Kratownice płaskie

Wojciech Barański

Katedra Mechaniki Materiałów PŁ

[e-mail]

Wstęp

Zadanie 1) Czy pokazana na rysunku płaska kratownica jest statycznie wyznaczalna?

Zgodnie z definicją układu statycznie wyznaczalnego warunki równowagi powinny wystarczyć do jednoznacznego wyznaczenia reakcji podpór i sił przekrojowych w rozpatrywanym układzie. W przypadku kratownicy jako warunki równowagi możemy przyjąć równania równowagi węzłów kratownicy.

Wtedy niewiadomymi będą reakcje podporowe R₁,...R₄ oraz siły normalne S₁,... S₁₄. Warunkiem koniecznym statycznej wyznaczalności jest zgodność liczby równań równowagi z liczbą niewiadomych, czyli dla rozpatrywanej kratownicy płaskiej

2 w = p + r

gdzie:

w - liczba węzłów, p - liczba prętów, r - liczba reakcji.

W naszym przypadku mamy

w = 9; p = 14; r = 4

a zatem warunek konieczny statycznej wyznaczalności jest spełniony. Z teorii układów algebraicznych równań liniowych wiadomo, że warunkiem dostatecznym istnienia jednoznacznego rozwiązania jest, aby wyznacznik główny układu równań był niezerowy. Warunek ten jest niewygodny do sprawdzenia. Prościej jest spróbować rozwiązać zagadnienie równowagi układu dla przykładowego obciążenia.

Rozpocznijmy analizę od warunków równowagi całej kratownicy

;
;

;
.

Z równowagi pokazanej części kratownicy wnioskujemy

;
.

Przejdźmy teraz do warunków równowagi poszczególnych węzłów wg kolejności numerowania:

Wynika z nich, że S₁,... S₁₄ oraz R₁,...R₄ wynoszą kolejno:

Zatem kratownica jest statycznie wyznaczalna.

Zadanie 2) Czy pokazana na rysunku płaska kratownica jest statycznie wyznaczalna?

Podobnie do poprzedniego zadania warunek konieczny statycznej wyznaczalności jest spełniony, bo

w = 9; p = 14; r = 4

Niestety, rozpatrywana kratownica nie jest statycznie wyznaczalna, co wynika z następujących rozważań.

Rozpocznijmy analizę od warunków równowagi całej kratownicy

;
;

;
.

Dla równowagi pokazanej części kratownicy

powinno zachodzić

;

ale nie zachodzi, bo
nie musi być zerem.

Zadanie 3) Czy pokazana na rysunku płaska kratownica jest statycznie wyznaczalna?

Zgodnie z definicją układu statycznie wyznaczalnego warunki równowagi powinny wystarczyć do jednoznacznego wyznaczenia reakcji podpór i sił przekrojowych w rozpatrywanym układzie. W przypadku kratownicy jako warunki równowagi możemy przyjąć równania równowagi węzłów kratownicy.

Wtedy niewiadomymi będą reakcje podporowe R₁,...R₄ oraz siły normalne S₁,... S₁₀. Warunkiem koniecznym statycznej wyznaczalności jest zgodność liczby równań równowagi z liczbą niewiadomych, czyli dla rozpatrywanej kratownicy płaskiej

2 w = p + r

gdzie:

w - liczba węzłów, p - liczba prętów, r - liczba reakcji.

W naszym przypadku mamy

w = 7; p = 10; r = 4

a zatem warunek konieczny statycznej wyznaczalności jest spełniony. Z teorii układów algebraicznych równań liniowych wiadomo, że warunkiem dostatecznym istnienia jednoznacznego rozwiązania jest, aby wyznacznik główny układu równań był niezerowy. Warunek ten jest niewygodny do sprawdzenia. Prościej jest spróbować rozwiązać zagadnienie równowagi układu dla przykładowego obciążenia.

Rozpocznijmy analizę od warunków równowagi pokazanej części kratownicy

;
.

Z równowagi całej kratownicy wnioskujemy

;
;

;
;

;
.

Przejdźmy teraz do warunków równowagi poszczególnych węzłów wg kolejności numerowania:

Wynika z nich, że S₁,... S₁₀ oraz R₁,...R₄ wynoszą kolejno:

Zatem kratownica jest statycznie wyznaczalna.

Zadanie 4) Czy pokazana na rysunku płaska kratownica jest statycznie wyznaczalna?

Podobnie do poprzedniego zadania warunek konieczny statycznej wyznaczalności jest spełniony, bo

w = 8; p = 12; r = 4

Niestety, rozpatrywana kratownica nie jest statycznie wyznaczalna, co wynika z następujących rozważań.

Rozpocznijmy analizę od warunków równowagi pokazanej części kratownicy

;
.

Dla równowagi całej kratownicy powinno zachodzić

;

ale nie zachodzi, bo
nie musi być zerem.

---