Katedra Mechaniki Konstrukcji

Strona

Politechniki Białostockiej

1

Mechanika teoretyczna

Zadanie nr 3

W tym zadaniu naszym celem jest wyznaczenie sił w prętach kratownicy płaskiej.

Wiadomości ogólne

1) Co to jest kratownica ???

Def.:
Kratownicą nazywamy układ złożony z prętów prostych*, połączonych między sobą
w węzłach przegubowo (przegubami bez tarcia), obciążony siłami skupionymi w przegubach;
siły przekrojowe w prętach kratownicy redukują się do stałej siły podłużnej.

* prętem nazywamy element, którego jeden wymiar (długość) jest znacznie większy od

pozostałych (grubość i szerokość).

Pręty zewnętrzne ograniczające kratownice od góry nazywamy pasem górnym (rys. 1 –

czerwone), pręty ograniczające kratownice od dołu – pasem dolnym (rys. 1 – zielone). Pręty
pionowe łączące oba pasy nazywamy słupkami (rys. 1 – niebieskie), ukośne krzyżulcami
(rys. 1 – pomarańczowe).

Rys. 1. Kratownica.

Obciążenia zewnętrzne przekazuje się na kratownice w postaci sił skupionych

przyłożonych w jej węzłach i działających w płaszczyźnie kratownicy (w przypadku
kratownic płaskich). Również ciężar własny kratownicy zastępuje się siłami skupionymi,
przyłożonymi w jej węzłach.

2) Sprawdzenie stopnia statycznej niewyznaczalności kratownicy

Sprawdzenie stopnia statycznej wyznaczalności kratownicy dokonujemy wzorem

w

2

p

r

n

s

−

+

=

gdzie:

n

s

– stopień statycznej niewyznaczalności,

r – liczba prętów reakcyjnych (reakcji podporowych),

p – liczba prętów prostych kratownicy,

w – liczba węzłów kratownicy.

Dla kratownicy przedstawionej na rys. 1 stopień ten wynosi

0

8

2

13

3

n

s

=

⋅

−

+

=

,

gdzie r = 3, p = 13 (4 pręty pasa górnego, 4 pręty pasa dolnego, 3 słupki, 2 krzyżulce), w = 8.

Katedra Mechaniki Konstrukcji

Strona

Politechniki Białostockiej

2

3) Pręty zerowe

W kratownicy mogą występować pręty, w których pod danym obciążeniem siły

podłużne są równe zero, pręty te nazywamy prętami zerowymi.
Zasady określania tych prętów są następujące:
a) jeśli w węźle schodzą się dwa pręty pod pewnym kątem

α

i węzeł jest nieobciążony siłą

zewnętrzną, to siły przekrojowe w obu prętach są równe zeru (rys. 2a),

b) jeśli w węźle schodzą się dwa pręty i węzeł jest obciążony siłą zewnętrzną, równoległa do

jednego z nich, to w drugim pręcie siła przekrojowa jest równa zero (rys. 2b),

c) jeśli w węźle schodzą się trzy pręty, z których dwa są równoległe i węzeł jest

nieobciążony siłą zewnętrzną, to siła przekrojowa w pręcie trzecim jest równa zero
(rys. 2c).

c)

b)

a)

N

N

N

N

N

N

N

P

1

1

2

1

2

2

3

α

Rys. 2.

4) Metody rozwiązywania kratownic

Metody rozwi

ą

zywania kratownic

analityczne

metoda równowa

ż

enia

w

ę

złów

plan sił Cremony

metoda Rittera

metoda Culmanna

metody wyznaczaj

ą

ce

siły w całej kratownicy

metody wyznaczaj

ą

ce

siły w wybranych pr

ę

tach

wykre

ś

lne

4a) Metoda równoważenia węzłów

Metoda ta polega na wypisywaniu równań równowagi dla każdego myślowo

wyciętego węzła kratownicy.

Postępowanie:
1) Z równań równowagi wyznaczenie składowych reakcji podporowych,
2) W poszczególnych myślowo wyciętych węzłach kratownicy zapisuje się dwa równania

równowagi:

Σ

X = 0,

Σ

Y = 0. W tym celu w węźle zakłada się odpowiednie zwroty sił w

poszczególnych prętach,

3) Z zapisanych równań równowagi wyznacza się siły we wszystkich prętach kratownicy.

Rozwiązywanie najlepiej zacząć od węzła, w którym zbiegają się tylko dwa pręty
o nieznanych siłach, a następnie rozpatrywać kolejne węzły spełniające ten warunek.

Katedra Mechaniki Konstrukcji

Strona

Politechniki Białostockiej

3

4b) Metoda Rittera (metoda przekrojów)

Metoda Rittera, podobnie jak metoda równoważenia węzłów jest sposobem analitycznym,

polega ona na wykorzystaniu twierdzenia o równowadze układu sił zewnętrznych
i wewnętrznych przyłożonych do jednej części kratownicy. Analitycznych równań równowagi
mamy trzy, jeśli więc kratownice przetniemy przez nie więcej niż trzy pręty, to z równań
równowagi możemy wyliczyć szukane siły przekrojowe. Metoda ta jest wygodniejsza
w przypadku, jeśli poszukiwane są siły w konkretnych prętach kratownicy.

Postępowanie:
1) Z równań równowagi wyznaczenie składowych reakcji podporowych,
2) Przeprowadza się przekrój

α

-

α

przez trzy pręty kratownicy nie zbiegające się w jednym

punkcie, w tym przez pręt (lub pręty), w których siłę chcemy wyznaczyć. Część
kratownicy oddzielona przekrojem

α

-

α

znajduje się w równowadze pod działaniem sił

zewnętrznych, składowych reakcji podpór oraz sił w prętach, przez które poprowadzono
przekrój (rys. 3b),

3) W odniesieniu do wydzielonej części kratownicy zapisuje się równania sumy momentów

wszystkich sił względem trzech punktów, w których przecinają się parami kierunki
poszukiwanych sił w prętach. Punkty te są nazywane punktami Rittera. Jeśli dwa
z prętów, przez które poprowadzono przekrój, są do siebie równoległe, to zapisuje się dwa
równania sumy momentów wszystkich sił działających na daną część kratownicy
względem punktów, w których trzeci pręt przecina się z prętami równoległymi, oraz
trzecie równanie sumy rzutów wszystkich sił na oś prostopadłą do prętów równoległych.

a)

b)

P

P

P

R

R

D

D

K

K

R

G

G

x

x

y

α

α

α

α

α

α

Rys. 3. Metoda Rittera

a) kratownica b) obie części kratownicy w równowadze

(na czerwono zaznaczono punkty Rittera)

Opracował: mgr inż. Andrzej Leonczuk