Przedmiotem kartografii matematycznej jest przedstawienie powierzchni regularnej na płaszcz.

Kartografia kuli

1.Kula o głębokości równej elipsoidy obrotowej

Objętość kuli równa się objętość elipsoidy obrotowej

elipsoida Bessela

2.Powierzchni kuli równa jest powierzchni elipsoidy obrotowej

3.Promień średni arytmetyczny

w skali 1:4000000

1:25000

Odwzorowanie kartograficzne - nazywamy takie przedstawienie jednej powierzchni matematycznej na drugiej ( przeważnie na płaszcz.) w którym głównym warunkiem jest aby każdemu punktowi oryginału odpowiadał jeden i tylko jeden punkt obrazu, jak również każdemu punktowi obrazu odpowiadał jeden i tylko jeden punkt oryginału ( punkt za punkt )

(φ, λ) ( x, y)

Układy współrzędnych na kuli.

1.Współrzedne geograficzne

Pod równikiem

Zachód

2.Współrzędne prostokątne przestrzenne

P(x, y, z)

3.Układ współrzędnych prostokątnych sferycznych

4.Współrzędne azymutalne

odległość sferyczna

Twierdzenia Tissota

I tw.Tissota

„Przy dowolnym regularnym odwzorowaniu jednej powierzchni regularnej na drugą musi istnieć przynajmniej jedna siatka linii przecinających się pod kątem prostym która odwzorowuje się na drugą powierzchnie również jako siatka linii przecinających się pod kątem prostym”

Odwzorowanie regularne to takie odwzorowanie w którym x=f₁(φ,λ) y=f₂(φ,λ)funkcje spełniają następujące warunki:

1.funkcje x i y mają ciągłe pochodne cząstkowe przynajmniej 2 rzędu

2.funkcje x i y są niezależne

Pierwszy warunek żąda aby obraz kuli nie miał przerw ani gwałtownych zagięć, a drugim warunkiem eliminuje się odwzorowania zdegenerowane to znaczy takie gdzie obrazem punktu nie jest punkt lecz linia lub obszar.

Dowód I tw. Tissota

W punkcie P przecinają się dwie linie pod kątem prostym to znaczy że styczne do tych linii w tym punkcie przecinają się pod kątem prostym.

oryginał

obraz

Linia l₁ i l₂ mają w punkcie przecięcia styczne przecinają się pod kątem prostym, a na drugiej powierzchni odpowiadają im linie l₁' i l₂' mające również styczne przecinające się pod kątem ostrym β' a jednej strony i kąt rozwarty α' z drugiej strony. Układ ABCD obracamy o 90^o na około punktu P tak, że kąt β przejdzie w położenie BPC w odwzorowaniu kąt β' przejdzie na α' zmieni się więc z ostrego w rozwarty. Ponieważ założona była ciągłość odwzorowania, a więc musi istnieć takie położenie układu (niech będzie to np.A₁B₁C₁D₁) któremu w odwzorowaniu odpowie układ prostokątny A₁' B₁' C₁' D₁'.

Rozumowanie to jest słuszne dla każdego punktu powierzchni ,można więc poruszać się po powierzchni w tych dwóch wzajemnie prostopadłych kierunkach wynajdując odpowiadające im kierunki na drugiej powierzchni też wzajemnie prostopadłej. Kierunki te nazywamy w kartografii kierunkami głównymi.

Skale i zniekształcenia odwzorowawcze.

P₁=(φ,λ)

P₂=(φ+∆φ,λ+∆λ)

Obrazem też jest łuk.

Skala liniowa

Skala pól polowa:

Zniekształcenie liniowe (różnica między skalą a jednością)

Z_l=k-1

(jeśli nie ma zmian to zniekształcenie zerowe).

Zniekształcenie polowe

Zp=p-1

Skale liniowe kierunkach głównych i skale w dowolnych kierunkach.

Kula oryginał

Płaszczyzna obrazu (elipsa)

Dowolnie małe koło o promieniu r na powierzchni kuli odwzorowuje się na płaszczyźnie jako elipsa o półosiach a i b. Promień r odwzorowuje się jako r' a kąt β jako β'. Kierunki główne OX OY odwzorowują się jako kierunki główne OX' OY' oznaczając przez m i n skale liniowe w tych kierunkach głównych
a
(to co w obrazie do tego co w organie)

- skala w dowolnym kierunku

II tw. Tissota

Równanie elipsy w układzie X' Y'.

- dla jednostkowego koła to jest dla r=1 mamy

II tw. Tissota

„Obrazem graficznym zniekształceń w punkcie jest elipsa której półosie równają się skalą w kierunkach głównych”. Gdy m=n to elipsa staje się kołem, odwzorowanie jest wiernokątne (obrazem koła jest koło).

Skala pól (pole elipsy dzielone przez pole koła).

Skala pól jest iloczynem skal w kierunkach głównych.

Maksymalnie zniekształcenie kąta:

ale y'=ny x'=mx

ale

Proporcja pochodna

Wyrażenie to osiąga max dla kąta (β'+β)=90^o oznaczam
max

- maksymalne zniekształcenie kąta

Zasadnicze właściwości odwzorowań kartograficznych :

1.
gdy m=n to
a z tego wynika że ω=0 z tego wynika α'=α czyli niema zniekształcenia kątów. Czyli odwzorowanie jest wiernokątne, (konforemne, równokątne).

2.P=m*n aby to odwzorowanie było w teorii Tissota to ta skala musi być równa 1 czyli m*n=1 odwzo0rowanie jest wierno polowe (równopolowe) skala pól jest jednością p=1 czyli w oryginale pole równe temu na obrazie.

3.m=1 i n≠1 lub m≠1 i n=1 odwzorowanie pośrednie czyli albo południk albo równoleżnik zachowują się bez zniekształceń. Wiernoodległościowe wzdłuż pewnych linii. Odwzorowania takie nazywają się pośrednimi ponieważ zniekształcenia kątów są tam mniejsze niż w odwzorowaniach wiernopolowych ,a zniekształcenia pól są mniejsze niż w odwzorowaniach wiernokątnych.

ODWZOROWANIA PŁASZCZYZNOWE

BP'=ρ -promień równoleżnika w odwzorowaniu

Kierunki główne odwzorowują się prostokątnie (prostopadłe).

Skale liniowe w kierunkach głównych.

Łuk jest proporcjonalny do kąta ω kąta środkowego.

ł-łuk

Odwzorowania płaszczyzn dzielimy:

-perspektywiczne

-nieperspektywistyczne

1-Środek rzutu w środku kuli (odwzorowanie gnomoniczne)

2.Środek rzutu w przeciwległym biegunie (odwzorowanie stereograficzne)

3.Środek rzutu w nieskończoności (rzut ortograficzny)

Ad 1. Odwzorowanie gnomoniczne

Ad 2. Odwzorowanie stereograficzne

Ad 3. Odwzorowanie ortograficzne

B-odwzorowanie nieperspektywiczne

B-1-rzut pośredni Postela

Założenie m=1

.

B-2-odwzorowanie płaszczyznowe wiernopolowe Lamberta

m*n=1-warunek wiernopolowości

Podstawiam biegun czyli φ=90⁰,ρ=0

Odwzorowanie pseudoazymutalne.

Rzut AITOWA

Przejrzysty obraz całej kuli można otrzymać przez łatwą transformację rzutów azymutalnych poprzecznych.Aitow wziął za podstawowe rzut pośredni Postela w położeniu transwersalnym. Jako0 oś X został przyjęty obraz równika , rzędne Y zostały skrócone do połowy , a południki zagęszczone podwójnie, tzn. ponumerowane zostały od -90⁰ do+90⁰ liczbami podwójnymi od -180⁰ do +180⁰. W ten sposób obraz półkuli zamienił się w obraz całej kuli, siatka taka nazywa się planisferą Aitowa.

Rzut Hammera

Gdy zamiast rzutu Postela zamiast siatkę pierwotną przyjmie się azymutalny rzut wiernopolowy Lamberta w położeniu transwersalnym, to postępując z nim w sposób analogiczny jak opisano wyżej, otrzyma się rzut pseudoazymutalny Hammera dający obraz całej kuli zawarty w jednej elipsie. Rzut ten jest bardzo rozpowszechniony do przedstawienia całej ziemi ze względy na swą wiernopolowość.

ODWZOROWANIE WALCOWE

Równik będzie bez zniekształceń odwzorowany.

Wszystkie równoleżniki są tak długie jak równik.

X=f(φ)

Y=Rarc(λ)

Skale liniowe w kierunkach głównych dla odwzorowań walcowych.

przeskalowanie(skala równoleżników)

Odwzorowanie walcowe - walec styczny jest do kuli w równiku.

Skale w kierunkach głównych głównych

m=p'p2'/pp2=dx/Rdφ n=(Rdλ)/(Rcosdφdλ)=1/cosφ

Krata kwadratów

x=Rarcφ y=Rarcλ dla ∆φ=∆λ => ∆x=∆y

m=dx/Rdφ=Rdφ/Rdφ=1

p=m*n=1/cosφ

sin[w/2]=cosφ-1/cosφ+1

Odwzorowanie walcowe wiernopolowe Lamberta

m*n=1

dx/Rdφ*1/cosφ=1

dx=Rcosφdφ (całkuje ∫ )

x=Rsinφ+c

Podstawiam równik (φ=0˚ ; x=0˚)

0=Rsin0˚+C

C=0

x=Rsinφ

m=dx/Rdφ=(Rcosφdφ)/(Rdφ)=cosφ

n=1/cosφ

p=m*n=1

sin[w/2]=m-n/m+n=cos2φ-1/cos2φ+1

Odwzorowanie walcowe wiernokątne Mercatora

m=n

dx/Rdφ=1/cosφ

dx = dφ / cosφ R

x = R ln tg(45˚+φ/2)+C

Podstawiamy równik φ=0; X=0

0=Rlntg45˚+c

c=0

x = R ln tg(45˚+φ/2)

m = dx / R dφ=(R dφ/cosφ)/(R dφ)=1/cosφ

n=1/cosφ

p=m*n=0

Loksodroma-krzywa która przecina na kuli pod stałym katem obrazem jej w tym odwzorowaniu jest linia prosta która przecina prostoliniowe układy południków pod tym samym katem co na kuli.

Odwzorowanie Cassini-Soldner (dla kuli) - odwzorowanie walcowe poprzeczne

a) Rzut walcowy wiernopolowy

x=ξ y = R sin(η/R)

b)Rzut walcowy poprzeczny wiernokątny

x=ξ y=Rlntg(Π/4+Π/2R)

c)rzut walcowy poprzeczny wiernoodleglosciowy - Cassini-Soldnera

x=ξ y=η

x = OPo' =R arc(90˚+α)

y=Po' P' = R arc h =R arc(90˚-z)

m=1

n=1/sinz

sin[w/2]=m-n/m+n=sinz-1/sinz+1

x=Rarctg(ctgφcos(λ-λo))

y=Rarc sin(cosφsin(λ-λo))

dla małych y m=1

n=sec y/R=1+y²/2R²=p

sin[w/2]= - y²/2R²sinφ

ODWZOROWANIA PSEUDOWALCOWE

Odwzorowanie Samsona Flamsteeda (rzut sinusoidalny)

x= R arcφ y=Rarcλcosφ

Odwzorowane Mollweidego - wiernopolowe

Założono że: obrazy południków są elipsami, obraz półkuli ma się zmieścić w kole, obraz całej kuli ma się zmieścić w jednej elipsie.

Πr₁²=2ΠR^{2 ,} r1=R√2 ; Πr1r2=4ΠR² ; r2=2R√2 ; r2=2*r1

rn= [2Rλ√2]/Π

Obrazy równoleżników są liniami prostymi przy czym ich odstępy od równika są dobierane tak aby była zachowana wiernopolowość.

x= [2Rλ√2 / Π] * cosφ' - równanie przestępne.

ODWZOROWANIA STOŻKOWE

określenie stałej C i jej dyskusja

Def:

bo

Stała C może zawierać

Z dyskusji wynika że odwzorowania

stożkowe są najogólniejsze ponieważ zawierają w sobie w skrajnych przypadkach zarówno odwzorowania płaszczyznowe jak i walcowe

Skale w kierunkach głównych

,


,

Odwzorowanie stożkowe wiernokątne Lamberta-Gaussa

m=n

k -stała całkowania

dla
jest

podstawy

czyli:

dla

Odwzorowanie stożkowe wiernopolowe Lamberta

Oznaczenie:

wtedy

m*n=1

gdy założymy że obszarem bieguna ma być 1punkt (wierzchołek stożka)

wtedy:

Odwzorowanie wiernopolowe Albersa

dodatkowe założenia:

n1=1 ; n2=1

układ dwóch równań o dwóch

niewiadomych

rozwiązanie układu

Odwzorowanie Ptolemeusza

m=1

dla równoleżnika styczności

czyli: po Inny wzor w zeszycie inaczej

Odwzorowanie stożkowe pośrednie Delisle'a

modyfikacja odwzorowania Ptolemeusza, lepsze przystosowanie mapy do terenu otrzyma się gdy zastosujemy rzut w którym dwa równoleżniki odwzorują się wiernie np.
i

n
=1 ; n
=1

dwie niewiadome
i C

Rozwiązujemy i otrzymujemy:

C =

Odwzorowanie stożkowe pośrednie Tissota

modyfikacja odwzorowania Ptolemeusza

ρ=Rctg φ₀+Rarc(φ₀- φ)

ρ= Rctg φ₀-s-1/6s³

ODWZOROWANIE PSEUDOSTOŻKOWE

1) Rzut stożkowy zwykły zmodyfikowany:

Jest to modyfikacja odwzorowania Ptolemeusza

ς= Rctgφ₀ + Rarc(φ₀- φ)

prowadzimy dwa dodatkowe równoleżniki w połowie odległości miedzy południkiem srodkowym a skrajnymi. Te równoleżniki odtworzymy wierniei dzielimy je na rowne czesci tak jak na kuli. Obra otrzymujemy łącząc punkty podziału.

2) Rzut Bonne'a:

Jest to również modyfikacja odwzorowania Ptolemeusza. Zaletą jest tu wierny podział równoleżników jak na kuli a także wierno polowość tego rzutu .

Jedyną linią prostą jest obraz jednego z południków.

Promienie równoleżników są wzięte z odwzorowania Ptolemeusza.

Środki kół obrazów równoleżników nie pokrywają się z obrazem bieguna.

Współrzędne węzłowe można określić P(ρ, λ').

Dla φ₀ = 0⁰ => rzut pseudowalcowy Samsona-Flamsteeda

Dla φ₀ = 90⁰ => rzut Wernera (Staba)

3) Wielostożkowy rzut amerykański:

Otrzymuje się, przyjmując dla każdego równoleżnika osobny stożek styczny i rozwijając ten równoleżnik wiernie na płaszczyźnie.

Równoleżniki są podzielone wiernie, jednak siatka nie jest ortogonalna.

4) Wielostożkowy rzut angielski:

Ponieważ wielostożkowy rzut amerykański nie daje siatki ortogonalnej wprowadzono pewną modyfikację i otrzymano obrazy południków i równoleżników przecinające się pod kątem prostym. Konieczna była jednak rezygnacja z wiernego podziału równoleżników.

KARTOGRAFIA ELIPSOIDY OBROTOWEJ

Odwzorowanie elipsoidy na płaszczyznę może być dokonane 2 drogami:

1) Metodami podanymi dla kuli przy odpowiedniej modyfikacji poszczególnych wzorów:

Łuk południka:

-kula

-elipsoida

Łuk równoleżnika:

-kula

-elipsoida

Gdzie:

1. promień równikowy Ziemi

- I mimośród elipsoidy obrotowej

2) Przez zastosowanie tzw. odwzorowań podwójnych (dwuetapowych) gdzie najpierw elipsoidę odwzorowujemy na kulę a w drugim etapie z kuli przechodzimy na płaszczyznę, walec klub stożek.

Istnieje 5 sposobów przejścia z elipsoidy na kulę:

1. Rzut środkowy elipsoidy na kulę

2. Rzut elipsoidy na kulę przy pomocy szerokości zredukowanych

3. Rzut wiernopolowy elipsoidy na kulę

4. Wiernokątny rzut Lagrange elipsoidy na kulę

5. Wiernokątny rzut Gaussa

I. Odwzorowanie wielościenne Mifflinga:

Jest to odwzorowanie elipsoidy na wielościan nie rozkładany na płaszczyznę w sposób ciągły. Każdy arkusz odpowiada czworo-bokowi sferycznemu na kuli, a sferoidalnemu na elipsoidzie i ograniczony jest 2 łukami południków i 2 łukami równoleżników.

Każdy z tych czworoboków odwzorowuje się na płaszczyznę przechodzącą przez jego 4 wierzchołki (wielościan wpisany w elipsoidę) lub styczną w środku (wielościan opisany na elipsoidzie).

Tak więc obrazem trapezu sferoidalnego będzie trapez płaski ograniczony 2 prostoliniowymi obrazami południków i 2 krzywoliniowymi obrazami równoleżników.

Długość tych boków można obliczyć ze wzorów lub pobrać z tablic.

II. Odwzorowanie Roussilhe`a (Quasistereograficzne odwzorowanie WIG):

WIG - Wojskowy Instytut Geograficzny

Jest to wiernokątne odwzorowanie elipsoidy na płaszczyznę. Nad 2 innymi odwzorowaniami wiernokątnymi i stożkowym Lamberta - Gaussa i walcowym poprzecznym Gaussa - ma ono tę przewagę, że zniekształcenia liniowe są w nim 2x mniejsze niż w pozostałych wymienionych.

Odwzorowanie Roussilhe`a odpowiada ukośnemu odwzorowaniu stereograficznemu kuli o promieniu:

Gdzie:

M₀N₀ - promienie krzywizny, główny przekrój elipsoidy obrotowej w punkcie pod szerokością B₀

Siatka kartograficzna przedstawia się na płaszczyźnie jako zespół linii krzywych bardzo zbliżonych łuków kół. Zmniejszenie bezwzględnej wartości zniekształceń liniowych i pól na płaszczyźnie otrzymuje się przez zmniejszenie promienia kuli R₀, a tym samym wymiarów elipsoidy, o pewną dowolną wartość zwaną stałą skali.

W Polsce w latach 1927-1930 prof. Z. Grabowski z politechniki Lwowskiej zmodyfikował to odwzorowanie zmniejszając promień R₀ o 1/2000 tj. stosując skalę kurczenia:

m = 0.9995 dla elipsoidy Bessela

Punkt główny miał w Polsce współrzędne:

B₀ = 52⁰ N

L₀ = 22⁰ E

Przez zmniejszenie R₀ otrzymuje się odwzorowanie na płaszczyznę sieczną, a wzdłuż pewnego koła (w Polsce r = 184km) nie ma zniekształceń liniowych.

Wewnątrz tego koła obraz ulega skurczeniu a na zewnątrz następuje rozciągnięcie.

ROZPOZNAWANIE SIATEK

Ustalamy z jaką grupą odwzorowań mamy do czynienia. W przypadku odwzorowań normalnych nie ma problemu.

W odwzorowaniu poprzecznym i ukośnym rozpoznanie jest wątpliwe.

1) Należy odszukać na mapie linie proste i zorientować się w ich ułożeniu.

2) Stwierdzić gdzie pojawiają się łuki kół, a gdzie innych krzywych. W łuk wpisujemy kilka cięciw o jednakowej długości i badamy wielkość strzałek. Jeśli są równe to jest to łuk kołowy. Jeśli nie, to chodzi o inną krzywą.

Badamy kształt południków czy są prostolinijne czy krzywe.

Badamy kształt równoleżników i odstępy między nimi, czy są stałe, rosnące czy malejące.

Rosnące odstępy nasuwają przypuszczenie siatki wiernokątnej, malejące - siatki wiernopolowej, natomiast równe odstępy mogą wskazywać na siatkę wiernoodległościową, przy czym wyjątki od tej zasady są bardzo liczne.

Na koniec badamy bieguny, które mogą być punktami lub liniami. W ten sposób gromadzimy możliwie najwięcej wiadomości o wyglądzie siatki.

Ostateczne rozstrzygnięcie, i to nie zawsze całkowicie pewne, możliwe jest tylko przy dobrej znajomości teorii siatek i przy dużym doświadczeniu.

Istnieją klucze do oznaczenia siatek lecz wartość ich jest dość problematyczna.

Wybór odpowiedniego rzutu:

Mapy zawierają błędy, których w żaden sposób nie można uniknąć. Praktycznie bezwzględna dokładność jest osiągalna dla pojedynczych punktów. Ogólnie biorąc dokładność określenia dowolnego punktu na mapie szczegółowej waha się od 0,2-0,5 mm, a na mapie poglądowej skutkiem stosowania linii grubych błąd ten powiększa się nieraz 10-krotnie (2-5 mm).

Nie ma zatem celu stosowanie odwzorowań wymagających skomplikowanych i wysoko dokładnościowych obliczeń. Cała korzyść zagubi się w niedokładnościach rysunku.

Dlatego kierujemy się zasadą: „najprostszy rzut będzie zawsze najlepszym pod warunkiem, że występujące w nim zniekształcenia nie przekroczą założonych wartości”. Należy też dobierać taką powierzchnię odwzorowania, aby jak najlepiej przystawała do obszaru, który ma być odwzorowany.

Najprostsze odwzorowanie będzie w podobnym przypadku rzutem wiernokątnym, wiernoodległościowym i wiernopoloym.

W geodezji największe zastosowanie mają odwzorowania wiernokątne. Po za geodezja, w atlasach występują bardzo często odwzorowania wiernopolowe.

Mapy morskie przeważnie zestawione są w odwzorowaniu Mercatora. Obszary okołobiegunowe najlepiej przekształcać w odwzorowaniu płaszczyznowym, obszary okołorównikowe - w walcowych, a obszary strefy umiarkowanej najkorzystniej przedstawić w odwzorowaniach stożkowych.

Przy wyborze najkorzystniejszego odwzorowania dla zestawienia określonej mapy należy rozpatrzeć 2 ważne aspekty:

a) do jakich celów dana mapa ma być przeznaczona

b) jaki jest rozmiar i kształt obszaru, który ma być przedstawiony na mapie.

---