Moduł Kirchhoffa (G) (inaczej moduł odkształcalności postaciowej albo moduł sprężystości poprzecznej) - współczynnik uzależniający odkształcenie postaciowe materiału od naprężenia, jakie w nim występuje. Jednostką modułu Kirchhoffa jest paskal. Jest to wielkość określająca sprężystość materiału.

gdzie τ - naprężenia ścinające, γ - odkształcenie postaciowe

Moduł Kirchhoffa dla materiałów izotropowych bezpośrednio zależy od modułu Younga i współczynnika Poissona:

gdzie υ - współczynnik Poissona, E - moduł Younga

Odkształcenie postaciowe to zmiana kształtu (odkształcenie) ośrodka ciągłego przy zachowaniu długości odcinków równoległych do osi układu współrzędnych.

Przykładem odkształcenia postaciowego może być ścinanie lub skręcanie

Należy zwrócić uwagę, że można mówić o odkształceniu postaciowym tylko w odniesieniu do konkretnego układu odniesienia. Przy jego zmianie odkształcenie może okazać się odkształceniem liniowym bądź ich złożeniem.

Odkształcanie liniowe - to zmiana kształtu wzdłuż jednego z wymiarów ciała. Odkształcenia liniowe mogą nastąpić pod wpływem siły zewnętrznej, zmiany temperatury lub innego czynnika fizycznego. Siła wewnętrzna (siła sprężystości) może spowodować odkształcenie będące reakcją na wcześniejsze odkształcenie ciała przez siły zewnętrzne. Odkształcenia liniowe podłużne dzieli się na odkształcenia spowodowane ściskaniem i odkształcenia spowodowane rozciąganiem.

Przykładem odkształcenia liniowego jest wydłużanie się rozciąganego drutu, pręta, sprężyny.

Współczynnik Poissona (ν) jest stosunkiem odkształcenia poprzecznego do odkształcenia podłużnego przy osiowym stanie naprężenia. Współczynnik Poissona jest wielkością bezwymiarową i nie określa sprężystości materiału, a jedynie sposób w jaki się on odkształca.

Materiał Współczynnik Poissona

Guma ~ 0,50

Magnez 0,35

Tytan 0,34

Miedź 0,33

Aluminium 0,33

Glina 0,30-0,45

Stal nierdzewna 0,30-0,31

Stal 0,27-0,30

Żeliwo 0,21-0,26

Piasek 0,20-0,45

Beton 0,20

Szkło 0,18-0,3

Korek ~ 0,00

Moduł Younga (E) - inaczej moduł odkształcalności liniowej albo moduł sprężystości podłużnej (w układzie jednostek SI) - wielkość uzależniająca odkształcenie liniowe ε materiału od naprężenia σ, jakie w nim występuje w zakresie odkształceń sprężystych.

Jednostką modułu Younga jest paskal. Jest to wielkość określająca sprężystość materiału.

Moduł Younga jest hipotetycznym naprężeniem, które wystąpiłoby przy dwukrotnym wydłużeniu próbki materiału, przy założeniu, że jej przekrój nie ulegnie zmianie (założenie to spełnione jest dla hipotetycznego materiału o współczynniku Poissona υ = 0).

Prawo Hooke'a - prawo mechaniki określające zależność odkształcenia od naprężenia. Głosi ono, że odkształcenie ciała pod wpływem działającej na niego siły jest wprost proporcjonalne do tej siły. Współczynnik między siłą a odkształceniem jest często nazywany współczynnikiem (modułem) sprężystości.

Ta prawidłowość, sformułowana przez Roberta Hooke'a (1635-1703) w formie "ut tensio sic vis", pozostaje prawdziwa tylko dla niezbyt dużych odkształceń, nie przekraczających tzw. granicy Hooke'a (zwanej też granicą proporcjonalności), i tylko dla niektórych materiałów. Prawo Hooke'a zakłada też, że odkształcenia ciała, w reakcji na działanie sił, następują w sposób natychmiastowy i całkowicie znikają, gdy przyłożone siły przestają działać. Takie uproszczenie jest wystarczające jedynie dla ciał o pomijalnie małej lepkości.

Najprostszym przykładem zastosowania prawa Hooke'a jest rozciąganie statyczne pręta. Względne wydłużenie takiego pręta jest wprost proporcjonalne do siły przyłożonej do pręta, do jego długości i odwrotnie proporcjonalne do pola przekroju poprzecznego pręta. Współczynnikiem proporcjonalności jest moduł Younga E

Prawo Hooke'a dla ogólnego, trójwymiarowego układu naprężeń w przypadku materiału izotropowego może być zapisane w postaci układu równań:

dla odkształceń liniowych

dla odkształceń kątowych własnych

gdzie:

ε - odkształcenie liniowe w punkcie,

σ - naprężenie liniowe w punkcie,

γ - odkształcenie postaciowe (kątowe) w punkcie,

τ - naprężenie kątowe w punkcie,

G - współczynnik sprężystości postaciowej (poprzecznej) lub moduł Kirchhoffa.

E - moduł Younga

ν - współczynnik Poissona

Rozciąganie osiowe - w wytrzymałości materiałów definiujemy dwa podstawowe przypadki rozciągania osiowego:

Rozciąganie czyste pręta, w którym do ścianek poprzecznych jednorodnego i izotropowego pręta pryzmatycznego przyłożone jest obciążenie o stałej gęstości σ o zwrocie zgodnym z wektorem normalnym powierzchni ścianki poprzecznej (prostopadłym do ścianki, skierowanym na zewnątrz). Dla tego przypadku wytrzymałościowego znane jest rzeczywiste rozwiązanie zagadnienia brzegowego liniowej teorii sprężystości.

Rozciąganie proste pręta, które różni się od rozciągania "czystego" tym, że obciążenie zastępujemy dwójką przeciwnie skierowanych, równych co do wartości i współliniowych sił skupionych, działających w osi tego pręta. Analityczne rozwiązanie tego przypadku jest praktycznie niemożliwe, dlatego stosujemy zgodnie z zasadą de Saint-Venanta rozwiązanie zagadnienia czystego rozciągania przyjmując, że

gdzie A oznacza pole przekroju poprzecznego pręta.

Zasada de Saint-Venanta - uproszczenie powszechnie przyjmowane w wytrzymałości materiałów. Zasada mówi, że jeśli na sprężyste ciało działa układ sił statycznych przyłożonych na powierzchni małej w stosunku do powierzchni całego ciała i zastąpimy ten układ sił dowolnym innym układem - jednak statycznie mu równoważnym (o równej sumie układu i sumie momentów sił układu względem dowolnego punktu) - to istnieje taki przekrój tego ciała, dostatecznie odległy od miejsca przyłożenia sił, że różnice w naprężeniach, odkształceniach i przemieszczeniach, pochodzących od obu przypadków obciążenia, są dowolnie małe (tzn. wpływ działających sił uśrednia się).

Ilustracją zasady jest rysunek. Pokazuje on pręt rozciągany przez parę sił przyłożonych punktowo na obu końcach. W bezpośredniej bliskości końców stan naprężenia odpowiada rzeczywistemu stanowi obciążenia. W dostatecznej odległości od końców uśrednia się i równy jest sumie sił podzielonej przez pole przekroju pręta.

Ściskanie osiowe - w wytrzymałości materiałów definiujemy dwa podstawowe przypadki ściskania osiowego:

Ściskanie czyste pręta, w którym do ścianek poprzecznych jednorodnego i izotropowego pręta pryzmatycznego przyłożone jest obciążenie o stałej gęstości σ o zwrocie przeciwnym do wektora normalnego powierzchni ścianki poprzecznej (prostopadłym do ścianki, skierowanym do wewnątrz). Dla tego przypadku wytrzymałościowego znane jest rzeczywiste rozwiązanie zagadnienia brzegowego liniowej teorii sprężystości.

Ściskanie proste pręta, które różni się od ściskania "czystego" tym, że obciążenie zastępujemy dwójką przeciwnie skierowanych, równych co do wartości i współliniowych sił skupionych, działających w osi tego pręta. Analityczne rozwiązanie tego przypadku jest praktycznie niemożliwe, dlatego stosujemy zgodnie z zasadą de Saint-Venanta rozwiązanie zagadnienia czystego ściskania przyjmując, że

gdzie A oznacza pole przekroju poprzecznego pręta.

Wyboczenie - w wytrzymałości materiałów odkształcenie (wygięcie) osiowo ściskanego pręta.

Teoretycznie, gdy pręt jest idealnie symetryczny, a siła ściskająca idealnie osiowa i centryczna, wyboczenie nie ma prawa wystąpić. W rzeczywistych układach taki warunek jest jednak bardzo rzadko spełniony. Pręty zawsze mają pewne niedokładności wykonania, siły mogą być przykoszone lub obciążać pręty ekscentrycznie. W takiej sytuacji przy odpowiednio dużym obciążeniu, większym niż obciążenie dopuszczalne Pdop, istnieje niebezpieczeństwo wyboczenia. Wyboczenie może być sprężyste, to znaczy takie, gdy po odciążeniu pręta wraca on do pierwotnego, wyprostowanego kształtu, lub niesprężyste, gdy pręt utrzymuje swój wyboczony kształt także po odciążeniu.

Obciążenie dopuszczalne oblicza się ze wzoru:

gdzie:

Pkr - obciążenie krytyczne

xw - współczynnik bezpieczeństwa

Innym ważnym parametrem ściskanego pręta, ze względu na wyboczenie jest jego długość wyboczeniowa

gdzie:

μ - współczynnik zależny od sposobu podparcia (mocowania pręta) na obu końcach.

l - długość pręta

oraz smukłość pręta

gdzie:

imin - najmniejszy promień bezwładności przekroju wyznaczany ze wzoru:

gdzie:

Imin - najmniejszy główny centralny moment bezwładności przekroju

A - pole powierzchni przekroju.

Dla większości materiałów, smukłością graniczna dla wyboczenia niesprężystego jest

gdzie:

E - współczynnik sprężystości wzdłużnej

Rn - maksymalne naprężenie, dla którego można przyjąć ważność prawa Hooke'a.

Dla wyboczenia sprężystego można wyznaczyć siłę krytyczną z zależności:

Współczynniki μ oraz sposoby wyboczenia pręta przy różnych rodzajach podparcia pokazane są na poniższym rysunku:

Współczynnik bezpieczeństwa n - liczba mówiąca, ile razy naprężenie σ występujące podczas normalnej pracy konstrukcji jest mniejsze od naprężenia niebezpiecznego σn.

Podczas projektowania wprowadza się współczynnik bezpieczeństwa, ponieważ z reguły nie jest możliwe dokładne określenie wszystkich możliwych obciążeń konstrukcji, metody obliczeniowe cechuje pewien błąd, materiały nie są idealnie jednorodne a ich parametry cechuje pewien rozrzut, mogą wystąpić niedokładności związane z technologią wykonania, a elementy ulegają zużyciu, korozji itp.

Współczynnik bezpieczeństwa jest to liczba większa od jedności mówiąca ile razy wielkość dopuszczalna jest mniejsza od wielkości uznawanej za niebezpieczną. Stosowany jest do naprężeń obciążeń i stanowi przedmiot szeregu norm, szczególnie duże wartości osiąga w obliczeniach stateczności. Współczynnik bezpieczeństwa jest zmienny i wynosi od 1,5 do 3 dla materiałów plastycznych i od 8 do 12 dla materiałów kruchych, uwzględnia wartości technologiczne, warunki pracy i dopuszczalne błędy.

Warunki współczynników bezpieczeństwa: -jednorodność materiału -jakość wykonania -naprężenia wstępne w czasie procesu technologicznego np. kucia, odlewu, spawania -obciążenia przewidywane i przypadkowe -czynnik niedoskonałości ludzkiej -niedoskonałość metod obliczeniowych -wpływ czasu pracy- procesy korozji, ścierania, wietrzenia -zmęczenie materiału -spiętrzenie naprężeń

Współczynnik bezpieczeństwa dla obciążeń stałych dobiera się: -dla stali konstrukcyjnej x=2,0-2,3 -dla stali sprężynowej x=1,6 -dla żeliwa x=3,5

Aby określić współczynnik bezpieczeństwa należy ustalić następujące czynniki: -stopień znaczenia części dla pewności działania maszyny -poprawność przyjętego schematu obciążeń przy obliczeniach wytrzymałościowych -prawidłowość uwzględnienia rodzaju obciążenia (stale, zmienne) -pewność odnośnie do materiału -przewidywana jakość wykonania Kształt części i stan jej powierzchni

Współczynnik bezp. zależy od rodzaju zastosowanego materiału, przeznaczenia zastosowanego elementu, czasu pracy, warunków pracy, grubości materiału itd. Obliczeniowy wsp. wytrzymałościowy złącza spawanego składa się z dwóch elementów z=z1*zdop z1 zależy od rodzaju połączenia spawanego, zdop zależy od technologii wykonania spoiny. Wsp. ten przyznawany jest poszczególnym zakładom przez Urząd Dozoru Technicznego.

Moment gnący w dowolnym przekroju belki zginanej to algebraiczna suma momentów sił zewnętrznych działających po jednej stronie (lewej lub prawej) rozważanego przekroju względem środka masy tego przekroju.

Moment skręcający - w mechanice moment pary sił, którego wektor jest równoległy do osi elementu skręcanego, najczęściej pręta lub wału.

O wielkości skręcenia na jednostkę długości pręta, wywołanego przez dany moment skręcający decydują:

- wytrzymałość materiału, z którego wykonany jest poddany skręcaniu element,

- charakteryzowana przez moduł Kirchhoffa,

- "sztywność" przekroju konkretnego pręta, wyrażana przez wskaźnik wytrzymałości na skręcanie.

---