Wydział: EAiE	Radek Wójciaczyk Piotrek Zembura		Rok: Pierwszy		Grupa: Siódma		Zespół: Piąty
Pracownia Fizyczna 1	Temat: Mostek Wheatstone'a						Nr ćwiczenia: 32
Data wykonania: 17.04.1998	Data oddania:	Zwrot do poprawy:		Data oddania:		Data zaliczenia:	Ocena:

Cel ćwiczenia:

Pomiar nieznanych oporów oraz ich połączeń szeregowych i równoległych. Wskazanie statystycznego charakteru wyników dla wybranego oporu.

Wprowadzenie:

Znalezienie wielkości napięć i prądów płynących w poszczególnych częściach obwodu elektrycznego jest zagadnieniem podstawowym w konstrukcji układów o różnym przeznaczeniu. Rozwiązywanie obwodów prądu stałego opiera się na następujących prawach:

1. Stosunek napięcia między końcami przewodnika do natężenia prądu jest wielkością stałą, nazywaną opornością (prawo Ohma).

2. W węzłach sieci, tzn. w punktach wspólnych dla trzech lub więcej przewodów algebraiczna suma natężeń prądów wpływających musi być równa zeru ( I prawo Kirchhoffa).

3. Suma różnic potencjałów obliczonych kolejno wzdłuż zamkniętej pętli sieci - tzn. drogi, która rozpoczyna się i kończy w tym samym węźle, równa się zeru (II prawo Kirchhoffa).

Warunki powyższe zapisuje się w postaci algebraicznego układu takiej liczby niezależnych równań, która pozwala na jednoznaczne znalezienie poszukiwanych prądów.

Mostek Wheatstone'a jest układem do pomiaru oporów. Tworzy go połączenie czterech oporów: R_x , R₂ , R₃ , R_4­ , oraz galwanometru o oporze R₅ . Mostek jest zasilany z ogniwa galwanicznego lub zasilacza (rys.1) . Analiza tego układu jest stosunkowo prosta. Niech I oznacza natężenie prądu płynącego z ogniwa, a natężenie prądów w odcinkach obwodu AB, AD, BC, DC i BGD odpowiednio: I₁ , I₂ , I₃ , I₄ , I_5­ , . W układzie są 4 węzły A, B , C, D, . Dla trzech z nich układa się równanie Kirchhoffa. Jeśli kierunek prądu jest taki, jak wskazują strzałki, dla węzłów A, B i D otrzymujemy:

A I - I₂ - I₃ = 0

B I₁ - ­I₂ - I₅ = 0

D I₅ + I₃ - I₄ = 0

Drugi układ równań Kirchhoffa można ułożyć wydzielając w schemacie zamknięte obwody ABDA, BCDB i ACEA. Obchodząc każdy z tych obwodów według kierunku wskazówek zegara otrzymujemy dla obwodu

ABDA I₁R_x + I₅R₅ - I₃R₃ = 0

BCDB I₂R₂ + I₄R₄ - I₅R₅ = 0

ACEA I₃R₃ + I₄R₄ + I R_E = 

Jeśli dana jest siła elektromotoryczna  oraz opory R_x , R₂ , R₃ , R₄ , R₅ , R_E , można znaleźć natężenia wszystkich sześciu prądów I , I₁ , I₂ , I₃ , I₄ , I_{5 .}

Rys. 1. Oporowy mostek Wheatstone'a.

Metoda Wheatstone'a porównywania oporów polega na tzw. Równoważeniu mostka, to znaczy na takim dopasowaniu oporów, by potencjały w punktach B i D były równe (V_B = V_D), czyli żeby prąd I₅ płynący przez galwanometr G był równy zeru. Przy I_5­ = 0  drugie i trzecie równanie pierwszego układu dają:

I₂ = I₁ I₃ = I₄

a pierwsze i drugie równanie układu drugiego:

I₁R_x = I₃R₃ I₂R₂ = I₄R₄

Z powyższych pomiarów wynika, że

Ostatnie wyrażenie pozwala eksperymentalnie wyznaczyć R_x.

Rys. 2. Układ pomiarowy mostka z drutem oporowym.

Mostek Wheatstone'a używany w ćwiczeniu przedstawiono na rys. 2. Prąd płynący z ogniwa galwanicznego E rozgałęzia się w punkcie A. Jedna jego część płynie przez szeregowo połączone opory R_x i R₂ , druga przez przewód AC . Przez zmiany położenia punktu D zmienia się stosunek R₃ do R₄. Na odcinku BGD prąd nie będzie płynął, jeżeli:

Ponieważ R_AD i R_DC są oporami odcinków tego samego jednorodnego drutu, ich wielkości są proporcjonalne do długości.

Ponadto b jest różnicą całkowitej długości drutu  l  i  odległości a , b = l - a . Ostatecznie otrzymujemy

Dokładność pomiaru mostkiem Wheatstone'a z drutem oporowym zależy przede wszystkim od błędu wyznaczenia odległości a. Zgodnie z prawem przenoszenia błędu:

Najmniejszy względny błąd pomiaru dla a = 1/2 l

Rozwiązanie odpowiada, co łatwo wyprowadzić przez obliczenie drugiej pochodnej, minimalnej wartości błędu. Aby pomiar był jak najdokładniejszy należy tak dobrać opór R₂ , aby stan równowagi mostka można było uzyskać w przybliżeniu w połowie długości drutu oporowego.

W przypadku obwodów prądu zmiennego zawierającego elementy RLC równania Kirchhoffa są nadal słuszne, ale analiza obwodu staje się skomplikowana, gdyż wartości prądów nie są liczbami, lecz funkcjami czasu (układ równań algebraicznych przechodzi w układ równań różniczkowych). Dla prądu sinusoidalnie zmiennego o częstotliwości kołowej  w stanie ustalonym rozwiązywanie obwodów w radykalny sposób upraszcza tzw. metoda symboliczna, która polega na zastąpieniu układu równań różniczkowych przez układ równań algebraicznych zmiennej zespolonej. Występującym w obwodzie elementom RLC przypisujemy oporność pozorną, która dla oporników wynosi R, natomiast dla cewek i kondensatorów wyraża się liczbami urojonymi równymi i  oraz - i / C . Prądy i napięcia stają się liczbami zespolonymi, których moduł określa wartość amplitudy I lub U.

Aparatura:

W układzie mostka Wheatstone'a przedstawionym na rysunku 2 , przewód AC stanowi jednorodny drut rozciągnięty na desce z podziałką milimetrową. W punkcie D znajduje się kontakt ślizgowy, umożliwiający zmiany długości odcinków a i b . Opór R₂ stanowi opornica dekadowa, napięcie E czerpie się z zasilacza. Symbolem R_x oznaczono zestaw oporników wmontowanych na odpowiedniej płytce z pleksiglasu. Galwanometr G służy jako wskaźnik zerowania się prądu na odcinku BD. Czułość galwanometru można regulować.

Wykonanie ćwiczenia:

1. Mostek oporowy.

1. Zmontować układ według schematu (rys. 2), nie wyłączać prądu przed pokazaniem  połączenia   asystentowi.

2. Zrównoważyć mostek:

1. Nastawić suwak w środku deski z drutem oporowym.

2. Dobrać wartość R₂ na opornicy dekadowej taką, by uzyskać zgrubne     zrównoważenie      mostka.

3. Zrównoważyć precyzyjnie mostek przez przesunięcie suwaka.

3. Odczytać i zanotować wartości: R₂ oraz a . Pomiar powtórzyć kilkakrotnie, zmieniając nieznacznie   wartość R₂.

3. Czynności 2 ÷ 3 wykonać dla dwóch dowolnie wybranych oporów R_x oraz ich połączeń   równoległych i szeregowo.

Opracowanie wyników:

1. Obliczenie nieznanych wartości rezystancji R_x .

Przy obliczaniu wartości rezystancji Rx korzystamy z poniższego wzoru:

Wartości wyliczonych rezystancji zamieszczono w Tabeli nr 2.

2. Obliczenie błędu pomiaru rezystancji Rx.

Ze względu na małą ilość pomiarów przy obliczeniu błędów korzystamy z metody rozstępów. Dla trzech pomiarów stosunek R/σ wynosi 1,693.

Przy obliczaniu błędu stosujemy poniższy wzór:

Przykładowe obliczenie błędu dla Rx₂

Pozostałe wyliczone błędy podano w Tabeli nr 2.

3. Sprawdzenie zgodności wzoru na opór zastępczy połączenia szeregowego i równoległego     rezystorów.

3.1. Połączenie szeregowe.

Stosując wzór na połączenie szeregowe rezystorów otrzymujemy:

Natomiast z przeprowadzonych pomiarów takiego układu rezystorów otrzymaliśmy wartość Rz_2 szer = 182,4 [] .

3.2. Połączenie równoległe.

Stosując wzór na połączenie równoległe rezystorów otrzymujemy:

Natomiast z przeprowadzonych pomiarów takiego układu rezystorów otrzymaliśmy wartość Rz_2 równ = 16,24 [] .

4. Wyznaczenie krzywej rozkładu błędu.

Obliczenie wartości średniej rezystancji:

Obliczenie wartości błędu standardowego pojedynczego pomiaru:

Wartość σ przyjmujemy jako szerokość przedziału histogramu.

5. Test *² .

gdzie:

r - ilość przedziałów (r = 6),

k_n - ilość wyników pomiarów wpadających do danego przedziału,

N - całkowita ilość pomiarów,

p_n - prawdopodobieństwo wpadnięcia wyniku do danego przedziału,

Tak obliczoną wartość χ² należy porównać z liczbą znalezioną w tablicach zmiennej χ² . Szuka się w tych tablicach takiej wartości χ_α² , która odpowiada:

1. liczbie stopni swobody w rozpatrywanym przypadku (jest ona równa liczbie przedziałów histogramu pomniejszonej o jeden).

2. przyjętemu przez nas (satysfakcjonującemu nas) poziomowi istotności α.

W naszym przypadku przyjmujemy, że α = 0,05 , czyli prawdopodobieństwo zgodności porównywanych rozkładów wynosi najwyżej 5%. Dla α = 0,05 i dla 5 stopni swobody χ² =11,07. Porównując ją do wyliczonej przez nas wartości χ² = 20,59 można zauważyć, że jest ona większa od wartości odczytanej z tabeli, co oznacza, że należy odrzucić hipotezę zgodności naszego doświadczalnego, uzyskanego z pomiarów rozkładu, z rozkładem Gaussa. Związane jest to z dużą dokładnością miliamperomierza zastępującego galwanometr, który powodował, że wyniki nie odbiegały od siebie.

Wnioski:

W wyniku przeprowadzonych pomiarów zostały udowodnione wzory na rezystancję zastępczą rezystorów połączonych szeregowo i równolegle. Wynikłe błędy pomiaru poszczególnych rezystancji są spowodowane tolerancją rezystorów w oporniku dekadowym R₂ , błędem odczytu wartości długości drutu oporowego oraz klasą dokładności miliamperomierza. Przy połączeniu szeregowym błędy powstałe przy pomiarze poszczególnych rezystancji zsumowały się, dając dość dużą wartość błędu. Przy połączeniu równoległym błędy także się zsumowały, jednak z uwagi na charakter sumowania (suma odwrotności rezystancji) wartość błędu jest niewielka.

Z uwagi na dużą czułość miliamperomierza zastępującego galwanometr nasz doświadczalnie wyznaczony rozkład Gaussa odbiega od rozkładu idealnego i ma kształt szpili. Tą różnicę potwierdza przeprowadzony test χ² , w którym wyliczona ze wzoru wartość (20,59) jest większa od tabelarycznej (11,07), co wskazuje właśnie na niezgodność pomiędzy naszym rozkładem, a rozkładem idealnym Gaussa.

- 7 -

---