Macierze i uk³ady równañ

Ci¹g ( skoñczony )

Ci¹gi ( podwójne ) =: macierze

a_wk - Element macierzy A

w ª { 1,2, ..... m } - wiersze

k ª { 1,2, ..... n } - kolumny

a₄₃ - Element macierzy A znajduj¹cy siê w 4 wierszu i 3 kolumnie

- Przyk³ad macierzy

macierz kwadratowa - gdy w = k

• DZIA£ANIA NA MACIERZACH

Dodawanie ( warunek równoœci wymiarów )

Macierz zerowa - wszystkie elementy równe 0 ( element metody dodawania )

Transponowanie macierzy ( A^T ) - zamiana wiersz na kolumny

( A + B )^T = A^T + B^T

• MNO¯ENIE PRZEZ LICZBY

• Liczba mno¿ona jest przez wszystkie elementy macierzy

( ? * A )^T = ?^T * A^T

• MNO¯ENIE MACIERZY

• Definicja mno¿enia macierzy

• Mno¿enie macierzy nie jest przemienne

Stopieñ macierzy - iloœæ jedynek po przek¹tnej

• MACIERZE KWADRATOWE

Wyznacznik macierzy

Schemat Sarrusa ( tylko do wyznaczników stopnia trzeciego )

• Algorytm CHIO

• Rozwiniêcie Laplase'a

• Algorytm CHIO

Wyznaczniki w arkuszach kalkulacyjnych

Excel

Berive

• ZASTOSOWANIA

• Odwracanie macierzy

Macierz kwadratowa jest odwracalna wtedy i tylko wtedy gdy jej wyznacznik jest ró¿ny od 0

• Wzór

M_rs - minor ( wyznacznik ) bez r-tego wiersza s-tej kolumny

A - macierz nie jest odwracalna ( det A = 0 )

B - macierz jest odwracalna (
)

• Sprawdzenie wyniku

• RÓWNANIA LINIOWE

2x-y=2 - wykresem jest prosta ( w R² )

2x+y+3z=5 - wykresem jest p³aszczyzna ( w R³ )

- wykresem jest p³aszczyzna w ( R^n-1)

Inny zapis ( macierzowy )

- uk³ad równañ liniowych

- macierz rozszerzona

• Uk³ady Cramera

- postaæ macierzowa

- mam dwie metody

metoda wzorów Cramera

metoda wzorów macierzowych

- kolumnê pierwsz¹ zamieniamy kolumn¹ wyrazów wolnych

- kolumnê drug¹ zamieniamy kolumn¹ wyrazów wolnych

- kolumnê trzeci¹ zamieniamy kolumn¹ wyrazów wolnych

• Metoda macierzy odwrotnych

Eliminacja Gaussa

Operacje elementowe

- zamiana r-tego równania z s-tym

- r-te równanie pomno¿one przez

- r-te równanie pomno¿one przez
dodajemy do s-tego

- macierz rozszerzona
Macierz wystêpuje w postaci normalnej je¿eli:

• pierwszy niezerowy element wiersza jest ?

• je¿eli w kolumnie jest ? to pozosta³e elementy tej kolumny s¹ zerami

• ? przemieszcza siê schodkowo w prawo

• wiersze zerowe s¹ po niezerowych

- macierz jest w postaci normalnej

- postaæ normalna

• Rz¹d macierzy

Liczba niezerowa wierszy w postaci normalnej tych macierzy

w macierzy A istnieje niezerowy minor stopnia K oraz nie istniej¹ niezerowe minory stopnia wy¿szego

Odp: rz¹d macierzy równy 3

Przyk³ad:

- wszystkie macierze 3-go stopnia s¹ zerowe

Odp: rz¹d macierzy = 2 rzB=2

Twierdzenie ( Konecker, Capelli)

Uk³ad równañ A*X=B ma rozwi¹zanie wtedy i tylko wtedy gdy

2000-09-15

Przestrzenie liniowe

- zbiór macierzy K=1 ( kolumnowy )

R³

Macierz kolumnowa - wektor

- C jest kombinacj¹ liniow¹ wektorów a i b

wtedy i tylko wtedy gdy istniej¹ liczby
i
takie, ¿e

- wspó³czynniki kombinacji

Przedstaw wektor
w postaci kombinacji liniowej wektorów

• Przestrzenie z iloczynem skalarnym

- d³ugoœæ ( norma )

- ortogonalnoϾ

Pole równe jest pierwiastkowi z wyznacznika

• Ortogonalizacja bazy metod¹ Gramma - Smidtha

- baza

• Czy to jest baza ?

( najwiêkszy niezerowy minor macierzy )

• Je¿eli rz¹d macierzy jest równy liczbie generatorów to jest to baza, je¿eli rz¹d macierzy jest mniejszy od liczby generatorów to nie jest to baza.

Nowa baza ( ortogonalna )

I wektor
O₁ wybieramy dowolnie spoœród wektorów bazy B. Np.

II wektor O₂ okreœla siê nastêpuj¹co

z warunkiem
( ortogonalny )

---