2. Równania Maxwella- ujmują w proste zależności ogromną liczbę faktów doświadczalnych dotyczących pól elektrycznych i magnetycznych, ładunków elektrycznych i prądów. Opisują źródłowość i wirowość dwóch pól- elektrycznego E(r) i magnetycznego B(r). Mają postać: , gdzie e0- tzw. Przenikalność dielektryczna próżni. c- prędkość światła w próżni 3*10^8m/s, (ro)-gęstość ładunku (ro)=dQ/dV, j- wektor gęstości natężenia prądu j = (ro)*v, gdzie v- prędkość z jaką poruszają się ładunki w danym punkcie. Związek j z natężeniem prądu i=dQ/dt (tj. ładunkiem przepływającym przez dany przekrój poprzeczny w jednostce czasu) wyraża się wzorem: Rys. Natężenie prądu płynącego przez dany przekrój. W szczególności, gdy j=const na przekroju poprzecznym jakiegoś przewodnika, wówczas Co ilustruje powyżej napisany związek ogólny. Równania Maxwella: I równanie - źródłami pola elektrycznego są ładunki: dodatnie - źródłami dodatnimi, ujemne - źródłami ujemnymi. II - wiry pola elektrycznego występują tam, gdzie jest zmienne w czasie pole magnetyczne. Gdy nie ma zmiennego pola magnetycznego, wówczas pole elektryczne jest bezwirowe (jest wtedy potencjalne). III - pole magnetyczne jest bezźródłowe, tzn. linie sił pola magnetycznego tworzą zamknięte krzywe. IV - wiry pola magnetycznego powstają wokół poruszających się ładunków oraz tam gdzie występuje zmienne pole elektryczne. Równania te należy uzupełnić związkami określającymi siłę oddziaływania pól E i B na materię (naładowaną): F = qE + qv (*wektorowe)B (q-punktowy ładunek próbny, v- prędkość z jaką porusza się ładunek q). Powyższe równania obowiązują w próżni.	8. Zasada Fermata- odbicie i załamanie Światło to właśnie fala elektromagnetyczna. Zakres widzialnego światła obejmuje fale elektromagnetyczne o długościach (w próżni) od ok. 4*10^-7m do ok. 7*10^-7m. dłuższe fale odpowiadają promieniowaniu podczerwonemu, krótsze zaś nadfioletowemu. Optyka geometryczna jest ściśle deterministyczna - dla danych warunków mamy jednoznaczną trajektorię (promień światła). Optyka falowa, odwołująca się do elektrodynamiki, zawiera w sobie, w istocie, brak determinizmu, a ruch światła jest opisany wyłącznie przez wzajemne czasoprzestrzenne korelacje drgającego pola. Ograniczając się do optyki geometrycznej można podać treść deterministycznej reguły jednoznacznie określającej trajektorię światła. Jest to tzw. zasada Fermata albo zasada najkrótszego czasu. Zgodnie z tą zasadą światło wybiera taką trajektorię, dla której czas przelotu jest ekstremalny (zwykle najkrótszy). Prawo odbicia światła. Rozważmy, że światło ma za zadanie przejść między punktami A i B „dotykając” po drodze zwierciadła. Światło rozchodzi się w jednorodnym ośrodku ze stałą prędkością v (c w próżni, w przezroczystym ośrodku dielektrycznym v<=c i v = , - względne przenikalności ośrodka- dielektryczna i magnetyczna). Czas przelotu po takiej drodze wynosi: Z warunku ekstremum dt/dx=0 (x jest zmienną określającą punkt, w którym światło „dotyka” zwierciadła). Z ostatniego równania otrzymujemy co jest równoważne z równością sin*=sin*, skąd znajdujemy prawo odbicia ***. Prawo załamania światła. Mamy dwa przezroczyste ośrodki z różnymi prędkościami rozchodzenia się światła v1 i v2. Czas ruchu dla takiej trajektorii (jak na rys-łamana) wynosi Z warunku ekstremum dt/dx=0 mamy: czyli znaną postać prawa załamania światła: gdzie n1,2=v1/v2 nazywamy współczynnikiem załamania światła ośrodka II względem I. Prawa odbicia i załamania światła pozwalają na rozwiązanie wszystkich sytuacji optycznych związanych ze zwierciadłami, pryzmatami, soczewkami.	9. Główne idee mechaniki kwantowej. Istotą mechaniki jest odejście od determinizmu. Jeżeli układ porusza się deterministycznie, tzn. po jednej, ściśle określonej przy danych warunkach początkowych, trajektorii, to powstaje pytanie, skąd układ „wie”, że to jest ta właściwa trajektoria. Dla każdego deterministycznego zadania można podać taką funkcję od trajektorii (tzn. odpowiedni funkcjonał, czyli funkcję, której argumentem jest trajektoria), że rozwiązanie deterministycznego równania odpowiada ekstremum tego funkcjonału. I tutaj kolejne pytanie, w jaki sposób układ wybiera z nieskończonej liczby trajektorii tę ekstremalną? Odpowiedzią jest, że układ nie wybiera żadnej trajektorii lecz porusza się jednocześnie po wszystkich możliwych, wygaszając jednakże przejawy swojego istnienia na wszystkich trajektoriach oprócz maksymalnej. Trajektoria ekstremalna jest wyróżniana w taki sposób, że rozkładając funkcjonał w szereg Taylora względem trajektorii ekstremalnej otrzymamy pierwszy nieznikający człon kwadratowy. Inaczej jest z rozwinięciem względem każdej innej trajektorii, gdzie człon liniowy pozostaje. Człon liniowy zmienia znak „na lewo” i „na prawo” od danej trajektorii dlatego wkłady od trajektorii z „obu stron” wygaszają się. W przypadku trajektorii ekstremalnej najniższy człon jest kwadratowy i wkłady z obu stron wzmacniają się zamiast wygaszać. Mechanizm dodawania się wkładów od sąsiednich trajektorii można porównać z nakładaniem się na siebie piłozębnych krzywych. Jeżeli doprowadzimy do konieczności wyboru trajektorii ekstremalnej na bardzo krótkiej drodze to wybór jej nie uda się i układ przejawi swoje istnienie na wielu trajektoriach równocześnie. Np. promień światła padający na szczelinę zaznaczy za nią swoje istnienie na nieskończonej liczbie torów (nastąpiła dyfrakcja). Każdy rodzaj materii w określonym stanie ma swoją charakterystyczną długość sinusoidalnych krzywych. Dyfrakcja udaje się dopiero na szczelinach o porównywalnych wymiarach. Nie ma już wtedy deterministycznego ruchu po jednej trajektorii ale ma miejsce ewolucja w czasie istnienia układu w całej przestrzeni równocześnie. Mechanika kwantowa oznacza więc brak trajektorii, weryfikuje to też pojęcie cząstki którą przedstawialiśmy jako punkt materialny-wszystko to jednak trajektoria. W znaczeniu mechaniki kwantowej cząstka to stan który może przejawiać się w całej przestrzeni jednocześnie.
3. Elektrostatyka Gdy (ro) i j nie zależą od czasu oraz dE/dt = dB/dt=0, równania Maxwella separują się na dwie niezależne pary równań. Jedna z nich to dwa równania określające stałe w czasie pole E- opisują one elektrostatykę i mają postać divE=(ro)/epsilon0, rotE=0. 1.Pole elektrostatyczne o symetrii sferycznej Pole elektrostatyczne jest polem źródłowym (divE=(ro)/epsilon0) i potencjalnym (rotE=0). Linie sił muszą zatem wychodzić ze źródeł - ładunków i zachowywać symetrię rozkładu (ro). Dla ładunku punktowego nie może być wyróżniony żaden kierunek, dlatego pole E musi być centralne. W przypadku symetrii sferycznej można łatwo obliczyć strumień E przez sferę o promieniu r. Wtedy (wykorzystano równanie Maxwella i twierdzenie Gaussa). Stąd . We wzorze tym odnajdujemy postać prawa Coulomba, gdyż siła działająca na punktowy ładunek próbny q w polu E jest F=qE i dla pola od punktowego ładunku Q wynosi Dokładnie takie samo pole E otrzymujemy dla naładowanej kuli (sfery, powłoki sferycznej) dla r>R (gdzie R- promień sfery). 2.Jednorodne pole elektryczne Źródłem takiego pola jest jednorodnie naładowana nieograniczona płaszczyzna. Linie sił nie mogąc preferować żadnego kierunku na płaszczyźnie, muszą być ustawione prostopadle do niej. Gdy gęstość powierzchniowa ładunku = const, wówczas zgodnie z rys. mamy: stąd Jednorodne pole można zamknąć między dwiema równoległymi nieograniczonymi płaszczyznami, naładowanymi tą samą gęstością powierzchniową ładunkami o różnych znakach. Każda z płaszczyzn jest źródłem jednorodnego pola o przeciwnym zwrocie. Zatem na zewnątrz płaszczyzn pole znosi się wzajemnie, a między nimi dwukrotnie wzmacnia się wartość jego natężenia. Pole elektrostatyczne nie zależy od odległości od płaszczyzny(bo jest ona nieograniczona), musi więc być jednorodne. 3.Pole elektrostatyczne o symetrii osiowej Źródłem takiego pola jest równomiernie naładowana nieograniczona prosta. Pole ma symetrię osiową, jak na rys. Jeżeli obliczyć strumień pola przez powierzchnię cylindra to mamy: stąd gdzie lambda=dQ/dl=const jest stałą gęstością liniową ładunku.	4. Magnetostatyka 1. Pole magnetyczne od nieskończonego, prostoliniowego przewodnika z prądem Równania magnetostatyki: divB=0, rotB=j/c^2epsilon0 wymagają, aby pole B było bezźródłowe (tj. zamknięte linie sił) i wirowe (centrum wirów tam, gdzie j!=0). Gdy rozważymy prosty przewód liniowy (nieskończony), w którym płynie prąd o natężeniu i, wówczas z przyczyn symetrii wirowe pole B musi mieć konfigurację, jak na rys. Zwrot pola B w stosunku do j określa równanie rotB=j/c^2epsilon0. sprowadza się to do reguły prawoskrętnej: jeżeli wkręcać śrubę prawoskrętną zgodnie z kierunkiem przepływu prądu (dodatniego), to jej ruch obrotowy określi zwrot wirowego pola B. Jeżeli zastosować do obliczenia pola magnetycznego twierdzenie Stockesa, to znajdujemy: a stąd: Cyrkulację obliczymy wzdłuż okręgu, jak na rys. 2.Pole magnetyczne nieskończonej zwojnicy z prądem Z faktu, że j*ds.=0 cyrkulacja pola B dla linii zamkniętej przebiegającej „na zewnątrz” zwojnicy mamy, że B=0. obliczając cyrkulację pola B wzdłuż linii zamkniętej częściowo przebiegającej wewnątrz zwojnicy mamy: (gdzie n- liczba zwojów na jednostkę długości). Stąd B=in/c^2*epsilon0. Wybierając linię wewnątrz zwojnicy w różnych odległościach od osi, można się przekonać, że pole magnetyczne jest jednorodne wewnątrz zwojnicy.	7. Fala elektromagnetyczna w próżni O fali elektromagnetycznej mówimy, gdy w całej przestrzeni nie ma ładunków (nie jest istotne skąd wzięła się wobec tego fala). To redukuje równania Maxwella do postaci: a więc oba pola są bezźródłowe i wirowe, nadto dość podobne (różnią się tylko stałym współczynnikiem). Zachodzi: 1. Zachodzi też: (2) gdzie pierwsza równość wynika z drugiego równania Maxwella, druga wynika z własności rotacji, trzecia wynika z zakładanych warunków analitycznych dla B (przemienność różniczkowania względem wszystkich zmiennych), czwarta z czwartego równania Maxwella. Przyrównując (1) i (2) otrzymuje się trzy równania gdzie i*{x;y;z}. Biorąc E=(0,Ey(x;t),0) równania te redukują się do jednego gdyż Ey zależy tylko od x i t , zaś pozostałe współrzędne wektora E są zerowe. Ostatnie równanie ma rozwiązanie postaci Ey=Acos(kx-ωt), przy warunku ω^2/k^2=c^2. Zachodzi: (3) Zachodzi też (4): gdzie pierwsza równość wynika z czwartego równania Maxwella, druga wynika z własności rotacji, trzecia wynika z zakładanych warunków analitycznych dla E (przemienność różniczkowania względem wszystkich zmiennych), czwarta z drugiego równania Maxwella. Przyrównując (3) i (4) otrzymuje się trzy równania gdzie i*{x;y;z}. Ponieważ E=(0, Acos(kx-ωt), 0) to drugie równanie Maxwella implikuje =[0;0;-ksin(kx-ωt)] co spełnia owe równania. Zatem ostatecznie: co opisuje falę prostą rozchodzącą się wzdłuż osi x.
15. Nierozróżnialność jednakowych cząstek Brak trajektorii w mechanice kwantowej prowadzi do bardzo ważnej konsekwencji, mianowicie do nierozróżnialności jednakowych cząstek. Rozważajmy dwie identyczne i przez to nierozróżnialne kwantowo cząstki. Gdyby zmienić je w danym momencie, wówczas nic nie powinno się zmienić. Mierzalny jest tylko moduł funkcji falowej, tzn. że właśnie |*|^2 nie może ulec zmianie. Sama funkcja falowa może się przy tym zmieniać o czynnik fazowy e^i^*. Zapisując to dokładniej mamy: *(r1,r2)=e^i^**(r2,r1). Gdy jednak ponownie zmienimy cząstki, wówczas *(r1,r2)=e^i^**(r2,r1)=e^2i^**(r1,r2), stąd widać, że e^2i^*=1, czyli e^i^*= +/- 1. Mamy dwie możliwości: funkcja falowa dwóch cząstek zmienia, albo nie zmienia znaku przy zamianie cząstek. Można powiedzieć, że mamy dwa rodzaje jednakowych cząstek- te, których funkcja falowa zmienia znak podczas ich przestawiania (fermiony, np. elektrony, protony, neutrony) i te, których funkcja falowa znaku nie zmienia (bozony, np. fotony, fonony, pary fermionów). Różnica między nimi jest zasadnicza. Fermiony nie mogą znajdować się równocześnie w tym samym miejscu (stanie), tzn. mogą zapełniać stany tylko po jednej cząstce na jeden stan. Bozony nawet wszystkie mogą znaleźć się w jednym stanie. Te własności fermionów i bozonów decydują o kształcie materii. Zaskakujący jest fakt, że w przypadku przestrzeni dwuwymiarowej możliwych rodzajów cząstek jest więcej - nawet nieskończenie wiele. Nie są one ani bozonami, ani fermionami, dlatego nazywa się je anyonami. Dwukrotna zamiana miejscami dwóch cząstek jest równoważna z zatoczeniem pętli przez jedną cząstkę wokół drugiej. Istnieje jednak różnica między taką pętlą na płaszczyźnie a np. w trójwymiarowej przestrzeni. Na płaszczyźnie nie da się jej ściągnąć do punktu, co oznacza, że podwójna zamiana cząstek nie jest operacją tożsamościową. Zatem na płaszczyźnie e^2i^* !=1, a w związku z tym e^i^* może mieć dowolną wartość (zespoloną). Powróćmy do różnic fermionów i bozonów - jest różna zdolność obu typów cząstek do obsadzania pojedynczych stanów kwantowych. Stan podstawowy - najniższy stan dla układu będzie wtedy, gdy bozony będą razem na najniższym swoim możliwym stanie. Dla fermionów zaś obowiązuje zakaz (Pauliego) zajmowania już obsadzonych poziomów.	10. Funkcja falowa i równanie Schrödingera. Funkcją falową (stanu) cząstki nazywana jest funkcja zespoloną *(r, t). Jest ona jednak tylko pomocniczym formalizmem matematycznym, nie da się jej zmierzyć. Natomiast fizyczny sens ma funkcja która określa gęstość prawdopodobieństwo znalezienia cząstki (której dotyczy *) w punkcie r w chwili t . Naturalnie musi też zachodzić Wtedy też dokonywanie pomiarów jakichś wielkości fizycznych interpretuje się jako działanie stosownym (zależnym od mierzonej wielkości) operatorem hermitowskim na funkcję falową. Jeśli w danym stanie wielkość ta jest mierzalna, to w tym stanie działanie takie ma wartości własne rzeczywiste, a więc istnieje taka liczba rzeczywista λ , że operator mierzonej wielkość Â spełni związek Liczba ta jest zaś wynikiem pomiaru. Równanie Schrödingera ma postać gdzie jest ogólnie nie znanym operatorem, o pewnych własnościach. Ponieważ zachodzić musi to operator musi być hermitowski (samosprzężony). Ponieważ równanie musi “zachować się poprawnie” przy przejściu do granicy klasycznej, to operator musi być operatorem energii cząstki. Równanie to jest równaniem różniczkowym pierwszego stopnia względem czasu, gdyż wyższe stopie (tak jak drugi w wypadku równania Newtona) prowadzą do determinizmu, którego jednakże w mechanice kwantowej nie ma.	11. Stany stacjonarne cząstki swobodnej Stanem stacjonarnym nazywany jest stan z określoną i zachowaną energią. Zachodzi wtedy Rozwiązaniem tego równania jest zaś funkcja falowa gdyż rozwiązanie takie powoduje, iż * jest unormowana względem czasu, co było wymagane przy gęstości prawdopodobieństwa. To po uwzględnieniu faktu, iż w mechanice klasycznej zachowanie energii wiązało się z siłami potencjalnymi, a trzeba zachować zgodność przy przejściu granicznym do niej, prowadzi do operatora , gdzie jest operatorem pędu, a jest energią potencjalną (w punkcie) pola siły potencjalnej. Ponieważ cząstka jest swobodna to =0, a co za tym idzie Ponieważ energia w stanie stacjonarnym jest wartością własną działania operatorem energii, a więc Jeśli przyjąć to ostatnia równość zredukuje się do oznaczając będzie E=p^2/2m, a funkcja falowa będzie miała postać (w tym stanie stacjonarnym) Tak dobrana wartość p jest wartością własną działania operatorem pędu . Problematyczne jest jednak dobranie wartości stałej C , nie ma bowiem takiej liczby, by spełniony był rządny związek Rozwiązuje się go ograniczając przestrzeń do pewnej ustalonej skończonej objętości, co jednak stwarza problemy warunków brzegowych, rozwiązywane przez periodyczne powielenie tejże objętości w całej przestrzeni. To jednak powoduje, że pęd staje się dyskretny, zamiast ciągłego.
1. Dywergencja, rotacja, twierdzenie Gaussa i Stockesa. Operator Nabla określony jest jako Stosuje się go jak wektor, co bardzo ułatwia zapis wielu przekształceń. Mając w przestrzeni określone pole skalarne można z niego otrzymać pole wektorowe Jeśli rozważyć pole wektorowe określone w przestrzeni to dywergencją tego pola jest iloczynem skalarny i mówi o źródłowości owego pola, zaś rotacja tego pola jest iloczynem wektorowy i mówi o wirowości pola. Twierdzenie Gaussa ma matematyczną postać i ułatwia obliczenie strumienia pola przez dowolnie napiętą powierzchnię. Twierdzenie Stockesa ma matematyczną postać i ułatwia obliczenie cyrkulacji pola wzdłuż zamkniętej krzywej.	1. Wyprowadzić równanie ciągłości prądu. Równanie ciągłości dotyczy zmiany gęstości ładunku. Ponieważ ładunki nie powstają ani nie znikają samoistnie, więc zmiana gęstości ładunku w danym punkcie musi być spowodowana napłynięciem lub odpłynięciem ładunku z tegoż punktu. Można na podstawie równań Maxwella wyprowadzić równanie opisujące tę zależność. Przy założeniu odpowiednich warunków analitycznych (przemienność różniczkowania względem wszystkich zmiennych) dla zachodzi div rot =0 . Zatem z czwartego równania Maxwella z własności dywergencji zakładając odpowiednie warunki analityczne dla (przemienność różniczkowania względem wszystkich zmiennych) z pierwszego równania Maxwella całkując po małej objętości d V wokół punktu z definicji : z twierdzenia Gaussa	6. Związek natężenia i gęstości prądu. Związek gęstości prądu i jego natężenia I=dq/dt ma następującą postać matematyczną Łatwo go wykazać odnośnie przewodnika, w którym na pewnym przekroju o polu S płynie prąd taki, że =const
12. Stany stacjonarne nieskończonej prostokątnej studni potencjału Stanem stacjonarnym nazywany jest stan z określoną i zachowaną energią. Zachodzi wtedy Rozwiązaniem tego równania (przy upraszczającym założeniu jednowymiarowości) jest zaś funkcja falowa gdyż rozwiązanie takie powoduje, iż Ψjest unormowana względem czasu, co było wymagane przy gęstości prawdopodobieństwa. To po uwzględnieniu faktu, iż w mechanice klasycznej zachowanie energii wiązało się z siłami potencjalnymi, a trzeba zachować zgodność przy przejściu granicznym do niej, prowadzi do operatora gdzie jest operatorem pędu, a jest energią potencjalną (w punkcie) pola siły potencjalnej. Potencjał studni dany jest zależnością co pociąga warunki brzegowe Ψ(0;t)=0, Ψ(a;t)=0 ze względu na otwartość przedziału studni (na zewnątrz tego przedziału oczywiście Ψ(x,t)=0). Zatem w przedziale studni , a co za tym idzie Ponieważ energia w stanie stacjonarnym jest wartością własną działania operatorem energii, a więc Rozwiązaniem (uwzględniającym warunki brzegowe) takiego równania są funkcje postaci gdzie n jest liczbą naturalną dodatnią, stałe Cn można zaś wyznaczyć ze związku co prowadzi do Mając postać funkcji falowej można wyznaczyć energię jako Należy zauważyć, że zgodnie z oczekiwaniami ta funkcja falowa nie jest funkcją własną operatora pędu. Wynika to zaś z faktu, że położenie cząstki jest określone.	14. Warunki spadania na centrum w mechanice kwantowej Hiperboliczna studnia potencjału dana jest wzorem V(r)=-α/r. Cząsteczka “wrzucona” w taka studnię nie może opaść nazbyt nisko, gdyż jej stan byłby zbyt dobrze określony, wbrew zasadzie nieoznaczoności. Czym bowiem głębiej wpada cząstka, tym dokładniej określone jest jej położenie, znajduje się bowiem w przedziale [-r;r]. Upraszczając rozumowanie przez ograniczenie się do jednego wymiaru otrzymujemy rozmycie pędu Naturalnie najmniejszy możliwy pęd nie może być mniejszy niż jego rozmycie. To prowadzi do pędu cząstki w studni rzędu Energia kinetyczna jest określona jako Ek∼p^2/2m, wobec tego musi być rzędu Uwzględniwszy energię potencjalną całkowita energia jest rzędu Różniczkując tę zależność względem r wyznaczyć można minimalną energię całkowitą. Minimum jest osiągane dla i wynosi Cząstka w takiej studni potencjału nie może więc upaść niżej i bardziej obniżyć swej energii. Obliczony promień r0 nazywany jest promieniem Bohra, a energia E0 energią Bohra. Elektron i proton tworzą swym ładunkiem takie właśnie studnie potencjału. Potencjał ich pola elektrycznego wynosi bowiem , a więc dla ustalonych dwóch cząstek α=-Qq/4pi*epsilon0. A więc elektron wpada w studnie potencjału protonu, a proton w studnię elektronu. Tak tworzy się jądro wodoru. Jest to wypadkowy stan, w którym elektron i proton osiągają minimum energetyczne w swych studniach potencjału.	17.Twierdzenie Blocha Twierdzenie Blocha głosi, iż funkcje falowe Ψbędące rozwiązaniem równania Schrödingera przy okresowym potencjale o okresie , mają postać , gdzie jest funkcją okresową o okresie takim, iż także jest jej okresem. Jeśli jest operatorem translacji dyskretnej o wektor , czyli takim, że to (*) jest jego funkcją własną, co łatwo pokazać. z postulowanej okresowości f gdzie jest pewną liczbą, zatem istotnie (*) jest funkcją własną operatora . Operator jest przemienny z operatorem Hamiltona co łatwo pokazać. z postulowanej okresowości V translacja jest przemienna z różniczką Jeśli dwa operatory są przemienne, to ich funkcje własne (niekoniecznie wartości) są identyczne. Skoro więc jest przemienny z , to funkcje własne są też funkcjami własnymi . Zatem w szczególności (*) jest funkcją własną . Dodatkowo dla funkcji falowej określonej jako (*) zachodzi z postulowanej okresowości f co zresztą jest oczywistym wnioskiem z faktu, iż (*) jest funkcją własną operatora .
19.Nadprzewodnictwo Nadciekłość jest efektem polegającym na przepływie cząstek bez oporu. Jeśli dodatkowo cząstki te są naładowane, to przepływ ten jest prądem, a efekt jest nazywany nadprzewodnictwem. Zjawisko oporu (tak tarcia przepływu, jak i oporu elektrycznego) wiąże się ze wzbudzeniami cząstek ciała, przez które następuje przepływ. Takie wzbudzenia (na przykład na skutek zderzeń) zabierają nośnikom część ich energii. Oznaczmy zależność energii od pędu tych zderzeń funkcją . Dla każdego takiego elementarnego zderzenia musi zachodzić zasada zachowania pędu gdzie m to masa poruszającej się cząstki, to jej prędkość przed zderzeniem, to jej prędkość po zderzeniu, a to nabyty pęd cząstki ciała (przez które następuje przepływ) z którą nastąpiło zderzenie. Musi też być spełniona zasada zachowania energii oczywiście zachodzi (gdzie α to kąt między ). Zatem jeśli istnieje taka stała a , że zachodzi , to wybierając układ , p^2/2m=0 i , a więc układ w którym prawa strona ostatniej równości przybiera najmniejszą możliwą wartość otrzymujemy z owej równości 0=-vp+0+ap 0=p(a-v). Jeśli zderzenie nastąpiło (gdyby nie następowało, to mamy do czynienia z nadciekłością), to p>0 . Zatem jeśli rozważana cząstka porusza się z prędkością mniejszą niż a, to równanie to z całą pewnością nie ma rozwiązania (prędkości większych się nie rozważa, gdyż trzeba by wtedy uwzględniać fakt, iż na przykład w istocie p^2/2m>0, co komplikuje rozważania, a dla tych warunków są one prostsze). Zatem jeśli zachodzi , to przepływ przez ciało z prędkością v<a prowadzi przy zderzeniach do sprzeczności z zasadami zachowania pędu i energii (nie da się ich zachować). Wobec tego przy takich prędkościach nie może dochodzić do zderzeń, co z kolei oznacza brak oporu. Zaś brak oporu podczas przepływu to nadciekłość (nadprzewodnictwo). W wielu układach (takich jak klasyczny gaz nie oddziałujących cząstek, gaz nie oddziałujących bozonów lub fermionów) jest jednak ten efekt niemożliwy, gdyż ma w nich taką postać, iż jedyną stałą a spełniającą warunek , co uniemożliwia wybór 0<v<a . Do układów w których efekt nadciekłości (nadprzewodnictwa) może powstać należą gazy oddziałujących bozonów w niskich temperaturach, czy gaz oddziałujących sparowanych fermionów w niskich temperaturach.	16. Sfera Fermiego Układ zmierza w czasie do osiągnięcia minimum energetycznego. W wypadku układu bozonów nie jest to trudne, gdyż mogą wszystkie znajdować się w tym samym stanie, a więc wszystkie mogą mieć minimalną możliwą energię, co też da w rezultacie minimalną możliwą energię układu. Inaczej jest zaś z fermionami. Zakaz Pauliego nie pozwala im na zajmowanie tych samych stanów. Każdy musi być w innym stanie. Przeto też w układzie złożonym z fermionów ma znacznie wyższe minimum energetyczne niż analogiczny układ bozonowy. Tylko jeden fermion może mieć najmniejszą energię, kolejne muszą zajmować wyższe stany energetyczne. Energia cząstki wiąże się z jej pędem następująca zależnością E=p^2/2m. Ponadto zachodzi (tak dla bozonów jak i fermionów) gdzie rozważana objętość to prostopadłościan L1×L2×L3 o objętości V , a n1, n2, n3 to liczby naturalne. Fermiony w stanie o minimalnej energii będą zajmować przestrzeń minimalizując sumaryczny pęd (a więc i sumaryczną energię), co prowadzi do wypełniania przestrzeni (pędów) w formie kuli o środku w początku układu współrzędnych. Kula ta jednak nie będzie idealna, a przybliżona przez dyskretny rozkład możliwych pędów. Objętość takiej kuli to gdzie pF nazywane jest pędem Fermiego i jest maksymalnym pędem przyjmowanym przez fermion w układzie, a więc jest też promieniem sfery Fermiego. Objętość małego prostopadłościanu wyznaczonego przez dyskretne wartości pędu wynosi Zatem możliwych stanów fermionów jest Jeśli fermionów jest N to W wypadku elektronów, u których dodatkowo spin rozróżnia stany wartość ta jest równa Wobec olbrzymich ilości cząstek (rzędu liczby Avogadro) przy stosunkowo nie dużych objętościach daje to olbrzymie minimalne energie układów fermionów. Tak duże energie (szczególnie w metalach) powodują, że tylko niewielka cześć elektronów bierze jakikolwiek udział procesach fizyczno-chemicznych. Te z samego “wierzchu” owej kuli. Dla głębiej położonych fermionów trzeba bowiem zbyt dużych energii, żeby je wyrwać z układu. Sfera Fermiego (w przestrzeni pędów) może ulec odkształceniu. Jeśli na przykład przyłożyć napięcie do metalu, to spowoduje to lekkie przesunięcie i zniekształcenie sfery w tym kierunku, w którym przyłożono napięcie. Są to jednak zmiany niewielki w stosunku do objętości (ilości fermionów) całej sfery.	Temat 1.Twierdzenie Gaussa i Steckesa 2.Równania Maxwella i wyprowadzić równanie ciągłości 3.Elektrostatyka (punkt, płaszczyzna, linia) 4.Magnetostatyka (linia i zwojnica) 5.Natężenie pola i potencjały dla sferycznych rozkładów ładunku izolator-metal 6.Związek natężenia prądu i gęstości natężenia 7.Fala elektromagnetyczna w próżni 8.Zasada Fermata - odbicie i załamanie 9.Główne idee mechaniki kwantowej 10.Równanie Shredingera i operatory położenia i pędu. Zasada nieoznaczoności Heissenberga 11.Stany stacjonarne cząstki swobodnej 12.Stany stacjonarne cząstki w nieskończonej prostokątnej studni potencjału 13.Model atomu wodoru - studnia hiperboliczna 14.Warunki spadania na centrum w mechanice kwantowej 15.Bozony i fermiony (nierozróżnialność jednakowych cząstek) 16.Kwantowanie cząstek swobodnych w pudle - warunki periodyczne (sfera Fermiego) 17.Twierdzenie Blocha 18.Możliwe struktury periodyczne (krystaliczne) na płaszczyźnie 19.Warunki nadciekłości i nadprzewodnictwa 20.Efekt Maisnera

---