Wydział Geodezji i Gospodarki Przestrzennej 15.10.2007r.

ĆWICZENIE nr

WYZNACZANIE MOMENTU BEZWŁADNOŚCI METODĄ DYNAMICZNĄ

Para nr1 :

Ciało sztywne obracające się wokół stałej osi ma określoną energię kinetyczną. Podzielmy całą bryłę sztywną na n takich elementów, by każdy z nich mógł być rozpatrywany jako punkt masowy m_i. Każdy element tego ciała ma prędkość kątową ω oraz określoną prędkość liniową v_i. Między tymi wielkościami istnieje związek:

v_i = r_i ω

r_i - odległość elementu m_i od osi obrotu

Energia kinetyczna ruchu obrotowego danego elementu m_i wyraża się wzorem:

E = ½ m_i r_i² ω²

Całkowita energia kinetyczna ciała obracającego się dookoła osi przechodzącej przez środek masy równa się sumie energii kinetycznej jego elementów. W ruchu obrotowym ciała sztywnego wszystkie elementy mają taką samą prędkość kątową, natomiast odległości poszczególnych elementów mają taką samą prędkość kątową, natomiast odległości poszczególnych elementów od osi obrotu są różne, wobec tego wyrażenie na całkowitą energią ruchu obrotowego zapisujemy:

_{n n}

E_k = ∑ ½ m_i r_i² ω² = ½ ω² ∑ m_i r_i²

^{i=1 i=1}

Suma iloczynów mas poszczególnych elementów ciała przez kwadrat ich odległości od osi obrotu _n

∑m_i r_i²

ⁱ⁼¹

nazywa się momentem bezwładności ciała I (ściślej całka tych iloczynów I = ∫ r2dm)

^M

Wzór na energię kinetyczną ruchu obrotowego przyjmuje postać:

E_k = ½ I ω²

Moment bezwładności ciała o danej masie m zależy w dużym stopniu od jej rozmieszczenia względem osi obrotu, czyli od wyboru osi obrotu. Z reguły ciała wirujące powinny znajdować się w równowadze obojętnej, zatem oś obrotu tych ciał przechodzi przez środek ich masy.

Jeżeli potrafimy określić moment bezwładności ciała I względem osi przechodzącej przez środek masy ciała , to - korzystając z twierdzenia Steinera - łatwo jest znaleźć moment bezwładności względem innych osi równoległych do osi przechodzącej przez środek masy. Twierdzenie Steinera ma postać:

I + I_s + md²

m - masa ciała

d - odległość pomiędzy osiami

Na podstawie wzoru definiującego moment bezwładności:

I = ∫r²dm

potrafimy obliczyć jego wartość tylko wtedy, gdy jesteśmy w stanie określić granice całkowania. Wyrażając element masowy dm przez gęstość ρ oraz odpowiedni element objętości dv, dm = ρ Dv, otrzymujemy więc:

I = ρ ∫r²dV

Zakładamy ciągły i równomierny rozkład masy. W naszym doświadczeniu wykorzystamy urządzenie o takim właśnie rozkładzie masy - krzyżak., na którego osi nawinięty jest cienki sznurek z podwieszonym ciężarkiem C i masie m. ciężarek ma względem obranego poziomu odniesienia energię potencjalną:

E = m g h

m - masa krzyżaka

h - wysokość nad wybranym poziomem odniesienia

Pod wpływem siły ciężkości P ciężarka C krzyżak będzie się obracał ruchem jednostajnie przyspieszonym, zyskując energię kinetyczną ruchu obrotowego E₁

E1 = ½ Iω²

I - moment bezwładności

ω - prędkość kątowa

Również ciężarek zyskuje energię kinetyczną, kecz ruchu postępowego E₂

E_k2= ½ mv²

v - prędkość liniowa

Układ zyskuje energię kinetyczną (E₁ + E₂) kosztem malejącej energii potencjalnej E ciężarka.

Przyjmując założenie, że opory ruchu są do pominięcia, możemy przedstawić zasadę zachowania energii w tym układzie równaniem

E= E₁ + E₂

Po podstawieniu wzorów otrzymujemy

mgh= ½ mv² + ½ Iω²

Zasada zachowanie energii, wyrażona powyższym wzorem, jest spełniona dla każdej chwili t ruchu całego układu, a więc w momencie całkowitego rozwinięcia się sznurka.

Ponieważ wartości chwilowe v i ω są trudne do zmierzenia bezpośredniego więc moment bezwładności krzyżaka wyrażamy przez wielkości łatwo mierzalne- drogę h i czas t.

Dla ruchu jednostajnie przyspieszonego bez prędkości początkowej mamy wzór na prędkość:

v = at lub v = gt

a - przyspieszenie

t - czas trwanie ruchu

oraz wzór na drogę s:

s = (at²)/2

lub

h= (gt²)/2

Przekształcamy :

2h=gt²

Ponieważ v=gt więc

2h=vt

Stąd:

v=2h/t

Wykorzystując wcześniej ustalony związek między prędkością kątową krzyżaka i prędkością liniową (ω=v/r) otrzymujemy ostateczny wzór na moment bezwładności:

mgh= ½ mv² + ½ Iω² /*2

2mgh= mv²+Iω²

Iω²=2mgh - mv²

I=(2mgh -mv²)/ω²

I=(2mgh -m(2h/t)²)*(tr/2h)²

I= (2mgh -m(4h²/t²))*(t²r²/4h²)

I=(2mght²r²/4h²)- (m4h²/t²)*(t²r²/4h²)

I=(mgt²r²- 2hmr²)/2h

I=mr²(gt²-2h)/2h

Zestawienie pomiarów w tabelce

L+R (m)	m (kg)	r (m)	h (m)	t (s)	I (kg m^2)

Niepewność pomiaru:

---