GRANICE CIĄGÓW

• Granica wlaściwa ciągu

Ciąg a_n jest zbieżny do granicy właściwej
co zapisujemy :

wtedy i tylko twdy gdy :

• Granica niewlaściwa ciągu

Ciąg a_n jest zbieżny do granicy niewłaściwej
co zapisujemy

wtedy i tylko wtedy gdy :

• Twierdzenie o arytmetyce granic ciągów

Jeżeli ciągi a_n i b_n są zbieżne do granic właściwych to :

1. 
   

2. 
   

3. 
   

4. 
   

5. 
   

6. 
   

7. 
   

• Twierdzenie o cigu monotonicznym i zbierznym

Jeżeli ciąg a_n jest nie malejący dla n>n₀ oraz ograniczony z góry , to jest zbieżny do granicy właściwej sup{a_n:n>n₀}

• Granice ciągu z liczbą e

Jeżeli ciąg o wyrazach dodatnich jest zbieżny do granicy niewłaściwej to :

• Twierdzenie o granicach niewłaściwych ciągu

dla	dla
dla	dla
dla	dla
dla	dla

• Wyrażenia nieoznaczone

Nazywamy wyrażeniami nieoznaczonymi . Ich wartości zależą od postaci ciągów je tworzących

• Górna i dolna granica ciągów

Niech S oznacza zbiór punktów skupienia ciągu a_n ( właściwych i niewłaściwych )

1. Granicę dolną ciągu a_n określamy wzorem :

2. Granicę górną ciągu a_n określamy wzorem :

• Punkty skupienia ciągu

1. Liczba rzeczywista a jest właściwym punktem skupienia ciągu , jeżeli istnieje podciąg tego ciągu zbieżny do granicy a

2. Symbol
   jest niewłaściwym punktem skupienia ciągu , jeżeli istnieje podciąg tego ciągu zbieżny do
   

---