Politechnika Świętokrzyska

Wydział Zarządzania i Modelowania Komputerowego

Opracował: dr Jan Lachowski

Przedmioty: Wytrzymałość materiałów, Mechanika techniczna

Ćwiczenie

Stateczność pręta ściskanego

1. Model geometryczny:

Poniższe przykłady dotyczą pręta o wymiarach: przekrój prostokątny o bokach a=2cm , b=3cm, długość L=200cm o zmieniającym się obciążeniu i różnych warunkach brzegowych. Proponowany materiał: stop aluminium o module Younga E=70GPa i liczbie Poissona ν = 0.33 . Główna oś pręta jest skierowana wzdłuż trzeciej osi współrzędnych kartezjańskich (oś 3, oś Z) i każde podstawowe obciążenie jest przyłożone wzdłuż tego kierunku, tzn. pręt spełnia rolę pionowej podpory obciążonej z góry.

2. Wyboczenie pręta i siła krytyczna

W przypadku ściskania osiowego prętów, po przekroczeniu określonej wartości siły ściskającej następuje wygięcie osi pręta. Najmniejsza siła ściskająca, przy której prostoliniowa oś pręta ma równowagę chwiejną nazywa się siłą krytyczną (zależność Eulera):

gdzie: J jest geometrycznym momentem bezwładności pola przekroju pręta, L jest długością pręta, a α jest współczynnikiem zależnym od zamocowania końców pręta. Iloczyn αL nosi nazwę długości zredukowanej.

Dla pręta utwierdzonego na jednym końcu α = 2, a dla obu końców utwierdzonych α = ½ (rys. poniżej).

Każde przekroczenie wartości siły krytycznej przy dowolnie małym impulsie poprzecznym (np. drgania) powoduje wyboczenie pręta.

3. Smukłość pręta

Zamiast siły krytycznej:

można obliczyć naprężenie krytyczne wykorzystując pole przekroju pręta S:

gdzie λ jest wielkością bezwymiarową nazywaną smukłością pręta :

Wzór Eulera możemy stosować w praktyce dla prętów o smukłości większej od 100. Dla prętów o małej smukłości wystąpi zniszczenie przez osiągnięcie granicy plastyczności (materiały plastyczne), osiągnięcie granicy wytrzymałości (materiały kruche) lub wyboczenie niesprężyste.

Zadanie 1

Określić krytyczną siłę ściskającą dla pręta, który ma jeden koniec zamocowany, a drugi jest swobodny. Model numeryczny w modelu Model-1 (obciążenie pręta zadane jest czterema siłami skupionymi na górnej powierzchni pręta, w węzłach narożnych). Rozwiązanie analityczne daje wartośc siły krytycznej:

W modelu numerycznym obciążenie pręta zadane jest czterema siłami skupionymi na górnej powierzchni pręta.

Obliczyć siłę krytyczną ze wzoru analitycznego i z wyników symulacji. Do wyznaczenia momentu utraty stateczności wykorzystać wykres pracy (Result/History Output/External Work) i wykres przemieszczenia węzła w środku pręta (Result/History Output/Displacement U2)

Jakie naprężenie w pręcie powoduje siła krytyczna?

Obliczyć smukłość pręta dla tego wariantu obciążenia.

Zadanie 2

Określić krytyczną siłę ściskającą dla pręta, który ma obydwa końce zamocowane przegubowo. Model numeryczny w modelu Model-2 (pręt obciążony siłami skupionymi) i Model-2a (pręt obciążony na końcu ciśnieniem). Rozwiązanie analityczne daje wartość siły krytycznej:

Obciążenie pręta zadane jest czterema siłami skupionymi (Concentrated force w module Load polecenie Load/Edit) na górnej powierzchni pręta (w węzłach narożnych).

Porównać siłę krytyczną obliczoną ze wzoru analitycznego i z wyników symulacji. Z wyników symulacji wyznaczyć punkt utraty stateczności wykorzystując wykres pracy od czasu i wykres przemieszczenia węzła w środku pręta od czasu.

Zadanie 3

Określić krytyczną siłę ściskającą dla pręta, który ma koniec zamocowany sztywno, a drugi który ma koniec ma zamocowany przegubowo. Rozwiązanie analityczne daje wartość siły krytycznej:

Obciążenie pręta naprężeniem ściskającym (ciśnienie - pressure, w module Load polecenie Load/Edit) na górnej powierzchni pręta.

Obliczyć siłę krytyczną ze wzoru analitycznego i z wyników symulacji. W symulacji wykorzystać maksymalne obciążenie Load/Edit w module Load i wykres energii sprężystej (Result/History Output/Strain energy) w module Visualization). Jakie naprężenie w pręcie powoduje siła krytyczna?

Zadanie 4

Określić krytyczną siłę ściskającą dla pręta, który ma obydwa końce zamocowane (utwierdzone). Długość pręta ta sama, tzn. 2 m, przekrój: 1 cm x 2 cm. Rozwiązanie analityczne dla siły krytycznej:

Obciążenie pręta jest zadane naprężęniem działającum na górnej powierzchni pręta.

Obliczyć siłę krytyczną dla tego pręta ze wzoru analitycznego, uwzględnić zmienione wymiary poprzeczne. Wykonac symulację i obliczyć naprężenie krytyczne wykorzystując wykres pracy i obciążenia (Result/History Output /External Work)

---