Wydział : EAiE	Imię i nazwisko : Paweł Rzadkowski, Jakub Słocki				rok I	Grupa 3			Zespół IV
Pracownia fizyczna I	Temat ćwiczenia : Wahadło fizyczne, wyznaczanie momentu bezwładności							Ćwiczenie nr: 1
Data wykonania:		Data oddania:	Zwrot do poprawy:	Data oddania:			Data zaliczenia:			Ocena:

Cel ćwiczenia.

Celem ćwiczenia jest zapoznanie się z ruchem drgającym wahadła fizycznego, wyznaczanie momentów bezwładności brył sztywnych poprzez pomiar okresu ich drgań.

Wstęp teoretyczny.

Moment bezwładności punktu materialnego o masie m obracającego się wokół osi O w odległości r definiujemy jako:

(1)

Bryłę sztywną można traktować jako ciągły zbiór punktów materialnych o różnych odległościach od osi obrotu. Wobec powyższego moment bezwładności wyraża się następująco:

(2)

Wahadło fizyczne jest to bryła sztywna o masie m zawieszona w punkcie O różnym od środka ciężkości. Wahadło odchylone od pionu o kąt , a następnie puszczone swobodnie będzie wykonywać pod wpływem momentu siły ciężkości drgania zwane ruchem wahadłowym. Moment tej siły dla wychylenia , jest równy mgasin. Ruch ten opisuje II zasada dynamiki dla ruchu obrotowego, zgodnie z którą iloczyn momentu bezwładności I i przyspieszenia kątowego  jest równy działającemu momentowi siły, czyli:

(3)

Siła mgsin jest zawsze skierowana przeciwnie do kierunku wychylenia - stąd znak minus we wzorze.

Jeżeli rozpatrujemy ruch dla małych kątów wychylenia ( mniejsze od 7 stopni) to sinus kąta można zastąpić samym kątem w mierze łukowej, ponieważ sin. Zatem równanie (3) przyjmuje postać:

(4)

Rozwiązaniem tego równania jest ruch harmoniczny prosty:

(5)

_m (amplituda),  (faza) - zależą od warunków początkowych. Okres drgań T związany bezpośrednio z częstością ₀ wynosi:

(6)

I_O jest momentem bezwładności bryły względem osi obrotu przechodzącej przez punkt zawieszenia O. Związek między I_O i I_S (momentem bezwładności względem środka ciężkości) wynika z tw. Steinera:

(7)

Tabele pomiarów.

pręt				pierścień
masa [kg]	dł. l [m]	dł. a [m]		masa [kg]	Rw [m]	RZ [m]	dł. b [m]

il. wahnięć - n	czas - t [s]		il. wahnięć - n	czas - t [s]

podpis: .................................................................................................................

Przyczyny powstania błędów pomiarowych.

Błędy pomiarowe mogły powstać w wyniku:

a) niedoskonałości ludzkich zmysłów (opóźnione lub przedwczesne wystartowanie i zatrzymywanie stopera);

b) potrącenia stolika, na którym stał statyw przez sąsiednią grupę przeprowadzającą ćwiczenie (co mogło spowodować zakłócenie wahań brył);

c) zarówno pręt jak i pierścień nie były jednorodnymi i symetrycznymi bryłami (co zmienia położenie środka ciężkości oraz czyni wzory standardowe na moment bezwładności I_S jedynie przybliżonymi);

Oszacowanie błędów pomiaru czasu.

		pręt			pierścień
Nr pom.	Ilość wahnięć	czas [s]	okres wahnięcia [s]		Nr pom.	Ilość wahnięć	czas [s]	okres wahnięcia [s]
	n	t	T			n	t	T
1	20	26.60	1.330000		1	20	22.05	1.102500
2	20	26.75	1.337500		2	30	33.10	1.103333
3	30	40.16	1.338667		3	20	23.12	1.156000
4	40	53.44	1.336000		4	20	22.87	1.143500
5	20	26.65	1.332500		5	40	44.69	1.117250
6	40	53.91	1.347750		6	20	22.74	1.137000
7	30	40.11	1.337000		7	20	22.90	1.145000
8	70	93.81	1.340143		8	40	44.81	1.120250
9	40	53.60	1.340000		9	30	33.69	1.123000
10	40	53.66	1.341500		10	30	33.84	1.128000
wartość średnia [s]:			1.338106		wartość średnia [s]:			1.127583
całkowity błąd pomiaru [s]:			0.001548		całkowity błąd pomiaru [s]:			0.005629
odchylenie stand. poj. pomiaru [s]:			0.004896		odchylenie stand. poj. pomiaru [s]:			0.017801

Błędy pozostałych mierzonych wielkości są zaznaczone w tabeli pomiarów.

Długość a jest to odległość osi obrotu od środka ciężkości. W przypadku pierścienia długość a określona jest przez R_Z - b.

Obliczenie momentu bezwładności.

1. Na podstawie doświadczenia.

Po przekształceniu wzoru (6) celem obliczenia I₀ mamy:

(8)

Podstawiając do wzoru (8) wartości zmierzone (za T podstawiamy wartość średnią) otrzymujemy:

pręt	pierścień
I0 = 0.0818557 [kg m^2]	I0 = 0.0497898 [kg m^2]

Bezwzględny błąd policzonych wielkości otrzymamy ze wzorów:

(9)

Podstawiając odpowiednie wartości otrzymujemy:

pręt	pierścień
IO= 0.0003734 [kg m^2]	IO = 0.0006141 [kg m^2]

Aby policzyć moment bezwładności względem środka ciężkości wykorzystujemy tw. Steinera (7):

(10)

Podstawiając do wzoru (10) otrzymujemy:

pręt	pierścień
IS = 0.0312626 [kg m^2]	IS = 0.0275638 [kg m^2]

Błąd przeniesiony na wartość I_S wynosi (rachunki analogiczne):

pręt	pierścień
IS = 0.0005296 [kg m^2]	IS = 0.0006916 [kg m^2]

2. Na podstawie przewidywań teoretycznych.

Wzór na moment bezwładności pręta względem środka ciężkości ma postać:

(11)

Natomiast pierścienia:

(12)

Podstawiając do wzorów (11) i (12) otrzymujemy:

pręt	pierścień
IS = 0.0313593 [kg m^2]	IS = 0.0243645 [kg m^2]

Na podstawie prawa przenoszenia błędów błąd wyniku teoretycznego momentu bezwładności wynosi:

a) dla pręta:

(13)

b) dla pierścienia:

(14)

Po podstawieniu wartości liczbowych mamy następujące wartości błędów:

pręt	pierścień
1S = 0.0000958 [kg m^2]	1IS = 0.0002343 [kg m^2]

Zestawienie wyników.

wartości [kg m^2]	pręt	pierścień
teoretyczne IS	0.0314/1/	0.0244/3/
doświadczalne IS	0.0313/6/	0.0276/7/
doświadczalne I0	0.0819/4/	0.0498/7/

W tabeli zamieszczone są wyniki wraz z błędami.

Wartości doświadczalne nie pokrywają się z wartościami teoretycznymi, jednakże różnią się minimalnie w granicach błędów systematycznych.

Sprawozdanie z ćwiczenia laboratoryjnego z fizyki ( pracownia fizyczna I ).

Wykonali: Paweł Rzadkowski, Jakub Słocki.

1

---