Józef Zapłotny

Zakład Fizyki, Akademia Rolnicza

Do użytku wewnętrzego

ĆWICZENIE 41

WYZNACZANIE WSPÓŁCZYNNIKA ZAŁAMANIA ŚWIATŁA

ZA POMOCĄ MIKROSKOPU

Kraków, wrzesień 1999

SPIS TREŚCI

I. CZĘŚĆ TEORETYCZNA

I. CZĘŚĆ TEORETYCZNA

1. Światło

Światłem określamy tę część całego widma fal elektromagnetycznych, odbierają ludzkie oczy, czyli w zakresie długości fal od 400 nm do 800 nm. Prędkość światła w próżni jest jednakowa dla wszystkich długości fal i wynosi w zaokrągleniu 300 000 km/s. W ośrodku materialnym natomiast zależy ona od długości fali - im większa długość fali, tym szybciej się ona rozchodzi.

2. Podział fal elektromagnetyczych

W całym zakresie fal elektromagnetycznych mamy do czynienia z jedną z trzech sytuacji, gdy:

a) długości fal są małe w porównaniu z wielkością przyrządów, którymi badamy te fale, a energie fotonów są dużo mniejsze niż czułość energetyczna przyrządów. Mówimy wtedy o tak zwanej optyce geometrycznej;

b) długości fal są porównywalne z wielkością przyrządów do pomiaru tych fal (np. dla fal radiowych), a energie fotonów możemy również pominąć. Mamy wtedy do czynienia z tzw. klasyczną teorią promieniowania elektromagnetycznego;

c) długości fal są bardzo małe i możemy pominąć charakter falowy promieniowania elektromagnetycznego; fotony mają bardzo dużą energię w porównaniu z czułością energergetyczną przyrządu. Mówimy wtedy o naturze korpuskularnej promieniowania elektromagnetycznego, w tym również światła.

Jak z tego widać, nie ma jeszcze takiej jednej teorii, która opisywałaby wszystkie zjawiska związane z promieniowaniem elektromagnetycznym.

3. Założenia optyki geometrycznej

Badając zjawiska związane z rozchodzeniem się światła w ośrodkach optycznych, w których ono m. in. odbiciu i załamaniu, możemy posłużyć się następującymi założeniami optyki geometrycznej:

a) prostoliniowego rozchodzenia się promieni świetlnych w ośrodkach jednorodnych, nie rozpraszających i przezroczystych;

b) przecinające się wiązki światła nie przeszkadzają sobie, czyli nie zaburzają jedna drugiej;

c) odwracalności biegu światła, co należy rozumieć w ten sposób, że jeżeli dowolny "promień" światła biegnie z punktu A do punktu B po pewnej drodze, to w kierunku przeciwnym będzie biegł po tej samej drodze.

Jak już wspomniano, światło rozchodząc się ulega zjawiskom odbicia i załamania. Prawa opisujące te zjawiska można wyprowadzić m. in. z zasady Huygensa, która głosi, że wszystkie punkty czoła fali można uważać za źródła nowych fal kulistych. Położenie czoła fali po czasie t będzie dane przez powierzchnię styczną do tych fal kulistych.

4. Odbicie światła

Większość przedmiotów na które pada równoległa wiązka światła, widzimy z dowolnego kierunku, dlatego, że rozpraszają one światło we wszystkich kierunkach - jest to tzw. rozpraszanie odbiciowe (rys. 1).

Ciała, które mają "gładką powierzchnię" i odbijają światło w jednym kierunku nazywamy zwierciadłami (rys. 2).

Rys. 1 Rys. 2

Określenie "gładka powierzchnia" należy rozumieć w ten sposób, że rozmiary nierówności na tej powierzchni są mniejsze od długości fali świetlnej, czyli mniejsze od około1 μm. Zjawiskiem odbicia światła rządzi prawo odbicia światła: Promień padający i odbity oraz prostopadła do powierzchni poprowadzona w punkcie odbicia leżą w jednej płaszczyźnie, a kąt odbicia równy jest kątowi padania (rys. 3).

α_pad = α_odb (1)

Kąt padania to kąt zawarty między promieniem padającym i prostopadłą do powierzchni w punkcie padania, a kąt odbicia to kąt między tą prostopadłą a promieniem odbitym.

5. Załamanie światła

Jeżeli światło przechodzi z jednego ośrodka do drugiego, np. z powietrza do wody, widzimy, że nie biegnie ono w obu ośrodkach po tej samej linii prostej; mówimy, że światło załamuje się (rys. 4).

Rys. 3 Rys. 4

Kąt załamania czyli kąt pomiędzy promieniem załamanym, a normalną do powierzchni w punkcie załamania, nie jest równy padania. Zjawisko to opisuje prawo załamania światła, czyli prawo Snella.

6. Współczynnik załamania światła

Promień załamany, promień padający i normalna poprowadzona w punkcie załamania leżą w jednej płaszczyźnie, a stosunek sinusa kąta padania do sinusa kąta załamania jest wielkością stałą dla tych ośrodków i dla danej długości fali i nazywamy go względnym współczynnikiem załamania światła o danej długości fali ośrodka drugiego względem pierwszego i oznaczamy ją jako n₂₁:

(2)

Ogólnie mówiąc współczynnik załamania światla jednego ośrodka względem drugiego zależy od długości fali (dyspersja światła). Np. dla topionego kwarcu współczynnik załamania światła dla λ = 400 nm wynosi 1,470, a dla λ = 800 nm równa się 1,453, czyli jest to słaba zależność. Współczynnik załamania światła zależy również od stanu ośrodka - np. jego temperatury i ciśnienia. Z zasady odwracalności biegu promieni świetlnych wynika następująca zależność:

(3)

Współczynnik załamania danego ośrodka względem próżni nazywa się bezwzględnym współczynnikiem załamania tego ośrodka. Można wykazać, że względny współczynnik załamania dwóch ośrodków jest równy stosunkowi ich bezwzględnych współczynników załamania:

(4)

Współczynnik załamania szkła zależy od jego składu i np. dla szkła sodowego wynosi ok. 1.50, a dla szkła ołowiowego jest większy od 1.60. Wartości te są podane dla światła żółtego o długości fali 589 nm. Jest to słuszne dla ośrodków izotropowych, czyli takich, w których prędkość rozchodzenia się światła nie zależy od kierunku padania światła. W ośrodkach anizotropowych współczynnik załamania światła zależy od kierunku rozchodzenia się światła i nie można do nich stosować prawa załamania wyrażonego wzorem (2).

Z zasady Huygensa można wyprowadzić następujący związek:

(5)

gdzie v₁ jest prędkością światła w ośrodku pierwszym, a v₂ prędkością światła w drugim ośrodku.

Porównując wzór (2) ze wzorem (4) otrzymamy zależność:

(6)

7. Metody pomiaru współczynnika załamania światła

Metody pomiarów współczynnika załamania światła możemy podzielić na cztery grupy:

- metody spektrometryczne (Fraunhofera, Rydberg-Martensa, Abbego i inne). Materiał badany musi mieć kształt pryzmatu. W metodach tych współczynnik załamania światła jest przedstawiony jako funkcja kąta łamiącego pryzmatu i kąta odchylenia pryzmatu.

- metody opierające się na pomiarze kąta granicznego (zjawisko całkowitego wewnętrznego odbicia). Metoda ta wymaga stosowania światła monochromatycznego.

- metody interferencyjne (interferometry: Rayleigha, Jamina i inne). Umożliwiają pomiar współczynnika załamania światła również gazów i cieczy.

- metody pomiaru wykorzystujące poosiowe przesunięcie obrazu, utworzonego przez płytkę płaskorównoległą, z których dwie zostaną omówione poniżej.

a). Metoda pomiaru współczynnika załamania światła za pomocą płytki równoległościennej

Światło przechodzi często przez płytki płaskorównoległościenne jakimi są np.szyby (rys. 5). Promień wychodzący jest zawsze równoległy do promienia padającego. Jeżeli jednak po obu stronach płytki płaskorównoległościennej są dwa różne ośrodki, np. powietrze i woda (rys. 6), to promień światła w wodzie nie jest równoległy do promienia światła w powietrzu.

Rys. 5 Rys. 6

Przesunięcie d promienia (rys. 5) przy przejściu przez taką płytkę zależy od jej grubości d, kąta padania a promienia na jej powierzchnię oraz od współczynnika załamania światła n materiału płytki, czyli od jej gęstości optycznej i wyraża się wzorem:

(7)

Jeżeli umieścimy oko na wprost punktu A (rys. 7), znajdującego się na górnej powierzchni szklanej płytki, to punkt O na dolnej powierzchni tej płytki będzie się wydawał położony w punkcie O₁, tzn. bliżej punktu A. Aby znaleźć zależność między OA i O₁A rozpatrzmy dwa promienie wychodzące z punktu O. OA jest to rzeczywista grubość płytki d, O₁A jest to tzw. pozorna grubość grubość płytki h.

Rys. 7

Promień OA prostopadły do górnej powierzchni płytki przejdzie przez nią bez załamania. Promień OB pada na górną powierzchnię płytki pod kątem β, wychodząc z płytki załamuje się pod kątem α. Przedłużenie tego promienia wychodzącego (O₁B) daje w miejscu przecięcia z promieniem OA obraz O₁. Oczywiste jest, że O₁ będzie bliżej punktu A niż O. Promień OB ze szkła do powietrza, ale zasadę odwracalności biegu promieni, możemy napisać:

(8)

gdzie n oznacza współczynnik załamania światła szkła względem powietrza. W trójkącie prostokątnym ABO₁ kąt AO₁B jest równy α, więc:

(9)

Podobnie kąt BOA w trójkącie ABO jest równy β, czyli mamy:

(10)

Dzieląc stronami równania (7) i (8) otrzymamy:

(11)

W warunkach obserwacji wiązka światła wychodząca z punktu O jest mało rozbieżna, tzn., że kąty α i β są małe. Można więc tangensy tych kątów zastąpić z dobrym przybliżeniem sinusami. Równanie (9) przyjmie wtedy następującą postać:

(12)

które daje zależność pozwalającą wyznaczyć w prosty sposób współczynnik załamania światła za pomocą mikroskopu, który posłuży do wyznaczenia h, gdyż d można zmierzyć np. śrubą mikrometryczną.

b) Pomiar współczynnika załamania metodą de Chaulnesa.

Metoda de Chaulnesa opiera się na pomiarze wielkości poosiowego przesunięcia obrazu, utworzonego przez płytkę płasko-równoległą. Rys. 8 przedstawia dwie płytki: płytkę I, której współczynnik załamania wyznaczamy i płytkę II - jest to płytka pomocnicza, ma zaznaczony punkt na jednej z powierzchni. Jeżeli tę płytkę pomocniczą umieścimy na stoliku mikroskopu, powierzchnią z zaznaczonym punktem A do góry, to po położeniu na płytkę pomocniczą płytki badanej I o grubości d punkt A będzie widoczny w punkcie A', w wyniku załamania promieni światła w płytce badanej I. Z rys. 8 mamy:

Rys.8

, oraz

Dzieląc stronami ostatnie dwa równania otrzymamy:

(13)

Dla małych kątów padania promieni na płytkę można napisać:

(14)

gdzie: n - współczynnik załamania szkła, z którego wykonano płytkę, d - grubość płytki, Δs - wielkość poosiowego przesunięcia obrazu utworzonego przez płytkę płaskorównoległą. Pomiar tego przesunięcia wykonujemy za pomocą mikroskopu wyposażonego w śrubę mikrometryczną do mierzenia poosiowego przesunięcia tubusa mikroskopu.

8. Mikroskop

Mikroskop jest przyrządem optycznym składającym się z dwóch soczewek skupiających: obiektywu i okularu (rys. 9) umieszczonych w odległości L, posiadających wspólną oś optyczną. (Aby wyeliminować wady pojedynczej soczewki, i obiektyw i okular zbudowane są w rzeczywistości z wielu soczewek). Obiektyw daje obraz rzeczywisty, odwrócony i powiększony, a okular, spełniający rolę lupy, daje obraz pozorny, prosty i powiększony. Przedmiot P umieszcza się przed obiektywem, w odległości niewiele większej od jego ogniskowej f₁, możemy więc przyjąć, że x ≅ f₁. Obraz wytworzony przez obiektyw powstaje w odległości x' od okularu, niewiele mniejszej od ogniskowej f₂ okularu,

Rys. 9

czyli x' ≅ f₂. Natomiast obraz wytworzony przez okular powstaje w odległości dobrego widzenia y' = d. Ponieważ ogniskowe soczewek są małe, możemy przyjąć, że obraz otrzymany za pomocą obiektywu powstaje w odległości y ≅ L, gdzie L jest długością tubusa mikroskopu, czyli odległością obiektywu od okularu. Powiększenie mikroskopu przy tych przybliżeniach można wyrazić poniższym wzorem:

(15)

9. Zdolność rozdzielcza mikroskopu

Każdy przyrząd optyczny, a więc i mikroskop, charakteryzuje się tzw. zdolnością rozdzielczą, czyli wielkością informującą jak małe szczegóły badanego możemy nim zobaczyć. Wartość graniczna zdolności rozdzielczej wiąże się z takimi zjawiskami, jak dyfrakcja, czy interferencja światła. Odpowiednie obliczenia uwzględniające te zjawiska prowadzą do poniższego wzoru na zdolność rozdzielczą mikroskopu:

(16)

gdzie: d_min - minimalne rozmiary szczegółów przedmiotu,

n - współczynnik załamania ośrodka między przedmiotem a obiektywem mikroskopu (najczęściej jest to powietrze),

ϕ - tzw. kąt rozwartości optycznej obiektywu.

Jeżeli pomiędzy przedmiotem a obiektywem mikroskopu znajduje się jakaś ciecz o dużym współczynniku załamania światła, o wartości bliskiej współczynnikowi załamania szkła, to mikroskop rozróżnia punkty przedmiotu leżące bliżej siebie, czyli możemy pod takim mikroskopem zobaczyć więcej szczegółów badanego przedmiotu. Ciecze takie nazywamy cieczami immersyjnymi.

II. CEL ĆWICZENIA

Celem ćwiczenia jest wyznaczenie za pomocą mikroskopu współczynnika załamania światła n kilku płytek wykonanych ze szkła i z pleksiglasu.

III. WYKONANIE ĆWICZENIA

1. Metoda płytki płaskorównoległej:

a) Zmierzyć pięciokrotnie śrubą mikrometryczną grubość rzeczywistą płytki d. Skok śruby mikrometrycznej wynosi 0.5 mm, a jej dokładność, czyli odległość między dwiema kolejnymi podziałkami na bębnie - 0.01 mm.

b) Zmierzyć (również pięciokrotnie) za pomocą mikroskopu wyposażonego w śrubę mikrometryczną grubość pozorną płytki.

W tym celu pokrętło śruby mikrometrycznej znajdujące się z prawej mikroskopu, poniżej okularu, obracać w lewo do oporu (na skali śruby powinno być równe zeru), a następnie przesunąć tubus (nie używając chwilowo śruby mikrometrycznej mikroskopu) tak, aby zobaczyć ostry obraz rysy na górnej powierzchni płytki, po czym obracać śrubą mikrometryczną mikroskopu dopóty, dopóki nie zobaczy się ostrego obrazu rysy na dolnej powierzchni płytki. Zanotować wskazanie śruby mikrometrycznej: liczbę pełnych obrotów śruby (jest to liczba w okienku śruby), oraz liczbę podziałek na bębnie śruby. Skok śruby mikrometrycznej mikroskopu wynosi 0.09371 mm, a odległość między dwiema kolejnymi podziałkami na skali bębna jest 100 razy mniejsza od skoku śruby mikrometrycznej.

Uwaga: Przy pomiarze grubości pozornej można także korzystać ze śruby mikrometrycznej znajdującej się po lewej stronie tubusa mikroskopu. Wtedy trzeba jednak liczyć liczbę pełnych obrotów śruby. W tym przypadku skok śruby jest również równy 0.09371 mm, ale odstęp między dwiema kolejnymi podziałkami na skali bębna jest 50 razy mniejsza od skoku śruby mikrometrycznej.

c) Czynności opisane w punkcie 1 i 2 powtórzyć dla kilku płytek.

2. Metoda de Chaulnesa:

a) Zmierzyć śrubą mikrometryczną rzeczywistą płytki d. Skok śruby mikrometrycznej wynosi 0.5 mm, a jej dokładność, czyli odległość między dwiema kolejnymi podziałkami na bębnie - 0.01 mm.

b) Za pomocą śruby mikrometrycznej w mikroskopie podnosimy maksymalnie tubus mikroskopu (wskazanie na skali śruby powinno być równe zero). Na szkiełko z naniesioną rysą kładziemy badaną płytkę płaskorównoległą ze szkła lub pleksiglasu. Ogniskujemy mikroskop na obraz kreski utworzony przez płytkę przesuwając tubus śrubą główną (nie ruszamy śruby mikrometrycznej). Usuwamy badaną płytkę ze stolika mikroskopu i za pomocą śruby mikrometrycznej nastawiamy ponownie na ostry obraz rysy. Notujemy wskazanie śruby mikrometrycznej mikroskopu otrzymując w ten sposób wielkość osiowego przesunięcia obrazu kreski Δs'. Sposób obliczenia tego przesunięcia został podany w opisie wykonania ćwiczenia metodą płytki płaskorównoległej (punkt b). Pomiar ten powtarzamy pięciokrotnie.

IV. OPRACOWANIE WYNIKÓW

1. Dla pierwszej metody obliczyć wartości średnie d i h.

2. Obliczyć współczynnik załamania światła n dla kilku płytek wstawiając do wzoru (12) wartości średnie d i h.

3. Dla metody de Chaulnesa obliczyć wartości średnie d i Δs'.

4. Do wzoru (14) wstawić średnie wartości d i Δs' i obliczyć współczynnik załamania światła dla wszystkich badanych płytek.

5. Obliczyć błąd współczynnika załamania światła n dla jednej płytki metodą logarytmiczną. Błąd grubości rzeczywistej i pozornej płytki obliczyć jako błąd średni kwadratowy średniej S_x dla poziomu ufności 99,7 %. Obliczenia przeprowadzić dla obydwu metod wyznaczania współczynnika załamania światła.

V. Literatura

1. Chyla K., Fizyka dla ZSZ,

2. Crawford F.C., Fale s. 184-200

3. Feynman R.P., Feynmana wykłady z fizyki T.1, część 2, s. 11-38, 77-93,

4. Hanc T. Pomiary optyczne, WNT, W-wa 1964, s. 130-131

5. Herman M. i in., Podstawy Fizyki, PWN W-wa 1980, s. 397-404, 419-420.

6. Massalscy M., J., Fizyka dla kl. IV, s. 38-51, 77-78, 99-102,

7. Resnick R., Fizyka T.2, s. 418-428, wyd. 8, 1994.

---