Piotr Jankowiak gr. C 15. 03. 2000 r.

WM sem. IV ( mgr )

Ćwiczenie nr 5a.

Temat: Ruch obrotowy bryły sztywnej. Wyznaczanie momentu bezwładności przyrządu - wahadło Oberbecka.

Tabela wyników.

Nr pomiaru	Średnica walca d [mm]	εi [mm]	εi^2 [mm]
1	14,00	0	0
2	14,10	0,10	0,01
3	13,95	0,05	0,0025
4	14,00	0	0
5	13,95	0,05	0,0025

Nr pomiaru	Wysokość h1 [mm]	Czas spadania [s]
1	219,91	11,8
2	307,88	14
3	395,84	15,7
4	483,81	16,8
5	659,73	20,5
6	131,95	9,1
7	43,98	5,2
8	175,93	10,5
9	263,89	12,8
10	351,86	14,8

Nr pomiaru	Czas spadania ze stałej wysokości h=527,79 mm	εi	εi^2
1	18,4	0,24	0,0576
2	18	-0,16	0,0256
3	18,4	-0,06	0,0036
4	18	-0,16	0,0256
5	18,2	0,04	0,0016
6	18,3	0,14	0,0196
7	18,2	0,04	0,0016
8	18,2	0,04	0,0016
9	18,1	-0,06	0,0036
10	18,1	-0,06	0,0036

1. Zagadnienia teoretyczne.

Bryłą sztywną nazywamy ciało, w którym odległości między każdymi dowolnymi punktami nie zmieniają się podczas ruchu ciała, bez względu na to jak duże siły działają na to ciało.

Opis ruchu bryły sztywnej wokół ustalonej osi polega na:

• określeniu zależności kąta α od czasu

α = α (t)

• prędkości kątowej bryły ω

ω = dα /dt

• przyśpieszenie kątowe ε

ε = dω / dt = d²α / dt²

Ze względu na stałość odległości między punktami bryły wielkości: α, ω, ε charakteryzują jednocześnie ruchy po okręgach wszystkich punktów bryły sztywnej ( z wyjątkiem punktów położonych na osi ). Ponieważ promienie okręgów są dla różnych punktów różne współrzędne łukowe s w ruchu po okręgu, prędkość υ_s oraz przyśpieszenie styczne a_s są dla różnych punktów różne. Można je wyrazić przez α, ω, ε:

S = lα

υ_S = lω

a_s = lε

gdzie l - odległość punktu od osi obrotu.

Ruch obrotowy bryły nazywamy jednostajnym, gdy prędkość kątowa ω nie zależy od czasu:

α = α₀ + ωt

Ruch obrotowy bryły nazywamy jednostajnie zmiennym, gdy przyśpieszenie kątowe ε jest stałe:

α = α₀ + ω₀t + εt² / 2

ω = ω₀ + εt

Energia kinetyczna bryły obracającej się wokół ustalonej osi, w ruchu postępowym wynosi:

gdzie m jest masą bryły

υ = ωr

Występującą w tym wzorze sumę nazywamy momentem bezwładności ciała względem danej osi obrotu z, czyli:

wówczas

Moment bezwładności I_z jest dla ruchu obrotowego bryły równie ważną wielkością jak masa dla ruchu postępowego. Nie jest to jednak wielkość równie uniwersalna jak masa, ponieważ moment bezwładności w istotny sposób zależy od tego, wokół jakiej osi obraca się bryła.

Stan bryły poruszającej się ruchem obrotowym opisuje również moment pędu J bryły.

υ = r ω

J_z = ω I₂

Podstawowym równaniem dynamiki ruchu obrotowego bryły wokół ustalonej osi jest równanie:

M_z = ε I_z

Równanie to jest nazywane II zasadą dynamiki dla ruchu obrotowego i wynika z ruchu postępowego poprzez analogię do równania:

F = ma

Metody pomiaru wielkości fizycznych.

Do pomiarów wykorzystujemy następujące przyrządy:

• suwmiarka,

• sekundomierz.

Do pomiarów z dokładnością do 0,1 mm służą suwmiarki. Suwmiarka składa się ze sztaby z podziałką milimetrową zakończonej szczęką i suwaka ze szczęką. Na suwaku znajduje się dodatkowa skala zwana noniuszem. Noniusz posiada 10 kresek na długości 9 mm. Gdy szczęki i są zaciśnięte, zerowa kreska noniusza przedłuża zerową kreskę skali, 10 - ta kreska noniusza 9 - tą kreskę skali. Działki noniusza są o 0,1 mm krótsze od działek skali milimetrowej. Stąd po przesunięciu noniusza o 0,1 mm pierwsza kreska noniusza przedłuża jedną z kresek skali, po przesunięciu o 0,2 mm druga kreska noniusza przedłuża inną kreskę skali itd.

Pomiar czasu wykonujemy za pomocą zegarów lub sekundomierzy (stoperów). Różnica pomiędzy zegarem a sekundomierzem polega na tym, że w sekundomierzu istnieje dodatkowy mechanizm służący do uruchamiania (1) i zatrzymywania (2) oraz do sprowadzania wskazówek do położenia zerowego (3). Dokładność pomiarów wykonywanych za pomocą sekundomierza zależy od wprawy obserwatora. Teoretycznie dokładność odczytu wynosi 0,05 s, lecz w praktyce błąd ten jest przynajmniej dwukrotnie większy, bowiem wszystkie pomiary są nim obarczone dwukrotnie: przy włączaniu i przy wyłączaniu.

Praktyczne zastosowanie.

W życiu codziennym i w technice stosujemy wiele urządzeń i narzędzi, których działanie jest oparte na prawach ruchu bryły sztywnej. Proste narzędzia lub elementy składowe maszyn za pomocą, których zmieniamy kierunek i wartość działających sił nazywamy maszynami prostymi: dźwignie, krążki, równia pochyła, kołowrót i klin. Aby bryła sztywna pozostawała w równowadze muszą być spełnione następujące warunki:

Są to warunki spoczynku środka masy. Zachowanie warunków równowagi bryły sztywnej jest podstawą działania wiele maszyn prostych, a także podstawą stabilności wszelkiego rodzaju konstrukcji i budowli.

2. Opis wykonywanego eksperymentu i opracowanie wyników.

Celem eksperymentu było wyznaczenie momentu bezwładności przyrządu - wahadła Oberbecka.

Podczas wykonywanego eksperymentu dokonaliśmy 10 pomiarów czasu spadania ciężarka o masie m = 100 g z różnych wysokości i 10 pomiarów czasu spadania ze stałej wysokości h = 527, 79 mm.

Wyprowadzenie wzoru roboczego.

Wychodzimy z podstawowego równania dynamiki dla bryły sztywnej w ruchu obrotowym:

M = I_zε

M = I_zε = r S (1)

gdzie S siła naciągu nitki,

następnie:

F = m a = m g - S (2)

do zależności 1 wstawiamy siłę naciągu nitki S wyznaczoną z zależności 2:

(3)

następnie określamy przyśpieszenie kątowe ε ze wzoru na drogę w ruchu jednostajnie przyśpieszonym i przyśpieszenie a (uzależnione od przyśpieszenia kątowego), czyli:

więc:

można napisać, że

α = 2 π N

gdzie: 2 π oznacza pełen kąt ( jeden obrót ), a N ilość zwojów nici

zatem wzór na przyśpieszenie kątowe przyjmie postać:

(4)

z kolei wzór na przyśpieszenie w ruchu postępowym przyjmie postać:

(5)

podstawiając zależność 4 i 5 do zależności 3, ostatecznie otrzymujemy:

Schemat wahadła Oberbecka.

W doświadczeniu posługujemy się wahadłem Oberbecka. Walec metalowy C jest osadzony na łożyskach kulkowych i może się obracać wokół osi OO^'. Z walcem połączone są cztery pręty stalowe P, na których osadzone są walce W. Walce W można przesuwać wzdłuż prętów. Górna część walca C ma kształt szpulki, a ponadto w zwężonej części znajduje się kołeczek K, który służy do zaczepienia pętli nici n.

Wyniki pomiarów podstawione do wzoru roboczego.

m = 100 g = 0,1 kg Δ m = 0,01 g = 0,00001 kg

g = 9,81 m / s²

t = 18,15 s Δ t = ± 0,1 s

r = 7 mm = 0,007 m Δ r = ± 0,1 mm = ± 0,0001 m

Po podstawieniu otrzymujemy

I_z = 0,01499641 kg m²

Oszacowanie błędu metodą różniczki zupełnej:

Jak wynika z wykresu wahadło porusza się ruchem jednostajnie przyśpieszonym.

1

12

Wyszukiwarka