Imię i nazwisko: Joanna Zielińska	Ćwiczenie M1 Wyznaczanie przyspieszenia ziemskiego przy pomocy wahadła matematycznego
Kierunek i rok studiów: Ochrona środowiska I
			Ocena ze sprawozdania:
Nazwisko prowadzącego zajęcia: dr Migalska-Zalas

CZĘŚĆ TEORETYCZNA

Przyspieszenie ziemskie (grawitacyjne)

Przyspieszenie, którego doznają wszystkie ciała na ziemi, zwane jest przyśpieszeniem ziemskim lub grawitacyjnym. Oznaczane jest małą literą g. Jest ono wielkością wektorową; kierunek wektora tego przyspieszenia jest pionowy i zwrócony prostopadle ku środkowi kuli ziemskiej.

Wartość przyspieszenia ziemskiego nie jest jednakowa na całej kuli ziemskiej. Zmienia się wraz ze zmianą szerokości geograficznej oraz wysokości nad poziomem morza. W obliczeniach przyjmuje się wartość przyspieszenia ziemskiego mierzoną na poziomie morza oraz odpowiadającą szerokości 45º lub jej wartość rzeczywistą, występującą w rozpatrywanym punkcie Ziemi.

Z przyciąganiem ziemskim nierozerwalnie połączone jest prawo grawitacji (ciążenia powszechnego), sformułowane przez Newtona

Z prawa tego wiemy, że wartość przyspieszenia ziemskiego maleje w miarę oddalania się od Ziemi. Treść prawa grawitacji jest następująca:

„Wszystkie ciała przyciągają się wzajemnie. Siła F wzajemnego przyciągania się dwóch ciał jest wprost proporcjonalna do wartości ich mas m₁ i m₂ i odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości r pomiędzy środkami ich mas.”

Wartość współczynnika proporcjonalności G, zwanego stałą grawitacyjną wyznaczono doświadczalnie i wynosi ona 6,65 x 10^-8 cm³/g x s²

Siła ciążenia działa między wszystkimi bez wyjątku ciałami, np. dowolne ciało i Ziemia. Działanie sił przyciągania jest wzajemne, przy czym siły te mają kierunek prostej łączącej środki obydwu mas.

Siła przyciągania grawitacyjnego dowolnego ciała o masie m na powierzchni Ziemi równa jest ciężarowi ciała

Q = mg

Zgodnie z prawem ciążenia powszechnego siła ta równa jest:

gdzie:

G - stała grawitacyjna

m - masa ciała

M - masa Ziemi

r - promień Ziemi

h - wysokość ciała nad poziomem morza

R - odległość os środka ciał

Wartość przyspieszenia zmienia się również w skutek ruchu obrotowego Ziemi wokół własnej osi. Ziemia jest układem nieinercjalnym, więc dodatkowo, na wszystkie ciała działa siła odśrodkowa bezwładności, która jest prostopadła do osi obrotu Ziemi i jest tym większa im większa jest odległość od tej osi.

W wyniku działania siły bezwładności i spłaszczenia Ziemi wartość przyspieszenia ziemskiego wynosi w przybliżeniu:

• na biegunie 9.83 m/s²

• na równiku 9.78 m/s²

Wahadło matematyczne

Wahadłem matematycznym nazywamy punkt materialny o masie m i ciężarze Q zawieszony na nieważkiej i nierozciągliwej nici o długości l. W położeniu wychylonym na punkt ten działa składowa siły ciążenia, siła poruszająca
, gdzie ciężar Q wynosi mg.

Łącząc powyższe równania i podstawiając:

Gdzie x jest wychyleniem punktu w stosunku do położenia równowagi, otrzymujemy:

Ponieważ m, l oraz g są dla określonego wahadła wielkościami stałymi, a więc siła poruszająca F jest wprost proporcjonalna do wielkości wychylenia x. Wynika stąd, że ruch wahadłowy jest dla małych wychyleń (
) ruchem harmonicznym.

Przyśpieszenie ruchu harmonicznego wyrażone jest równaniem:

Stąd siła poruszająca:

Porównując tę wartość z uprzednio wyprowadzonym równaniem otrzymujemy:

A stąd:

Z powyższego równania zauważamy, że okres wahań wahadła matematycznego nie zależy od amplitudy i masy wahadła, natomiast zależy od jego długości i wartości danego w rozpatrywanym miejscu przyspieszenia ziemskiego.

Ruch harmoniczny

Jest to szczególny, bardzo ważny przypadek ruch drgającego, w którym ciało periodycznie zmienia swoje położenie, pozostając stale w pobliżu położenia równowagi. Można powiedzieć, że ciało jest w ruchu harmonicznym wokół położenia równowagi x₀ = 0, jeżeli wychylenie x z tego położenia jest sinusoidalną funkcją czasu:

Gdzie A oznacza maksymalne wychylenie z położenia równowagi i nosi nazwę amplitudy, ώ - częstość kołowa, a funkcja (ώt + φ) nazywa się fazą, przy czym φ jest fazą początkową (dla t = 0)

Przedstawię teraz sposób wyprowadzenia powyższego wzoru. Porównując ze sobą wzór na siłę II Zasady Dynamiki Newtona (F = ma), gdzie
oraz wzór na siłę sprężystości (F = -kx) otrzymujemy:

Po obustronnym podzieleniu przez masę oraz podstawieniu
otrzymujemy:

Rozwiązaniem tego równania jest właśnie wzór:

Różniczkując powyższe równanie dwukrotnie względem czasu otrzymujemy:

CZĘŚĆ OBLICZENIOWA

Przebieg ćwiczenia

• Wprawiłam wahadło w drgania poprzez wychylenie go o kąt 5°.

• Zmierzyłam czas trwania 50 okresów T.

• Skróciłam nić wahadła o około 1/5 poprzez uchwycenie jej przy pomocy ruchomego zacisku długości i ponownie zmierzyłam czas trwania 50 okresów T.

• Odczytałam wartość d, o jaką skróciłam nić wahadła.

• Powtórzyłam pomiary z punktów 2-4 dla trzech innych położeń zacisku na nici wahadła.

• Wyniki pomiarów przedstawiłam w tabeli.

• Wykonałam cztery obliczenia przyspieszenia ziemskiego. Obliczyłam średnią wartość.

• Obliczyłam błąd ∆g stosując metodę Studenta - Fishera do wyników g_i z założonym poziomem ufności ά = 0,95

Wyniki pomiarów

Nr pomiaru	0	1	2	3	4
Długość, o jaką skrócono nić wahadła d [m]	0	0,1	0,2	0,3	0,4
Długość nici wahadła l [m]	0,8	0,7	0,6	0,5	0,4
Czas trwania 50 okresów T [s]	89	82	77	71	63
Czas trwania jednego okresu T [s]	1,78	1,64	1,54	1,42	1,26

6. Obliczenia

Wykonuję cztery obliczenia przyśpieszenia ziemskiego według wzoru:

Obliczam wartość średnią:

Obliczam błąd ∆g stosują c metodę Studenta-Fishera do wyników g_i z założonym poziomem ufności ά = 0,95:

Mnożę S_g przez współczynnik studenta Fishera t_nά dla założonego poziomu ufności ά = 0,95 równy 2,8

Wartość przyspieszenia ziemskiego jest równa w przybliżeniu:

Wnioski

Okres drgań wahadła matematycznego zależy od jego długości. Zauważyłam, że im bardziej skracałam nić tym bardziej okres wahadła się skracał, a jego ruchy były coraz szybsze.

Wartość przyspieszenia ziemskiego, którą obliczyłam odbiega znacznie od wartości podawanej w tablicach. Przyczyn może być kilka:

• określenie i ustawienie precyzyjnej długości wahadła było niemożliwe,

• pomiędzy włączaniem i wyłączaniem stopera, a wprawianiem wahadła w ruch mogła wystąpić niewielka, lecz znacząca różnica czasu,

• przy krótkiej długości wahadła punkt materialny ciężko było wprawić w drgania w płaszczyźnie pionowej,

• wartość podana przez tablicę jest obliczana przez najnowocześniejszy sprzęt w najlepiej wyposażonych laboratoriach świata. Wszystkie pomiary są niezwykle precyzyjne.

---