Wydział Geodezji i Gospodarki Przestrzennej Olsztyn, dn. 7.11.2005 r

CWICZENIE NR 8

WYZNACZANIE MOMENTU BEZWŁADNOŚCI METODĄ DYNAMICZNĄ

Para nr6

Hanna Rojek

Malwina Malinowska

Rok 2 grupa 4

Bryłą sztywną nazywamy ciało, w którym odległości między każdymi dowolnie wybranymi punktami nie zmieniają się podczas ruchu ciała, bez względu na to jak duże siły działają na to ciało, czyli inaczej mówiąc - ciało nie ulega deformacji. Bryła sztywna może wykonywać dwa rodzaje ruchów prostych:

• Ruch postępowy - to taki ruch, w którym wszystkie punkty bryły sztywnej mają takie same prędkości liniowe, takie same przyspieszenie, takie same drogi. W ruchu postępowym odcinek łączący dwa dowolne punkty bryły sztywnej pozostaje równoległy do swoich poprzednich położeń.

• Ruch obrotowy - to taki ruch, w którym można wyodrębnić szereg punktów nie poruszających się. Ten zbiór punktów stanowi oś obrotu. Oś obrotu jest stała, jeżeli z biegiem czasu nie zmienia swego położenia ani w ciele, ani w przestrzeni. Pozostałe punkty zataczają swoje tory w płaszczyznach prostopadłych do osi obrotu. Podczas ruchu obrotowego każdy punkt bryły sztywnej porusza się z taką samą prędkością kątową.

I zasada dynamiki dla ruchu obrotowego - jeżeli na ciało sztywne działają siły, których wypadkowe momentów sił względem osi obrotu są równe 0 to ciało pozostaje w spoczynku lub porusza się ze stałą prędkością kątową (obraca się ruchem jednostajnie obrotowym).

II zasada dynamiki Newtona dla tego ruchu ma postać:

m a = F_s, gdzie F_s to siła sprężysta

Druga zasada dynamiki dla ruchu obrotowego mówi nam, że jeżeli na ciało sztywne działa niezrównoważony moment siły, to moment ten nadaje ciału przyspieszenie kątowe, którego wartość jest wprost proporcjonalna do wartości momentu siły i odwrotnie proporcjonalna do momentu bezwładności ciała.

Є=M/I

Ciało sztywne, które obraca się wokół stałej osi ma pewną określoną energię kinetyczną. Całą bryłę sztywną możemy podzielić na n elementów i każdy z nich będzie mógł być rozpatrywany jako punkt masowy (m_i). Cechować go będą prędkość kątowa ω oraz prędkość liniowa v_i.

Między tymi prędkościami istnieje związek:
v _i= r_iω

gdzie:

r_i- odległość elementu m_i od osi obrotu

v_i- prędkość liniowa

ω- prędkość kątowa

Wzór ogólny na energię kinetyczną punktu materialnego to:

E_k= mv²/2

Bryłę sztywną rozpatrujemy jako zbiór dużej liczby punktów materialnych o masach m₁, m₂, ...,m_n umieszczonych w odległościach r₁, r₂, ...,r_i . Gdy bryła obraca się z prędkością kątową ω poszczególne punkty materialne mają odpowiednio prędkości liniowe v₁=ω r₁, v₂=ω r_2, v_i=ωr_i. Każdy ma więc po podstawieniu określoną energie kinetyczną:

m₁ω²r₁² /2, m₂ω²r₂² /2, m_iω²r_i² /2

Energia kinetyczna ruchu obrotowego danego elementu m_i wyraża się więc wzorem:

E= ½ m_ir_i²ω²

Całkowita energia kinetyczna ciała obracającego się dookoła osi przechodzącej przez środek masy równa się sumie energii kinetycznych jego elementów. W ruchu obrotowym ciała sztywnego wszystkie elementy posiadają taką sama prędkość kątową. Odległości poszczególnych elementów od osi obrotu są różne, więc wyrażenie na całkowitą energię kinetyczną można zapisać w postaci:

E_k=

Suma iloczynów mas poszczególnych cząstek bryły i kwadratów ich odległości od osi obrotu jest miarą bezwładności bryły w ruchu obrotowym. Nosi ona nazwę momentu bezwładności.
I=

Sumowanie we wzorze można zastąpić całkowaniem, wtedy

I=
Przy czym całkowanie rozciągnięte jest na cała objętość ciała.

Po podstawieniu wzór na E_k będzie miał postać:

E_k= ½ ω²I

Moment bezwładności ciała o danej masie m zależy od jej rozmieszczenia względem osi obrotu. Aby ciała znajdowały się w równowadze obojętnej os obrotu musi przechodzić przez środek ich masy.

Dla podkreślenia zależności momentu bezwładności od wyboru osi podajemy twierdzenie Steinera, które brzmi: moment bezwładności I względem wolnej osi jest związany z momentem bezwładności I₀ względem osi przechodzącej przez środek masy i równoległej do osi danej zależnością:

I= I₀ + md²

gdzie

m- całkowita masa bryły

d- wzajemna odległość obu osi

W praktyce, do ciał rzeczywistych, a więc takich dla których masa jest rozłożona w sposób ciągły stosuje się postać całkową definicji pozwalającą obliczać rzeczywiste momenty bezwładności:

We wzorze tym r² oznacza zmienną określającą odległość elementu masy dm od osi obrotu

Na osi osadzony jest czteroramienny krzyżak. Może on obracać się wokół tej osi z minimalnymi oporami ruchu. Na każdym z ramion krzyżaka umieszczony jest przesuwalny ciężarek B. Na osi krzyżaka nawinięty jest jedną warstwą cienki sznurek z ciężarkiem C o masie m. Ciężarek posiada względem poziomu odniesienia energię potencjalną

E_p= mgh

Do wywołania ruchu jednostajnie przyspieszonego potrzebna jest siła ciężkości P ciężarka C. Krzyżak zyska wówczas energię kinetyczną ruchu obrotowego E_k1= ½ Iω², przy czym

I- moment bezwładności,

ω- prędkość kątowa.

Energię kinetyczną zyskuje również ciężarek, ale jest to energia ruchu postępowego E_k2

E_k2= ½ mv²,

przy czym

v- prędkość liniowa

Kosztem malejącej energii potencjalnej E_p ciężarka C układ zyskuje energię kinetyczną

( E_k1 + E_k2)

Można przyjąć, że opory ruchu są do pominięcia. Zastosujemy tu zasadę zachowania energii. Wg niej w układzie odosobnionym od zewnętrznego otoczenia w ten sposób, że energia w żadnej postaci nie przenika do niego z zewnątrz, ani nie uchodzi z niego na zewnątrz. Całkowita wartość energii pozostaje niezmienna. Mogą w nim tylko zachodzić przemiany energetyczne jednej postaci energii w inną. Zasadę zachowania energii zapisujemy tu równaniem: E_p= E_k1 + E_k2.

Po podstawieniu wzorów otrzymujemy mgh= ½ mv² + ½ Iω²

Ponieważ wartości chwilowe v i ω są trudne do zmierzenia bezpośredniego więc moment bezwładności krzyżaka wyrażamy przez wielkości łatwo mierzalne- drogę h i czas t.

Wzór na prędkość dla ruchu jednostajnie przyśpieszonego bez prędkości początkowej wygląda następująco:

v= at, v=gt

gdzie

1. przyspieszenie

t- czas trwania ruchu

Wzór na drogę h= gt²/2

Obliczamy :

2h=gt²

Ponieważ v=-gt więc
2h=vt
Stąd:

v=2h/t

Wykorzystując wcześniej ustalony związek między prędkością kątową krzyżaka i prędkością liniową (ω=v/r) otrzymujemy ostateczny wzór na moment bezwładności:

mgh= ½ mv² + ½ Iω² /*2

2mgh= mv²+Iω²
Iω²=2mgh - mv²

I=(2mgh -mv²)/ω²

I=(2mgh -m(2h/t)²)*(tr/2h)²

I= (2mgh -m(4h²/t²))*(t²r²/4h²)

I=(2mght²r²/4h²)- (m4h²/t²)*(t²r²/4h²)
I=(mgt²r²- 2hmr²)/2h

I=mr²(gt²-2h)/2h

Zestawienie pomiarów w tabelce

L+R (m)	m (kg)	R (m)	h (m)	t (s)	I (kg m^2)

Dyskusja błedu:

---