POLARYZACJA

• Światło = fala elektromagnetyczna = wzajemnie prostopadłe pola E i H (w swobodnej przestrzeni: oba wektory są prostopadłe do kierunku rozchodzenia się fali = fala poprzeczna).

• Światło naturalne = źródła termiczne = izotropowy^* rozkład poprzecznego pola elektrycznego (i magnetycznego) = światło niespolaryzowane.

POLARYZACJA = „UKIERUNKOWANIE”

„UPORZĄDKOWANIE”

^*Izotropowy: gr. „isos” = równy; „tropos” = zwrot, obrót”

POLARYZACJA - c.d.

• Z równań Maxwella: (fala biegnie w kierunku z!)

+ podobne równanie na

(
i
oznaczają fazy w początku układu a
i
w płaszczyźnie
)

• Po dodaniu
(cofnięcie początku biegu czasu!) w płaszczyźnie
dostajemy:

gdzie:

POLARYZACJA - c.d.²

• Eliminując w powyższych równań czas, otrzymujemy:

Jest to równanie elipsy.

Wektor natężenia pola elektrycznego (magnetycznego również) zakreśla więc w czasie propagacji krzywą, której rzut na płaszczyznę prostopadłą do kierunku propagacji jest elipsą.

POLARYZACJA - c.d.³

Wielkości określające stan polaryzacji światła:

• Kąt przekątnej β: przekątna prostokąta, wyznaczonego przez amplitudy m_x i m_y.

• Kąt azymutu α: kąt między dużą osią elipsy stanu polaryzacji a osią x układu współrzędnych.

• Skrętność: patrząc od strony obserwatora, fala na rysunku jest prawoskrętna (zgodna z ruchem wskazówek zegara).

• Eliptyczność: iloraz małej i dużej osi elipsy.

• Kąt eliptyczności:

POLARYZACJA - c.d.⁴

• Płaszczyzna drgań: (pojęcie odnosi się do polaryzacji liniowej!) płaszczyzna drgań wektora E.

• Płaszczyzna polaryzacji: płaszczyzna drgań wektora H.

ZWIĄZKI MIĘDZY WIELKOŚCIAMI OPISUJĄCYMI STAN POLARYZACJI

METODY POLARYZACJI ŚWIATŁA

Załamanie, odbicie, rozpraszanie, selektywne pochłanianie.

• Selektywne pochłanianie

(polaroidy)

• Załamanie i odbicie

kąt Brewstera

MATEMATYCZNY OPIS STANU POLARYZACJI ŚWIATŁA

1. METODA TRYGONOMETRYCZNA

Korzysta bezpośrednio z równania elipsy, którą zakreśla wektor
:

i zestawu parametrów:

czyli:

• kąta przekątnej
  (zawierającym informacje o stosunku amplitud
  i
  składowych wektora
  );

• przesunięcia (opóźnienia) fazowego
  pomiędzy składowymi wektora
  .

MATEMATYCZNY OPIS STANU POLARYZACJI ŚWIATŁA - c.d.

2. WEKTOR JONESA

• postać uproszczona:

• standardowy wektor Jonesa:

MATEMATYCZNY OPIS STANU POLARYZACJI ŚWIATŁA - c.d.²

3. WEKTOR STOKESA

Dla światła w pełni monochromatycznego i o stałej w czasie amplitudzie:

gdzie:
- natężenie światła zupełnie spolaryzowanego.

MATEMATYCZNY OPIS STANU POLARYZACJI ŚWIATŁA - c.d.³

3b. Wektor Stokesa światła częściowo spolaryzowanego

• Stopień polaryzacji światła:

wtedy:

GEOMETRYCZNY OPIS STANU POLARYZACJI ŚWIATŁA

4. Sfera (kula) Poincaré

MATEMATYCZNY OPIS STANU POLARYZACJI ŚWIATŁA - c.d.⁴

5. PŁASZCZYZNA LICZB ZESPOLONYCH

• Iloraz składowych standartowego wektora Jonesa jest liczbą zespoloną:

MATEMATYCZNY OPIS STANU POLARYZACJI ŚWIATŁA - c.d.⁵

5. PŁASZCZYZNA LICZB ZESPOLONYCH - c.d.

ANIZOTROPIA OPTYCZNA

• Równania Maxwella:

- opisują zachowania pól:
,
,
i
.

• Przypomnijmy równania materiałowe:

• (DYGRESJA) Pojęcie tensora !

⇔

(k, l = x, y, z)

ANIZOTROPIA OPTYCZNA - c.d.

ANIZOTROPIA =„ZALEŻNOŚĆ OD KIERUNKU”

„NIEJEDNORODNOŚĆ”

• Liniowo anizotropowy dielektryk:

- tensor dielektryczny;

Wektory
i
nie są kolinearne.

• Tensor dielektryczny jest symetryczny:

• Uwzględniając symetrię tensora, można znaleźć taki układ współrzędnych, w którym staje się on diagonalny (jest to tzw. układ kanoniczny):

ANIZOTROPIA OPTYCZNA - c.d.²

• Z równań Maxwella możemy otrzymać (dla płaskiej fali świetlnej) następujące zależności:

Prędkość fazowa
(ze względu na anizotropię ośrodka) zależy od orientacji wektora
.

Wnioski:

W ośrodku anizotropowym kierunek promienia
(tzn. wektora Poyntinga
) nie pokrywa się z normalną
do czoła fali. Wektory
,
,
i
leżą we wspólnej płaszczyźnie, prostopadłej do wektora
.

ANIZOTROPIA OPTYCZNA - c.d.³

• W ośrodkach izotropowych definiowaliśmy prędkość fazową jako:

a współczynnik załamania można było wyliczyć ze wzoru:

• Teraz
jest tensorem, więc obowiązuje tylko definicja współczynnika załamania:

a ponadto możemy zdefiniować trzy prędkości fazowe dla fal, których wektor
drga wzdłuż osi
,
i
:
,
i
.

ANIZOTROPIA OPTYCZNA - c.d.³

• Z równań Maxwella możemy otrzymać następujący związek

• W układzie kanonicznym otrzymamy z powyższego wzoru zależności na składowe wektora
:

(plus analogiczne wzory na składowe „y” i „z”). Dodając stronami (pamiętajmy, że wektory
i
są prostopadłe!) i upraszczając, otrzymamy ostatecznie:

Równanie normalnych Fresnela

DWÓJŁOMNOŚĆ

• Równanie Fresnela

można też przepisać w innej postaci:

• W zadanym kierunku
  mogą się przemieszczać DWIE fale o różnych prędkościach
  i
  („f”- fast; „s”- slow), istnieją bowiem dwie wartości
  spełniające równanie Fresnela;

• Dla tych dwóch fal ośrodek ma dwa różne współczynniki załamania
  i
  ;

• Dla każdej fali występuje też inne położenie wektora
  ;

⇒ DWÓJŁOMNOŚĆ

DWÓJŁOMNOŚĆ - c.d.

• Interpretacją równania Fresnela jest tzw. elipsoida normalnych.

Aby ją uzyskać, skorzystamy z faktu, że gęstość energii pola elektrycznego
może być w układzie kanonicznym przedstawiona jako:

Po zastąpieniu składowych wektora
przez składowe
i wprowadzeniu nowych zmiennych:

,
,
,

otrzymamy tzw. elipsoidę normalnych (elipsoidę Cauchy`ego, indykatrysę współczynników załamania):

ELIPSOIDA NORMALNYCH

• Interpretacja elipsoidy normalnych.

Można pokazać, że jeśli dla danego kierunku fali
przetniemy elipsoidę płaszczyzną prostopadłą do tego kierunku, to:

1. Duża i mała półoś elipsy przekroju są równe dwóm współczynnikom załamania, (rozwiązania równania Fresnela) dla dwóch możliwych fal, propagujących się w kierunku
   ;

2. Wektory
   obu tych fal drgają wzdłuż tych osi elipsy, które odpowiadają współczynnikowi załamania dla danej fali.

ELIPSOIDA NORMALNYCH - c.d.

• Zgodnie z umową:

A jeśli tak, to w płaszczyźnie zx można znaleźć dwa takie kierunki
propagacji fali, dla których prostopadłe do nich przekroje są kołowe. Oznacza to, że jeśli fala biegnie w tym kierunku, oba rozwiązania na współczynnik załamania są jednakowe - nie ma dwójłomności!^* Takie kierunki nazywamy osiami binormalnymi. Fala propagująca w tym kierunku ma dowolną orientację wektora
.

^* liniowej, bo mówimy na razie o anizotropii liniowej!

ELIPSOIDA NORMALNYCH - c.d.²

• Kolejna umowa:

jeśli oznaczymy kąt między osiami binormalnymi jako
, to:

• gdy
  ośrodek nazywamy dodatnim;

• gdy
  ośrodek nazywamy ujemnym.

• Gdy dwa spośród głównych współczynników załamania są sobie równe, to elipsoida jest obrotowa. Istnieje tylko jedna oś binormalna a ośrodek taki nazywamy jednoosiowym.

• Ośrodkami dwójłomnymi są w szczególności kryształy:

• dwuosiowe są te, należące do układów krystalograficznych: trójskośnego, jednoskośnego i rombowego;

• jednoosiowe należą do układów: trygonalnego, tetragonalnego, heksagonalnego;

• kryształy układu regularnego nie są dwójłomne.

ELIPSOIDA NORMALNYCH - c.d.³

• W ośrodkach jednoosiowych, płaszczyzna przechodząca przez binormalną i kierunek propagacji fali
nazywana jest płaszczyzną przekroju głównego.

Fala, której wektor
leży w płaszczyźnie przekroju głównego, nazywana jest falą nadzwyczajną (współczynnik załamania
; „e” jak „extraordinary”). Fala, której wektor
leży w płaszczyźnie prostopadłej do przekroju głównego, nazywana jest falą zwyczajną (współczynnik załamania
; „o” jak „ordinary”).

DWÓJŁOMNOŚĆ LINIOWA - PODSUMOWANIE

• Ośrodki jednoosiowe:

• elipsoida normalnych jest obrotowa, a więc dla danego kierunku propagacji jeden ze współczynników jest zawsze taki sam - zwyczajny (
  ) i tylko drugi - nadzwyczajny (
  ) - zależy od kierunku propagacji fali;

• można wyróżnić w ośrodku jeden, szczególny kierunek, zwany osią ośrodka - jeżeli fala propaguje się wzdłuż tej osi, oba współczynniki załamania mają tę samą wartość (i nie ma dwójłomności liniowej).

• Ośrodki dwuosiowe:

• elipsoida ma trzy różne osie, więc obie fale są nadzwyczajne;

• istnieją dwa wyróżnione kierunki, zwane osiami binormalnymi - jeżeli fala propaguje się wzdłuż którejś z tych osi, to znowu oba współczynniki załamania mają tę samą wartość (i znów nie ma liniowej dwójłomności).

PRZEJŚCIE FALI ŚWIETLNEJ PRZEZ OŚRODEK LINIOWO DWÓJŁOMNY

• Ośrodek jednoosiowy:

Obie fale przebywają różne drogi optyczne, więc w szczególności dochodzi między nimi do przesunięcia w fazie.

• Różnica dróg optycznych
obu fal jest równa:

gdzie
jest grubością próbki.

FALE WŁASNE OŚRODKA DWÓJŁOMNEGO

• Fala świetlna padająca na ośrodek dwójłomny rozdziela się na dwie fale, zwane falami własnymi:

Fale te po wyjściu z ośrodka dodają się i tworzą wypadkowy stan polaryzacji, który może być inny niż wejściowy.

PLEOCHROIZM

• W absorbującym ośrodku dwójłomnym (liniowym) również współczynniki pochłaniania obu fal własnych zależą od kierunku propagacji i mają własności dyspersyjne, a ich krzywe dyspersji mogą być różne. Fala padająca na ośrodek zmieni więc na wyjściu swoją barwę, a charakter tej zmiany zależy od kierunku propagacji. Zjawisko to nazywamy ogólnie pleochroizmem.

• W absorbujących ośrodkach jednoosiowych mamy do czynienia z tzw. dichroizmem:

• promień zwyczajny jest pochłaniany niezależnie od kierunku biegu fali ze współczynnikiem tłumienia
  ;

• stała tłumienia promienia nadzwyczajnego zmienia się od pewnej wartości
  dla fali biegnącej wzdłuż osi binormalnej do
  dla fali biegnącej prostopadle do tej osi.

• W ośrodkach absorbujących dwuosiowych zjawisko selektywnego (w zależności od kierunku i stanu polaryzacji) pochłaniania nazywamy trichroizmem.

DWÓJŁOMNOŚĆ ELIPTYCZNA

• W ogólnym przypadku zależność pomiędzy wektorami
i
jest bardziej skomplikowana. W układzie współrzędnych, pokrywającym się z kierunkami głównych osi dielektrycznych (kanonicznym) ma ona postać:

gdzie
- to tzw. tensor skręceń.

• Pierwsza część wzoru opisuje znaną już dwójłomność liniową. Druga część odpowiada za dwójłomność kołową, powodującą skręcenie kąta azymutu stanu polaryzacji światła na wyjściu z ośrodka dwójłomnego kołowo. Zjawisko to zwane jest aktywnością optyczną. Kąt skręcenia azymutu stanu polaryzacji proporcjonalny jest do grubości
ośrodka:

gdzie
jest tzw. zdolnością skręcającą (w przypadku roztworów aktywnych optycznie jest ona proporcjonalna do stężenia medium skręcającego).

DWÓJŁOMNOŚĆ ELIPTYCZNA - c.d.

• W przypadku ośrodków dwójłomnych eliptycznie „czysta” dwójłomność kołowa występuje jedynie w przypadku biegu fali wzdłuż osi binormalnej. Gdy fala świetlna biegnie pod dowolnym kątem do tej osi, fale własne ośrodka są ogólnie falami eliptycznymi. Różnica faz pomiędzy nimi, wprowadzana przez ośrodek eliptycznie dwójłomny, może być w ogólności obliczona jako superpozycja różnic faz ośrodków „czysto” liniowego i „czysto” kołowego:

• Kwarc jest przykładem ośrodka dwójłomnego eliptycznie. Kwarc jest ośrodkiem jednoosiowym, a więc gdy fala świetlna biegnie wzdłuż osi binormalnej, mamy do czynienia z dwójłomnością kołową. „Czysto” liniową dwójłomność kwarc wykazuje dla fali biegnącej pod kątem 56^°10' do binormalnej. Wkład składnika kołowego szybko maleje z kątem do tej osi i można przyjąć, że dla fali biegnącej prostopadle do osi binormalnej, kwarc jest również ośrodkiem liniowym.

DWÓJŁOMNOŚĆ POSTACI

• Ośrodki o dwójłomności naturalnej (to znaczy, istniejącej samoistnie, bez oddziaływania na nie), to różnego rodzaju kryształy. Dwójłomność kryształów wytłumaczyć można jako tzw. dwójłomność postaci - wynika ona z określonej symetrii uporządkowanej budowy wewnętrznej kryształu. Przykładem kryształów dwójłomnych są: kwarc, kalcyt, mika.

• Ciekłe kryształy to ciecze optycznie anizotropowe. Stanowią one fazę przejściową pomiędzy ciałem stałym (o uporządkowanej strukturze) i (nieuporządkowanych) cieczy izotropowych. Charakterystyczną cechą molekuł takich kryształów jest ich wydłużony kształt. Ciekłe kryształy mają kilka faz o różnych strukturach i różnej dwójłomności. Przejścia fazowe można w nich wymuszać np. temperaturą.

DWÓJŁOMNOŚĆ WYMUSZONA

• Istnieją ośrodki, które nie są naturalnie dwójłomne, ale można ich anizotropię wymusić.

• Zjawisko piezooptyczne polega na zmianie (wymuszeniu) dwójłomności ośrodka wywołaną naprężeniami. Zjawisko elastooptyczne zaś to dwójłomność wywołana odkształceniami. Oba te zjawiska nazywane są ogólnie fotosprężystością i często są ze sobą mylone, ponieważ naprężeniom zwykle towarzyszą odkształcenia i vice versa.

• Jeżeli zapiszemy ogólnie elipsoidę współczynników załamania normalnej ośrodka dwójłomnego w postaci:

gdzie:
i

to możemy przedstawić formalnie opis matematyczny obu zjawisk:

- piezooptyczne:

(
to tensor naprężeń a
to tensor piezooptyczny);

- elastooptyczne:

(
to tensor odkształceń a
to tensor elastoooptyczny);

DWÓJŁOMNOŚĆ WYMUSZONA - c.d.

• Efekt elektrooptyczny to ogólnie zjawisko, polegające na wymuszeniu dwójłomności zewnętrznym polem elektrycznym:

- efekt Pockelsa to efekt liniowy:

- efekt Kerra to efekt kwadratowy:

Efekt optoelektryczny nazywamy pierwotnym, jeśli nie występuje odkształcenie ośrodka. Gdy pole elektryczne powoduje takie odkształcenie, to nazywamy go wtórnym lub pozornym.

• Efekt magnetooptyczny to zmiana dwójłomności ośrodka wywołana polem magnetycznym.

• efekt Faradaya jest efektem liniowym - najsilniejszym wtedy, gdy pole magnetyczne jest równoległe do kierunku biegu fali świetlnej, zanikającym dla pola prostopadłego;

• efekt Cottona-Moutona to efekt kwadratowy - najsilniejszy dla prostopadłego kierunku pola magnetycznego, zanikającym wzdłuż tego pola.

ZMIANA STANU POLARYZACJI ŚWIATŁA PRZEZ OŚRODKI DWÓJŁOMNE

1. MACIERZ JONESA

ZMIANA STANU POLARYZACJI ŚWIATŁA PRZEZ OŚRODKI DWÓJŁOMNE - c.d.

2. MACIERZ MÜLLERA-ŚCIERSKIEGO

gdzie:

- współczynniki amplitudowe transmisji obu fal (szybkiej i wolnej);

,
,

,
,
,

,

,

.

ZMIANA STANU POLARYZACJI ŚWIATŁA PRZEZ OŚRODKI DWÓJŁOMNE - c.d.²

3. SFERA POINCARE

OGÓLNE PRAWO MALUSA

• Etienne Louis Malus (1808): natężenie
liniowo spolaryzowanego światła o początkowym natężeniu
i kącie azymutu
po przejściu przez doskonały liniowy polaryzator z azymutem
wynosi:
.

• Uogólnieniem tego prawa dla polaryzatorów eliptycznych i niedoskonałych (
) jest:

gdzie:
,
,

składowe
reprezentują pierwszy wektor własny ośrodka, składowe z indeksem „
” są składowymi unitarnymi (jednostkowymi) wektora Stokesa światła padającego:

zaś oznacza stopień polaryzacji światła padającego.

POLARYSKOP

• Polaryskop to w najprostszej postaci para polaryzatorów, z których jeden (ten od strony obserwatora) nazywany jest analizatorem.

• Doskonały polaryskop liniowy (
):

Skrzyżowany (
):

Równoległy (
):

POLARYSKOP LINIOWY

• Linie charakterystyczne w polaryskopie:

IZOCHROMY - linie o jednakowej różnicy dróg optycznych
.

IZOKLINY (IZOGIRY) - linie o jednakowym kącie azymutu
.

OBSZAR OSOBLIWY - miejsca geometryczne punktów
.

POLARYSKOP KOŁOWY

• Doskonały polaryskop kołowy (
):

Zgodne skrętności (-):

Przeciwne skrętności (+):

SYNTEZA DOWOLNEGO STANU POLARYZACJI ŚWIATŁA

• Aby wytworzyć dowolny stan polaryzacji (całkowitej) ze światła niespolaryzowanego, możemy użyć liniowego polaryzatora i liniowej ćwierćfalówki.

POMIAR RÓŻNICY DRÓG OPTYCZNYCH - KOMPENSATORY

• W przypadku dwójłomności wymuszonej, pomiar różnicy dróg optycznych, wprowadzanej przez ośrodek dwójłomny, pozwala na wyznaczenie wielkości fizycznych, wywołujących tą dwójłomność (naprężeń, odkształceń itd.).

• Do pomiaru różnicy dróg optycznych służą kompensatory:

• bezpośrednie: dodatkowy element dwójłomny wprowadza znaną różnicę dróg optycznych, która „anuluje” efekty spowodowane nieznaną, mierzoną dwójłomnością (kompensatory: Babineta, Soleila, Bravais`go, Bereka, Ehringhausa);

• pośrednie: dodatkowy element dwójłomny „zamienia” efekty, związane z wprowadzaną różnicą faz, na zmianę np. azymutu światła badanego, a tę mierzy się już bezpośrednio (kompensatory: Senarmonta, Szivessy`ego, Brace`a).

OBSERWACJE W KONOSKOPOWEJ WIĄZCE ŚWIATŁA

• Układy polaryskopowe pracowały w wiązce równoległej - ortoskopowej. Można jednak przeprowadzić pomiary (obserwacje) w wiązce konoskopowej (rozbieżnej) - przy wykorzystaniu mikroskopu polaryzacyjnego.

FIGURY KONOSKOPOWE

• Figury konoskopowe kryształu jednoosiowego - izochromy:

FIGURY KONOSKOPOWE - c.d.

• Figury konoskopowe kryształu dwuosiowego - izochromy:

FIGURY KONOSKOPOWE - c.d.²

• Ośrodek jednoosiowy, oś optyczna równoległa do kierunku obserwacji, ośrodek nieaktywny optycznie:

• Ośrodek jednoosiowy, oś optyczna równoległa do kierunku obserwacji, ośrodek aktywny optycznie:

47

Polaryzator P

α_P,ϑ_P

Analizator A

α_A,ϑ_A

Obiekt

badany

α,ϑ

Polaryzator P

α_P,ϑ_P

Obiekt

badany

α,ϑ

Analizator A

α_A,ϑ_A

λ/4

α₁=α_p+45°

λ/4

α₁=α_p±45°

---