Zadanie 1.

Oblicz granice ciągów:

a)

b)

lub

Zadanie 2.

Oblicz granice ciągów:

a)

Skorzystałem z wzoru:

b)

Zadanie 3.

Zbadaj monotoniczność ciągów:

a)
, n=1,2,…

z tego wynika ze dany ciąg jest malejący.

Wykorzystamy fakt:

W tym przykładzie widać, że licznik jest mniejszy niż mianownika

Przez co ciąg ten jest malejący.

b)
, n=1,2,…

Licznik oraz mianownik są rosnące ze względu na n i mają wyrazy dodatnie.

Z tego względu, że ciąg
rośnie szybciej i jest w mianowniku ciągu
, wynika z tego, że ciąg
jest malejący.

Inny sposób:

bezpośrednio z definicji:

Wyrażenie po lewej stronie jest ujemne dla każdego n, stąd wynika, że ciąg jest malejący.

Zadanie 4.

Korzystając z twierdzenia o trzech ciągach oblicz granice ciągów:

a)
,

Stąd odp :

b)

Zadanie 1.

Zbadaj zbieżność szeregu:

a)

Wykorzystamy kryterium d'Alemberta:

a więc szereg
jest zbieżny na mocy kryterium d'Alemberta.

b)

Wykorzystamy kryterium d'Alemberta:

a więc szereg
jest zbieżny na mocy kryterium d'Alemberta.

Zadanie 2.

Zbadaj zbieżność szeregu:

a)
,

Wykorzystamy kryterium Cauchy'ego:

a więc szereg
jest zbieżny.

b)
,

Wykorzystamy kryterium Cauchy'ego:

Szereg

ma wyrazy dodatnie, a więc jest rozbieżny na mocy kryterium Cauchy'ego.

Zadanie 3.

Korzystając z kryterium porównawczego zbadaj zbieżność szeregów:

a)

a szereg
jest zbieżny, zatem szereg
jest również zbieżny

b)

ponieważ szereg
jest rozbieżny, to na mocy kryterium porównawczego rozbieżne są szeregi
oraz

Zadanie 4.

Zbadaj, który z poniższych szeregów jest zbieżny bezwzględnie, a który zbieżny, ale nie zbieżny bezwzględnie

a)
,

Ponadto, ponieważ szereg
także jest zbieżny, bo
, a szereg
jest zbieżny (z kryt. Cauchy'ego), to szereg
jest zbieżny bezwzględnie.

Jak jest bezwzględnie zbieżny to też jest zbieżny.

Można to też udowodnić:

, zatem szereg
jest szeregiem zbieżnym na mocy kryterium Leibniza.

b)

Ciąg
jest malejący, bo:

Ponieważ
dla n > 0, a mianownik jest zawsze dodatni dla n >0.

Natomiast
,

Zatem szereg
jest szeregiem zbieżnym na mocy kryterium Leibniza.

Sprawdzimy czy jest zbieżny bezwzględnie:

Ponieważ szereg
, nie jest zbieżny, to nie jest również zbieżny szereg
. Czyli szereg
nie jest zbieżny bezwzględnie.

Zadanie 1.

Oblicz granice:

a)

b)

Zadanie 2.

Zbadaj czy istnieją podane granice:

a)

Ponieważ nie jest określona wartość f(x) dla x=-1, zbadamy wartość granicy lewo i prawostronnej w punkcie -1:

Granica lewostronna

Granica prawostronna

ponieważ granica prawo- i lewostronna są różne, to nie istnieje granica f(x) w punkcie -1.

b)

Zadanie 3.

Korzystając z twierdzenia o trzech funkcjach wyznacz następujące granice:

a)

b)

oczywistym jest fakt, że:, zatem

Zadanie 4.

Określ zbiory punktów ciągłości podanych funkcji:

a)

Zatem funkcja f(x) jest ciągła w przedziałach: (-
,1), (1,+
). Nie jest ciągła w pkt. 1.

b)

Zatem funkcja f(x) jest ciągła w R.

KOLOKWIUM 1 Z AM1 ITN - 16.05.2007

(prof. Zabierowski)

1. Zbadaj ciągłość funkcji:

dla

1 dla

2. Oblicz granice:

3. Oblicz granice:

a)
b)

4. Sprawdź zbieżność szeregów:

a)
b)

5. Oblicz pochodną funkcji:

ROZWIĄZANIA (100% poprawności)

1. Zbadaj ciągłość funkcji:

dla

dla

funkcja nie jest ciągła

2. Oblicz granice:

3. Oblicz granice:

a)

b)

4. Sprawdź zbieżność szeregów:

a)

b)

prawda dla n>4

5. Oblicz pochodną funkcji:

KOLOKWIUM 1 (POPRAWKOWE) Z AM1 ITN - 29.05.2007

(prof. Zabierowski)

1. Oblicz granice ciągów:

a)

b)

2. Zbadaj zbieżności szeregów:

a)

b)

3. Oblicz granice ciągów:

a)
b)

4. Jakie wartości powinny mieć parametry a i b aby funkcja była ciągła:

dla

dla

dla

5. Oblicz pochodną funkcji:

ROZWIĄZANIA (100% poprawności)

1. Oblicz granice ciągów:

a)

b)

2. Zbadaj zbieżności szeregów:

a)

szereg
jesz zbieżny.

Na mocy kryterium porównawczego szereg
jest zbieżny.

b)

3. Oblicz granice ciągów:

a)

b)

4. Jakie wartości powinny mieć parametry a i b aby funkcja była ciągła:

dla

dla

dla

5. Oblicz pochodną funkcji:

5

---