Strona
Politechniki Białostockiej
1
Mechanika teoretyczna
Zadanie nr 3
W tym zadaniu naszym celem jest wyznaczenie sił w prętach kratownicy płaskiej.
Wiadomości ogólne
1) Co to jest kratownica ???
Def.:
Kratownicą nazywamy układ złożony z prętów prostych*, połączonych między sobą w węzłach przegubowo (przegubami bez tarcia), obciążony siłami skupionymi w przegubach; siły przekrojowe w prętach kratownicy redukują się do stałej siły podłużnej.
* prętem nazywamy element, którego jeden wymiar (długość) jest znacznie większy od pozostałych (grubość i szerokość).
Pręty zewnętrzne ograniczające kratownice od góry nazywamy pasem górnym (rys. 1 –
czerwone), pręty ograniczające kratownice od dołu – pasem dolnym (rys. 1 – zielone). Pręty pionowe łączące oba pasy nazywamy słupkami (rys. 1 – niebieskie), ukośne krzyż ulcami (rys. 1 – pomarańczowe).
Rys. 1. Kratownica.
Obciążenia zewnętrzne przekazuje się na kratownice w postaci sił skupionych przyłożonych w jej węzłach i działających w płaszczyźnie kratownicy (w przypadku kratownic płaskich). Również ciężar własny kratownicy zastępuje się siłami skupionymi, przyłożonymi w jej węzłach.
2) Sprawdzenie stopnia statycznej niewyznaczalności kratownicy
Sprawdzenie stopnia statycznej wyznaczalności kratownicy dokonujemy wzorem n = r + p − 2w
s
gdzie:
ns – stopień statycznej niewyznaczalności,
r – liczba prętów reakcyjnych (reakcji podporowych),
p – liczba prętów prostych kratownicy,
w – liczba węzłów kratownicy.
Dla kratownicy przedstawionej na rys. 1 stopień ten wynosi
n = 3 + 13 − 2 ⋅ 8 = 0 ,
s
gdzie r = 3, p = 13 (4 pręty pasa górnego, 4 pręty pasa dolnego, 3 słupki, 2 krzyżulce), w = 8.
Strona
Politechniki Białostockiej
2
3) Pręty zerowe
W kratownicy mogą występować pręty, w których pod danym obciążeniem siły podłużne są równe zero, pręty te nazywamy prę tami zerowymi.
Zasady określania tych prętów są następujące:
a) jeśli w węźle schodzą się dwa pręty pod pewnym kątem α i węzeł jest nieobciążony siłą zewnętrzną, to siły przekrojowe w obu prętach są równe zeru (rys. 2a), b) jeśli w węźle schodzą się dwa pręty i węzeł jest obciążony siłą zewnętrzną, równoległa do jednego z nich, to w drugim pręcie siła przekrojowa jest równa zero (rys. 2b), c) jeśli w węźle schodzą się trzy pręty, z których dwa są równoległe i węzeł jest nieobciążony siłą zewnętrzną, to siła przekrojowa w pręcie trzecim jest równa zero (rys. 2c).
a)
b)
c)
P
N
N
N
N
1
1
1
2
α
N
N
N
2
2
3
Rys. 2.
4) Metody rozwiązywania kratownic
Metody rozwiązywania kratownic
analityczne
wykreślne
metoda równoważenia
metody wyznaczające
plan sił Cremony
węzłów
siły w całej kratownicy
metody wyznaczające
metoda Rittera
metoda Culmanna
siły w wybranych prętach
4a) Metoda równoważenia węzłów
Metoda ta polega na wypisywaniu równań równowagi dla każdego myślowo wyciętego węzła kratownicy.
Postępowanie:
1) Z równań równowagi wyznaczenie składowych reakcji podporowych, 2) W poszczególnych myślowo wyciętych węzłach kratownicy zapisuje się dwa równania równowagi: ΣX = 0, ΣY = 0. W tym celu w węźle zakłada się odpowiednie zwroty sił w poszczególnych prętach,
3) Z zapisanych równań równowagi wyznacza się siły we wszystkich prętach kratownicy.
Rozwiązywanie najlepiej zacząć od węzła, w którym zbiegają się tylko dwa pręty o nieznanych siłach, a następnie rozpatrywać kolejne węzły spełniające ten warunek.
Strona
Politechniki Białostockiej
3
4b) Metoda Rittera (metoda przekrojów)
Metoda Rittera, podobnie jak metoda równoważenia węzłów jest sposobem analitycznym, polega ona na wykorzystaniu twierdzenia o równowadze układu sił zewnętrznych i wewnętrznych przyłożonych do jednej części kratownicy. Analitycznych równań równowagi mamy trzy, jeśli więc kratownice przetniemy przez nie więcej niż trzy pręty, to z równań równowagi możemy wyliczyć szukane siły przekrojowe. Metoda ta jest wygodniejsza w przypadku, jeśli poszukiwane są siły w konkretnych prętach kratownicy.
Postępowanie:
1) Z równań równowagi wyznaczenie składowych reakcji podporowych, 2) Przeprowadza się przekrój α-α przez trzy pręty kratownicy nie zbiegające się w jednym punkcie, w tym przez pręt (lub pręty), w których siłę chcemy wyznaczyć. Część kratownicy oddzielona przekrojem α-α znajduje się w równowadze pod działaniem sił
zewnętrznych, składowych reakcji podpór oraz sił w prętach, przez które poprowadzono przekrój (rys. 3b),
3) W odniesieniu do wydzielonej części kratownicy zapisuje się równania sumy momentów wszystkich sił względem trzech punktów, w których przecinają się parami kierunki poszukiwanych sił w prętach. Punkty te są nazywane punktami Rittera. Jeśli dwa z prętów, przez które poprowadzono przekrój, są do siebie równoległe, to zapisuje się dwa równania sumy momentów wszystkich sił działających na daną część kratownicy względem punktów, w których trzeci pręt przecina się z prętami równoległymi, oraz trzecie równanie sumy rzutów wszystkich sił na oś prostopadłą do prętów równoległych.
a)
α
b)
α
α
α
P
P
G
P
G
K
K
R y
D
D α
R
α
R
x
x
Rys. 3. Metoda Rittera
a) kratownica b) obie części kratownicy w równowadze
(na czerwono zaznaczono punkty Rittera)
Opracował: mgr inż. Andrzej Leonczuk