Wydział	Dzień/godz. Poniedziałek 14-17		Nr zespołu
Inżynierii Lądowej	Data 26.10.2009		8
Nazwisko i Imię	Ocena z przygotowania	Ocena z sprawozdania		Ocena
Paweł Kowalik Andrzej Kozieł

Wyznaczanie współczynnika lepkości

Lepkość jest własnością materii we wszystkich stanach skupienia związaną z oddziaływaniami międzycząsteczkowymi. Powoduje ona występowanie siły, która powstaje przy przepływach płynów oraz ciał w płynach. Lepkość można określić jako wielkość charakteryzującą opór wewnętrzny przeciw płynięciu.

Bardziej obrazowym określeniem siły lepkości może być przykład deski poruszającej się po warstwie cieczy. Deska wprawiona w ruch poziomo wzdłuż powierzchni powoduje ruch cząsteczek cieczy oddalonych od deski.

Rys 1.

Jak widać z rys. 1, im większa odległość od deski, tym prędkość przesuwających się cząsteczek jest mniejsza.

Z definicji siła lepkości jest proporcjonalna do gradientu prędkości przesuwanych warstw cieczy i powierzchni przesuwanego ciała. Określa to wzór:

gdzie η jest współczynnikiem lepkości, który można wyznaczyć doświadczalnie. Zgodnie z układem SI obowiązującą jednostką dla współczynnika lepkości jest
odpowiadający 10 puazom.

Istotną wielkością stosowaną w mechanice płynów jest charakteryzująca przepływ cieczy wokół dowolnego ciała liczba Reynoldsa (Re). Liczba ta jest bezwymiarową kombinacją gęstości cieczy ρ, współczynnika lepkości η, charakterystycznego wymiaru liniowego l oraz prędkości przepływu v. Ważną cechą jest to, że charakter przepływu nie zależy bezpośrednio od tych parametrów, ale od ich kombinacji. Liczba Reynoldsa wyraża się wzorem:

Jeżeli liczba Reynoldsa jest bardzo mała to mamy do czynienia z przepływem laminarnym (czyli przepływem, w którym kolejne warstwy płynu nie mieszają się ze sobą). W przeciwnym wypadku, gdy liczba Reynoldsa przekroczy wartość krytyczną, można mówić o przepływie turbulentnym (burzliwym). Dla przepływu laminarnego formułuje się prawo o podobieństwie przepływów, które brzmi: przepływy cieczy o różnych lepkościach są podobne, jeżeli odpowiada im ta sama liczba Reynoldsa. Prawo to można zastosować do badania oporu powietrza w tunelach aerodynamicznych dla pomniejszonych modeli rzeczywistych maszyn. Jednak żeby badania były wiarygodne należy zadbać o to, by liczba Reynoldsa dla przepływu w tunelu była taka sam jak w warunkach rzeczywistych.

Żyjący w XIX wieku irlandzki fizyk i matematyk, sir George G. Stokes wprowadził dla przepływu laminarnego wzór na siłę oporu działającą na kulkę swobodnie spadającą w przestrzeni wypełnionej płynem (warto dodać, że przypadek cieczy opływającej ciało jest równoważny przemieszczaniu się ciała w cieczy). W warunkach opisanych przez Stokes'a siłę oporu działającą na kulkę można przedstawić w następujący sposób:

gdzie:

v - prędkość spadającej kulki

r - promień kulki

η - współczynnik lepkości cieczy

Rys. 2

Na kulkę spadająca w ośrodku lepkim(rys. 2) działają trzy siły:

- siła ciężkości kulki działająca w dół (mg)

- siła wyporu F_w skierowana w górę (
)

- opór ośrodka, który według prawa Stokes'a wynosi
(znak minus oznacza, że siła ta jest skierowana przeciwnie do ruchu kulki, zatem w tym przypadku w górę)

Zgodnie z druga zasadą dynamiki Newtona można zatem napisać równanie:

m*a = F -F_w - F₀

Przyrównując prawą stronę do zera otrzymamy wzór na prędkość w ruchu jednostajnym, czyli prędkość graniczną kulki:

Wzór ten jest słuszny dla kulki poruszającej się w naczyniu o nieskończonej szerokości. W warunkach laboratoryjnych trzeba wziąć pod uwagę poprawkę uwzględniającą kontakt cieczy ze ściankami naczynia, w którym porusza się kulka. Należy więc współczynnik K zamienić współczynnikiem K', który określony jest wzorem:

, gdzie R - to promień cylindra, w którym wykonuje się doświadczenie.

Zatem ostatecznie po przekształceniach otrzymujemy wzór na lepkość cieczy:

Celem naszego badania było wyznaczenie współczynnika lepkości dwóch płynów: gliceryny oraz oleju silnikowego. Badanie wykonano metodą Stokes'a przy wykorzystaniu cylindrycznego naczynia oraz 10 stalowych kulek. Naczynie było wypełnione odpowiednią cieczą, do której wrzucano swobodnie kulki. Ustalono drogę l jaką kulka przebywa ruchem jednostajnym i na tej drodze pomierzono czas przepływu kulki.

Poniżej lista pomierzonych wielkości wraz z błędami odczytu:

Wielkość mierzona	Pomiar	Błąd odczytu
Masa kulki (m)	174,75 mg	Δm = 0,01mg
Średnica kulki (d = 2r)	3,46 mm	Δd = 0,01mm Δr = 0,005 mm
Droga przebyta w cieczy (l)	dla gliceryny l=100 cm dla oleju l=80 cm	Δl = 1mm
Średni czas przepływu kulki (t)	dla gliceryny t = 19,33 s dla oleju t = 4,86 s	Δt = 0,15s

Dodatkowo odczytano z tablic:

Gęstość gliceryny ρ = 1,473 g/cm³

Gęstość oleju ρ = 0,867 g/cm³

Średnicę cylindra z gliceryną 2R = 27,9 mm

Średnicę cylindra z olejem 2R = 28,1 mm

Przyjęto, że te wielkości nie były obarczone błędem pomiarowym.

W załączniku 1. przedstawione są obliczenia wartości liczbowych dla poszczególnych współczynników lepkości gliceryny oraz oleju. Zgodnie z tymi obliczeniami lepkość gliceryny η_gl = 0,64 (kg/ms), a lepkość oleju η_ol = 0,29 (kg/ms). Do tych wartości należy jednak dodać błąd pomiarowy, który został wykonany metodą różniczki zupełnej.

Gdzie:

Obliczenie błędu w załączniku 2.

Wynik dla gliceryny Δη_gl = 0,01

Wynik dla oleju Δη_ol = 0,01

Zatem ostateczny pomiar współczynnika lepkości dla gliceryny to η_gl = 0,64± 0,01(kg/ms)

a dla współczynnika lepkości oleju η_ol = 0,29± 0,01 (kg/ms).

Dokładność do dwóch miejsc po przecinku, ponieważ najmniej dokładnym urządzeniem pomiarowym był stoper, którego dokładność była rzędu setnych części.

Dodatkowo w celu sprawdzenia, wykonano pomiar lepkości dla kulek o mniejszej średnicy:

Wielkość mierzona	Pomiar	Błąd odczytu
Masa kulki (m)	109,83 mg	Δm = 0,01mg
Średnica kulki (d = 2r)	2,97 mm	Δd = 0,01mm Δr = 0,005 mm
Droga przebyta w cieczy (l)	dla gliceryny l=100 cm dla oleju l=80 cm	Δl = 1mm
Średni czas przepływu kulki (t)	dla gliceryny t = 24,57 s dla oleju t = 6,16 s	Δt = 0,15s

Uzyskano następujące wyniki współczynników lepkości [obliczenia w załącznikach odpowiednio 3 i 4]:

Pomiar współczynnika lepkości dla gliceryny: η_gl = 0,61± 0,01(kg/ms)

a dla współczynnika lepkości oleju: η_ol = 0,21± 0,01 (kg/ms).

Wnioski:

Tak jak można się było tego spodziewać, olej okazał się mniej lepki od gliceryny. Porównując czas spadania kulki na takim samym dystansie od razu można było zauważyć, że gliceryna stawia większy opór wewnętrzny poruszającej się kulce. Niestety nie można otrzymanych wartości porównać z wartościami tablicowymi, ponieważ nie znamy temperatury w jakiej doświadczenie zostało wykonane. Jednak z dokonanych obliczeń dla kulek o mniejszej średnicy wywnioskować można, że ćwiczenie zostało przeprowadzone dość dokładnie, ponieważ wyniki nie różnią się od siebie diametralnie.

v_x

z

x

Δv

Δz

mg

F₀

F_w

---