Długość wektora wynosi 2, jest skierowany w ujemnym kierunku osi z.
Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego
w ramach programu operacyjnego KAPITAA
LUDZKI
Projekt:  Wiedza i kompetencje z fizyki, chemii i informatyki na potrzeby gospodarki - Wiking
Wydział Chemii UJ
MATERIAA
Y DO ZAJ
Ć WYRÓWNAWCZYCH z
fizyki
Rok akademicki 2012/2013
Konspekt 3
POCHODNA FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ
Pochodna funkcji jednej zmiennej y = f(x)
dy d
oznaczana
&�
y', y, , f '(x), f (x)
dx dx
jest to nowa funkcja zmiennej z, równa dla każdej wartości x granicy stosunku przyrostu
funkcji "y do odpowiadającego mu przyrostu zmiennej niezależnej "x, gdy "x 0
f (x x) f (x)
f '(x) lim
x 0
x
Obliczanie pochodnej to tzw. różniczkowanie funkcji f(x).
Interpretacja geometryczna
Jeżeli wykresem funkcji y = f(x) (w przykładzie na rysunku poniżej x = t) w pewnym
układzie współrzędnych prostokątnych jest pewna krzywa, to wartość pochodnej f (x) w
danym punkcie, dla danego x, jest równa tgą, gdzie ą to kąt między osia Ox a styczną do
krzywej w danym punkcie (kąt ą liczony jest od kierunku  + osi Ox w kierunku przeciwnym
do ruchu wskazówek zegara). Jest to tzw. współczynnik kierunkowy
Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego
w ramach programu operacyjnego KAPITAA
LUDZKI
t0
Najważniejsze wzory na obliczanie pochodnych
(c) = 0, c = const
(xn) = nxn-1
(sinx) = cosx
(cosx) =-sinx
Pochodne sumy, iloczynu i ilorazu funkcji:
[(f(x)+ g(x)] = f(x) + g(x)
[(f(x)� g(x)] = f(x) � g(x) +f(x) � g(x)
'
f (x) f (x)' g(x) f (x)g(x)'
2
g(x)
g(x)
Pochodna funkcji złożonej:
'
f (g(x)) f (g(x)) ' g(x) '
Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego
w ramach programu operacyjnego KAPITAA
LUDZKI
Przykład 1: pochodna funkcji tangens.
d(sin x) d(cosx)
cosx sin x
d(tg(x)) d sin x cosx cosx sin x( sin x)
dx dx
dx dx cosx cos2 x cos2 x
cos2 x sin2 x 1
cos2 x cos2 x
Przykład 2.
y(x) = f(g(x))= sin (5x)
g(x) = 5x
d (y(x)) d(sin(5x))
5 cos5x
dx dx
Przykład 3.
y(x) = f(g(x))= cos3x = (cos(x))3
g(x) = cos(x)
d(y(x)) d((cosx)3)
3cos2 x ( sin x)
dx dx
Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego
w ramach programu operacyjnego KAPITAA
LUDZKI
Przykład 4.
Ciało porusza się po paraboli o równaniu y = y0  ax2, gdzie y jest wysokością nad poziomem,
y0 = 18 m, a = 3 m-1. W którym miejscu i pod jakim kątem uderzy ono w podłoże?
Dane: y0 = 18 m, a = 3 m-1
y
y0
y(x0) = 0 = y0- ax02
y0
x02
a
x0 = 3m
x0
d(y(x)) d dy0 d
y0 ax2 ax2 2ax
dx dx dx dx
d
tg y(x0) 2 3 3 18
dx
93.2o�
Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego
w ramach programu operacyjnego KAPITAA
LUDZKI
Projekt:  Wiedza i kompetencje z fizyki, chemii i informatyki na potrzeby gospodarki - Wiking
Wydział Chemii UJ
MATERIAA
Y DO ZAJ
Ć WYRÓWNAWCZYCH z
.fizyki
Rok akademicki 2012/2013
Konspekt 4
PODSTAWOWE POJ
CIA KINEMATYCZNE.
Tor to krzywa, którą zakreśla punkt materialny.
Droga to długość toru określona między dwoma punktami czasowymi. Jest wielkością
skalarną.
Przemieszczenie to wielkość wektorowa, określająca zmianę położenia punktu, od x1 do x2,
zdefiniowana:
r� r� r�
D�x =� x2 -� x1
Przykład 1.
Rowerzysta jedzie z miejscowości A do B oddalonej o 12 km, a potem wraca do
miejscowości C oddalonej od A o 5 km. Zakładając, że wszystkie miejscowości leżą na jednej
prostej, oblicz drogę i przemieszczenie rowerzysty.
Rozwiązanie:
Dane: d1 = 12 km, d2 = 5 km.
Szukane: s  droga, D�r  przemieszczenie
d1
s = d1 + (d1 - d2) = 2�d1  d2
s = 2�12 -5 =19 km
A C B
d2
Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego
w ramach programu operacyjnego KAPITAA
LUDZKI
D�r = AC
A C B
D�r
|D�r| =d2 = 5 km
Przykład 2.
Jaką drogę przebędzie zawodnik po przebiegnięciu 15 okrążeń stadionu? Ile wynosi jego
przemieszczenie? Proszę założyć, że długość bieżni na stadionie wynosi 400m.
Rozwiązanie:
Dane: n = 15, l = 400m,
Szukane: s  droga, D�r  przemieszczenie
s = n�l = 15�400 = 6000 m = 6 km
|D�r| = 0 �� gdyż punkt końcowy pokrywa się z punktem początkowym
Przykład 3.
Pociąg jedzie z prędkością 72 km/h. Po włączeniu hamulców można go zatrzymać w ciągu 2
min. Zakładając, że ruch pociągu podczas hamowania jest jednostajnie opóz
niony, proszę
obliczyć w jakiej odległości od stacji należy uruchomić hamulce.
Rozwiązanie:
Dane: vo = 72 km/h, t = 2 min
Prędkość i droga wyrażają się w ruchu jednostajnie przyspieszonym wzorami
Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego
w ramach programu operacyjnego KAPITAA
LUDZKI
v = v0 + at,
s = v0t + �at2
gdy t = 2 min, prędkość v = 0, czyli
�� ł�
0 -� v0 72 km�� h-�1 1 m
a =� =� -� =�
ę� ś�
t 2 min 6 s2
�� ��
w czasie hamowania, tj. od chwili włączenia hamulców do chwili zatrzymania pociągu,
przebędzie on drogę
1 1
s =� 72�� 2 -� �� �� 22[�km�� h-�1 �� min-� m �� s-�2 �� min2]�=� 1200m =� 1,2km
2 6
Hamulce pociągu należy uruchomić w odległości 1,2 km od stacji kolejowej.
Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego
w ramach programu operacyjnego KAPITAA
LUDZKI
Projekt:  Wiedza i kompetencje z fizyki, chemii i informatyki na potrzeby gospodarki - Wiking
Wydział Chemii UJ
MATERIAA
Y DO ZAJ
Ć WYRÓWNAWCZYCH z
.fizyki
Rok akademicki 2012/2013
Konspekt 5
PRZYKA
ADY ZADAC
Z RUCHU PROSTOLINIOWEGO ZMIENNEGO.
Przykład 1
Równanie:
s(t) = A + Bt  Ct2 + Dt3
opisuje zależność drogi przebytej przez ciało w ruchu prostoliniowym;
1) określ miana współczynników, jeżeli s jest wyrażone w metrach a t w sekundach.
[m = m + (m/s) s + (m/s2) s2 + (m/s3) s3]
2) znajdz
funkcję opisującą zależność prędkości od czasu.
Rozwiązanie:
ds(t)
v(t) B 2Ct 3Dt2
dt
3) znajdz
funkcję opisującą zależność przyspieszenia od czasu.
Rozwiązanie:
dv(t)
a(t) 2C 6Dt
dt
Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego
w ramach programu operacyjnego KAPITAA
LUDZKI
4) znajdz
średnią prędkość ciała w ciągu pierwszych 2s i 6s ruchu, jeżeli A = 2m, B = 3 m/s,
C = 4 m/s2, D = 5 m/s3.
Rozwiązanie:
Prędkość średnia poruszającego się ciała w przedziale czasu od t1do t2 jest zdefiniowana jako:
s(t2) s(t1)
vśr
t2 t1
w przypadku gdy t1 = 0 s a t2 = 2 s, to:
s(2) s(0) 48 2
vśr 23
2 0 2
zaś w przypadku gdy t1 = 0 s a t2 = 6 s, to:
s(6) s(0) 1244 2
vśr 4.83
6 0 6
5) znajdz
wartości chwilowe prędkości i przyspieszenia po upływie 3 s od rozpoczęcia ruchu
Rozwiązanie:
dla t = 3s prędkość i przyspieszenie będą mieć następujące wartości:
m
v(t 3) 2 2 3 3 3 4 32 114
s
m
a(t 3) 2 3 5 13
s2
Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego
w ramach programu operacyjnego KAPITAA
LUDZKI
Przykład 2.
Ciało porusza się ruchem jednostajnie przyspieszonym z przyspieszeniem a = 18 cm/s2. W
której sekundzie, licząc od rozpoczęcia ruchu, przebiegnie ono drogę s = 171 cm?
Rozwiązanie:
Dane: a = 18 cm/s2, s = 171 cm.
Szukane: t
a a a
sn sn 1 t2 (t 1)2 t2 t2 2t 1 2t 1
2 2 2
sn sn 1 2 a 2at
sn sn 1 2 a
t
2a
2 171 18
t 10s
2 18
W dziesiątej sekundzie ciało pokona drogę równą 171 cm.
Przykład 3.
Ciało przebyło ruchem jednostajnie przyspieszonym w ciągu piątej sekundy od chwili
ruszenia z miejsca drogę s = 3,6 m. Oblicz przyspieszenie ruchu tego ciała.
Rozwiązanie:
Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego
w ramach programu operacyjnego KAPITAA
LUDZKI
Dane: t = 5-ta s, s = 3,6 m.
Szukane: a
1
s at2
2
sV s0 5 s0 4
a
sV t52 t42
2
2sV
a
t52 t42
2 3,6 2 3,6 m
a 0,8
52 42 9 s2
Przyspieszenie ruchu ciała wynosi 0,8 m/s2.
Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego
w ramach programu operacyjnego KAPITAA
LUDZKI
Projekt:  Wiedza i kompetencje z fizyki, chemii i informatyki na potrzeby gospodarki - Wiking
Wydział Chemii UJ
MATERIAA
Y DO ZAJ
Ć WYRÓWNAWCZYCH z
.fizyki
Rok akademicki 2012/2013
Konspekt 6
RZUT POZIOMY
Rzut poziomy to taki ruch krzywoliniowy płaski punktu materialnego, w którym prędkość
początkowa v jest skierowana poziomo, a przyspieszenie g skierowane pionowo w dół.
0
kinematyczne równanie ruchu
y
x v0t
v0
h
gt2
gt2
y h
y h
2
2
z=xmax x
Przykład 1.
Podaj równanie toru w rzucie poziomym.
Rozwiązanie:
x
x v0t t
v0
Równanie toru przedstawia
g
y h x2
2v02
Jest to parabola.
Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego
w ramach programu operacyjnego KAPITAA
LUDZKI
Przykład 2.
Z wieży o wysokości h = 30 m rzucona została poziomo piłka z szybkością v0 = 15 m/s. W
jakiej odległości od podstawy wieży upadła piłka?
Dane: h, v0
Szukane: z = xmax
Rozwiązanie:
x v0t
gt2
gt2
y h
y h
2
2
dla tcałk y = 0
gt2
0 h
2
gt2 2h
h t
2 g
2h
xmax v t v
0 0
g
2 20
xmax 15 30
10
m m
x m
2
s ms
Piłka upadnie w odległości 30 m od podstawy wieży (jest to zasięg rzutu).
Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego
w ramach programu operacyjnego KAPITAA
LUDZKI
Przykład 3.
Pod jakim kątem pilot samolotu ratunkowego, lecącego na wysokości h z prędkością v0 ,
powinien wypuścić koło ratunkowe, żeby rozbitek mógł je złapać?
Dane: h, v0
y
Szukane:
Rozwiązanie:
v0
x h
tg
h
x v0t
x
gt2
2h
y t
t
2
g
2h
x v
0
g
x 2h 2h 2
arctg arctg v h arctg v arctg v
0 0 0
h g gh2 gh
2
Pilot powinien widzieć rozbitka pod katem arctg v
0
gh
Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego
w ramach programu operacyjnego KAPITAA
LUDZKI
Przykład 4.
Jaką wartość będzie miała prędkość ciała rzuconego poziomo z szybkością v0= 30 m/s po
czasie t = 4s ruchu?
Dane: v0= 30 m/s ,
t= 4s
Szukane: v
Rozwiązanie:
v v
x 0
v gt
y
2 2 2
2 2
v v v v g t
x y 0
v 302 102 42 900 1600 2500 50m s
Prędkość będzie miała wartość 50m/s.
Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego
w ramach programu operacyjnego KAPITAA
LUDZKI
Projekt:  Wiedza i kompetencje z fizyki, chemii i informatyki na potrzeby gospodarki - Wiking
Wydział Chemii UJ
MATERIAA
Y DO ZAJ
Ć WYRÓWNAWCZYCH z
fizyki
rok akademicki 2012/2013
Konspekt 7
RZUT UKOŚNY
Rzut ukośny to ruch krzywoliniowy płaski punktu materialnego poruszający się ze stałym
r� r�
(g,v0 ) (0o�,90o� )
przyspieszeniem, w którym a = g i v0 - nie leżą na tej samej prostej, .
y
x v0t cos
1
v0
y v0t sin gt2
2
H=ymax
z=xmax x
Przykład 1. Podaj równanie toru w rzucie ukośnym.
Rozwiązanie:
x
x v0t cos t
v0 cos
Równanie toru przedstawia
g
y xtg x2
0
2v02 cos2 0
Jest to parabola.
Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego
w ramach programu operacyjnego KAPITAA
LUDZKI
Przykład 2.
Pod jakim kątem należy wystrzelić pocisk z rakiety, aby wyleciał jak najwyżej?
Dane: v0
Szukane: , H
Rozwiązanie:
1
y v0t sin gt2
2
dy
vy v0 sin gt
dt
w punkcie, gdy pocisk osiąga maksymalną wysokość ymax, wartość składowej prędkości vy
jest równa zero
vy 0 0 v0 sin gtw
czas tw potrzebny do osiągnięcia punktu ymax wynosi
v sin
tw 0
g
obliczając wysokość H = ymax dla tego czasu otrzymujemy
1
H v0 sin tw g tw 2
2
2
2
v0 sin 1 v sin v sin2
0 0
H ymax v0 sin g
g 2 g 2g
Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego
w ramach programu operacyjnego KAPITAA
LUDZKI
1 sposób:
rozważamy dla jakiej wartości kąta wysokość H ma wartość maksymalną. Wysokość H jest
maksymalna dla wartości sin = 1, czyli dla kąta = 90� . Odpowiada to rzutowi do góry.
2 sposób:
szukamy dla jakiej wartości kąta wysokość H ma wartość maksymalną.
Dla tej wartości
2 2 2
H v sin2 v v
0 0 0
2sin cos sin 2 0
2g 2g 2g
, bo 2sin cos sin2
sin2 0
2 = 180� = 90�
W rzucie do góry H osiąga wartość maksymalną.
Przykład 3.
Pod jakim kątem należy wystrzelić pocisk z rakiety, aby doleciał jak najdalej?
Dane: v0
Szukane: , z
Rozwiązanie:
całkowity czas ruchu
1
2
tcalk y 0 y v0 sin t g t 0
2
1
t v sin gt 0
0
2
Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego
w ramach programu operacyjnego KAPITAA
LUDZKI
są dwa rozwiązania, to czasy
2v sin
t1 =0 i t2 tcalk 0
g
v0 2 2cos sin v0 2 sin 2
z xmax v0 cos tcalk
g g
1 sposób:
rozważamy dla jakiej wartości kąta zasięg z ma wartość maksymalną. Zasięg z jest
maksymalny dla wartości sin2 = 1, czyli dla kąta 2 = 90�, więc dla = 45�.
2 sposób:
szukamy dla jakiej wartości kąta zasięg z ma wartość maksymalną.
Dla tej wartości
2 2
z v sin 2 v 2 cos2
0 0
0
g g
2 2
z v sin 2 v 2 cos2
0 0
0
g g
cos2 0
2 = 90�
= 45�
Zasięg z jest maksymalny dla wartości = 45�.
Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego
w ramach programu operacyjnego KAPITAA
LUDZKI
Projekt:  Wiedza i kompetencje z fizyki, chemii i informatyki na potrzeby gospodarki - Wiking
Wydział Chemii UJ
MATERIAA
Y DO ZAJ
Ć WYRÓWNAWCZYCH z
fizyki
Rok akademicki 20012/2013
Konspekt 8
RUCH PO OKR
GU
Ruch jednostajny po okręgu to taki ruch, w którym prędkość kątowa w� jest stała. Prędkość
liniowa v ma stałą wartość, jednak jej zmiana kierunku w trakcie ruchu prowadzi do
powstania przyspieszenia dośrodkowego, normalnego skierowanego do środka okręgu o
wartości
2
v
a =�
r
Czas pełnego obiegu okręgu, okres, wynosi
2p�r
T =�
v
Częstotliwość
1
f =� =�
T
Przykład 1.
Probówka włożona do ultrawirówki znajduje się 10 cm od osi obrotu.
a) Oblicz jej prędkość kątową, prędkość liniową, i przyspieszenie normalne, jeżeli rotor
wirówki wykonuje 1000 obrotów na sekundę?
Dane: r,f
Szukane: w�, v, a
Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego
w ramach programu operacyjnego KAPITAA
LUDZKI
Rozwiązanie:
prędkość kątowa
2p�
w� =� =� 2p�f =� 2p� ��1000 � 6000 =� 6��103[�rad �� s-�1 =� s-�1]�
T
prędkość liniowa
-�1
v =� w�r � 6 ��103 ��10��10-�2 =� 6 ��102[�ms ]�
przyspieszenie normalne
v2 2
a =� =� w�2r � (�6 ��103)� ��10��10-�2 � 3,6��106[�ms-�2]�
r
b) Jak duża jest siła odśrodkowa, działająca na cząsteczkę w probówce, jeżeli jej masa
wynosi 100 kDa? W jakim układzie odniesienia tak określamy siłę?
F =� ma =� mw�2r
1Da =� 1,66��10-�27 kg
100 kDa =� 1,66��10-�22 kg
2
F =� mw�2r =�1,66��10-�22 ��(�6��103)� ��10��10-�2 � 6��10-�16[�kg �� s-�2 �� m =� N]�
W układzie nieinercjalnym związanym z wirującą probówką.
Przykład 2.
M
Na obwodzie krążka o promieniu R nawinięta jest linka, a na jej końcu nawinięty
v
ciężarek. Ruch ciężarka jest określony równaniem s = � at2. Proszę wyznaczyć
całkowite przyspieszenie punktu w zależności od czasu.
Dane: R
u
Szukane: a całkowite
s
Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego
w ramach programu operacyjnego KAPITAA
LUDZKI
Rozwiązanie:
Prędkość ciężarka dana jest wzorem
ds
u =� =� at
dt
Prędkość punktu M ma także wartość v = at.
Przyspieszenie styczne i normalne otrzymamy ze wzorów
dv
at =� =� a
dt
2
v2 a2t
an =� =�
R R
Przyspieszenie całkowite punktu M w funkcji czasu wyznaczamy
4
a4t a
2 4
a =� at2 +� an =� a2 +� =� R2 +� a2t
R2 R
Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego
w ramach programu operacyjnego KAPITAA
LUDZKI
Projekt:  Wiedza i kompetencje z fizyki, chemii i informatyki na potrzeby gospodarki - Wiking
Wydział Chemii UJ
MATERIAA
Y DO ZAJ
Ć WYRÓWNAWCZYCH z
fizyki
Rok akademicki 2012/2013
Konspekt 9
PRZYKA
ADY ZASTOSOWANIA II ZASADY DYNAMIKI.
SIA
Y NA RÓWNI POCHYA
EJ (bez tarcia).
Przykład 1.
Na równi pochyłej o kącie nachylenia ą leży klocek. Zaniedbaj tarcie.
a) Jakie kierunki ruchu są interesujące gdy rozważamy ruch na równi?
Rozwiązanie:
Kierunek równoległy i prostopadły do powierzchni równi pochyłej
W kierunku równoległym Fs = mgsiną
i prostopadłym Fn = mgcosą
b) Wskaż siłę, która jest przyczyną ruchu ciała?
Rozwiązanie:
Siła ciężkości, jej składowa równoległa do równi.
c) Znajdz
przyspieszenie z jakim porusza się układ?
Rozwiązanie:
Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego
w ramach programu operacyjnego KAPITAA
LUDZKI
a
Fs=mgsiną
ą
ą
Fg=mg
Fn=mgcosą
ą
Z II zas. dynamiki wypadkowa siła działająca wzdłuż kierunku ruchu jest równa
ma = mg sin ą
a = g sin ą
Przyspieszenie ruchu wzdłuż równi a = g sin ą.
Przykład 2.
Dwa ciała o masach m1 i m2 połączone są nieważką nicią przerzuconą przez bloczek.
Bloczek, którego masę można zaniedbać , jest powieszony na dynamometrze umocowanym
do sufitu.
Zbadaj z jakim przyspieszeniem poruszają się obie masy, jeżeli m1 > m2.
Znajdz
jaką wartość siły wskaże dynamometr.
Dane: m1= 80 kg i m2 = 20 kg
Szukane: a, T
a
T
m2g
T
m1g
Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego
w ramach programu operacyjnego KAPITAA
LUDZKI
Rozwiązanie:
Z II zas. dynamiki wypadkowa siła działająca na ciało o masie m1
i na ciało o masie m2, dają układ równań
m1a = m1g  T
m2a = T - m2g
m1 m2
a g
m1 m2
2m1m2
T g
m1 m2
Ponieważ na bloczek działają dwie siły, więc dynamometr pokaże
2T
4m1m2
P 2T g
m1 m2
T
T
Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego
w ramach programu operacyjnego KAPITAA
LUDZKI
Projekt:  Wiedza i kompetencje z fizyki, chemii i informatyki na potrzeby gospodarki - Wiking
Wydział Chemii UJ
MATERIAA
Y DO ZAJ
Ć WYRÓWNAWCZYCH z
fizyki
Rok akademicki 2012/2013
Konspekt 10
PRZYKA
ADY ZASTOSOWANIA II ZASADY DYNAMIKI.
(z uwzględnieniem tarcia).
Siły tarcia działające między powierzchniami nieruchomymi względem siebie nazywamy
siłami tarcia statycznego.
Siły tarcia działające między powierzchniami poruszającymi się względem siebie nazywamy
siłami tarcia kinetycznego lub dynamicznego.
Stosunek maksymalnej wartości siły tarcia statycznego do wartości siły nacisku (siły
normalnej, jest to siła do podłoża) nazywamy współczynnikiem tarcia statycznego.
Ts
fs
Fn
Stosunek wartości siły tarcia kinetycznego do wartości siły normalnej nazywamy
współczynnikiem tarcia kinetycznego.
Tk
fk
Fn
Współczynniki tarcia są wielkościami bezwymiarowymi.
SIA
Y NA RÓWNI POCHYA
EJ
Przykład 1.
Z jakim przyspieszeniem porusza się ciało zsuwające się z równi pochyłej o kącie nachylenia
45�, jeżeli współczynnik tarcia wynosi 0.4.
Dane: , f
Szukane: a
Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego
w ramach programu operacyjnego KAPITAA
LUDZKI
Rozwiązanie:
a
T
Fs=mgsiną
Fg=mg
Fn=mgcosą
ą
W kierunku równoległym do powierzchni równi pochyłej działają: siła ściągająca Fs =
mgsiną i siła tarcia T
Z II zas. dynamiki wypadkowa siła działająca wzdłuż kierunku ruchu jest równa
ma = mg sin ą - T
Szukamy siły tarcia
T
f T fFn
Fn
Siła nacisku działająca w kierunku prostopadłym Fn = mgcosą
ma = mg sin ą  f mg cosą
a = g (sin ą  f cos ą)
m
a
s2
2 2
a 10 0.4 3 2
2 2
Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego
w ramach programu operacyjnego KAPITAA
LUDZKI
Przyspieszenie ciała w ruchu wzdłuż równi a = 3 2 m/s2.
Przykład 2.
Człowiek ciągnie sanie po poziomej powierzchni ze stałą prędkością. Sanie z ładunkiem mają
łączną masę 75 kg. Współczynnik tarcia kinetycznego fk między płozami a śniegiem wynosi
0.1 a kąt ą = 45�.
Wyznacz wartość siły, z którą człowiek ciągnie sanie.
Dane: m = 75 kg i ą = 45�
Szukane: F
Rozwiązanie:
a
F
F
F
T
Q = mg
Sanie poruszają się ruchem jednostajnym
z I zas. dynamiki wypadkowa siła działająca na ciało w kierunku ruchu jest równa zero
F = T
F cos ą = T = f Fn wyp
F cos ą = f (mg -F ) = f (mg  F sin ą )
F cos ą + fF sin ą = fmg
Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego
w ramach programu operacyjnego KAPITAA
LUDZKI
fmg 0.1 75 10 75
F 96N
cos f sin cos45o� 0.1 sin 45o�
2
1 0.1
2
m
kg
s2 N
F
1
Sanie były ciągnięte z siłą 96 N.
Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego
w ramach programu operacyjnego KAPITAA
LUDZKI
Projekt:  Wiedza i kompetencje z fizyki, chemii i informatyki na potrzeby gospodarki - Wiking
Wydział Chemii UJ
MATERIAA
Y DO ZAJ
Ć WYRÓWNAWCZYCH z
fizyki
Rok akademicki 2012/2013
Konspekt 11
PRACA, ENERGIA, PRZYKA
ADY ZASTOSOWANIA ZASADY ZACHOWANIA
ENERGII.
Praca wykonana przez wypadkową siłę działającą na punkt materialny jest równa zmianie
energii (kinetycznej, potencjalnej położenia, potencjalnej sprężystości) ciała.
Przykład 1.
r�
Skrzynia ślizga się po gładkiej powierzchni i przesuwa o
Ć
d 3m i
r�
Przez cały czas działa na nią siła zewnętrzna
Ć
F 2N i ( 6N) 5

a) Ile wynosi praca siły zewnętrznej nad skrzynią podczas jej przemieszczania?
Dane: F, d
Szukane: W, Ekk
Rozwiązanie:
r� r� r� r�
W F d F d cos (F,d)
r� r�
Ć Ć Ć Ć
Ć
W F d 2 i 6 5
6i i 18 5
i 6
3 i
W N m J
Zewnętrzna siła wykonała pracę ujemną równą 6 J.
Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego
w ramach programu operacyjnego KAPITAA
LUDZKI
b) ile wynosiła energia kinetyczna po przemieszczeniu skrzyni o d, jeżeli na początku była
ona równa 10 J?
Rozwiązanie:
W Ek Ekk Ekp
Ekk W Ekp
Ekk W Ekp 10 ( 6) 4 J
Energia kinetyczna skrzyni zmniejszyła się do wartości 4J, czyli jej ruch został spowolniony.
Przykład 2.
Klocek o ciężarze 4 N ślizga się po gładkim stole z prędkością 2 m/s. Napotyka na swojej
drodze sprężynę, ściska ją i zatrzymuje się.
O ile zostanie ściśnięta sprężyna, jeżeli jej współczynnik sprężystości wynosi 1.6 N/m?
Dane: Q, k
Szukane: x
Rozwiązanie:
Zmiana energii kinetycznej Ek Ekk Ekp W
1
0 mv2 W
2
Energia kinetyczna klocka wynosi
1 1 Q
Ek mv2 v2
2 2 g
Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego
w ramach programu operacyjnego KAPITAA
LUDZKI
Energia ta jest równa pracy klocka do chwili jego zatrzymania się.
Praca siły sprężystej jest równa
1
W k x2
2
gdzie x jest równe ściśnięciu sprężyny w stosunku do jej normalnej długości.
1 Q
Ek W kx2 kx2
2 g
Q
x v
gk
m N m
x s2 m
m N
s s
s2 m
4
x 2 1m
10 1.6
Sprężyna została ściśnięta o 1 m.
Przykład 3.
Pod działaniem siły 25 N na drodze 2 m ciało osiągnęło pęd 10 kg m/s.
Jaka jest masa tego ciała?
Dane: F, s, p
Szukane: m
Rozwiązanie:
Pod działaniem siły została wykonana praca zmiany energii kinetycznej ciała
Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego
w ramach programu operacyjnego KAPITAA
LUDZKI
W Ek
Ekp 0
W F s
1 p2
Ek mv2
2 2m
p2 p2
F s m
2m 2F s
2 2
m m
kg kg
s s
m kg
m
N m
kg m
s2
m 1kg
Ciało miało masę 1 kg.
Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego
w ramach programu operacyjnego KAPITAA
LUDZKI
Projekt:  Wiedza i kompetencje z fizyki, chemii i informatyki na potrzeby gospodarki - Wiking
Wydział Chemii UJ
MATERIAA
Y DO ZAJ
Ć WYRÓWNAWCZYCH z
fizyki
Rok akademicki 2012/2013
Konspekt 12
PRZYKA
ADY ZASTOSOWANIA ZASADY ZACHOWANIA P
DU.
Z II zasady dynamiki Newtona wynika
r�
r� r� r�
p pk pp F t
zmiana pędu jest równa popędowi siły.
Jeżeli układ jest izolowany, tzn. wypadkowa sił zewnętrznych jest równa zero, to całkowity
pęd układu zostaje stały.
r�
P const,
lub
r� r�
pk pp
Przykład 1.
Kij uderza w piłkę o ciężarze 0.16 N, lecącą poziomo z prędkością 27,5 m/s. Po uderzeniu
piłka uzyskuje prędkość 33.7 m/s w kierunku przeciwnym do początkowego. Oblicz popęd
siły przy zderzeniu.
Dane: Q, vp, vk
Szukane: popęd siły
Rozwiązanie:
Zmiana pędu "p
Q
p pk pp mvk mvp vk vp
g
Przyjmując kierunek prędkości początkowej za dodatni można obliczyć popęd siły
p F t
Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego
w ramach programu operacyjnego KAPITAA
LUDZKI
N m
F t N s
m
s
s2
0.16
F t 33.7 27.5 1N s
10
Popęd siły jest przeciwny do kierunku początkowej prędkości (znak -) i równy 1N�s.
Przykład 2.
Kula o masie m1 poruszająca się z szybkością v1 zderza się sprężyście z kulą o masie m2,
która porusza się z szybkością v2 pod kątem ą= 30� w stosunku do toru pierwszej kuli.
a) O jaki kąt odchyli się pierwsza kula po zderzeniu, jeżeli druga kula odchyliła się o kąt
1 2
w stosunku do kierunku ruchu pierwszej kuli przed zderzeniem. Prędkość drugiej kuli po
v� )�
zderzeniu wynosi
u2 u2u
Dane: m1, m2, v1, v2, , u2,
2
Szukane: , u1
1
Rozwiązanie:
u2
v2
2
2
v1
m1 m2
1
u1
x:
m 1v1 m2v2 cos m1u1 cos m2u2 cos
1 2
m2v2 sin m2u2 sin m1u1 sin
2 1
y:
Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego
w ramach programu operacyjnego KAPITAA
LUDZKI
 m1u1 cos m1v1 m2v2 cos m2u2 cos
1 2
m1u1 sin m2v2 sin m2u2 sin
1 2
m2v2 sin m2u2 sin
2
tg
1
m1v1 m2v2 cos m2u2 cos
2
m2v2 sin m2u2 sin
2
arctg
1
m1v1 m2v2 cos m2u2 cos
2
Zderzenie jest sprężyste, jest więc spełniona zasada zachowania energii (kinetycznej).
Ek 0 Ekpocz Ekkon
m1v12 m2v2 2 m1u12 m2u2 2
2 2 2 2
1
u12 m2v12 m2v2 2 m2u2 2
m1
1
u1 m2v12 m2v2 2 m2u2 2
m1
b) O ile zmieni się energia kinetyczna pierwszej kuli?
Szukane: "E1
m1u12 m1v12 m2u2 2 m2v2 2
E1
2 2 2 2
Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego
w ramach programu operacyjnego KAPITAA
LUDZKI