WYKŁAD 10

ZBIEŻNOŚĆ JEDNOSTAJNA CD.

Niech: X-zbiór

(Y,d)-przestrzeń metryczna

B(X,Y)-zbiór funkcji ograniczonych o wartościach w przestrzeni metrycznej

B(X,Y)={
, f - ograniczona}

d_c-metryka Czebyszewa d_c(f,g) :=
d(f(x),g(x))

TWIERDZENIE 10.1

Przestrzeń (B(X,Y), d_c) jest przestrzenią metryczną.

Dowód:

1)

d_c(f,g) =
d(f(x),g(x))
,

ponieważ d_c(f,g) jest kresem górnym liczb nieujemnych

2)

d_c(f,g) =
d(f(x),g(x)) = {z symetrii d}=

=
d(g(x),f(x))= d_c(g,f)

3)

d_c(f,h) =
d(f(x),h(x))
{z nierówności trójkąta dla d}

[d(f(x),g(x))+d(g(x),h(x))]
{kres górny sumy dwóch funkcji
sumy kresów}

d(f(x),g(x)) +
d(g(x),h(x))= d_c(f,g)+ d_c(g,h)

4)

d_c(f,g) =0

d(f(x),g(x)) = 0

d(f(x),g(x))=0

f(x)=g(x)
f=g

Pokazaliśmy więc, że przestrzeń (B(X,Y), d_c),

gdzie d_c -metryka Czebyszewa, jest przestrzenią metryczną.

STWIERDZENIE 10.1

Jeżeli (Y,d)-przestrzeń zupełna to przestrzeń (B(X,Y), d_c) jest przestrzenią zupełną.

STWIERDZENIE 10.2

Jeżeli (Y,d)-przestrzeń zupełna i C(X,Y)-zbiór funkcji ciągłych i ograniczonych przeprowadzających X w Y to wtedy przestrzeń (C(X,Y), d_c) jest przestrzenią zupełną.

Następnie pokażemy, że zbieżność jednostajna jest zbieżnością w sensie metryki Czebyszewa..

WNIOSEK 10.1

Niech (f_n)_n
N
B(X,Y)

T: f_n f

d_c(f_n,f) =0

Dowód:

(
)

f_n f




d(f_n(x),f(x)) <

d(f_n(x),f(x))
<

d_c(f_n,f)<

Pokazaliśmy, że jeżeli ciąg jest zbieżny jednostajnie to jest zbieżny

w sensie metryki Czebyszewa.

(
)

d_c(f_n,f) <





d(f_n(x),f(x)) <





d(f_n(x),f(x)) <

A zatem badanie czy ciąg jest zbieżny jednostajnie będzie się ograniczać

do badania zbieżności w sensie odległości Czebyszewa.

WNIOSEK 10.2

Granica jednostajna ciągu funkcji ciągłych jest funkcją ciągłą.

Niech (f_n)_n
N
C(X,Y) f_n f {czyli w sensie metryki

Czebyszewa}

T:

f
C(X,Y)

WNIOSEK 10.3

Jeżeli ciąg jest zbieżny jednostajnie, to jest zbieżny punktowo do tej samej granicy.

Jeżeli f_n f, to f_n
f

PRZYKŁAD 10.1

Sprawdź, czy f_n jest zbieżny jednostajnie na odcinku [0,1].

f_n : [0,1]∋ x
f_n(x)=xⁿ
f_n
C[0,1]

Obliczamy granice punktową:

f_n(x)=

Ciąg f_n nie jest zbieżny jednostajnie na odcinku [0,1], ponieważ f_n jest ciągiem funkcji ciągłych, a granica punktowa nie jest funkcją ciągłą.

PRZYKŁAD 10.2

Zbadać zbieżność jednostajną ciągu, określić obszary zbieżności punktowej(D_p) i jednostajnej (D_j) .

Niech f_n : R
R

f_n(x)= 2n²e

2n²e
=




=

Ciąg f_n nie jest zbieżny punktowo ani jednostajnie w całym R

Wiemy (z powyższych wyliczeń), że D_p=R\{0}

Wiemy również, że zawsze zachodzi warunek: D_j
D_p

1) Najpierw sprawdzamy, czy D_p= D_j.. będziemy więc badać, czy ciąg jest zbieżny jednostajnie na całym zbiorze D_p

d_c(f_n,0) =

=

2n²e

=

h
(x)

Szukamy więc kresów górnych funkcji h
(x). Sprawdzamy ekstrema i granice na końcach przedziału określoności:

h
'(x)=2n²( -2n²x) e

h
'(x)=0
x=0
R\{0}
wewnątrz rozpatrywanego przedziału nie ma punktów mogących być ekstremami

h
(x) =
2n²e
=0

h
(x) =
2n²e
=2n²

h
(x) =
2n²e
=2n²

Otrzymaliśmy więc:

2n²e

=max{0,2n²}=2n²
0

WNIOSEK:

Ciąg nie jest zbieżny jednostajnie na R\{0}

2) Należy więc wykluczyć dowolnie małe otoczenie zera.

Sprawdzimy teraz, czy ciąg jest zbieżny jednostajnie na zbiorze

A=]-
,a]
[b,+
[ , gdzie a<0 i b>0

d_c(f_n,0) =

=

2n²e

=

=max{0,

}
0

WNIOSEK:

Ciąg jest zbieżny jednostajnie na zbiorze ]-
,a]
[b,+
[

(gdzie a,b - liczby dowolnie bliskie zeru)

więc

D_p=R\{0}

D_j=]-
,a]
[b,+
[

TWIERDZENIE 10.2

Z: R
X i X-przedział

(f_n)_n
N

f_n : X
R

f_n
D(X)

T: Jeżeli f_n'-ciąg pochodnych zbieżny jednostajnie na X , a f_n-ciąg funkcji zbieżny punktowo na X to [
f_n(x)]'=
f_n'(x)

(bez dowodu)

TWIERDZENIE 10.3

Z: f_n : X
R i X-przedział , x₀
X

f_n-ciąg zbieżny jednostajnie na X

T:


=

(bez dowodu)

PRZESTRZENIE UNORMOWANE

Niech:

(X,+,K,*)-przestrzeń wektorowa, gdzie K=R
K=C

DEFINICJA 10.1 (NORMA)

||
|| : X ∋ x
||x||
R - norma :

1°
||x||
0 -nieujemność normy

2°


||
x||
=|
| ||x|| - jednorodność normy

3°
||x+y||
||x||+||y|| -warunek trójkąta

4°
||x||=0
x=0

(X, ||
||) -przestrzeń unormowana

PRZYKŁAD 10.3

X=Rⁿ x=(x₁,x₂,...,x_n)

I. ||x||=
-norma euklidesowa

II. ||x||=
-norma taksówkowa

III. ||x||=

-norma maksimum

TWIERDZENIE 10.4

Każda przestrzeń unormowana jest przestrzenią metryczną.

Z: (X, ||
||) -przestrzeń unormowana

d(x,y)= ||x-y||

T: (X,d)-przestrzeń metryczna

D:

1°

d(x,y)= ||x-y||
0

2°
d(x,y)= ||x-y||=||(-1)(y-x)|| ={z 2° pkt.def} |-1| ||y-x||=||y-x||=d(y,x)

3°
d(x,z)= ||x-z||=||(x-y)+(y-z)||
{z 3° pkt.def.}

||x-y||+||y-z||=d(x,y)+d(y,z)

4°
d(x,y)=0
||x-y||=0
{z 4° pkt.def} x-y=0
x=y

PRZYKŁAD 10.4

Niech X-zbiór, (Y, ||
||_y) -przestrzeń unormowana

B(X,Y)- zbiór funkcji ograniczonych f:X
Y

||
||_c -norma Czebyszewa

||
||_c : B(X,Y) ∋ f
||f||_c:=
|| f(x)|| _y

Sprawdzamy, czy wyżej zdefiniowana norma Czebyszewa spełnia warunki normy:

1° Nieujemność

||f||_c =


0 - z własności normy

2° Jednorodność

||
f||_c=

=
|
| || f(x)|| _y=|
|
|| f(x)|| _y=|
| ||f||_c

3° Warunek trójkąta

||f+g||=
|| f(x)+g(x)|| _y
{kres górny sumy dwóch funkcji
sumy kresów}

|| f(x)|| _y+
|| g(x)|| _y=||f||_c+||g||_c

4°

||f||_c =0


=0

f(x)=0
f=0

WNIOSEK 10.4

Przestrzeń (B(X,Y), ||
||_c) jest przestrzenią unormowaną.

PRZESTRZENIE BANACHA

DEFINICJA 10.2 (PRZESTRZEŃ BANACHA)

Przestrzeń unormowaną i zupełną nazywamy przestrzenią Banacha.

Jeżeli: (X, ||
||) - przestrzeń unormowana i zupełna,

to: (X, ||
||) -przestrzeń Banacha.

PRZYKŁAD 10.5

Przestrzeń Rⁿ z normą euklidesową, taksówkową i maksimum jest przestrzenią Banacha.

PRZYKŁAD 10.6

Jeżeli: X-zbiór i (Y, ||
||_Y) -przestrzeń Banacha, to:

(B(X,Y),||
||_c) -przestrzeń Banacha oraz

(C(X,Y), ||
||_c ) -przestrzeń Banacha.

PRZESTRZENIE UNITARNE

Niech (X,+,K,*) -przstrzeń wektorowa, gdzie K=R
K=C

DEFINICJA 10.3 (ILOCZYN SKALARNY)

-iloczyn skalarny

:X
X∋(x,y)


K iloczyn skalarny :

1°

2°

=

liniowość ze względu na I-szą zmienną

5°

=0
x=0

(X,
) -przestrzeń unitarna

TWIERDZENIE 10.5 (WŁASNOŚCI ILOCZYNU SKALARNEGO)

Z: (X,
) -przestrzeń unitarna

T: 1°

)=
+

2°


=

D:

Ad 1°)

(x
)={2 pkt. def.}=
=

={3 pkt. def.}
=
+
={2 pkt. def.}=(x|y)+(x|z)

Ad 2°)

(x
={2 pkt. def.}=
={4 pkt. def.}

= {2 pkt. def.}
(x|y)

PRZYKŁAD 10.7

X=Rⁿ x=(x₁,x₂,...,x_n) y=(y₁,y₂,...,y_n)

(x|y)=

PRZYKŁAD 10.8

L²[a,b] -zbiór funkcji całkowalnych z kwadratem

L²[a,b] -zbiór funkcji {f:[a,b]
R

<
}

(f
=
-iloczyn skalarny w zbiorze funkcji L²[a,b]

TWIERDZENIE 10.6 (NIERÓWNOŚĆ SCHWARZA)

Z: (X,
) -przestrzeń unitarna

T:

||x|| ||y|| , gdzie ||x||=

D: Niech α
oraz x,y
X

0
((x-αy)| (x-αy))={Z liniowości na I-szą zmienną}=(x|(x-αy)) - α(y|(x-αy))={z liniowości na II-gą zmienną}=(x|x) -
(x|y) - α(y|x) + α
(y|y)=*

Niech α=

*= (x|x)-
(x|y) -

+
= (x|x)-

(x|x) -

0

|(x|y)|²

|(x|y)|
||x|| ||y||

WNIOSEK 10.5

(Rⁿ,
) (x|y)=

-nierówność Cauchy'ego

TWIERDZENIE 10.7

Każda przestrzeń unitarna jest przestrzenią unormowaną.

Z: (X,
) -przestrzeń unitarna

T: (X, ||
||) -przestrzeń unormowana

D:

1°
||x||=

0

2°

||
x||=
=
=|α|
=|α| ||x||

3°
||x+y||=
=
=

{ bo
}

{z nierówności Schwarza}
=||x||+||y||

4°
||x||=0
(x|x)=0
x=0

Pokazaliśmy, że każda przestrzeń unitarna jest unormowana, więc jest metryczna.

DEFINICJA 10.4 (PRZESTRZEŃ HILBERTA)

Przestrzeń unitarną i zupełną nazywamy przestrzenią Hilberta.

---