ZADANIE

W przedsiębiorstwie badano staż pracy pracowników. Otrzymano wyniki w latach:

15,18,20,20,20,21,22,22,22,22,23,23,23,24,24,25,28,28 (18 pracowników)

Dokonać analizy otrzymanych wyników.

1) DOMINANTA - miara najczęściej występująca - 22

INTERPRETACJA: Dominanta wynosi 22 lata.

2) MEDIANA - środkowa liczba - (22+22):2=22

(jeśli szereg ma nieparzystą liczbę jednostek - mediana=środkowy pomiar

jeśli szereg ma parzystą liczbę jednostek - mediana=dwie środkowe jednostki dodane do siebie i podzielone na pół)

INTERPRETACJA: 50% pracowników miało staż 22 lata i mniej, a 50% miało staż 22 lata i więcej.

3) ŚREDNIA ARYTMETYCZNA - wszystkie jednostki dodać i podzielić przez ilość jednostek

INTERPRETACJA: Średni staż pracy wynosi 22,22 lata.

4) MIARA DYSPERSJI KLASYCZNA ABSOLUTNA

S²(x) - wariancja NIE PODLEGA INTERPRETACJI!!!

ODCHYLENIE STANDARDOWE S(x) - pierwiastek kwadratowy z wariancji

INTERPRETACJA: Staż pracy odchyla się przeciętnie od średniej arytmetycznej o ±3,07 lat.

x_typ - typowy obszar zmienności

22,22-3,07< x_typ<22,22+3,07

19,15< x_typ<25,29

INTERPRETACJA: Typowy staż pracy pracowników to staż pracy z przedziału od 19,15 do 25,29 lat.

5) MIARA DYSPERSJI KLASYCZNA STOSUNKOWA - współczynnik zmienności

INTERPRETACJA: Odchylenie standardowe stanowi 13,92% wartości średniej i świadczy o niewielkim zróżnicowaniu pracowników pod względem stażu pracy.

6) MIARA ASYMETRII KLASYCZNA STOSUNKOWA

<M<D A<0
=M=D A=0 D<M<
,
>M>D A>0

rozkład o asymetrii lewostronnej rozkład symetryczny rozkład o asymetrii prawostronnej

(większość jednostek osiąga wartości (jednostki skupiają się (większość jednostek osiąga wartości

powyżej wartości przeciętnej) wokół wartości przeciętnej) poniżej wartości przeciętnej)

WSPÓŁCZYNNIKI SĄ UJEMNE WSPÓŁCZ. SĄ RÓWNE 0 WSPÓŁCZ. SĄ DODATNIE

przedział otwarty (może przekroczyć wartości)

przedział zamknięty (nie może przekroczyć wartości)

przedział otwarty (może przekroczyć wartości)

Miary A₁ i A₃ wzajemnie się wykluczają.

Asymetrię zmierzymy za pomocą współczynnika klasyczno-pozycyjnego.

INTERPRETACJA: Rozkład stażu pracy wykazuje b. słabą asymetrię prawostronną, praktycznie jest zbliżony do rozkładu symetrycznego.

ZADANIE

Zbadano rozkład liczby dzieci w rodzinie, uzyskano wyniki:

Liczba dzieci w rodzinie xi	Liczba rodzin ni	xi·ni	nsk
0 1 2 3 4 5	10 22 15 5 5 3	0 22 30 15 20 15	10 32 47 52 57 60	0 22 60 45 80 75	-49,130 -7,546 0,405 10,985 60,835 107,811
∑	60	102	X	282	123,360

Przeprowadzić analizę struktury rodzin wg liczby dzieci wyznaczając miary przeciętne, zróżnicowania, symetrii.

ROZWIĄZANIE: PARAMETRY OPISU STRUKTURY

KLASYCZNE	POZYCYJNE
1. MIARY TENDENCJI CENTRALNEJ
Średnia arytmetyczna INTERPRETACJA: Średnia liczba dzieci w rodzinie wynosiła 1,7 dziecka.	Dominanta D=x(ni=max)=x(22)=1 INTERPRETACJA: najwięcej rodzin miało 1 dziecko. Mediana nie ma 30 w nsk, więc najbliższa wyższa liczba nsk jest 32→xi=1 M=1 M=xn/2=x30=1 INTERPRETACJA: Połowa rodzin posiadała co najwyżej 1 dziecko, a połowa nie najmniej niż 1dziecko. Kwartyl najbliższa wyższa nsk =32=1 Q1.4=xn/4=x60/4=x15=1 INTERPRETACJA: 25% rodzin posiadało co najwyżej 1 dziecko, a pozostałe 75% rodzin co najmniej 1 dziecko. najbliższa wyższa nsk =47 =2 Q=x3n/4=x3∙60/4=x45=2 INTERPRETACJA: 75% rodzin posiadało nie więcej niż 2 dzieci, a pozostałe 25% rodzin co najmniej 2 dzieci.
2. MIARY ZRÓŻNICOWANIA (DYSPERSJI)
Wariancja (nie posiada interpretacji!) odchylenie standardowe (przeciętne odchylenie od średniej arytmetycznej) INTERPRETACJA: Przeciętne odchylenie od średniej liczby dzieci wynosi ±1,35 dzieci. Typowy obszar zmienności 1,7-1,35<xtyp<1,7+1,35 0,35 <xtyp< 3,05 INTERPRETACJA: Typowa liczba dzieci w rodzinie wynosi od 0,35 do 3,05 dzieci.	Odchylenie ćwiartkowe (przeciętne odchylenie od mediany) INTERPRETACJA: W zawężonym obszarze przeciętne odchylenie od mediany wynosi ±0,5 dziecka. Typowy obszar zmienności M-Q<xtyp<M+Q 1-0,5<xtyp<1+0,5 0,5 <xtyp< 1,5 INTERPRETACJA: Typowa liczba dzieci w zawężonym obszarze wynosi od 0,5 do 1,5 dziecka.
WSPÓŁCZYNNIK ZMIENNOŚCI Współczynniki zmienności mierzą udział składnika przypadkowego w składniku systematycznym, tj. jaki % składnika systematycznego stanowi składnik przypadkowy. INTERPRETACJA: Odchylenie standardowe INTERPRETACJA: Odchylenie ćwiartkowe liczby liczby dzieci stanowi 79,41% przeciętnej liczby dzieci stanowi 50% mediany, co świadczy o dość dzieci, co świadczy o znacznym zróżnicowaniu dużym zróżnicowaniu badanych rodzin pod rodzin pod względem liczby dzieci. względem liczby dzieci w zawężonym obszarze zmienności.
3. ASYMETRIA
Klasyczny współczynnik asymetrii Pozycyjny współczynnik asymetrii INTERPRETACJA: W zawężonym obszarze zmienności rozkład liczby dzieci w rodzinie charakteryzuje się skrajna asymetrią prawostronną. współczynnik skośności (klasyczno-pozycyjny) INTERPRETACJA: Otrzymane wartości parametrów informują, że rozkład liczby dzieci w rodzinie charakteryzuje się znaczną asymetrią prawostronną, co oznacza, że w badanej zbiorowości przeważają rodziny o liczbie dzieci poniżej wartości przeciętnej.

ZADANIE

Badano wiek pracowników w pewnej firmie. Wyniki w latach:

34, 24, 45, 34, 56, 34, 28, 39, 34, 24, 25, 29, 40, 42 szereg nieuporządkowany

24, 24, 25, 28, 29, 34, 34, 34, 34, 39, 40, 42, 45, 56 szereg uporządkowany

DOMINANTA: 34

INTERPRETACJA: Najwięcej pracowników miało 34 lat.

MEDIANA: 34

INTERPRETACJA: Połowa pracowników ma wiek co najwyżej 34 lata, a druga połowa nie mnie niż 34 lata.

ŚREDNIA ARYTMETYCZNA

INTERPRETACJA: Przeciętny wiek pracowników wynosi 34,86 lat.

ODCHYLENIE STANDARDOWE

INTERPRETACJA: Wiek poszczególnych pracowników różnił się od średniej arytmetycznej średnio o ±8,71 lat.

LUB: Przeciętne odchylenie od średniej wieku pracowników wynosi ±8,71 lat.

KLASYCZNY WSPÓŁCZYNNIK ZMIENNOŚCI

INTERPRETACJA: Odchylenie standardowe stanowi 24,99% wartości średniej arytmetycznej przeciętnego wieku pracowników.

WSPÓŁCZYNNIK SKOŚNOŚCI

INTERPRETACJA: W badanej zbiorowości przeważają pracownicy o wieku poniżej wartości przeciętnej - rozkład wieku pracowników charakteryzuje się b. słabą asymetrią prawostronną, praktycznie jest zbliżony do rozkładu symetrycznego.

PRZYKŁADOWE INTERPRETACJE

A₂= -0,003

INTERPRETACJA: W zawężonym obszarze zmienności rozkład wydajności pracy charakteryzuje się b. słabą asymetria lewostronną, co oznacza, że większość pracowników posiada wydajność powyżej wartości przeciętnych.

A₃= -0,07

INTERPRETACJA: W całej zbiorowości rozkład wydajności charakteryzuje się b. słabą asymetrią lewostronną, co oznacza, że większość pracowników posiada wydajność powyżej wartości przeciętnych.

ZADANIE

Liczba izb w mieszkaniu xi	Liczba mieszkań ni	xini	nsk	xi^2·ni
1 2 3 4 5 6	20 25 40 25 15 5	20 50 120 100 75 30	50 45 85 110 125 130	20 100 360 400 375 180
∑	130	395	X	1435

D=3 max n_i=40→odpowiada 3 izbom

INTERPRETACJA: Najwięcej mieszkań ma 3 izby mieszkalne.

M-3 130:2=65,5; najbliższa wyższa n_sk=85→odpowiada 3 izbom

INTERPRETACJA: 50% mieszań ma co najwyżej 3 izby, a 50% co najmniej 3 izby.

Q_1.4=2 1/4 z 130= 32,5 najbliższa wyższa n_sk=45→odpowiada 2 izbom

INTERPRETACJA: 25% mieszkań ma co najwyżej 2 izby, a 75% mieszkań ma co najmniej 2 izby.

Q_3.4=4 ¾ z 130= 97,5 najbliższa wyższa n_sk=110→odpowiada 4 izbom

INTERPRETACJA: 75% mieszkań ma co najwyżej 4 izby, a 25% mieszkań ma co najmniej 4 izby.

INTERPRETACJA: Przeciętna liczba izb w mieszkaniu wynosi 3,04 izb.

S(x)=

INTERPRETACJA: Przeciętne odchylenie od średniej liczby izb wynosi ±1,34 izb.

ZADANIE

Liczba dzieci w rodzinie xi	Liczba rodzin ni	x1·ni	nsk	xi^2·ni
0 1 2 3 4 5	20 25 40 25 15 5	0 25 80 75 60 25	20 45 85 110 125 130	0 25 160 225 240 125
∑	130	265	X	775

INTERPRETACJA: Średnia ilość dzieci w rodzinie wynosi 2,04 dziecka.

D=2 największa ilość n_i =40 rodzin→odpowiada 2 dzieci

INTERPRETACJA: Najwięcej rodzin posiadało 2 dzieci.

M=2 130/2=65,5 najbliższa wyższa n_sk=85→odpowiada 2 dzieci

INTERPRETACJA: Połowa rodzin ma nie wyżej niż 2 dzieci, a połowa nie mniej niż 2 dzieci.

Q_1.4=1 ¼ z 130=32,5 najbliższa wyższa n_sk=45→odpowiada 1 dzieci

INTERPRETACJA: 25% rodzin posiada co najwyżej 1 dziecko, a 75% rodzin ma co najmniej 1 dziecko.

Q_3.4=3 ¾ z 130=97,5 najbliższa wyższa n_sk=110→odpowiada 3 dzieci

INTERPRETACJA: 27% rodzin posiada co najwyżej 3 dzieci, a 25% rodzin ma co najmniej 3 dzieci.

S(x)=1,34

INTERPRETACJA: Przeciętne odchylenie od średniej liczby dzieci wynosi ±1,34 dzieci.

INTERPRETACJA: Odchylenie standardowe stanowi 65,69% wartości średniej arytmetycznej liczby dzieci.

INTERPRETACJA: w zawężonym obszarze zmienności przeciętne odchylenie od mediany wynosi ±1 dziecka.

INTERPRETACJA: W zawężonym obszarze zmienności odchylenie ćwiartkowe stanowi 50% mediany, co świadczy o dość dużym zróżnicowaniu badanych rodzin pod względem liczby dzieci.

LUB: Odchylenie ćwiartkowe liczby dzieci w rodzinie stanowi 50% mediany.

A₂=0

INTERPRETACJA: W zawężonym obszarze zmienności rozkład liczby dzieci w rodzinie jest symetryczny.

A₃=0,0299

INTERPRETACJA: Rozkład liczby dzieci w całej zbiorowości wykazuje b. słabą asymetrię prawostronną, co oznacza, że większość rodzin ma liczbę dzieci poniżej przeciętnej.

---