Metoda hybrydowa w oparciu o metodę Newtona i metodę połowienia przedziału.

Politechnika Gdańska

Wydział Fizyki Technicznej i Matematyki Stosowanej

1. Wstęp teoretyczny.

Metoda Newtona zwana tez metodą Newtona-Robsona lub metodą stycznych stosowana jest do obliczania przybliżonych wartości pierwiastków równań takich jak np. f(x0=0, gdzie f(x) to dowolna funkcja zmiennej x.

Chcąc stosować metodę N-R muszą być spełnione następujące warunki:

• funkcja f(x) jest klasy C² na przedziale <a,b>

• funkcja f(x) ma na końcach przedziałów różne znaki tzn. f(a)*f(b)<0

• f'(x) i f''(x) mają stały znak w przedziale <a,b>

Rozpoczynając przybliżanie pierwiastka (α) sprawdzamy na początku w którym końcu przedziału funkcja f(x) ma ten sam znak co f''(x) i z tego koca prowadzimy styczną do wykresu funkcji. Punkt x₁ w którym styczna przetnie oś OX nazywamy pierwszym przybliżeniem pierwiastka równania f(x)=0. Jeżeli otrzymane przybliżenie jest za mało dokładne to z punktu P o współrzędnych (x₁,f(x₁)) prowadzimy kolejną styczną otrzymując następnie przybliżenie x₂, następnie postępujemy podobnie.

Rys1. Interpretacja geometryczna metody N-R

Równanie stycznej do krzywej mamy w postaci

1. y-f(b)=f'(b)(x-b)

2. gdy y=0 mamy: 0-f(b)=f'(b)(x-b)

3. x=x₁=b-(f(b)/f'(b))

Postępując podobnie otrzymamy:

4. x₂=x₁-(f(x1)/f'(x₁))

Wzór iteracyjny na przybliżenie pierwiastka:

5. x_n+1=x_n-(f(x_n)/f'(x_n))

Metoda N-R ma o wiele krótszy czas działania niż np. metoda podziału (bisekcji), jednakże ma ona też wady, jest bardzo wrażliwa na kształt wykresu funkcji i punktu startowego.

Punkt startowy- punkt na wykresie o wartości f(c) przy czym c należy do <a,b>

Rys2. Przykład gdy metoda N-R zawodzi (interpretacja geometryczna)

Aby ominąć ograniczenie można stosować tzw. metodę hybrydową tzn. obliczając kolejne przybliżenia sprawdzamy czy x1 zawiera się w przedziale <a,b> czy li w przedziale gdzie znajduje się pierwiastek: a<=c-(f(c)/f'(c))<=b, jeżeli x1 nie należy do tego przedziały należy wybrać dłuższą aczkolwiek pewniejszą metodę bisekcji.

2. Przykładowe obliczenia

Weźmy funkcję f(x)=x⁴-4x³-5x²-4x+4; (6)

na przedziale <1,10>

Obliczmy pochodne (6)

• f'(x)=4x³-12x²-10x-4 (7a)

• f''(x)=12x²-24x-10 (7b)

Funkcja jest klasy C2 na przedziale <-2,2> , przy czym:

f(-2)=40

f(1)=-40

wartości funkcji na krańcach przedziałów są różne zatem założenia metody N-R są spełnione.

Wybierzmy punkt startowy c=1; mamy zatem następujące przybliżenia:

Rys3. Metoda N-R wyniki kolejnych przybliżeń

3. Schemat blokowy i kod programu w załącznikach

4

f(x)

x

f(b)

f(x₁)

b

a

x₂

x₁

A

B

P

f(a)

α

P

b

a

x₂

x₁

B

A

α

f(x)

x₃

x

---