17.a) Omówić krótko następujące pojęcia: łuk zwykły, łuk gładki, łuk kawałkami gładki, kontur (kontur gładki).

Zbiór Ł należy do
nazywamy łukiem, jeśli istnieje odwzorowanie ciągłe H przedziału [a,b] na Ł, takie, że:

• H jest bijekcją

• H
  jest odwzorowniem ciągłym Ł na [a,b]

• H jest odwzorowaniem ciągłym [a,b] na Ł

Niech dany będzie łuk zwykły Ł
do
o równaniach parametrycznych x=x(t), y=y(t) ,t[alfa, beta]

Dzielimy przedział [alfa, beta] na n podprzedziałów punktów

tk(k=1,2,...,n-1) gdzie alfa=t0<t1<t2<t3<t4....<tn-1<tn=beta o długościach delta_tk = tk-tk-1

Jeśli istnieje opis parametryczny H:[alfa, beta], to :

• H
  =H przy warunku(t
  , t
  ) :(t
  , t
  ) jest klasy C
  

• H'(t)
  dla t
  (t
  , t
  ), gdzie k=1,2,...,n to łuk ten nazywamy kawałkami gładkim, a w szczególnym przypadku gdy n=1, łuk Ł nazywamy gładkim.

Zbiór K nalezy do R^n nazywamy konturem, jeśli istnieje odwzorowanie ciągłe H przedziału [alfa, beta] na K, takie, że :

• H(alfa)=H(beta)

• H(dla przedziału [alfa, beta]) jest różnowartościowe.

17.b) Podać przykład łuku gładkiego i konturu (opis parametryczny), którego opis jest zgodny(niezgodny) ze wzrostem parametru.

Łuk Gładki

X

y

Kontur

---