Cel ćwiczenia

• zapoznanie się z procesem wytwarzania obrazów przez soczewki

• zapoznanie się z metodami wyznaczania odległości ogniskowych

soczewek

Część teoretyczna

Soczewka jest elementem optycznym , którego działanie oparte jest na zjawisku załamania promieni świetlnych na granicy dwóch ośrodków. Zadaniem każdego układu optycznego opartego na zestawie soczewek, jest transponowanie homocentrycznej wiązki świetlnej. Wiązką homocentryczną nazywamy wiązkę, posiadającą jeden wspólny punkt przecięcia. Może być wiązką rozchodzącą lub schodzącą. Soczewki są powierzchniami sferycznymi, więc prosta, na której znajdują się środki krzywizn układu soczewek nazywamy osią optyczną układu. Układ soczewkowy pozwala uzyskać przetransponowany obraz dowolnego przedmiotu. Zbiór punktów przestrzeni, w której znajdują się przedmioty nazywa się przestrzenią przedmiotową (U). Zbiór obrazów punktów przestrzeni przedmiotowej tworzy przestrzeń obrazową (R). Jest to obszar rozciągający się od powierzchni załamującej po stronie utworzonych obrazów rzeczywistych. Wśród soczewek rozróżniamy soczewki o zdolności skupiającej lub rozpraszającej. Punkt, w którym przecinają się promienie(lub ich przedłużenia) wiązki równoległej światła po przejściu przez soczewkę, nazywany jest ogniskiem F, a odległość ogniska od środka soczewki - odległością ogniskowej 'f'. podstawową wielkością charakteryzującą soczewkę jest jej zdolność zbierająca (odwrotność odległości ogniskowej 'f '). Każda z powierzchni soczewki ma środek krzywizny, a prosta przechodząca przez oba środki krzywizny nazywa się osią główną soczewki. Wyróżniamy soczewki cienkie (grubość< niż 1% odl. ogniskowej) i grube (grubość> niż 10% odl. ogniskowej). Soczewkę cienką, przy założeniu, że kąty jakie tworzą promie nie z osią są małe, opisuje wzór soczewkowy :

n1- współczynnik załamania ośrodka , w którym znajduje się soczewka

n2- współczynnik załamania materiału soczewki

r1,r2- promienie krzywizny soczewki

x - odległość przedmiotu od soczewki

y - odległość obrazu od soczewki

Część doświadczalno - obliczeniowa

W celu oszacowania odległości ogniskowej soczewki należy skierować ją na odległe źródło światła, znaleźć na ekranie ostry obraz źródła światła i zmierzyć odległość od soczewki do ekranu. Jest ona w przybliżeniu równa odległości ogniskowej badanej soczewki ( f ).

Kolejno otrzymane wyniki:

• dla soczewki skupiającej nr 1 f = 11,8 cm

• dla układu soczewek ( skupiająca + rozpraszająca ) f = 12,5 cm

• dla soczewki skupiającej nr 2 f = 11,25 cm

1. Wyznaczanie odległości ogniskowych metodą wzoru soczewkowego

Dla soczewki skupiającej nr 1

Pomiar	p[cm]	p'[cm]	f' [cm]	Δf'[cm]
1	-98,8	12,7
2	-98,8	14,5
Średnia	-98,8	13,6	11,95	0,1

P[cm] - odległość przedmiotu od soczewki

P'[cm] - odległość obrazu od soczewki

F'[cm] - ogniskowa

Δf' - błąd ogniskowej wyliczany z różniczki logarytmicznej

• Przykładowe obliczenie f' oraz Δf':

f' = 1 / ( 1/p' - 1/p ) = 1 / ( 1 / 13,6 - 1 / - 98,8 ) = 1 / ( 0,074 - 0,01 ) =

= 11,95 [cm]

Wartość błędu Δp oraz Δp' równy jest błędowi odczytu z linijki.

Błąd Δf' wyliczam z różniczki logarytmicznej:

Δf' = [ Δp'/ p' + Δp'/p + Δp/(p -p') + Δp'/ (p -p') ]^. f' =

= [ 0,1 / 13,6 + 0,1 / -98,8 + 0,1 / ( -98,8 - 13,6 ) ] * 11,95 = 0,065 [cm]

Zatem ostatecznie ogniskowa soczewki nr 1 wynosi:

f' = 12,0 ± 0,1 [cm]

Dla soczewki skupiającej nr 2

Pomiar	p[cm]	p'[cm]	f' [cm]	Δf'[cm]
1	-98,8	13,8
2	-98,8	12,1
Średnia	-98,8	12,95	11,44	0,1

P[cm] - odległość przedmiotu od soczewki

P'[cm] - odległość obrazu od soczewki

F'[cm] - ogniskowa

Δf' - błąd ogniskowej wyliczany z różniczki logarytmicznej

Dla układu soczewek:

Pomiar	p[cm]	p' [cm]	f' [cm]	Δf'[cm]
1	-98,8	16,1
2	-98,8	12,4
Średnia	-98,8	14,25	12,45	0,1

P[cm] - odległość przedmiotu od soczewki

P'[cm] - odległość obrazu od soczewki

F'[cm] - ogniskowa

Δf' - błąd ogniskowej wyliczany z różniczki logarytmicznej

1. Wyznaczanie odległości ogniskowych metodą Bessela

Obliczenia poniżej uzyskano przy położeniu d = 57,1 ± 0,1 [cm] dla soczewki skupiającej nr 1

Pomiar	C1	 C1	C2	 C2
1	16,7	0,2	31,3	0,1
2	16,5	0	31,3	0,1
3	16,4	0,1	31,2	0
4	16,5	0	31,3	0,1
5	16,4	0,1	31,1	0,1
Średnia	16,5	0,08	31,2	0,1

C1 , C2 - pierwsze i drugie położenie soczewki, przy których obraz jest ostry

 C1 ,  C2 - błędy przy wyznaczaniu kolejnych położeń

C = 31,2 - 16,5 = 14,7 [cm]

C = 0,1 + 0,08 ≈ 0,2 [cm]

f ' = (d2 - c2) / 4d = ( 57,12 - 14,72 ) / 4 * 57,1 = 13,33 [cm]

f ' = c/2d *c + (c2+d2)/4d2 * d = 14,7 / 2 * 57,1 * 0,2 + ( 14,72 + 57,12 ) / 4*

* 57,12 * 0,1 = 0,1 [cm]

Zatem ogniskowa soczewki nr 1 wynosi:

f ' = 13,3 ± 0,1 [cm]

Obliczenia poniżej uzyskano przy położeniu d = 65 ± 0,1 [cm] dla soczewki skupiającej nr 2

Pomiar	C1	 C1	C2	 C2
1	14,6	0,06	41,1	0
2	14,4	0,14	41	0,1
3	14,6	0,06	41,2	0,1
4	14,4	0,14	41	0,1
5	14,7	0,16	41,1	0
Średnia	14,54	0,1	41,1	0,1

C1 , C2 - pierwsze i drugie położenie soczewki, przy których obraz jest ostry

 C1 ,  C2 - błędy przy wyznaczaniu kolejnych położeń

C = 41,1 - 14,54 = 26,6 [cm]

C = 0,1 + 0,1 = 0,2 [cm]

f ' = 13,53 [cm]

f ' = 0,1 [cm]

Zatem ogniskowa soczewki nr 2 wynosi:

f ' = 13,5 ± 0,1 [cm]

Obliczenia poniżej uzyskano przy położeniu d = 65 ± 0,1 [cm] dla układu soczewek skupiającej i rozpraszającej

Pomiar	C1	 C1	C2	 C2
1	21,9	0,06	37	0,1
2	21,8	0,04	36,7	0,2
3	21,9	0,06	36,9	0
4	21,7	0,14	36,9	0
5	21,9	0,06	36,8	0,1
Średnia	21,84	0,1	36,9	0,1

C1 , C2 - pierwsze i drugie położenie soczewki, przy których obraz jest ostry

 C1 ,  C2 - błędy przy wyznaczaniu kolejnych położeń

C = 36,9 - 21,84 = 15,1 [cm]

C = 0,1 + 0,1 = 0,2 [cm]

f ' = 15,37 [cm]

f ' = 0,1 [cm]

Zatem ogniskowa układu soczewek wynosi:

f ' = 15,37 ± 0,01 [cm]

Korzystając teraz z równania: 1/f'1,2 = 1/f'1 + 1/f'2 można wyznaczyć ogniskową soczewki rozpraszającej:

1/f '2 = 1/f '1,2 - 1/f '

1/f '2 = 1/15,37 - 1/13,53 = - 113,1 ± 0,1 [cm]

2. Wyliczanie odległości ogniskowej metodą pozornego przedmiotu

( dla soczewki rozpraszającej )

p'' = 70 [ cm ]

Dla soczewki skupiającej:

p = 81 - 70 = 11 [cm]

Dla soczewki rozpraszającej:

p' = 84 - 70 = 14 [cm]

Zatem:

f' = 1 / [ ( 1/ p') - (1 / p) ] = 1 / ( 1 / 14 - 1 / 11 ) = - 51,3 [cm]

Podobnie jak wcześniej błąd wyliczam z różniczki logarytmicznej:

f' = [ p'/ p' + p/ p + p/(p -p') + p'/ (p -p') ]^. f' =

= [ 0,1 / 14 + 0,1 / 11 + 0,1 / ( 11 - 14 ) ] * -51,3 = 0,877 [cm]

Ostatecznie:

f' = - 51,3 ± 0,9 [cm]

Wnioski.

Zestawienie wyników dla poszczególnych metod:

Rodzaj Metody	Soczewka nr 1	Soczewka nr 2	Układ soczewek	Soczewka rozpraszająca
Oszacowanie	11,8 [cm]	11,25 [cm]	12,5 [cm]
Wzoru soczewkowego	12,0 ± 0,1 [cm]	11,44 ± 0,1 [cm]	12,45 ± 0,1 [cm]
Bessela	13,3 ± 0,1 [cm]	13,5 ± 0,1 [cm]	15,37 ± 0,01 [cm]	- 113,1 ± 0,1 [cm]
Pozornego przedmiotu				- 51,3 ± 0,9 [cm]

Jak widać w tabeli powyżej wartości f dla poszczególnych metod mają dosyć zbliżone wartości. Najbardziej dziwi fakt, iż metoda wzoru soczewkowego dała wartości bliższe wartościom szacunkowym niż metoda Bessela. Mimo wszystko różnice te nie są na tyle duże aby można było mówić o błędzie grubym. Jedynie wartość f obliczona dla soczewki rozpraszającej ma duża rozbieżność. Przypuszczam że odczytano złe wartości z linijki przy metodzie pozornego przedmiotu.

---