Numer ćwiczenia 11	Temat ćwiczenia Moduł Younga	Ocena z teorii
Numer zespołu 15	Nazwisko i imię Pilch Joanna Raczkiewicz Ewelina	Ocena zaliczenia ćwiczenia
Data 06.03.2008	Wydział, rok, grupa GGiIŚ, GiK rok I, gr.6	Uwagi

TEMAT: MODUŁ YOUNGA

Moduł Younga (E) inaczej moduł odkształcalności liniowej albo moduł sprężystości podłużnej (w układzie odniesienia SI). Wielkość uzależniająca odkształcenie liniowe ε materiału od naprężenia σ jakie w nim występuje w zakresie odkształceń sprężystych.

Jednostką modułu Younga jest paskal. Jest to wielkość określająca sprężystość materiału.

Moduł Younga jest hipotetycznym naprężeniem, które wystąpiłoby przy dwukrotnym wydłużeniu próbki materiału, przy założeniu, że jej przekrój nie ulegnie zmianie

Prawo Hooke'a - prawo mechaniki określające zależność odkształcenia od naprężenia. Głosi ono, że odkształcenie ciała pod wpływem działającej nań siły jest wprost proporcjonalne do tej siły.

Ta prawidłowość, pozostaje prawdziwa tylko dla niezbyt wielkich odkształceń, nie przekraczających tzw. granicy Hooke'a (zwanej też granicą proporcjonalności) i tylko dla niektórych materiałów. Odkształcenie tego rodzaju znika, gdy przyłożona siła przestaje działać. Współczynnik między siłą a odkształceniem jest często nazywany współczynnikiem (modułem) sprężystości.

Najprostszym podejściem do Prawa Hooke'a jest rozciąganie statyczne pręta. Wydłużenie takiego pręta jest wprost proporcjonalne do siły przyłożonej do pręta, do jego długości i odwrotnie proprocjonalne do pola przekroju poprzecznego pręta. Współczynnikiem proporcjonalności jest moduł Younga E.

więc:

gdzie: F - siła rozciągająca, S - pole przekroju, Δl - wydłużenie pręta, l - długość początkowa.

Stała sprężystości odnosi się do sprężyn i innych urządzeń, z natury przeznaczonych do wykorzystywania zjawiska sprężystości. Najczęściej podaje się go stawiając po lewej stronie nie wydłużenie, lecz siłę potrzebną do uzyskania danego wydłużenia (skrócenia).

F - siła sprężystości (w układzie SI w Newtonach N)

k - stała sprężystości (w układzie SI w N/m)

x - odkształcenie - poprzednio oznaczane jako Δl (w układzie SI w metrach m)

F_spr = k · x

Wzór powyższy stosujemy najczęściej w odniesieniu do sprężyn, czy innych ciał o skomplikowanych kształtach, lecz o sile sprężystości reagującej liniowo na odkształcenie.

Siła harmoniczna określa wielkość siły działającej na ciało w funkcji jego położenia.

F= -k*x

Siłę, która w taki sposób zależy od położenia nazywamy siłą harmoniczną, a ruch jaki wykonuje ciało pod wpływem działania takiej siły nazywa się ruchem drgającym harmonicznym albo prostym.

Położenie, w którym sprężyna nie jest napięta (F=0) nazywa się położeniem równowagi.

Cel ćwiczenia: Wyznaczenie Modułu Younga

Opracowanie wyników pomiarów

1. Drut stalowy

1. Obliczenie wartości średniej średnicy drutów (stalowego i mosiężnego) oraz jej niepewności. Wyznaczenie pola przekroju drutu.

L= 1067 mm

Pomiar	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
d	1,26	1,29	1,28	1,28	1,28	1,28	1,28	1,27	1,27	1,29

Pomiar średnicy wykonano śrubą mikrometryczną z dokładnością do 0,01 mm.

d_śr =

= 1,278 mm

Δd_śr =
0,013 mm

u_A(d) =
0,004 mm

u_B(d) =
= 0,006 mm

u_C(d) =
0,009 mm = 0,01 mm

Pole przekroju: S = πr² = 3,14*(0,639)² = 1,28 gdzie r = d_śr/2

u(S) = πrΔd_śr = 3,14*0,639*0,013 = 0,026

2. Obliczenie wydłużenia względnego (dla siły rosnącej i malejącej) oraz wartości średniego wydłużenia względnego

Obciążenie [kg]	Wydłużenie druta		Średnie wydłużenie względne
		Dla siły rosnącej		Dla siły malejącej
1	0,0015	0,0016	0,0016
2	0,002	0,002	0,002
3	0,0023	0,0024	0,0023
4	0,0026	0,0026	0,0026
5	0,0028	0,0029	0,0029
6	0,0031	0,0031	0,0031
7	0,0033	0,0034	0,0034
8	0,0035	0,0036	0,0036
9	0,0037	0,0038	0,0038
10	0,0039	0,0039	0,0039
Σ	0,0287	0,0293	0,029

3. Wyznaczenie współczynnika nachylenia a=Δl/ΔF (z prostej regresji)

Δl = 0,002 - 0,0016 = 0,0004

ΔF = 19,62 - 9,81 = 9,81

a = 0,0004/9,81 = 0,000041

= 10*37050,89 - 291114,2 = 79394,7

= 0,0051

wyznaczenie Modułu Younga: E= (F*l)/(S*Δl) = (539,55*1067)/(1,28*31,03) = 14494,54 N/mm²

4. Obliczenie Modułu Younga

Średnica (d)	Pole przekroju (S)	Pomiar	Siła (N)	Naprężnie (σ = F/S)	Względne wydłużenie (ε = Δl/l)	Moduł Younga (E = σ/ε)
1,278	1,28	1	9,81	7,66	0,0016	4787,5
				2	19,62	15,33	0,002	7665
				3	29,43	22,99	0,0023	9995,65
				4	39,24	30,66	0,0026	11792,31
				5	49,05	38,32	0,0029	13213,79
				6	58,86	45,98	0,0031	14832,26
				7	68,67	53,8	0,0034	15823,53
				8	78,48	61,31	0,0036	17030,56
				9	88,29	68,98	0,0038	18152,63
				10	98,1	76,64	0,0039	19651,28
Σ			539,55	421,67	0,029	132944,51

Z powyższej tabelki wynika, że E = 132944,51 N/mm² = 1,33*10¹¹ Pa

Wyznaczenie niepewności modułu Younga:

= 1,33*10¹¹ * 124,39 = 165,44*10¹¹ Pa

1. Drut mosiężny

1. Obliczenie wartości średniej średnicy drutów (stalowego i mosiężnego) oraz jej niepewności. Wyznaczenie pola przekroju drutu.

L = 1068 mm

Pomiar	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
d	1,28	1,26	1,27	1,26	1,27	1,26	1,25	1,26	1,25	1,26

Pomiar został wykonany śruba mikrometryczną (dokładność 0,01 mm)

d_śr =
1,262

Δd_śr =
0,012

u_A(d) =
0,004

u_B(d) =
= 0,006

u_C(d) =
0,009 = 0,01

Pole przekroju: S = πr² = 3,14*0,631² = 1,25 gdzie r = d_śr/2

u(S) = πrΔd_śr = 3,14*0,631*0,012 = 0,024

2. Obliczenie wydłużenia względnego (dla siły rosnącej i malejącej) oraz wartości średniego wydłużenia względnego.

Pomiar	Względne wydłużenie druta		Średnie względne wydłużenie druta
		Dla zwiększającej siły		Dla malejącej siły
1	0,0005	0,0005	0,0005
2	0,001	0,001	0,001
3	0,0014	0,0015	0,0015
4	0,002	0,002	0,002
5	0,0024	0,0024	0,0024
6	0,0029	0,0029	0,0029
7	0,0033	0,0033	0,0033
8	0,0037	0,0037	0,0037
Wart. Wydł.	0,0172	0,0173	0,0173

3. Wyznaczenie współczynnika nachylenia a=Δl/ΔF (z prostej regresji) i jego niepewności

Δl = 0,001 - 0,0005 = 0,0005

ΔF = 19,62 - 9,81 = 9,81

a = 0,0005/9,81 = 0,000051

= 10*19641,98 - 124721,98 = 71697,82

= 0,0054

Wyznaczenie Modułu Younga:

E = (F*l)/(S*Δl) = (353,16*1068)/(1,25*18,42) = 16381,1 N/mm²

4. Obliczenie Modułu Younga

Średnica (d)	Pole przekroju (S)	Pomiar	Siła (N)	Naprężenie (σ = F/S)	Względne wydłużenie (ε = Δl/l)	Moduł Younga (E = σ/ε)
1,262	1,25	1	9,81	7,848	0,0005	15696
				2	19,62	15,696	0,001	15696
				3	29,43	23,544	0,0015	15696
				4	39,24	31,392	0,002	15696
				5	49,05	39,24	0,0024	16350
				6	58,86	47,088	0,0029	16237,24
				7	68,67	54,936	0,0033	16647,27
				8	78,48	62,784	0,0037	16968,65
Σ			353,16	282,528	0,0173	128987,16

Z powyższej tabelki wynika, że E = 128987,16 N/mm² = 1,29*10¹¹ Pa

Wyznaczenie niepewności modułu Younga:

= 1,29*10¹¹ * 105,88 = 136,58*10¹¹ Pa

Wykresy zostały sporządzone w programie komputerowym dostępnym w laboratorium.

Wnioski

Wyniki dla drutu stalowego odbiegają od podanych wartości tablicowych i może to wynikać z faktu, iż tym samym drutem mogło posługiwać się dużo zespołów i uległ on zużyciu. Powodem może być również wykonywanie wielu pomiarów potrzebnych do wyliczenia tego Modułu co powoduje popełnianie błędów, których niekiedy nie możemy sklasyfikować.

Wyniki dla drutu mosiężnego nieznacznie odbiegają od wartości tablicowych.

---