5. Tworzenie i przekształcanie schematów blokowych

Jak już wspominano w pierwszym rozdziale, poszczególne elementy (człony) układu automatycznej regulacji przedstawiamy na schematach blokowych graficznie w postaci prostokąta z zaznaczonymi sygnałami wejściowymi i wyjściowymi. Układ regulacji składa się z odpowiednio połączonych między sobą członów. Jednym z ważnych zadań, które zachodzi potrzeba rozwiązywać w trakcie analizy i syntezy UAR polega na określaniu właściwości całego układu lub jego części, na podstawie właściwości członów składowych. Wprowadzenie pojęcia funkcji przejścia G(s) jako sposobu na przedstawianie właściwości członów ułatwia zdecydowanie to zadanie. Poniżej zaprezentowany zostanie sposób tworzenia schematów blokowych, wyznaczania transmitancji podstawowych połączeń członów, zasady określania zastępczej transmitancji dowolnego układu automatyki a także reguły układania schematów blokowych. Każde z tych zagadnień zilustrowane zostanie przykładami.

5.1. Zasady budowy schematów blokowych

Schematy blokowe, nazywane również strukturalnymi, przedstawiają wzajemne powiązania pomiędzy poszczególnymi zespołami analizowanego układu, tzn. podają kierunki przepływu sygnałów oraz związki między sygnałami wejściowymi i wyjściowymi wszystkich zespołów.

Sporządzanie schematów blokowych elementów lub układów automatyki na podstawie ich schematów konstrukcyjnych sprawia zwykle początkowo wiele trudności. Przyczyną tego jest konieczność dokładnego zrozumienia działania rozpatrywanego urządzenia, rozróżnienia wejść i wyjść, a zatem „kolejności” oddziaływania jednych zespołów na drugie, wzięcia pod uwagę natury fizycznej występujących sygnałów itd.

Proste człony reprezentowane są na schematach blokowych przez jeden „blok”- prostokąt, wewnątrz którego wpisuje się transmitancję (rzadziej równanie różniczkowe) lub wrysowuje się charakterystykę danego elementu, najczęściej odpowiedź skokową dla elementów liniowych lub charakterystykę statyczną dla elementów nieliniowych.

Złożone człony mają własne schematy blokowe, w których poszczególne bloki reprezentują z reguły kolejne zespoły (człony podstawowe) wchodzące w skład członu złożonego.

Schematy blokowe układów, zwłaszcza zawierających człony złożone mogą być dosyć rozbudowane. Dla zwiększenia ich czytelności przekształcamy często schematy elementów złożonych do postaci pojedynczego bloku i dopiero wówczas wstawiamy je do schematu całego układu.

Kierunek przepływu sygnałów jest jednoznaczny, ponieważ w każdym układzie występuje co najmniej jeden człon skierowany, tzn. człon o działaniu jednokierunkowym. Członem skierowanym jest np. przedstawiony na rys. 4.21 zespół rozdzielacz-siłownik hydrauliczny, w którym przesunięcie tłoczków rozdzielacza wywoła przesunięcie tłoka siłownika, ale nie jest możliwe działanie odwrotne (przesuwając tłok siłownika nie wywołamy przesunięcia tłoczków rozdzielacza).

5.2. Węzły informacyjne i sumacyjne

Węzły informacyjne (zaczepowe) reprezentują na schematach blokowych urządzenia, które pozwalają pobierać z nich tę samą informację do kilku gałęzi układu. Symbol graficzny podstawowego węzła informacyjnego, w którym pobiera się informację do dwóch gałęzi układu jest przedstawiony na rys. 5.1.

Rys. 5.1. Graficzny symbol węzła informacyjnego

Przykłady urządzeń spełniających rolę węzłów informacyjnych podane są na rys. 5.2. Pierwszy przykład pokazuje zbiornik ciśnieniowy, w którym znajduje się medium o ciśnieniu p, odprowadzane rurociągiem do dalszej części instalacji oraz działające na czujnik przetwornika pomiarowego lub miernika M tego ciśnienia. Jeżeli założymy, że w całym zbiorniku i wychodzących z niego przewodach panuje to samo ciśnienie p, to otrzymamy typowy przypadek węzła informacyjnego, z którego wychodzi tyle gałęzi o sygnałach p, ile jest wyprowadzeń tego ciśnienia ze zbiornika. Drugi przykład pokazuje tłoczysko siłownika hydraulicznego, na którym zainstalowana jest krzywka. Przesunięcie x jest zatem zarówno przesunięciem tłoczyska i związanego z nim końca dźwigni, jak i przesunięciem krzywki.

Rys. 5.2. Przykłady węzłów informacyjnych i ich oznaczenia na schematach blokowych

Węzły sumacyjne reprezentują na schematach blokowych urządzenia, w których zachodzi algebraiczne (z uwzględnieniem znaków) sumowanie sygnałów. Symbole graficzne węzła sumacyjnego, w którym zachodzi sumowanie dwóch lub więcej sygnałów przedstawione są na rys. 5.3.

Rys. 5.3. Przykłady symboli graficznych węzła sumacyjnego

Przykłady urządzeń spełniających rolę węzłów sumacyjnych podane są na rys. 5.4. Przedstawione obok schematy blokowe stanowią graficzne odzwierciedlenie równań opisujących właściwości tych urządzeń.

1. Równanie sił działających na mieszek sprężysty

skąd

(5.1)

gdzie p₁, p₂ - sygnały wejściowe (ciśnienia), y - sygnał wyjściowy (przesunięcie), A - powierzchnia efektywna mieszka sprężystego, c - sztywność mieszka.

Rys. 5.4. Przykłady węzłów sumacyjnych i ich oznaczenia na schematach blokowych

Schematy blokowe a) oraz b) odpowiadają równaniu (5.1) i każdy z nich jest poprawny.

2. Przy niewielkich przemieszczeniach końców dźwigni można napisać, zgodnie z zasadą superpozycji

(5.2)

gdzie x₁, x₂ - sygnały wejściowe (przesunięcia), y - sygnał wyjściowy (przesunięcie),
- składowe przesunięcia y, a, b - ramiona dźwigni.

3. Mechanizm różnicowy opiszemy za pomocą równań prędkości poszczególnych punktów koła różnicowego:

Dodając stronami otrzymamy

(5.3)

gdzie
- sygnały wejściowe (prędkości kątowe),
- sygnał wyjściowy (prędkość kątowa), r - promienie podziałowe wszystkich kół zębatych.

Jeżeli sygnałami wejściowymi i wyjściowymi będą kąty obrotu kół zębatych, otrzymamy

(5.4)

Budowa schematu blokowego pozostanie więc identyczna, jedynie zamiast „ω” należy wszędzie wpisać „α”.

Zmianie kierunku prędkości kątowej (lub kąta) odpowiada zmiana znaku na wejściu węzła sumacyjnego.

5.3. Wyznaczanie transmitancji podstawowych połączeń członów

Analizując strukturę różnych typów liniowych układów automatyki można spotkać bardzo zróżnicowane połączenia tworzących je członów, które jednak dają się zawsze sprowadzić do jednego z trzech zasadniczych rodzajów: połączenia szeregowego, połączenia równoległego lub połączenia ze sprzężeniem zwrotnym. Niżej przedstawione zostaną zależności pozwalające wyznaczyć zastępcze transmitancje operatorowe tych połączeń. Należy podkreślić, że prezentowane postępowanie stanowi analogię wyznaczania zastępczego równania różniczkowego układu i uwypukla wyraźnie zalety metody operatorowej, pozwalającej prostymi środkami algebraicznymi (dodawanie i mnożenie transmitancji składowych) zastąpić rozwiązywanie układu równań różniczkowych, opisujących człony składowe rozważanego UAR.

Połączenie szeregowe (rys. 5.5). Na podstawie definicji transmitancji operatorowej (rozdz. 2) można napisać

(5.5)

Rys. 5.5. Szeregowe połączenie członów

Wynik ten można uogólnić na n członów. Ogólnie, Transmitancja zastępcza G_z(s) szeregowego połączenia członów równa się iloczynowi transmitancji tych członów.

Połączenie równoległe. Równoległym nazywamy takie połączenie członów, w którym do wszystkich członów doprowadzany jest ten sam sygnał wejściowy, a sygnał wyjściowy jest sumą algebraiczną sygnałów wyjściowych wszystkich członów składowych. Rozpatrzymy trzy człony połączone równolegle (rys. 5.6). Napiszemy równanie sumatora z uwzględnieniem znaków (zaznaczonych na rysunku):

a następnie wzór na transmitancję operatorową, wychodząc z definicji i uwzględniając równanie sumatora

(5.6)

Ogólnie, transmitancja zastępcza G_z(s) równoległego połączenia członów jest równa algebraicznej sumie (z uwzględnieniem znaków) transmitancji tych członów.

Rys. 5.6. Równoległe połączenie członów

Jeżeli w dowolnej gałęzi schematu blokowego nie występuje żaden blok o określonej transmitancji, to transmitancja takiej gałęzi równa się 1.

Połączenie ze sprzężeniem zwrotnym.

Niech będzie dany człon o transmitancji G₁(s), do wejścia którego doprowadzamy sygnał z jego wyjścia przez tzw. pętlę sprzężenia zwrotnego z transmitancją G₂(s) (rys. 5.7). Sprzężenie zwrotne może być ujemne (zdecydowana większość) lub dodatnie.

W przypadku ujemnego sprzężenia zwrotnego równanie węzła sumacyjnego jest następujące:

Rys. 5.7. Połączenie ze sprzężeniem zwrotnym

Na podstawie definicji i przedstawionych zależności otrzymamy:

(5.7)

W przypadku dodatniego sprzężenia zwrotnego (znak + na rys. 5.7.) równanie węzła sumacyjnego będzie

w wyniku czego zmieni się znak sumy w mianowniku transmitancji zastępczej

(5.8)

5.4. Zasady przekształcania schematów blokowych

Znajomość powyższych wzorów oraz reguł związanych z przesuwaniem węzłów informacyjnych i sumujących pozwala przekształcić dowolnie złożoną strukturę wyjściową schematu blokowego do postaci dającej możliwość łatwego zapisania transmitancji wypadkowej rozpatrywanego UAR. Reguły związane z przesuwaniem węzłów i inne zasady przekształcania schematów blokowych, mające często zastosowanie w praktyce przedstawione zostały w tablicy 5.1. W tablicy tej podano zamienne układy blokowe, oznaczone jako „pierwotne” i „równoważne”.

Stosowanie przedstawionych zasad przekształcania schematów blokowych UAR zilustrujemy przykładami.

Przykład 5.1. Należy wyznaczyć wypadkową transmitancję G_z układu, którego schemat blokowy przedstawiono na rys. 5.8a.

Rys. 5.8. Schematy blokowe do przykładu 5.1

Rozwiązanie. Najpierw przenosimy węzeł sumacyjny A z wejścia elementu o transmitancji G₅(s) na jego wyjście do położenia A^* (rys. 5.8b), włączając do pętli sprzężenia zwrotnego człon o transmitancji G₅(s). Następnie przenosimy węzeł rozgałęźny (informacyjny) C z wejścia członu G₇(s) na jego wyjście do położenia C^* (rys. 5.8b), włączając człon o transmitancji 1/G₇(s) do obwodu pętli sprzężenia zwrotnego. W ten sposób otrzymujemy schemat (rys. 5.8b), w którym nie ma skrzyżowanych pętli sprzężenia zwrotnego i skrzyżowanych połączeń równoległych. Teraz możemy już wyznaczyć zastępczą transmitancję G₈(s) dla członów G₃(s), G₄(s) i G₅(s) dla których występuje szeregowe i równoległe połączenie.

oraz zastępczą transmitancję G₉(s) dla zespołu członów między węzłem sumacyjnym A^* a węzłem informacyjnym D

Po wprowadzeniu członów o transmitancjach G₈(s) i G₉(s) otrzymujemy schemat blokowy przedstawiony na rys. 5.8c. Teraz zastępujemy zespół elementów G₂(s), G₈(s), G₉(s) objętych sprzężeniem zwrotnym zawierającym w pętli człony o transmitancjach H₂(s) i 1/G₇(s) przez człon o transmitancji

Dochodzimy zatem do schematu ostatniego na rys. 5.8 o transmitancji zastępczej

Po podstawieniu wyznaczonych wcześniej wyrażeń otrzymujemy

Przykład 5.2. Należy znaleźć transmitancję zastępczą G_z(s) układu przedstawionego na rys. 5.9a.

Rozwiązanie. Omówimy kolejne fazy przekształcania schematu blokowego:

1. schemat pierwotny,

2. węzeł sumacyjny B zostaje przeniesiony przed blok o transmitancji G₂(s) i przed węzeł A i otrzymuje oznaczenie B^*; węzeł sumacyjny C zostaje przesunięty do węzła A (połączony z węzłem A) i otrzymuje oznaczenie A^*;

3. zwinęcie połączenia szeregowego G₄(s) i 1/G₂(s), połączenia równoległego w pierwszej części schematu i wewnętrznej pętli sprzężenia zwrotnego w drugiej części schematu,

4. zwinięcie zewnętrznej pętli sprzężenia zwrotnego i uporządkowanie transmitancji obu części schematu.

Na podstawie rys. 5.9d łatwo można wyznaczyć transmitancję zastępczą układu:

Rys. 5.9. Kolejne przekształcenia schematu blokowego z przykładu 5.2.

5.5. Układy złożone regulacji związanej

Coraz częściej spotyka się układy regulacji z większą liczbą wielkości regulowanych oraz sygnałów wejściowych, czyli tzw. układy regulacji wiązanej. Układy te można oznaczyć skrótem UARZ. W układach takich występuje oddziaływanie wzajemne zakłóceń oraz wielkości regulowanych poszczególnych torów (kanałów).

Czasami można rozważać te układy jako wielokrotne układy proste, z zastosowaniem do nich metody superpozycji. W tym przypadku zakłada się, że zmiany jednej wielkości regulowanej nie powodują zmian drugiej. Są to tzw. układy regulacji autonomicznej. Jednak w rzeczywistości układy regulacji związanej rzadko udaje się sprowadzić do układów regulacji autonomicznej. Ponadto niektóre UARZ nie mogą działać jako układy regulacji autonomicznej.

Przy analizie UARZ powstają najczęściej następujące zagadnienia:

1. regulacji autonomicznej,

2. zachowania określonego stosunku pomiędzy wielkościami regulowanymi,

3. regulacji związanej zapewniającej ekstremum wielkości (czy produktu) wyjściowej.

Do tych zagadnień można dodać problem zmniejszenia wpływu zakłóceń na wielkości regulowane.

Ogólnie rzecz biorąc, w UAR regulację można wykonywać nie tylko według odchyłki wielkości regulowanych od zadanych, ale również według zakłóceń. Jeżeli oba zespoły tych czynników są brane pod uwagę w UAR, to taki system nosi nazwę układu regulacji kombinowanej. Jeżeli praca układu ma na celu tylko skompensowanie wpływu zakłóceń, to są to układy inwariantne.

Przykładowo UAR dwuwymiarowy z oddziaływaniem poszczególnych wielkości zadanych tylko przez sumatory przedstawia rys. 5.10. Wymuszenia są oznaczone w₁, w₂ ... , zaś wielkości regulowane y₁, y₂ ... . Uchyby wypadkowe poszczególnych torów ε₁₀ , ε₂₀ , ... zawierają uchyby własne danych torów ε₁ , ε₂ , ... oraz dodatkowe odchylenia r₁₂ε₁ , r₂₁ε₁ , ..., spowodowane oddziaływanie torów pozostałych, gdzie r₁₂, r₂₁, ... - współczynniki sprzężeń pomiędzy poszczególnymi torami .

Inny przypadek przedstawia rys. 5.11. W tym przypadku występuje oddziaływanie wielkości regulowanych na sygnały sterujące regulatorów poprzez sumatory. Transmitancje własne są oznaczone G_ii, zaś sprzęgające G_ik, przy czym
. Sprzężenia zwrotne własne są oznaczone symbolami H_ii.

Przypadek najbardziej ogólny przedstawiony jest na rys. 5.12, gdzie wielkości zadane i regulowane przedstawiane są w postaci wektorów W(s) oraz Y(s), przy czym:

oraz (5.8)

Równania układu regulacji mogą być podane w następującej postaci

(5.9)

gdzie współczynniki a_ij w przypadku ogólnym są wyrażeniami operatorowymi.

Wtedy transmitancja układu wyrazi się wzorem:

(5.10)

przy czym

(5.11)

gdzie macierz układu:

Rozważmy teraz sam wielowymiarowy obiekt regulacji (rys. 5.13) znajdujący się pod działaniem n sygnałów wejściowych i mający j sygnałów na wyjściu. Sygnały przechodzące przez obiekt mogą na siebie oddziaływać za pośrednictwem sprzężeń skrośnych. Oznaczymy transmitancje dla poszczególnych dróg przechodzenia sygnałów odpowiednio według rys. 5.13 przez G₁₁, G₁₂, ..., G_jn. Poszczególne sygnały wyjściowe możemy wtedy określić z równań (5.12) będących naturalnym uogólnieniem analogicznych równań dla układów regulacji prostej:

(5.12)

lub w bardziej zwartym zapisie:

(5.13)

Każda z funkcji G_νk przedstawia sobą transmitancję, która pomnożona przez sygnał zadany x_k daje odpowiednią składową sygnału wyjściowego y_ν.

Rys. 5.13. Obiekt regulacji o n sygnałach wejściowych i j sygnałach wyjściowych

W dalszym ciągu ograniczymy się do układów, w których liczba sygnałów wejściowych jest równa liczbie sygnałów na wyjściu. Dla tych układów możemy w pełni wykorzystać zapis i rachunek macierzowy. Dla układu przedstawionego blokowo na rys. 5.14 możemy zapisać następujące równanie macierzowe:

(5.14)

lub krótko

(5.15)

Rys. 5.14. Obiekt regulacji o równej liczbie sygnałów wejściowych i wyjściowych

przy czym wyrażenia we wzorze (5.15) są macierzami. Mnożąc zależność (5.15) prawostronnie przez macierz X^-1 otrzymujemy ostatecznie wzór na transmitancję obiektu regulacji ze sprzężeniami skrośnymi:

(5.16)

Rozpatrzymy łączenie równoległe bloków o transmitancjach macierzowych G i K. Jest więc:

(5.17)

Znaczenie powyższych oznaczeń dla macierzy prostokątnych G i K o wymiarach
zostało wyjaśnione na rys. 5.15a. W węźle sumacyjnym muszą być dodawane składowe wektorów o jednakowym wymiarze.

Rys. 5.15. Równoległe łączenie członów: a) schemat blokowy z wpisanymi transmitancjami macierzowymi; b) zwarta wersja schematu blokowego

W przypadku łączenia szeregowego bloków o transmitancjach G i K można napisać:

(5.18)

Powyższe zależności dla przypadku macierzy K o wymiarach
oraz G o wymiarach

wyjaśniono bardziej szczegółowo na rys. 5.16a i zwięźlej na rys. 5.16b. Zauważmy, że transmitancja zastępcza (rys. 5.16c) jest równa GK (a nie KG - brak przemienności mnożenia macierzy). Dodamy jeszcze, że szeregowo mogą być połączone tylko takie bloki, których wyjścia odpowiadają strukturalnie wejściom następnych bloków (rys. 5.16a).

Rys. 5.16. Szeregowe (kaskadowe) łączenie członów dynamicznych: a) schemat z wpisanymi transmitancjami macierzowymi; b) schemat blokowy w postaci zwartej

Trzecią podstawową konfiguracją bloków jest układ ze sprzężeniem zwrotnym, dla którego równania mogą mieć, na przykład, następującą postać

(5.19)

Dla ilustracji rozpatrzymy wielowymiarowy układ z ujemnym sprzężeniem zwrotnym (rys. 5.17a), a więc taki w którym
. Przekształcając zależności (5.19) otrzymamy

(5.20)

oraz

i ostatecznie

(5.21)

Zwięzłe postacie schematów blokowych układu ze sprzężeniem zwrotnym przedstawia rys.5.17b, c. Przez I oznaczono macierz jednostkową.

Rys. 5.17. Łączenie członów dynamicznych w układzie ze sprzężeniem zwrotnym:

1. schemat z wpisanymi transmitancjami macierzowymi; b) schemat blokowy poka-

zujący pętlę sprzężenia zwrotnego; c) schemat blokowy w postaci zwartej

5.6. Zasady układania schematów blokowych. Wyznaczanie i wstępna analiza transmitancji układów

Postępowanie przedstawione w niniejszym punkcie stanowi wprowadzenie do projektowania układów lub urządzeń automatyki. Główny akcent położono na układanie schematów blokowych, gdyż po opracowaniu ogólnej koncepcji układu lub urządzenia (schematu ideowo-konstrukcyjnego) jest to następny i przysparzający często sporo trudności etap projektowania. Proces przechodzenia od projektu ogólnej koncepcji do schematu blokowego UAR zaprezentujemy na przykładach.

Przykład 5.3. Kopiał hydrauliczny.

Uproszczony schemat konstrukcji kopiału przedstawiono na rys. 5.18.

Rys. 5.18. Uproszczony schemat konstrukcyjny kopiału hydraulicznego

Traktując jako sygnał wejściowy położenie x rolki czujnika, a jako sygnał wyjściowy położenie y narzędzia, otrzymamy schemat blokowy kopiału podany na rys. 5.19. Rolę węzła sumacyjnego spełnia w tym przypadku dźwignia o ramionach c , d ; odpowiadający jej fragment schematu blokowego został zbudowany zgodnie z założeniami przyjętymi w punkcie 5.2.

Rys. 5.19. Schemat blokowy kopiału

Transmitancja układu, na podstawie rys. 5.19 będzie

a po przekształceniu

(5.22)

gdzie

Z wyznaczonej transmitancji wynika, że kopiał będzie posiadać właściwości członu inercyjnego pierwszego rzędu o stałej czasowej T₁. Przesunięcia x i y będą w stanie ustalonym równe, tzn. x₀ = y₀ . Wówczas spełniony jest warunek ac = bd (k = 1). Wynika to z definicji charakterystyki statycznej układu:

(5.23)

Znając posuw stołu obrabiarki i kształt wzorca można obliczyć prędkość zmiany sygnału wejściowego x(t) , a następnie odpowiedź y(t) na wymuszenie w postaci takiego sygnału. Przyjmując założenie upraszczające, że jest to sygnał liniowo narastający (skok prędkości) x(t) = wt , otrzymamy korzystając z tablic przekształceń Laplace'a

(5.24)

Wykresy x(t) oraz y(t) przedstawione są na rys 5.20. Odpowiedź y(t) najłatwiej jest narysować jako sumę dwóch składowych: prostej kwt oraz krzywej wykładniczej członu inercyjnego pierwszego rzędu -kwT₁ (1 - e^-t/T₁).

Rys. 5.20. Odpowiedź y(t) na wymuszenie x(t) liniowo narastające dla k < 1. W przypadku k =1 proste x(t) oraz kwt pokrywają się

Równanie (5.24) oraz wykres podany na rys. 5.20 pozwalają ocenić wartość błędu dynamicznego położenia narzędzia w stosunku do położenia rolki czujnika i ewentualnie skorygować posuw stołu tak, aby błąd ten mieścił się w żądanych granicach. Jeżeli występujące w zarysie krzywki odcinki zbliżone do prostoliniowych mają taką długość, że czas trwania odpowiadającego im wymuszenia liniowo narastającego przekracza 3T₁, to dla t ≥ 3T₁ błąd ma praktycznie stałą wartość równą kwT₁ (dokładniej: nie różni się od kwT₁ więcej niż 5%).

Jednym ze sposobów zmniejszenia wartości tego błędu jest wprowadzenie do regulatora tzw. elastycznego sprzężenia zwrotnego, zawierającego człon różniczkujący rzeczywisty o stałej czasowej T_r . W stosunku do rys. 5.18 zmienia się wówczas tylko górna część konstrukcji, którą w nowej wersji przedstawia rys. 5.21. Cylinder rozdzielacza jest obecnie ruchomy w stanach nieustalonych, a otwarcie okien rozdzielacza zależy od sumy przesunięć u + r . Charakterystyka statyczna pozostaje taka sama jak poprzednio (5.23), gdyż w stanie ustalonym r = 0, a więc wprowadzone sprzężenie zwrotne nie ma wpływu na warunki równowagi statycznej.

Rys. 5.21. Schemat konstrukcyjny zmodyfikowanego kopiału hydraulicznego

Rys. 5.22. Schemat blokowy kopiału z elastycznym sprzężeniem zwrotnym

Schemat blokowy kopiału zmienionego według rys. 5.21 przedstawiony jest na rys. 5.22

Odpowiadająca mu transmitancja ma postać:

(5.25)

gdzie k, T₁ - określa wzór (5.22).

Jeżeli za optymalny przebieg przejściowy uznamy przebieg aperiodyczny krytyczny (tzn. najszybszy przebieg nie mający jeszcze charakteru oscylacyjnego), to wyróżnik równania charakterystycznego

(5.26)

musi być równy zero. Otrzymamy więc

,

(5.27)

Równanie (5.27) stanowi podstawę wyznaczenia optymalnych parametrów sprzężenia zwrotnego (m, T_r), przy założeniu, że pozostałe parametry kopiału są dane. Przykładowo, chcąc określić optymalne przełożenie dźwigni f /e , wyznaczamy m_opt z przekształconego równania (5.27)

skąd

Wybieramy

Dla m = m_opt równanie (5.26) ma pierwiastek podwójny, rzeczywisty i ujemny

Odpowiedź układu na wymuszenie liniowo narastające będzie teraz mogła być wyznaczona w następujący sposób:

Oryginał pierwszego składnika powyższego wyrażenia odczytać można bezpośrednio z tablicy przekształceń Laplace'a, drugi składnik trzeba rozłożyć na ułamki proste. Po uporządkowaniu otrzymamy wynik

(5.28)

Porównanie odpowiedzi (5.24) i (5.28) umożliwia ocenę wpływu elastycznego sprzężenia zwrotnego na dokładność kopiowania. W rozwiązaniu pierwszym maksymalna (ustalona) wartość błędu przy wymuszeniu liniowo narastającym była równa

.

W rozwiązaniu zmodyfikowanym otrzymujemy

.

Dla każdego T_r spełniającego warunek

mamy

.

W szczególności dla

(5.29)

otrzymujemy

,

a przebieg y(t) określony jest wówczas równaniem

(5.30)

z którego wynika, że odpowiedź po czasie t >= 6T₁ różni się mniej niż 5% (a po t >= 8T₁ mniej niż 2%) od idealnego przebiegu kwt .

Podstawiając (5.29) do wyrażenia na m_opt otrzymamy

co przy danych wartościach a, b, c, d pozwala wyznaczyć (f /e)_opt.

Z przeprowadzonych rozważań wynika, że uwzględnienie wymagań stawianych układom automatyki wnosi do projektowania wiele nowych członów i wpływa - obok „tradycyjnych” wymagań statycznych i wytrzymałościowych - na określenie parametrów konstrukcyjnych projektowanego urządzenia.

Przykład 5. 4. Układ regulacji poziomu cieczy w zbiorniku

Schemat układu regulacji poziomu cieczy w zbiorniku przedstawiony jest na rys. 5. 23.

Rys. 5.23. Schemat układu regulacji poziomu cieczy w zbiorniku (z regulatorem hydraulicznym)

Sygnałem wejściowym są odchyłki poboru cieczy Q₂, sygnałem wyjściowym są odchyłki poziomu h. Przyjmijmy następujące założenia upraszczające:

• pobór cieczy ze zbiornika Q₂ zależy tylko od nastawienia pompy P ;

• położenie środka pływaka odpowiada w każdej chwili ściśle położeniu lustra cieczy;

• równaniem zaworu Z jest Q₁= -k₁α ; znak „ - ” oznacza, że dodatnim (zgodnie z rysunkiem) przyrostom przesunięcia α odpowiadają ujemne przyrosty natężenia przepływu Q₁.

W układzie zastosowano regulator hydrauliczny z tzw. sztywnym sprzężeniem zwrotnym, zrealizowanym za pomocą dźwigni o ramionach a, b. Rozdzielacz spełnia tu rolę węzła sumacyjnego, ponieważ zarówno jego suwak jak i tuleja są przesuwne; otwarcie okna rozdzielacza, będące właściwym sygnałem wejściowym dla zespołu rozdzielacz-siłownik, jest różnicą przesunięć suwaka i tulei.

Rys. 5.24. Schemat blokowy układu z rys. 5.23

Schemat blokowy układu przedstawiony jest na rys. 5.24. Fragment schematu reprezentujący obiekt regulacji zbudowano według równania obiektu

Jako zastępczy sygnał wejściowy obiektu traktujemy różnicę natężeń przepływu (Q₁ - Q₂). Sygnał ten otrzymujemy na wejściu węzła sumacyjnego. Transmitancję obiektu można teraz zdefiniować w następujący sposób:

Istnieje również drugi sposób sporządzania schematu blokowego obiektu regulacji. Korzystając z zasady superpozycji możemy oddzielnie wyznaczyć składową h₁ odchyłki poziomu, wywołaną zmianą natężenia przepływu Q₁, oraz składową h₂, wywołaną zmianą natężenia przepływu Q₂, a następnie dodać te składowe w węźle sumacyjnym, otrzymując na wyjściu h. Odpowiednie transmitancje będą równe:

a schemat blokowy obiektu należy wówczas narysować zgodnie z rys. 5.25. Pozostała część schematu blokowego układu jest identyczna jak na rys. 5.24, a transmitancja układu jest w obu przypadkach taka sama. Transmitancję tą wyznaczamy zwijając najpierw pętlę wewnętrznego sprzężenia zwrotnego

a następnie pętlę głównego sprzężenia zwrotnego

Rys. 5.25. Drugi wariant przedstawienia schematu lokowego obiektu regulacji

Charakterystyka statyczna układu będzie na podstawie wyznaczonej transmitancji, następująca

Wykres tej charakterystyki przedstawiony jest na rys. 5.26. Zaznaczone są na nim również współrzędne wartości absolutnych. Odchylenia poziomu od wartości nominalnej h_n występujące przy odchyleniach poboru cieczy od wartości nominalnej Q_2n zależą od współczynnika nachylenia charakterystyki statycznej, a zatem od stosunku b/a ramion dźwigni oraz od odwrotności współczynnika k₁ charakterystyki zaworu Z.

Rys. 5.26. charakterystyka statyczna układu przedstawionego na rys. 5.23

Odchylenia wielkości regulowanej w stanach ustalonych można zmniejszyć lub nawet całkowicie usunąć zmieniając typ regulatora. Zamiast sztywnego sprzężenia zwrotnego, pokazanego na rys. 5.23, w regulatorach hydraulicznych stosuje się częściej elastyczne sprzężenie zwrotne (opisane w przykładzie 5.3) lub proporcjonalno-elastyczne, typową realizację którego wraz z dwoma wariantami schematu blokowego zaprezentowano na rys. 5.27.

Pierwszy schemat (rys. 5.27b) powstał w wyniku zastosowania zasady superpozycji: y₁ jest składową pochodzącą od wymuszenia x przy nieruchomym górnym końcu sprężyny (działanie różniczkujące rzeczywiste analizowane w punkcie 4.5), natomiast y₂ jest składową pochodzącą od wymuszenia ε przy nieruchomym cylindrze tłumika (działanie inercyjne o transmitancji
).

Drugi schemat (rys. 5.27c) jest wynikiem innego rozumowania: jako efektywny sygnał wejściowy na element różniczkujący rzeczywisty potraktowano różnicę przesunięć ­x-ε, a następnie dodano przesunięcie ε punktu zamocowania sprężyny, aby otrzymać wynik we właściwym, nieruchomym układzie odniesienia.

Zwinięcie obydwu schematów blokowych prowadzi do wyznaczenia takiej samej transmitancji analizowanego zespołu. Na przykład na podstawie rys. 5.27b otrzymamy

Rys. 5.27. Zespół proporcjonalno-elastycznego sprzężenia zwrotnego: a) schemat konstrukcyjny, b,c) schematy blokowe

Po uporządkowaniu widać wyraźnie składową działania proporcjonalnego i składową działania różniczkującego, co uzasadnia nazwę zespołu:

Michał Chłędowski WYKŁADY Z AUTOMATYKI dla mechaników 120

121 5. Tworzenie i przekształcanie schematów blokowych

---