WYKŁAD III

Podstawowe modele przetwarzania statycznego i dynamicznego

• Klasy opisu modeli i zmiana postaci

• Standardowe modele statyki i dynamiki

• Propagacja sygnałów, błędów i zakłóceń

• Modele nieliniowe

• Modele dyskretne a modele ciągłe

liniowe modele statyczne i dynamiczne

Definicja Liniowy model dynamiczny, dla którego zależność wyjścia od wejścia opisuje funkcjonał F, spełnia zasadę superpozycji (odpowiedź na ważoną sumę wejść jest ważoną sumą odpowiedzi):

Przykład: liniowy dynamiczny model operacji uśredniania za czas T (funkcjonał całkowy)

Liniowy model statyczny opisany funkcją f wyjścia od bieżącej wartości wejścia spełnia zasadę superpozycji w wersji bez zależności czasowej (brak wpływu historii wejść)

Przykład: statyczny liniowy model mostka tensometrycznego z jednym tensometrem czynnym i napięciem niezrównoważenia (U₀ nie jest reakcją na wielkość wejściową, ściśle mówiąc jest to model przyrostowo liniowy)

Przykład: Zasada superpozycji dla liniowego dynamicznego modelu w postaci równania różniczkowego

nie widać spełnienia zasady superpozycji, ale w równoważnej postaci splotowej:

Postacie liniowych modeli systemów dynamicznych

Równanie różniczkowe

Ta postać w naturalny sposób wynika z różniczkowych praw fizyki, ogólnie z równania Lagrange'a

, gdzie

F - siła uogólniona, P - moc tracona, v - prędkość uogólniona, E_k - energia kinetyczna, E_p - energia potencjalna.

Systemy fizyczne spełniają warunek realizowalności: m ≤ n (dlaczego?).

Pojedyncze równanie opisuje układ SISO (jedno wejście, jedno wyjście) z określonymi warunkami początkowymi.

Przykłady:

Modele uogólnione

Stosowanie różnych zasad fizyki prowadzi do równań różniczkowych o tej samej strukturze (kolejne pochodne wejścia i wyjścia po czasie) ale o innej parametryzacji zależnej od stosowanych zasad i parametrów fizycznych. Oczywiście musi zachodzić zgodność wymiarów składowych równania. Wynika stąd możliwość ujednolicenia analizy przez wprowadzenie modeli uniwersalnych z jednolitą parametryzacją.

Przykład: Odmienne zjawiska (postacie przetwarzanej energii) opisane takim samym modelem

Równania stanu

A - macierz kwadratowa n×n, B - macierz n×m, C - macierz p×n, D - macierz p×m,

n - ilość stanów, m - ilość wejść, p - ilość wyjść.

Macierzowe równanie stanu opisuje układ MIMO (wiele wejść, wiele wyjść).

Rodem z automatyki, zrobiły dużą karierę w symulacji systemów dynamicznych (podstawa działania np. Simulinka).

Najistotniejszą cechą równań stanu jest opis równaniami pierwszego stopnia i niezależność opisu wyjść od historii wejść (w przeciwieństwie do modelu splotowego z odpowiedzią impulsową).

Ogólne rozwiązanie równań stanu ma postać splotową
, jednak w praktyce obliczeniowej wykorzystuje się do wyznaczania trajektorii stanu efektywniejsze czasowo algorytmy numerycznego całkowania równań stanu (zob. następny wykład).

Przykłady:

Transmitancja operatorowa i widmowa

Jedna transmitancja opisuje układ SISO przy zerowych warunkach początkowych.

Podstawiając
(zastąpienie ogólnej transformaty Laplace'a szczególnym przypadkiem transformaty Fouriera) otrzymujemy transmitancję widmową o wartościach zespolonych w funkcji pulsacji ω.

Moduł transmitancji widmowej:

Argument (faza) transmitancji:

Rekonstrukcja czasowej postaci odpowiedzi y(t) na sygnał u(t) w ogólnym przypadku ma postać:

z relacjami:
, przy y(t)=0 dla t<0

Przykłady:

Bieguny i zera

Wgląd na zachowanie modelu i możliwość łatwego kształtowania jego własności częstotliwościowych daje model zer i biegunów, czyli pierwiastków odpowiednio licznika i mianownika. Jest to przetworzona postać transmitancji.

Przykład: mostkowy przesuwnik fazowy

,

Odpowiedź impulsowa i skokowa

,

Impuls Diraca
tylko dla t=0 oraz
. Przykłady odpowiedzi na impuls i skok będą dalej.

Ogólne wyrażenie opisujące odpowiedź na wejście u(t) ma postać splotową:

co jest mało praktyczne dla nieskończonych odpowiedzi impulsowych i dla obliczeń w wielu punktach.

Związki między poszczególnymi postaciami modeli.

Z Do	Równanie różniczkowe	Równania stanu	Transmitancja operatorowa	Odpowiedź impulsowa
Równanie różniczkowe	X		Odwrotna transformata Laplace'a
Równania stanu	Zmienne stanu za kolejne pochodne wyjścia (i wejścia)	X
Transmitancja operatorowa	Transformata Laplace'a		X
Odpowiedź impulsowa				X

Dla modeli układów o elementach zmiennych z czasem parametry są funkcjami czasu co utrudnia analizę.

MODELE DYNAMIKI pierwszego RZĘDu - Własności czasowe

Obiekty z modelem pierwszego rzędu: ogólnie układy z magazynem energii jednego rodzaju, potencjalnej lub kinetycznej. Np. elektryczne (bierne filtry RC lub RL), termiczne (np. czujnik temperatury bez osłony).

Model dolnoprzepustowy:

Odpowiedź impulsowa:
Odpowiedź skokowa:

Czas ustalania odpowiedzi skokowej:

ε[%]	36,8	5	1	0,1
tu	T	3T	4,6T	6,9T

MODELE DYNAMIKI pierwszego RZĘDu - Własności częstotliwościowe

Zespolona odpowiedź częstotliwościowa:

Odpowiedź amplitudowa:

Odpowiedź fazowa:

Np. dla
:

(tłumienie 3dB = 20log₁₀2^-1/2)

Wykresy w skali liniowej (górne) mało czytelne, powszechnie stosuje się skalę amplitudy 20log₁₀ i skalę logarytmiczną częstotliwości/pulsacji (wykresy Bodego).

MODELE DYNAMIKI DRUGIEGO RZĘDu - Własności czasowe

Obiekty z modelem drugiego rzędu: ogólnie układy z magazynami energii potencjalnej i kinetycznej.

mechaniczne (np. belka tensometryczna, ustrój wskazówkowy, akcelerometr)

elektryczne (wzmacniacz, filtr aktywny)

termiczne (np. czujnik temperatury z osłoną - czy są tu dwa rodzaje energii ?)

Model dolnoprzepustowy:
(uniwersalna parametryzacja)

lub alternatywnie:
,

Modele pasmowo i górno-przepustowe drugiego rzędu - bez przykładów.

MODELE DYNAMIKI DRUGIEGO RZĘDu

Własności częstotliwościowe

Model dolnoprzepustowy

Odpowiedź amplitudowa:

Odpowiedź fazowa:

Np. dla
:

,

Zwraca uwagę zależność pasma przenoszenia i pasma liniowej fazy od tłumienia.

Propagacja sygnałÓw, błędów i zakłóceń W modelach liniowych - podsumowanie

Propagacja sygnałów:

statyka - skalowanie

dynamika w dziedzinie czasu - splot wejścia z odpowiedzią impulsową

dynamika w dziedzinie częstotliwości - widmo skalowane transmitancją

Propagacja błędów systematycznych:

jak składowa stała sygnału - wzmocnienie statyczne

Propagacja zakłóceń (błędów przypadkowych):

statyka - odchylenie standard. sygnału skalowane wzmocnieniem bez zmiany charakteru rozkładu

dynamika w dziedzinie czasu - splot korelacji (własne i wzajemne) z odpowiedzią impulsową

,

dynamika w dziedzinie częstotliwości - gęstości widmowe skalowane kwadratem transmitancji

nieliniowE modelE DYNAMIKI

Nieliniowe równania stanu

Model Wienera (nieliniowość na wyjściu)

Model Hammersteina (nieliniowość na wejściu)

Szeregi Volterry

Przykłady:

Wzmacniacz z nasyceniem (model Wienera), realizacja pomiaru wartości skutecznej wg definicji (model Hammersteina-Wienera), mostek tensometryczny przy dużej nierównowadze (nieliniowość statyczna).

Problemy: pojawiają się składowe o częstotliwościach, których nie było w wymuszeniu (np. w kwadratorze)

Problematyczna propagacja sygnałów (np. kwadrat odpowiedzi skokowej inercji udaje inercję II-go rzędu)

Modele dyskretne

Równanie różnicowe

Dyskretne równania stanu

Transmitancja operatora z

Podstawiając z=e^jω. otrzymujemy dyskretną transmitancję widmową.

Należy rozróżniać modele z operatorem z i q=z^-1

Dyskretna odpowiedź impulsowa

Dyskretny impuls jednostkowy
(impuls Kroneckera) tylko dla n=0 i równy zero poza.

Modele ciągłe a modele dyskretne - w niektórych zastosowaniach ciągłe modele obiektów pomiarów nie są potrzebne, wystarcza dyskretna relacja pomiędzy kolejnymi próbkami sygnałów (np. automatyka, detekcja). Można również utworzyć dyskretny, równoważny ciągłemu w chwilach próbkowania, opis sygnału (transformacje s-z).

Komputerowa analiza systemów pomiarowych

11

Katedra Metrologii AGH Kraków 2004

u_we

u_wy

Dynamika filtra RC:

Założenia: brak wzajemnego obciążenia nast./poprz. elementu

Dynamika czujnika temperatury:

Założenia: brak wpływu czujnika na ośrodek, pomijalne oddziaływanie prądu

[K] - temperatura otoczenia

[K] - temperatura czujnika

[W/m² K] - współczynnik przejmowania ciepła z otoczenia

A [m²] - powierzchnia wymiany ciepła

c [J/kg K] - ciepło właściwe

Bilans ciepła:

,

dynamiczna część

liniowa

funkcja nieliniowa f()

y(t)

f(u(t))

u(t)

dynamiczna część

liniowa

funkcja nieliniowa f()

y(t)=f(z(t))

z(t)

u(t)

p₂

p₁

Re(s)

Im(s)

Bieguny:

Odpowiedź impulsowa (
)

ξ<1:

ξ=1:

ξ>1:

Odpowiedź skokowa (
)

ξ<1:

ξ=1:

ξ>1:

Charakterystyka wszechprzepustowego modelu pierwszego rzędu - przesuwnika fazowego.

p₁

Re(s)

Im(s)

Biegun:

Postać dynamiki pierwszego rzędu mają również modele górnoprzepustowe (np. dzielnik C-R) i wszechprzepustowe (np. mostkowe przesuwniki fazowe).

y

u

R

R

C

R

Im(s)

Re(s)

z

p

Przetwornik z masą sejsmiczną:

Filtr CR:

R₂

R₁

S₂

S₁

Możliwe jest rozszerzenie tego modelu na macierzowy opis transmitancyjny układu MIMO (np. rejestracja sygnałów z wielu źródeł (np. dźwięki instrumentów orkiestry) wieloma czujnikami (mikrofonami) przy różnych warunkach propagacji sygnałów. Powstaje problem rekonstrukcji oryginalnych sygnałów (ang. source separation).

Filtr CR:

Przetwornik z masą sejsmiczną:

y

B

k_s

F

m

C

i(t)

R

y(t)

u(t)

Przetwornik z masą sejsmiczną

- siła wymuszająca

- siła bezwładności masy

- siła reakcji sprężyny

- siła tłumiąca

Filtr górnoprzepustowy CR

---