Def Funkcji: . niech będą dane 2 zbiory X i Y, funkcją odwzorowującą zbiór X w Y nazywamy przyporz. każdemu el. zbioru X dokładnie jeden el. zb. Y.

Def. Ilorazu różnicowego w przedziale: niech f będzie funkcją określoną w przedz. otwartym zawierającym pkt x0 i x0+h. : f (x0+h) - f(x0) / h iloraz różnicowy w przedz. przy przyroście h.

Def. Ilorazu róż. w pkt: Pochodną f w pkt x0 nazywamy granice (jeśli ist) ilorazu różnicowego f. w pkt x0 przy przyroście h->0, granicę tą nazywamy f `(x0) lim f(x0+h) - f(x0)/h

Różniczkowalność f w pkt: F jest różniczkowalna w pkt x0 jeśli posiada pochodną w pkt x0

Różniczkowalność f w przedz.: F jest różniczkowalna w przedz. (a;b) jeśli istnieje pochodna w każdym pkt tego przedz.

Tw. Lagrange'a o wartości średniej w rach. różn.: Jeśli f jest ciągła w przedz. <a;b> i różniczkowalna w przedz. (a;b) to istnieje taki pkt c ∈ (a;b), że poch. c wynosi: f `(c) = f(b) - f(a) / b-a

Z tego tw. Wynika, że styczna do wykresu f w pkt. (c; f(c) ) jest równoległa do siecznej przech. przez pkt (a; f(a)) i (b; f(b))

Wnioski z Lagrange'a: 1) jeśli f spełnia zał. tego tw. i poch. tej f = 0 => f '(x) = 0 dla x ∈ (a,b) to ta f jest stała w prz. (a,b) 2) f '(x) > 0 => rosnąca 3) f `(x) < 0 => malejąca.

Max lokalne: Mówimy że f w przedz. (a,b) osiąga max lok. W pkt x0 ∈ (a,b) jeśli istnieje takie otoczenie U pkt x0, które jest zawarte w przedziale (a,b) i dla każdego pkt x ∈ U. f(x) ≤ f(x0) -> max niewłaściwe, f(x) < f(x0) -> max wł.

Min lokalne: mówimy że f okr. W przedz. (a,b) osiąga min lok. w pkt x0 ∈ (a,b), jeśli istnieje takie otoczenie U pkt x0 zawarte w przedz. (a,b) i dla każdego x z otoczenia U. f(x) ≥ f(x0) -> min niewł. f(x) > f(x0) min wł.

War. Konieczne istn. ekst. : Jeśli f jest różnowartościowa w pkt x0 i posiada w tym pktcie ekstremum to poch. f w tym pktcie = 0 => f `(x0) = 0

Warunki dost.: Zał: Niech f będzie rózniczkowalna w przedziale (a,b) zaw. pkt x0 i niech f `(x0) = 0

1) Jeśli f `(x) < 0 dla x<x0 i x ∈ (a,b) oraz f `(x) > 0 dla x>x0 i x∈ (a,b) TO z x0 f ma min lok.

2) jeśli znaki nierówności przy poch. zmieniają się na przeciwne to w x0 jest max lok.

Def. II poch. w pkt Niech f będzie różniczkowalna w przedz. (a,b) i niech f ` ma pochodną w pkt x0 ∈ (a,b). Pochodną f ` w pkt x0 nazywamy II poch. w pkt x0 => f `'(x0)

Jeśli f i f ` są różniczkowalne w przedz. (a,b) to w przedz. tym określona jest f która przyporządkowuje punktom z przed. (a,b) wartości pochodnej II rzędu w tych pkt, f tą nazywamy II poch. w przedz. (a,b) i oznacz. f `'

W analogiczny sposób definiujemy pochodne pkt wyższych rzędów

Def. wypukłości : 1) f określona i ciągła w przedziale U jest wypukła jeśli: (przykład 1)

2) f określona i ciągła w przedz. U jest ściśle wypukła gdy (przykład 2)

Tw. wypukłości f : Jeśli f jest określona i ciągła w otoczeniu U pkt x0 oraz w otoczeniu U poch. f ` jest ciągła to f jest wypukła gdy wykres f leży nad styczną do wykresu f w pkt (x0; f(x0))

Def. Wklęsłości : 1) Jeśli dla f w otoczeniu U zachodzi warunek (przykład 3) to f jest wklęsła w przedziale U 2) Jeśli dal f w otoczeniu U zachodzi warunek (przykład 4) , to f jest wklęsła w przedziale U

Tw. wklęsłości f : Jeśli f jest określona i ciągła w otoczeniu U pkt x0 oraz w otoczeniu U poch. f ` jest ciągła to f jest wklęsła w otoczeniu U gdy wykres f w otoczeniu U leży pod styczną do wykresu f w pkt (x0; f(x0))

Tw właściwe wypukłości i wklęsłości. Jeśli f jest 2-krotnie różniczkowalna w pewnym otoczeniu U pkt x0 i f `' jest dodatnia (ujemna) to f jest w tym otoczeniu wypukła (wklęsła). (przykład 5)

Pkt przegięcia : Pkt x0 nazywamy pkt przegięcia f, jeśli w lewostronnym sąsiedztwie pkt x0 jest ona wklęsła a w prawostronnym wypukła.

Tw. o pkt przegięcia : Jeśli f jest klasy C2 w pewnym otoczeniu U pkt x0 i II poch. f `'(x0) = 0 oraz II poch. w pkt x0 => f `'(x0) < 0 dla x < x0 i x∈U f `'(x0) > 0 dla x > x0 i x∈U

To f posiada pkt przeg. w x0.

Warunek konieczny istnienia pkt przegięcia : Mówimy że f jest klasy Cn w przedziale U jeśli n-ta poch. f jest ciągła w tym przedziale. Jeśli f jest różniczkowalna to jest ciągła.

Warunek dostateczny istnienia pkt przeg - jeśli funkcja f jest klasy Cn w pewnym otoczeniu U pkt x0 oraz 2 poch w pkt x0:

1)f”(x0)<0 dla x<x0 i xcU

2)f”(x0)>0 dla x>x0 i xcU to f osiada w pkt xo pkt przegięcia

Tw. : Jeśli f jest klasy Cn w pewnym otoczeniu pkt x0 oraz pkt x0 wszystkie poch. = 0 a n-ta poch. jest różna od 0 to: 1) gdy U jest liczbą parzystą to f posiada ekstremum lok. w pkt x0 2) gdy U >1 i jest nieparzyste to f posiada w pkt x0 pkt przegięcia.

Def. asymptoty :Niech f będzie określoną w lewostronnym lub prawostronnym sąsiedztwie pkt x0 i nieokreślonym w pkt x0

As. pionową f będziemy nazywać prostą o równaniu x=x0, jeśli: lim f(x)= +- nies. x→0+-

Prostą o równaniu y= ax+b nazywamy asymptotę ukośną bądź pochyłą f w +lub- nieskończoności jeśli lim[ f(x) -(ax+b)] = 0 przy x-> +/- ∞

Tw. :Jeśli prosta y=ax+b jest asymptotą ukośną to a= lim f(x)/x i b= lim(f(x) -ax) przy x->+/-∞

Tw. odwrotne jeśli istnieją granice wyznaczające a i b to f posiada asymptotę ukośną o równaniu y=ax+b (w +/-∞) jeśli a=0 to asymptota ukośna jest poziomą

Symbole nieoznaczone: 0/0, ∞/∞, ∞-∞, 0∞, 0⁰, ∞⁰, 1^∞

Tw. Reguła de L'Hospitala : ( dot. 0/0 i ∞/∞ ) Jeśli spełnione są następujące warunki: 1) f i g są różniczkowalne w pewnym otoczeniu pkt x0 przy czym g'(x) ≠0 i g(x) ≠0 2) granica lim f(x)= 0(+/-∞) lub g(x)=0 lub +/-∞ przy x->x0 3) istnieje lim f `(x)/ g'(x) przy x->x0 to istnieje granica lim f(x)/g(x) oraz lim f(x)/g(x) = f `(x)/g'(x) przy x->x0 (przykład 7)

Etapy badania przeb. zmienności : 1)Df 2)granice na krań przedział 3)pkt wspólne z OX i OY 4)asymptoty (po, pio, uko) 5)I poch( monot. Ekstrem). 6)II poch (miej zerowe pkt przegięcia). 7)tabela 8)wykres

Def elastyczności funkcji -elastycznością f y=f(x) ze względu na zmienna x nazywamy E_xf = lim( Λy/Λx * x/y = y' x/y Interpretacja - jeśli wartosć zmiennej x wzrosnie o 1% od poziomu x wartość funkcji f wzrośnie o (Exf)%

ELASTYCZNOŚĆ (cenowa, popytu)

Jeśli x będzie dochodem a y popytem:

1)y=f(x) - funk. Popytu x - dochód Exf dochodowa elastycznośc popytu (jeśli dochód wzrośnie o 1%, popyt wzrośnie o 1%)

2)y=f(x) - funk. Popytu x - cena Exf cenowa elastyczność popytu

(jeśli wzrośnie popyt o 1%, cena wzrośnie o 1%)

SZEREGI LICZBOWE

Def. Ciągu: Ciągiem Liczbowym nazywamy funkcję, która odwzorowuje zbiór N liczb naturalnych w pewien niepusty zbiór Y(oznaczamy: a_n, b_n, c_n,…)

Def.: niech dany będzie ciąg liczbowy (a_n) _neN. Wyrażenie postaci a₁+a₂+a₃+…nazywamy szeregiem liczbowym i oznaczamy Σ a_n

Elementy ciągu a_n nazywamy wyrazami szeregu, a ciąg a_n ciągiem wyrazów szeregu.

Def. Ciągu sum częściowych: Niech dany będzie szereg postaci: Σ a_k=a₁+a₂+…+a_k+… i niech ciąg S_{n neN} będzie ciągiem o wyrazie ogólnym. Ciąg S_n nazywamy ciągiem sum częściowych ciągu a wyraz S_n n-tą sumą częściową.

Def. Szeregu zbieżnego: Mówimy że szereg a_k jest zbieżny jeśli jest zbieżny odpowiadający mu szereg sum częściowych. Granice ciągu sum częściowych nazywamy sumą szeregu a_k i zapisujemy: S=Σ a_k tzn. S=lim S_n

Def. Szeregu rozbieżnego: szereg liczbowy, który nie jest zbieżny nazywamy rozbieżnym.

Tw.: Warunek konieczny zbieżności szeregu: Jeśli szereg Σ a_k jest zbieżny to ciąg a_{k neN} jest zbieżny do 0 czyli lim a_n=0. Szereg jest rozbieżny gdy a_k=0 a gdy jest róz od 0 nie wiadomo.

Def.: Szereg postaci Σaqⁿ gdzie a róż od 0 nazywamy szeregiem geometrycznym o ilorazie q.

Def.: Szereg geom. o ilorazie q jest zbieżny gdy |q|<1 a rozb. gdy |q|≥1.

Def.: Szereg postaci Σ 1/n^α αeR nazywamy szeregiem harmonicznym.

Def. Szereg harmoniczny rzędu α jest zbieżny gdy α>1 natomiast rozbieżny gdy α≤1.

KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW

Tw. Kryterium Porównawcze: Niech wyrazy dwóch szeregów E a_n i E b_n spełniają nierówność 0≤a_n≤b_n dla neN (*)

1)Jeżeli szereg Σ b_n jest zbieżny to Σ a_n jest zbieżny 2)Jeśli szereg Σ a_n jest rozbieżny to Σ b_n jest rozbieżny

UWAGA! Kryterium porównawcze jest prawdziwe gdy nierówność (*) zachodzi dla n>n₀

Tw. Kryterium Cauchy'ego: Niech E a_n będzie szeregiem o wyrazach nieujemnych (a_n>=0 dla n=1,2,3,...takie, że lim a_n pierw = g wówczas: 1)Jeśli q<1, to Σ a_n jest zb. 2) Jeśli q>1, to Σ a_n jest rozb.

Tw. Kryterium d'Alamberta: Niech (a_n) _neN będzie ciągiem o wyrazach dodatnich (tzn. a_n≥0 dla neN) oraz niech lim a_n+1/a_n=q wówczas: 1) Jesli q<1 to Σ a_n zb. 2) Jeśli q>1 to Σ a_n rozb.

Tw. Kryterium Leibniza: Jeżeli szereg przemienny Σ (-1)^n-1 a_n spełnia warunki: 1) a_n>0 dla neN 2) (a_n) neN jest ciągiem malejącym, tzn a_n+1<a_n dla neN 3) lim a_n=0

to szereg ten jest zbieżny i jego suma S spełnia nierówność a₁-a₂<=S<a₁

Def. Szeregiem przemiennym nazywamy szereg postaci Σ (-1)^n-1 a_n=a₁-a₂+a₃-a₄+... gdzie a_n róż od 0.

Def. Szereg bezwzględnie zbieżny: Szereg a_n nazywamy bezwzględnie zbieżnym, jesli szereg Σ |a_n| jest zbieżny.

Def.: Szereg zbieżny, który nie jest bezwzględnie zbieżnym nazywamy warunkowo zbieżnym.

Tw.: Każdy szereg bezwzględnie zbieżny jest zbieżny.

Np. Szereg Σ (-1)^n-1 1/n jest warunkowo zbieżny, ale nie jest bezwzględnie rozbieżny (Σ 1/n jest rozbieżny)

---